Oscillations libres dans un circuit RLC série

CHAPITRE
8
Oscillations libres
dans un circuit RLC série
r Manuel pages 175 à 193
Choix pédagogiques
Ce chapitre est le troisième et dernier chapitre consacré à l’évolution des
systèmes électriques.
Après avoir étudié séparément les dipôles RC et RL conduisant à des
évolutions monotones de tension ou d’intensité, il s’agit d’associer maintenant les deux « réservoirs » d’énergie que constituent le condensateur
et la bobine.
L’intérêt de cette association est lié à la complémentarité des deux
dipôles qui la constituent :
– le condensateur assure en effet une évolution sans discontinuité de
la charge d’une de ses armatures et donc de la tension à ses bornes mais
pas de l’intensité du courant ;
– la bobine permet quant à elle une évolution continue de l’intensité
du courant mais ne garantit pas celle de la tension à ses bornes.
De cette complémentarité, on attend donc, dans un dipôle LC, une
évolution de tension ou d’intensité différente de celle vue précédemment.
Dans un premier temps, il s’agira donc :
– d’observer l’évolution de la tension aux bornes du condensateur d’un
circuit RLC et d’étudier l’influence d’une augmentation de la résistance
du circuit ;
– de constater que, pour de faibles valeurs de résistances, l’évolution
n’est plus monotone mais oscillante ;
– d’étudier les échanges d’énergie entre le condensateur et la bobine.
Dans un deuxième temps, comme dans les deux chapitres précédents,
nous mènerons une étude analytique du dipôle constitué ici en établissant :
– l’équation différentielle du circuit LC ;
– l’expression de la période des oscillations à partir d’une solution
mathématique proposée pour l’équation différentielle ;
– la valeur des constantes, fonctions des conditions initiales.
La séance de travaux pratiques permettra de réinvestir les connaissances du cours et de revenir sur le fait que la résistance inévitable de
la bobine entraîne un amortissement des oscillations dans le circuit. Ce
sera alors l’occasion de montrer qu’il est possible de maintenir l’amplitude des oscillations constante en utilisant un dispositif d’entretien et
d’en étudier la fonction d’un point de vue énergétique.
8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série
49
■ Découvrir
et réfléchir
Activité expérimentale 1
Commentaire. Pour mettre en évidence la différence
avec un dipôle RC, nous commençons naturellement
ce chapitre par l’observation de la tension aux bornes
du condensateur d’un circuit RLC.
Cette activité expérimentale est le support essentiel de
la première partie du cours basée sur l’observation des
évolutions temporelles de tension dans un circuit RLC
série. Elle permet de dégager les différents modes de
fonctionnement du circuit (régimes apériodique et
pseudopériodique) selon la résistance et de montrer
l’existence d’un régime « limite » obtenu lorsque la résistance du circuit tend vers 0 : le régime périodique.
Réponses aux questions
1. Pour de faibles valeurs de R, l’évolution de uC(t) est
oscillante et non monotone puisque uC(t) diminue puis
augmente successivement, au lieu de décroître (ou croître) continuellement.
2. Oscillogramme a : R devrait être nulle, régime périodique.
Oscillogramme b : R doit être non nulle mais faible,
régime pseudopériodique.
Oscillogramme c : R doit être élevée, régime apériodique (pas d’oscillations).
3. Pour R non nulle mais faible, les oscillations sont :
– libres car aucun dispositif extérieur du circuit RLC n’impose les oscillations et notamment leur fréquence ;
– amorties car l’amplitude des oscillations diminue au
cours du temps.
Activité documentaire 2
Commentaire. Cette activité peut être menée en classe
ou donner matière à réflexion en travail à la maison. Elle
permet de réinvestir les connaissances acquises dans les
deux chapitres précédents afin, notamment, de faire la
liaison entre l’évolution de la tension aux bornes d’un
condensateur étudiée dans l’activité 1 et l’intensité du
courant. Mais elle permet surtout à l’élève de conduire
seul l’étude énergétique dans le but :
– de mettre en évidence les échanges d’énergie entre
le condensateur et la bobine qui donnent lieu aux
oscillations ;
– d’expliquer l’influence de la résistance d’un point de
vue énergétique.
Réponses aux questions
dq
.
dt
[1]. Si uC(t) est extrémale, duC = 0
dt
1. a. q (t) = C uC(t) ; i (t) =
Ainsi, i(t) = C duC
dt
soit i (t) = 0.
b. Les courbes du document 3 sont compatibles avec ce
résultat : uC(t) est extrémale aux instants de dates t0 , t2
et t4 par exemple, et i(t) est nulle à ces mêmes instants.
50
2. Lorsque uC(t) décroît (de t0 à t2 par exemple), duC
dt
est donc négative et i (t) doit l’être aussi d’après [1],
ce qui est en accord avec la courbe correspondante du
document 3. De même, lorsque uC(t) croît (de t2 à t4),
duC est positive et i (t) aussi.
dt
3. élec(t) = 1 C u C2(t) ; mag(t) = 1 L i 2(t).
2
2
4.
date
t0 t0 t
= 0 s t1
signe de uC
uC (t) 0
valeur
MAX
de |uC (t)|
t1
t1 t
t2
t2
t2 t
t3
t3
t3 t
t4
t4
uC
0
uC = 0
uC
0
uC
0
uC
0
uC = 0
uC
0
uC
0
c
NULLE
c
MAX
c
NULLE
c
MAX
signe de q
q
q
q
q
q
q
q=0
q=0
q(t)
0 0
0 0 0
0 0
valeur
MAX
NULLE
NULLE
c
c MAX c
c MAX
de |q(t)|
état du
conden- CHARGÉ CHARGÉ DÉCHARGÉ CHARGÉ CHARGÉ CHARGÉ DÉCHARGÉ CHARGÉ CHARGÉ
sateur
valeur
de
MAX
NULLE
NULLE
c
c MAX c
c MAX
élec(t)
signe de
i=0 i0 i0 i0 i=0 i0 i0 i0 i=0
i(t)
valeur
NULLE
MAX
MAX
c
c NULLE c
c NULLE
de |i(t)|
valeur
de NULLE c
MAX
MAX
c NULLE c
c NULLE
mag(t)
5. élec diminue puis augmente au cours des oscillations.
Cette énergie est cédée à la bobine puis restituée par elle
au condensateur. Il y a échange continuel d’énergie entre
la bobine et le condensateur.
6. Si on introduit un conducteur ohmique dans le circuit,
l’énergie totale (t) = élec(t) + mag(t) du circuit RLC
va diminuer par transfert thermique dans le conducteur
ohmique. Le phénomène responsable de cette évolution
est l’effet Joule.
■ Réfléchir
et appliquer
Travaux pratiques
Commentaires. Il s’agit tout d’abord de réinvestir les
connaissances concernant :
– la période propre des oscillations (étude préalable) ;
– les différents régimes et l’étude de la pseudopériode
(manipulation 1) ;
– les transferts d’énergies (manipulation 2).
Pour compléter l’activité 1 de la partie Découvrir et réfléchir, nous avons choisi d’utiliser, lors cette séance, une
interface d’acquisition de données reliée à un ordinateur. Il est toutefois possible de remplacer celle-ci par
un oscilloscope à mémoire en adaptant les valeurs de
L et C. Pour la manipulation 2, il faudra alors se munir
d’un logiciel permettant le transfert des données vers
l’ordinateur ou utiliser une feuille de calcul déjà préremplie avec des valeurs de uC en fonction du temps.
Compte tenu de la durée des manipulations 1 et 2, la
manipulation 3 est plutôt menée par le professeur. Elle
permet de clôturer le chapitre en montrant l’existence
du dispositif d’entretien des oscillations mentionné ou
pas en cours. S’il n’en a pas été question en cours, le
rôle de ce dispositif d’un point de vue énergétique peut
être traité lors de la séance ou lors du cours suivant.
Réponses aux questions
= 2π 5, 0 × 10–3 × 1, 0 × 10–6 = 4,4 × 10–4 s.
b. 5 T0 = 2,2 ms et 6 T0 = 2,6 ms ; ∆t = 2,5 ms permet
une observation pendant 5 à 6 pseudopériodes.
2. a.
régime
n° 1
n° 2
n° 3
n° 4
pseudopseudopseudoapériodique
périodique périodique périodique
Le régime est pseudopériodique dans le cas n° 2 car uC(t)
passe régulièrement par 0 mais l’amplitude des oscillations
n’est pas constante (le régime n’est donc pas périodique)
mais diminue.
b. Plus R augmente, plus l’amplitude des oscillations
décroît rapidement. L’amortissement est bien d’autant
plus important que R est élevée.
3. a.
uC (V)
b. La résistance non nulle de la bobine nous empêche
d’obtenir un régime périodique.
7. Le dispositif d’entretien fournit continuellement l’énergie dissipée par transfert thermique.
8. Les oscillations entretenues sont périodiques : leur amplitude est constante. Leur forme semble être sinusoïdale.
1. a. T0 = 2π LC
cas
Pour limiter cette diminution d’énergie, il faut diminuer
la résistance du circuit, notamment celle du conducteur
ohmique que l’on peut régler à 0 Ω.
9. T T0 = 4,5 × 10–4 s ; écart relatif : T – T0 = 2 %.
T0
Complément
Mini-TP évalué
Matériel :
– générateur de tension continue 6 V ;
– boîte ×10 ×100 de conducteurs ohmiques ;
– conducteur ohmique de résistance R = 10 Ω ;
– condensateur de capacité C inconnue ;
– bobine d’inductance notée L de 5 mH ;
– interrupteur à deux positions ;
– ordinateur muni d’une interface d’acquisition et d’un
logiciel de traitement de données ;
– multimètre ayant la fonction capacimètre.
Travail à faire
t 0 = 3T
• Réaliser le montage suivant.
T
1 2
i
R
E
uC
C
(L, r)
t (ms)
Pour mesurer T avec précision, on mesure la durée correspondant à plusieurs pseudopériodes (∆t0 = 3T par
∆t
exemple), puis on déduit T par le calcul (T = 0 ).
3
b. Mesures possibles dans les cas n° 1, n° 2 et n° 3.
c. Les écarts obtenus sont voisins de 3 %.
d. Les résultats sont convenables et les écarts sont liés
aux faits que la résistance du circuit n’est pas nulle et
qu’il existe des incertitudes sur L et C et sur la mesure de
∆t0.
4. élec(t) diminue quand mag(t) augmente et inverse-
• Connecter l’interface d’acquisition afin de visualiser l’évolution au cours du temps de la tension uC . Reproduire
le schéma et représenter les branchements réalisés.
• Paramétrer le logiciel d’acquisition en adoptant une durée
totale d’acquisition voisine de quelques millisecondes et un
nombre de points de mesure suffisant. Ne pas modifier le
mode de synchronisation.
• Appeler le professeur, charger le condensateur et réaliser l’acquisition de uC aux cours de la décharge du
condensateur dans la bobine.
• Transférer les résultats vers un logiciel de traitement de
données.
ment. Il y a donc échange continuel d’énergie entre le
condensateur et la bobine.
• Mesurer avec précision la pseudopériode T des oscillations en indiquant la méthode utilisée pour réaliser cette
mesure.
5. (t) diminue au cours du temps.
6. a. L’effet Joule est responsable de cette variation : il y
• En supposant l’amortissement négligeable, déterminer
la valeur de la capacité C du condensateur.
a dissipation d’énergie par transfert thermique du fait de
la résistance du circuit.
• Appeler le professeur et mesurer C à l’aide d’un multimètre. Les deux valeurs de C sont-elles compatibles ?
8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série
51
T ↔ nH = 7, 5 = 2,73 div ;
2,75
T = b × nH = 14 ms.
Grille d’évaluation
APPEL 1
– représentation des branchements
– circuit correct
– branchements corrects de l’interface
Paramétrage correct
– durée de quelques millisecondes
– nombre de points de mesure suffisant
*
**
**
c. q (t) = C uC (t) ; q (t) est proportionnelle à uC (t) avec un
coefficient de proportionnalité positif. Ainsi, l’évolution de
uC(t) correspond à celle de q (t) au facteur C près.
dq
d. i =
= C duC .
dt
dt
2
e. (t) = élec(t) + mag(t) = 1 C u C (t) + 1 L i 2(t).
2
2
d
u
C
Or uC(t0) est maximale,
(t0) = 0 soit i (t0) = 0.
dt
2
Ainsi (t0) = 1 C u C (t0).
2
uC (t0) ↔ nV = 2,8 div avec kVA = 2 V/div ;
uC(t0) = kVA × n V = 2 × 2,8 = 5,6 V.
(t0) = 1 × 10 × 10–6 × (5,6)2 = 1,6 × 10–4 J.
2
6 Corrigé dans le manuel.
*
*
Exploitation
– valeur de T = 4,4 ms
– précision de la mesure : mesure d’une
durée de plusieurs pseudopériodes
*
*
– T = T0 = 2 π LC
T2
– soit C = 2 = 1,0 µF
4π L
*
*
APPEL 2
– utilisation correcte du multimètre
– comparaison à la valeur tirée de
la mesure de T
**
**
■ Exercices
7 Les oscillogrammes a et c correspondent à des
tensions de même période (donc L et C identiques)
mais l’amortissement (donc R) est plus important dans
le cas a .
Exercices d’application
a correspond au couple n° 2, b au couple n° 3 et c
au couple n° 1.
8 a. À t0 = 0 s :
4 a.
2
(t0) = élec(t0) + mag(t0) = 1 C u C (t0) + 1 L i 2(t0)
2
2
= 1 C E 2 + 0 = 1 × 0,10 × 10–6 × (6,0)2
2
2
voie 1
E
L
C
uC
= 1,8 × 10–6 J = 1,8 µJ.
R
b. Voir schéma pour les branchements de l’oscilloscope.
c.
R faible
R élevée
uC (en V)
uC (en V)
E
E
0
0
b. Si mag(t) est maximale, mag(t) = (t0). Alors C (t)
est nulle.
2
c. mag(t) est maximale implique 1 L i max = (t0) soit :
2
imax = 2 (t0 ) .
L
2 × 1, 8 × 10–6
A.N. : imax =
= 4,2 × 10–3 A = 42 mA.
2, 0 × 10–3
9 1. a Vrai.
t (s)
t (s)
–E
2. a Faux.
T
d. Pour R faible, le régime est pseudopériodique.
Pour R élevée, le régime est apériodique.
5 a.
qC
(L, r)
i
voie A
uC
r'
b. 2,75 T ↔ 7,5 div avec b = 5 ms/div ;
52
b Faux.
c Faux :
uC(t0) = E et i (t0) = 0 soit uNM = 0 (courbe 2).
b Vrai.
c Faux :
2
1 = 1 C u C (t0) +
2
= 1 C E2 + 0 =
2
1 L i 2(t )
0
2
1 × 1,0 × 10–6 × (4,0)2 = 8,0 µJ.
2
3. a Faux. b Faux.
c Vrai : 2T = 8,4 ms donc T = 4,2 ms. T est la durée
séparant des passages consécutifs de uC(t) par une valeur
nulle, uC(t) variant dans le même sens.
4. a Faux. b Faux.
c Vrai :
à t1 = 0,7 ms, i (t1) =
uNM (t1)
1,7
4,2 mA.
=
R
4, 0 × 102
5. a Faux.
11 a. 5 T = 12,5 – 2,5 = 10,0 ms soit T = 2,00 ms.
b Vrai.
c Faux :
2
2 = 1 C u C (t1) + 1 L i 2(t1)
2
2
= 1 × 1,0 × 10–6 × (1,7)2 + 1 × 0,40 × (4,2 × 10–3)2
2
2
= 5,0 × 10–6 J = 5,0 µJ.
b. T0 = k LC .
T
.
LC
Si T0 = T alors k LC = T soit k =
A.N. : k =
2,00 × 10–3
1,0 × 10–6 × 100 × 10–3
= 6,3.
c. Les oscillations sont amorties du fait de la dissipation
d’énergie par transfert thermique (effet Joule) dans le
conducteur ohmique de résistance R. L’amplitude des
oscillations décroît en conséquence.
6. a Vrai.
b Faux.
c Faux : 3 = 1 – 2 = 3,0 µJ.
12 Corrigé dans le manuel.
10 1.
i
i
q
uC
C
di1
= 0 lorsque le régime stationnaire
dt
est établi (i1 est constant).
13 1. a. uL(t) = L
L
uL
R
i
K
A
i2
uR
i1
q
D’après la loi d’additivité des tensions :
uC (t) + uL(t) = 0
uL
E
q (t )
d 2q
q(t )
di
= 0 ou
+L
+ L 2 = 0.
C
dt
C
dt
d 2q
1
Ainsi
q (t ) = 0.
+
dt 2 LC
2. a. [T0] = [k ] [C ]α[L]β (1).
L
uC
C
soit
[Q]
dq
. Or i (t ) =
.
[U ]
dt
IT
Ainsi [Q ] = I T et donc [C ] =
(2).
[U ]
[U ] T
di
uL(t) = L
implique [L ] =
(3).
dt
I
q (t) = C uC(t) soit [C ] =
(1), (2) et (3) donnent :
 I T  α  [U ] T  β
[T0] = 1 
 
 = I α–β [U ]β–α T α+β.
 [U ]   I 
Comme [T0] = T, il vient :
α–β=β–α=0
α+β=1
{
soit
{ α2α==β1
1
uBA
uC
C
B
b. D’après la loi d’additivité des tensions :
uBA(t) + uC(t) = 0 soit L di + uC (t) = 0.
dt
d2uC
duC
dq d(C uC )
i=
d’où LC
+ uC (t) = 0
=
=C
dt
dt
dt
dt 2
d2uC
1
soit
+
uC (t) = 0 (1).
LC
dt 2


dq
= – Qm 2π sin  2π t + ϕ  .
dt
T0
 T0

À t0 = 0 s, q (t0) = C uC (t0) et i (t0) = 0 soit :
et
q
L
1
Ainsi α = β = 1 et T0 = k C 2 L 2 = k LC .
2
 2π

b. q (t) = Qn cos  t + ϕ  ;
T
 0

i (t) =
b. uC (t) = uL(t) = 0. Or q(t) = C uC(t) donc q(t) = 0.
dq
i2 =
= 0 car q (t) = cte (q (t) = 0 pour tout t).
dt
c. En régime stationnaire, i1 = I0. Or d’après la loi des
nœuds en A :
i = i1 + i2.
En régime stationnaire, i = I0 + 0 = I0.
D’après la loi d’additivité des tensions : E = uL + uR.
E
En régime stationnaire : E = 0 + R I0 soit I0 = = 0,48 A.
R
2. a.
A
i
Qm cosϕ = C uC (t0) (4)
2π
sin ϕ = 0 (5).
– Qm
T0
(5) donne sinϕ = 0 soit ϕ = 0 ou π.
(4) donne, avec ϕ = 0, Qm = C uC(t0) = 12,0 µC.
REMARQUE : Avec ϕ = π, Qm = – C uC(t0) = – 12,0 µC,
solution non valable car Qm 0 par définition.
c. • Détermination de T0
 2π


2π  2π
uC (t) = Um cos  t + ϕ  ; duC = – Um
sin  t + ϕ  ;
T0
 T0
 dt
 T0

 2


d2uC
= – Um  2π  cos  2π t + ϕ  .
2
dt
 T0 
 T0

8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série
53
(1) donne :
 2π

 2π  2
 2π
 U
– Um   cos  t + ϕ  + m cos  t + ϕ  = 0,
LC
 T0

 T0 
 T0

2

 2π
   2π 
1
soit Um cos  t + ϕ  –   +  = 0 pour tout t.
LC 
 T0
   T0 
 2π

Ainsi, comme Um ≠ 0 et cos  t + ϕ  n’est pas la foncT
 0

 2π  2
1
tion nulle, il faut que –   +
= 0, d’où :
LC
 T0 
2
2
 2π 


2π
du
= – E sin t  soit d u = – 4π E cos  2π t  .
dt
T0
T
dt 2
T02
 T0 
 0 
L’équation différentielle donne alors :
 2π  1
 2π 
4π2
E cos  t  = 0
– 2 E cos  t  +
T0
 T0  LC
 T0 
 2π   4 π 2
1
soit E cos  t  – 2 +  = 0 pour tout t.
LC 
 T0   T0
Le terme en cosinus n’est pas nul pour tout t, E ≠ 0 ; on
4π 2
1
doit donc avoir – 2 +
= 0, ce qui impose :
LC
T0
T0 = 2π LC .
T0 = 2π LC .
• Détermination de Um et ϕ
Conditions initiales :
E
car le sens
R
du courant à t0 = 0 s est de A vers B dans la bobine, donc
opposé au sens positif choisi pour i(t).
à t0 = 0 s, uC(t 0) = 0 et i (t0) = – i1(t0) = – I0 = –
Ainsi Umcos ϕ = 0 (2) et C Um
2π
E
sin ϕ =
(3).
T0
R
(2) donne ϕ = ± π .
2
(3) donne :
2π
E
=
soit Um = – LC E :
– avec ϕ = – π : – C Um
T0
R
2
RC
solution inacceptable, car Um 0 par définition ;
2π
E
– avec ϕ = + π : + C Um
=
soit Um = LC E.
T0
R
2
RC
d. T0 = 2π LC soit T 02 = 4π2 LC. Ainsi L =
A.N. : L = 0,58 H.
T02
.
4π 2 C
14 Corrigé dans le manuel.
15 a. Le régime est pseudopériodique puisque l’amplitude des oscillations décroît. La résistance de la bobine
est faible. Dans le cas contraire, u (t) diminuerait sans
forcément osciller.
b.
i
q
u
C
L
u1
16 a. La grandeur visualisée sur la voie 1 est la tension
uDM(t).
b. L’oscillogramme a correspond à un régime pseudopériodique. uDM(t) effectue des oscillations mais leur
amplitude diminue au cours du temps.
c. L’amortissement des oscillations est dû à la dissipation,
par effet Joule, d’énergie dans le conducteur ohmique de
résistance R, sous forme d’un transfert thermique.
2
d. (t) = élec(t) + mag(t) = 1 C u DM (t) + 1 L i 2(t).
2
2
À t0 = 0 s et t1 = 2T, uDM (t) est maximale.
Avec les orientations choisies :
dq
i(t) =
et q(t) = C uDM(t).
dt
Ainsi i(t) = C duDM .
dt
Si uDM(t) est maximale, i = 0.
i
On a donc :
2
(t0) = 1 C u DM (t0) + 0
2
2
(t1) = 1 C u DM (t1) + 0
2
{
L’énergie dissipée par effet Joule
au cours des deux premières
pseudopériodes est donc :
∆ = (t0) – (t1)
2
2
= 1 C [u DM (t0) – u DM (t1)].
2
K2
L
R
voie 1
D
q
uDM
C
M
k = 2V/div.
uDM(t0) ↔ 2,2 div
uDM(t1) ↔ 1,3 div
{
D’après la loi d’additivité des tensions :
u (t) + u1(t) = 0.
d
i
Ainsi u (t) + L
= 0.
dt
dq dC u
du
=
=C
Or i =
ce qui implique :
dt
dt
dt
2
u (t) + LC d u = 0
dt 2
ou encore :
d2u
1
u (t) = 0.
+
dt 2 LC
 2π 
c. u (t) = E cos  t  donne :
 T0 
54
uDM(t0) = 2 × 2,2 = 4,4 V et uDM(t1) = 2 × 1,3 = 2,6 V.
A.N. :
∆ = 1 × 1,0 × 10–6 × [4,42 – 2,62] = 6,3 × 10–6 J = 6,3 µJ.
2
e. Pour obtenir a , on ferme K1 avec K2 en O pour
charger le condensateur, puis on ouvre K1 et on bascule
K2 en A.
Pour obtenir b , on ferme K1 avec K2 en O, puis on
ouvre K1 et on bascule K2 en B.
f. G apporte continuellement l’énergie nécessaire pour
compenser les pertes par effet Joule.
g. Les oscillations sont périodiques entretenues. L’amplitude des oscillations reste constante.
h. T0 = 2π LC = 4,4 × 10–4 s.
Or 2T ↔ 9 div soit T ↔ n = 4,5 div.
dans le même sens, à intervalles de temps réguliers. Les
oscillations sont donc pseudopériodiques.
En prenant T = T0, on a donc T0 = kn soit k = T0 = 0,1 ms/div.
n
Exercices de synthèse
17 1.a. Voie 1, on visualise uAB(t).
b. Voie 2, on visualise uDB(t).
2.a.
A
2. Graphiquement, 3T = 48 × θ donc :
48 θ
T=
, T = 2,27 ms.
3
1
1
=
3. a. f =
= 441 Hz 440 Hz. La hauteur
T
2, 27 × 10–3
du son est celle du la3.
b. f (la4) = 2f (la3) donc T0(la4) = 1 T0(la3) soit :
2
i
q
uAB
2π LC ’ = 1 × 2π LC et
2
L uL
C
B
D’après la loi d’additivité des tensions :
uAB(t) + uL(t) = 0.
Pour obtenir f’ = 880 Hz, on doit diviser la capacité du
condensateur par 4.
U (t )
c. Um(t3) = (0,77)5 Um(t2) soit m 3 = (0,77)5 = 0,27.
Um (t2 )
Graphiquement :
Um(t3) ↔ 1,7 cm
Um(t2) ↔ 0,45 cm
{
q (t )
dq
di
Soit
= 0. Or i(t) =
.
+L
dt
C
dt
On a donc
q (t )
d2q
d2q
1
q (t ) = 0.
+
+ L 2 = 0 ou
C
dt 2 LC
dt
b. T0 = 2π LC .
Um (t3 ) 0, 45
= 0,26.
=
1,7
Um (t2 )
Les valeurs sont compatibles.
d. 40 ms correspondent à environ 18 pseudopériodes.
Pour t ’ = 18T et t0 = 0 s :
Um (t ’)
= (0,77)18 = 9,1 × 10–3 soit 0,91 %.
Um (t0 )
3.a. T01 = 2π 1, 0 × 4, 0 × 10–6 = 13 ms.
De même, T02 = 6,3 ms et T03 = 13 ms.
b. Sur le graphique a :
4T3 = 50 ms soit Ta = 12,5 ms.
Ainsi
Les graphiques a et b correspondent donc à E1 ou
E3 car Ta = Tb T01 T03.
Toutefois, sur le graphique b , l’amortissement est plus
important que sur le graphique a . b correspond donc
à E3 où R est plus élevée que pour E1 et a correspond
à E1.
Pour c , 4Tc = 25 ms soit Tc = 6,25 ms T02. c correspond à E2.
18 A. 1. T0 = 2π LC .
2. [T0] = [2π] [L]1/2[C]1/2.
[C] =
Um (t ’)
1 %.
Um (t0 )
C. élec(t) =
Sur le graphique b :
Tb = 12,5 ms également.
Or q(t) = C uC(t) et i(t) =
1
C ’ = 1 C ; C’ = C.
4
2
dq
ce qui implique :
dt
[Q]
= I T [U ]–1.
[U ]
1
1 2
2
C u AB (t) et mag(t) =
L i (t) ;
2
2
(t) = élec(t) + mag(t).
a. uAB(t1) 0 V ; élec(t1) 0 J ; 1 est principalement
emmagasinée dans la bobine.
b. uAB(t2) est maximale donc :
du AB
du AB
(t2)= 0 V . s–1 et i (t2) = C
(t2) = 0 A.
dt
dt
Ainsi mag(t2) = 0 J et 2 est emmagasinée dans le
condensateur.
c. (t) diminue au cours du temps (l’amplitude des oscillations décroît donc élec max décroît et (t) décroît). Ceci
est dû à la dissipation sous forme de transfert thermique
par effet Joule à cause de la résistance de la bobine.
19 A. 1. a. 3T = 74 ms ; T = 24,7 ms.
b.
K
i
di
impose [L] = [U ]T I–1.
uL(t) = L
dt
Ainsi :
[T0] = ([U ]T I–1)1/2(I T [U ]–1)1/2 = T [U ]1/2 I–1/2 I1/2 [U ]–1/2.
[T0] = T : T0 a bien la dimension d’une durée et son unité
est la seconde.
i
(L, r)
q
uC
C
3. T0 = 2π 3, 29 × 10–6 × 40 × 10–3
= 2,28 × 10–3 s = 2,28 ms.
q(t) = C uC (t) et i (t) =
B. 1. Les oscillations ne sont pas périodiques puisque leur
amplitude diminue. En revanche, uAB(t) passe par 0,
c. Entre les instants de date tA et tB, |uC (t)| et donc |q(t)|
diminuent : le condensateur se décharge.
duC
dq
, donc i (t) = C
.
dt
dt
8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série
55
duC
(tA)= 0 et i (tA) = 0, ce
dt
que l’on peut vérifier sur la courbe i = f (t).
duC
Entre tA et tB, uC (t) diminue donc
0 soit
dt
i (t) 0. Le courant circule donc en sens inverse de celui
indiqué sur le schéma entre tA et tB.
2. a. 2(t) = 1 L i 2(t). Or à t0 = 0 s, i (t0) = 0 A, donc
2
2(t0) = 0 J.
La courbe 2 est celle de 2(t). La courbe 1 est celle de
1(t) et la courbe 3, celle de (t).
b. (t) diminue du fait de la dissipation par transfert
thermique (effet Joule) à cause de la résistance interne
de la bobine.
d. uC(tA) est maximale donc
B.1. T0 = 2π LC = 2π 1, 0 × 15 × 10–6 = 24 ms.
 2π

2
2
2. a. 1(t) = 1 C u C (t) = 1 C U m sin2  t + ϕ  .
 T0

2
2
1
2
2(t) = L i (t)
2
 2π 
 2π

duC
avec i(t) = C
= C Um   cos t + ϕ  .
T
T




dt
0
0
2
 2π

2  2π 
Ainsi 2(t) = 1 L C 2U m   cos2  t + ϕ  .
2
 T0 
 T0

 2π
 1 2
 2π

2
cos2  t + ϕ  .
= 1 C U m sin2  t + ϕ  + CUm
2
T
T
2
 0

 0

2
1
2
2
Avec cos α + sin α = 1, on aboutit à (t) =
CUm .
2
Um étant une constante, (t) est constant.
Pour aller plus loin
20 1. a.
d2u
= 0.
dt 2
 2π  2
 2π

mag(t) = 1 L C 2 E 2   sin2  t + ϕ  .
 T0 
 T0

2
Ainsi avec T0 = 2π LC , on aboutit à :
 2π

 2π

(t) = 1 C E 2 cos2  t + ϕ  + 1 C E 2 sin2  t + ϕ 
T
T
 0

 0

2
2

 2π

 2π

1
C E 2 cos2  t + ϕ  + sin2  t + ϕ 
2
T
T





0
0
1
=
C E 2.
2
C et E sont des constantes donc (t) est constante.
(t) =
2. a. Si r est non nulle, (1) donne u(t) + L
di
+ r i(t) = 0.
dt
du
d2u
+ LC 2 = 0 (2).
dt
dt
2
b. (t) = 1 C u (t) + 1 L i 2(t). Or (f 2)’ = 2 f f ’, donc :
2
2



d
du
di 
= C u (t ) ×
+ L i (t ) × 




dt
dt
dt 
2 



= C u (t ) × du  + L C du × C d u 

 dt
dt 
dt 2 
2 

= C du u (t ) + LC d u2  .
dt 
dt 
i
d2u
du
=–rC
, donc :
dt
dt 2
 du  2
d
du 
du 
=C
× – r C
= – r C
 = – r i 2 (t ) .

dt
dt 
dt 
 dt 
Or d’après (2), u(t) + LC
q
C
uL
D’après la loi d’additivité des tensions :
u(t) + uL(t) = 0 (1) avec q = Cu(t)
dq
di
du
soit u(t) + L = 0 avec i(t) =
=C
.
dt
dt
dt
56
u(t) + LC
b. (t) = élec(t) + mag(t).
 2π

2
• élec(t) = 1 C u (t) = 1 C E 2 cos2  t + ϕ  .
 T0

2
2
1
2
• mag(t) =
L i (t)
2

2π  2π
du
sin t + ϕ  .
avec i (t) = C
=–CE
T0
dt
 T0

Ainsi u(t) + r C
b. (t) = 1(t) + 2(t)
u
Donc :
d
est bien négative, ce qui traduit que (t) diminue.
dt
La diminution de (t) par unité de temps correspond à
la puissance dissipée par effet Joule à travers la résistance
de la bobine.