fuji z1

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fuji z1

UniGe, 11 février 2014
Physique mathématique
Problèmes asymptotiques
&
combinatoire des surfaces
Gaëtan Borot
Max-Planck Institute, Bonn
MIT
Domaines de recherche
Gravité quantique 2d
Théorie topologique des cordes
Théorie de Chern-Simons
Invariants de nœuds
GÉOMÉTRIE
TOPOLOGIE 3D
ÉNUMÉRATIVE
Combinatoire
Géométrie algébrique
MATRICES
Structures algébriques
ALÉATOIRES
Lois universelles
de v.a. corrélees
Probabilités
PHYSIQUE
STATISTIQUE
SYSTÈMES
INTÉGRABLES
Toda, KdV, KP, ...
Polynômes orthogonaux
Plan
4. Gravité quantique 2d
3. Invariants de nœuds
GÉOMÉTRIE
TOPOLOGIE 3D
ÉNUMÉRATIVE
Combinatoire
1. MATRICES
ALÉATOIRES
Lois universelles
de v.a. corrélees
2. Récurrence
topologique
Probabilités
PHYSIQUE
STATISTIQUE
SYSTÈMES
INTÉGRABLES
Toda, KdV, KP, ...
I
GRANDES MATRICES ALÉATOIRES
1. Introduction
I - Grandes matrices aléatoires
■ Une motivation physique :
modéliser les niveaux d’énergie des noyaux atomiques lourds
interactions compliquées
Wigner ∼1950
interactions typiques parmi
une famille d’interactions aléatoires
H matrice hermitienne aléatoire, de taille N × N
valeurs propres E1 , . . . , EN aléatoires
fortement corrélees
1. Introduction
Un exemple simple
On choisit les entrées de H suivant la densité de probabilité
∝
N
��
i=1
dHi,i
�
�
�
d(Re Hi,j ) d(Im Hi,j ) exp N Tr V (H)
i<j
la loi jointe des valeurs propres est
N
�
�
�
�
�
�
�
1
2
N V (Ei )
dEi
|Ei − Ej | exp
ZN i=1
i<j
i
�
1. Introduction
Généralisation : les ensembles β > 0
N
�
�
�
��
�
�
1
N β V (Ei )
dEi
|Ei − Ej |β exp
ZN i=1
i<j
i
N particules se repoussant, piegées dans un potentiel V ,
à temperature 1/β
Questions : lorsque N →∞
■ Variables aléatoires
�N
i=1
f (Ei ), max Ei ?
i
■ Asymptotique de ZN ? de E[f (λ1 , . . . , λN )] ?
2. La limite de grande taille
Spectre quand N → ∞
(Mhaskar, Saff, Totik, ...)
Il existe une mesure de proba déterministe
∀f ∈
Cb0
1
N
�N
i=1
f (Ei ) −→
V (E)
�
telle que
f (x)dµeq (x)
V (E)
E
k = 1 segment
E
k > 1 segments
3. Les corrections de taille finie
“Théorème central limite”
pour la v.a. “fluctuation” LN [f ] =
��
N
i=1
f (Ei ) − N
�
f (x)dµeq (x)
gaussienne
gaussienne + interférences
Johansson ‘98
Borot, Guionnet ’13
# segments
On prouve en fait :
�
E e
isLN [f ]
�
�
�
∼ E e
N →∞
is(k[f ] G1 +m[f ])
G1 , G2 v.a. gaussiennes i.i.d
� � isu[f ] G2 �
�
� G2 + N �eq ∈ Z
E e
3. Les corrections de taille finie
Développement asymptotique de la fonction de partition
LN [f ]
gaussienne
gaussienne + interférences
Johansson ‘98
Borot, Guionnet ’13
# segments
Fk fonction de (N �eq mod Z)
Fk = cte
β = 2 :
Albeverio, Pastur, Shcherbina ’01
Conjecture : Eynard ’07
Preuve : Borot, Guionnet, ’13
β > 0 : Borot, Guionnet ’11
ZN =
�
N
�
RN i=1
dEi
�
i<j
|Ei − Ej |β exp
ln(ZN ) = (β/2)N ln(N ) + γ ln(N ) +
�
��
i
N β V (Ei )
�
−∞
−k
+O(N
)
N
F
k
k≥−2
4. Fluctuations du maximum
■ En général : les statistiques locales des valeurs propres sont universelles
■ Exemple : ∃c > 0
�
lim PN max Ei ≤ a + c sN
N →∞
i
−2/3
�
= TWβ (s)
lorsque dµeq ∝ (a − E)1/2 dE (cas générique)
E→a
● Existence et caractérisation
β ∈ {1,2,4} : Tracy-Widom ’93 β > 0 : Rider, Ramìrez, Virág ’06
● Universalité : Yau et al. ’13, Bekerman, Figalli, Guionnet ’13
loi de Tracy-Widom β
··· EE
4 3
E
a
zoom à
−2/3
N
l’échelle
E2
E1 = max Ei
i
E
Densité de probabilité de TWβ
β 1=(s)
1
−∂s TW
−∂s TW
β =2 (s)
2
2/3
−2−2/3 ∂s TW4 (2
β = s)
4
tracé par
J.M. Stéphan
s → −∞
s → +∞
Prédiction des développements asymptotiques
Borot, Eynard, Majumdar, Nadal ’11
Borot, Nadal ’12
Développement asymptotique de TWβ quand s → -∞
■ Universalité : calcul pour V (x) = x2 /2 suffit
■ Si σ < 0 , alors
�
�
Z([−∞, a + σ])
P max Ei ≤ a + σ =
i
Z(R)
� 2
�
−1
γ�
= N exp N F−2 (σ) + N F−1 (σ) + F0 (σ) + N F−1 (σ) + · · ·
si on pose
σ = N −2/3 s
β|s|3
− 24
(β−2)
√ |s|3/2
2 3
β
2
+
2
β −8
−25/3
ln(2
|s|)
3
ln(π/2)
+ 2 + ζ2� (0; β2 )
βP3 (2/β)
√ |s|−3/2
192 2
Développement asymptotique de TWβ quand s → -∞
■ On l’interprète comme une prédiction :
TWβ (s) =
�π
2
e
2
ζ2� (0; β
)
�
exp −
β|s|3
24
+
(β−2)
√ |s|3/2
3 2
■ β = 2 (modèle hermitien)
constante établie par Deift, Its, Krasovsky ’08
preuve de l’accord à tous les ordres Borot, Eynard ’11
constante établie par Baik, Buckingham, di Franco ’08
■ β > 0 : nouveau
+
β
2
+
2
β −3
8
3 (2/β)
√ |s|−3/2 + o(|s|−3/2 )
+ βP192
2
En accord avec tous les résultats rigoureux connus :
■ β ∈ {1, 4}
échange de limites
�
ln(2−25/3 |s|)
5. Techniques
Pour établir des asymptotiques :
N
k
�
�
2−r �
�
�
�
1
N
dEi
|Ei − Ej |β exp
Vr (Ei1 , . . . , Eir )
ZN i=1
r!
r=1
i<j
i ,...,i
1
V symétrique, analytique,
r
loin d’une transition et à support compact
k = 1 : Borot, Guionnet ’13 ; k ≥ 2 : Borot, Guionnet, Kozlowski ’13
1 ■ Estimées de grandes déviations de (E1 , . . . , EN ) par rapport à
2 ■ Analyse des équations de Schwinger-Dyson
E
��
f (Ei ) ∂i ϕ(E1 , . . . , EN ) + f � (Ei )ϕ(E1 , . . . , EN )
i
k
� � f (E ) − f (E ) �
�
�
�
N 2−r
i
j
+ β
+
f (Ei ) (∂1 Vr )(Ei , Ei2 , . . . , Eir ) ϕ(E1 , . . . , EN ) = 0
E
−
E
(r
−
1)!
i
j
r=1
i<j
i,i ,...,i
2
r
amélioration des estimées par induction
calcul récursif du dév. asympt. de E[ϕ(E1 , . . . , EN )]
II
RÉCURRENCES TOPOLOGIQUES
II - Récurrences topologiques
Intérêt de ces développements asymptotiques ?
Les coefficients ...
■ énumèrent des cartes
Brézin, Itzykson, Parisi, Zuber ’78, ...
et dans un cadre plus général :
■ s’expriment comme intégrales sur Mg,n
Kontsevich ’91, Eynard ’07-’11, ...
■ calculent des invariants de Gromov-Witten
(théorie topologique des cordes)
Bouchard, Klemm, Mariño, Pasquetti, ’07
Eynard, Orantin ’12, ...
■ calculent des asymptotiques d’invariants de nœuds
(théorie de Chern-Simons 3d, intégrale de Kontsevich)
Dijkgraaf, Fuji, Manabe ’09, Borot, Eynard, ’12 ...
Brini, Eynard, Mariño ’12, ...
1. Motivations
Intérêt de ces développements asymptotiques ?
Les coefficients ...
■ énumèrent des cartes
Brézin, Itzykson, Parisi, Zuber ’78, ...
et dans un cadre plus général :
■ s’expriment comme intégrales sur Mg,n
Kontsevich ’91, Eynard ’07-’11, ...
■ calculent des invariants de Gromov-Witten
(théorie topologique des cordes)
Bouchard, Klemm, Marino, Pasquetti, ’07
Eynard, Orantin ’12, ...
■ calculent des asymptotiques d’invariants de nœuds
(théorie de Chern-Simons 3d, intégrale de Kontsevich)
Dijkgraaf, Fuji, Manabe ’09, Borot, Eynard, ’12 ...
Brini, Eynard, Mariño ’12, ...
1. Motivations
2. Axiomatique
Cadre plus général : “récurrence topologique”
Conditions initiales
... supplémentaires
x(z), W0,1 (z), W0,2 (z1 , z2 )
z2
φg,n (z1 , . . . , zn )
opérateur de récurrence
z1
g
zn
ι(z)
Res K(z0 , z)
z0
dx(z)=0
z
Eynard, Orantin ’07
Borot ’13
z2
on définit pour 2g − 2 + n > 0 :
par la formule inductive
g
Wg,n (z1 , . . . , zn ) = z1
zn
zj , j ∈ J
z2
=
z1
g
zn
+
z1
ι(z)
z
h
z2
+
g−1
zn
�
J,h
disques
exclus
z1
ι(z)
z
g−h
zj , j ∈
/J
2. Axiomatique
Nombreuses propriétés ...
■ Variation infinitésimale des conditions initiales
■ Invariance symplectique
Eynard, Orantin ’07
�
�
) tel que dx ∧ dW0,1 = dx� ∧ dW0,1
si (x, W0,1 ) −→ (x� , W0,1
alors [Wg,n (z1 , . . . , zn )dx(z1 ) ⊗ · · · ⊗ dx(zn )] est inchangée
■ Wg,n (z1 , . . . , zn )
Eynard ’07, ’11
intégrales de classes tautologiques dans Mg,n
■ ... et avec les données initiales supplémentaires ?
projet en cours avec Shadrin
3. Lien avec les matrices aléatoires
N
k
�
�
�
�
�
�
1
1
2
Considérons β = 2 :
dEi
|Ei − Ej |β exp
Vr (Ei1 , . . . , Eir )
ZN i=1
r! i ,...,i
r=1
i<j
1
r
Si il y a un développement en 1/N , alors
N
�
i1 ,...,in =1
�
E f1 (Ei1 ) · · · fn (Ein )
�
c
=
�
g≥0
N 2−2g−n
�
Wg,n (z1 , . . . , zn )
� f (zi )dx(zi )
i
2iπ
récurrence
topologique
Conditions
initiales
... suppl.
si k ≥ 3
x(z) et W0,1 (z)
W0,2 (z1 , z2 )
φg,n �= 0
covariance à N = ∞
se calculent par induction
k = 1
Eynard ’05
k = 2
Borot, Eynard, Orantin ’13
k ≥ 3
Borot ’13
4. Lien avec la combinatoire des surfaces
Considérons
�
E e
−N Tr
H2
2t
{
H = N × N hermitienne
dH exp
��
N
2−2h−r
r!
r≥1 �1 ,...,�r ≥1
h≥0
m1
Tr H · · · TrH
� −N Tr H 2 �
2t
E e
mn
� � N �2−2g−n �
=
t
g≥0
�
�
c
{
th;�1 ,...,�r
�1 · · · �r
r
�
i=1
Tr H �1 · · · Tr H �r
�
définit une série formelle en t, th;�1 ,...,�r
carte de genre g à
poids
t
th;�1 ,...,�r
t0;5,6
t
t0;3
bords, de longueurs m1 , . . . , mn
par sommet
par face de genre h
à r bords de longueur �1 , . . . , �r
Exemple
g = 0, n = 1
m1 = 15
{
4. Lien avec la combinatoire des surfaces
Conséquence : il suffit d’énumérer les cartes planaires.
Énumération
des disques
des cylindres
x(z)
W0,1 (z)
W0,2 (z1 , z2 )
si on autorise
face �= disque ou cylindre
φg,n �= 0
se calculent par induction
récurrence
topologique
Énumération des cartes
de genre g à bords
■ Il existe une preuve
purement combinatoire
loc. cit.
■ Quelques modèles explicitement résolus :
cartes usuelles (faces = disques)
cartes usuelles + Ising, + Potts, + boucles auto-évitantes, ...
Kazakov, Kostov, ...
III
ASYMPTOTIQUES
D’INVARIANTS DE NŒUDS
III - Asymptotiques d’invariants de nœuds
1. Introduction
3
K
⊆
M
■ Un nœud
est une classe d’isotopie
de plongements propres S1 �→ M 3
■ Dans M 3 = S3 :
Voisinage tubulaire
Projection 2d
Exemple
nœud trivial
1
1
2
2
nœud de trèfle
1
1
2
2
3
3
nœud de 8
1. Introduction
Pour étudier les nœuds K ⊆ M 3
■ calcul d’invariants de nœuds (algèbre, combinatoire, ...)
Exemple : HOMFLY coloré
pour tout G groupe de Lie compact et R rep. irréductible
G
HR
(K; q) ∈ Z[q, q −1 ] ou Q[[� = ln(q)]]
■ étude des espaces de module associés à MK = M 3 \ K
y
(géométrie algébrique, symplectique, ...)
Exemple : variété des caractères SL2 (C)
�
ρ|π1 (∂MK ) ,
�
ρ ∈ Hom(π1 (MK ), SL2 (C))
× 2
� (x, y) ∈ (C ) ,
�
AK (x, y) = 0
Cooper, Culler, Gillet, Long, Shalen ’94
�
x
2. Régimes asymptotiques
G
Invariants de nœuds : HOMFLY coloré HR
(K; q = e� )
�→0
Fixé
Définition
G = SU(N )
N →∞
···
(n − 1) boites
n→∞
N � = t et rep. R
n� = u et G = SU(2)
via l’intégrale de Kontsevich
polynôme de Jones coloré
∈ Q[[�]][[t]]
dualités avec théorie
topologique des cordes
Motivations
R=
Witten, Mariño, Vafa, ...
ppt analytiques
des séries formelles ?
∈ Z[q, q −1 ]
conjectures du volume
Kashaev, Murakami ’98 ; Gukov ’03
conjectures d’arithméticité,
de modularité, Zagier
lien avec géometrie de AK (x, y) = 0
3. Grand groupe
G = SU(N ) N → ∞ � → 0
N � = t fixé
R fixé
■ Intégrale de Kontsevich = série génératrice de graphes de Feynman � cartes
�
■ Connue dans de rares cas
récurrence topologique
Bar-Natan, Mariño, ...
■ Nœud torique KP,Q ⊂ S3
Prédiction : Brini, Eynard, Mariño ’12
Preuve : Borot, Eynard, Orantin ’13
Données initiales
W0,1 (z) = −z
x(z) = e
1−e−t z
1−z
W0,2 (z1 , z2 ) = ∂z1 ∂z2 ln
=⇒
invariants
KP,Q
de KPeP
Nœud de trèfle = K2,3
www. mathcurve.com
�
t(P +Q)
2P Q
�
�
−1/Q 1−e−t z 1/P
z
1−z
z1 −z2
P
x (z1 )−xP (z2 )
�
Gromov-Witten de
O(−1) ⊕ O(−1) → P1
polarisation dépendant de (P, Q)
4. Grandes représentations
G = SU(2)
u = n� fixé
R=
···
Polynôme de Jones coloré, pour K ⊂ S3
±1
�
∈
Z[q
]
Jn (K; q = e )
(n − 1) boites
n→∞
■ Jn est q-holonome :
d
�
ak (K; q, q n )Jn+k (K; q) = 0 (�)
Garoufalidis, Lê ’06
k=0
■ Conjecture du volume :
Kashaev ; Murakami ’98
Jn (K; q = e
2iπ
n
)∼n
δ/2
exp
��
k≥−1
avec Im(v−1 (K)) = Vol(S3 \ K)
� 2iπ �k
n
vk (K)
�
■ Conjectures pour calculer à partir de la récurrence topologique Borot, Eynard, ’12
��
�
k
vk (K) et une solution formelle ψ� (K; u) = exp
k≥−1 � vk (K; u) de (�)
Données initiales
AK (x, W0,1 ) = 0
W0,2 = dz1 dz2 Green(z1 , z2 )
+ fonctions thêta
Vérifié jusqu’à o(�3 ) pour
contre la prédiction de
Dimofte, Gukov, Lenells, Zagier, 09
IV
Une question de
GRAVITÉ QUANTIQUE 2D
1. Introduction
IV - Gravité quantique 2d
Vaste question : comprendre la géométrie des grands objets 2d aléatoires
2 approches
objets aléatoires discrets :
cartes aléatoires et leur limite E[#sommet] → ∞
Question 0 : énumérer !
objets aléatoires continus :
théorie de Liouville ⊗ théorie conforme,
SLE, CLE, ...
Le modèle O(n) : triangulations + boucles auto-évitantes
■ poids n par boucle,
■ classes d’universalité dépendant de n ∈ [−2, 2]
■ énumération bien comprise
Kostov, Eynard, Kristjansen 90‘s
Borot, Bouttier, Guitter ’12
??
2. Modele O(n)
■ Dans les cartes planaires, ∃ notion d’emboitement :
=
configuration
du modèle
� disque
couronne
tamis
mise en évidence dans l’énumération
■ Conséquence de
tamis
Le Gall, Miermont ’09
nouvelle
configuration
du modèle
� disque
Borot, Bouttier, Guitter ’12
: convergence d’espaces métriques
arbres stables
de dimension 1 + 8/κ
n = 2 cos π(1 − 4/κ) ∈]0, 2[
κ ∈]4, 8[
3. Statistique des profondeurs
Modèle discret
O(n)
4
P = profondeur d’un sommet
JASON MILLER, SAMUEL S.WATSON, AND DAVID B.WILSON
pris au hasard
travail en cours
■ On sait calculer E[sP ] en étudiant la combinatoire des emboitements
■ Dans la limite continue E[#sommet] → ∞
(κ/4) ln E[#sommet]
P ∼ P0 =
π tan π(1 − 4/κ)
ressemble à ...
P − P0
1/2
P0
(a) CLE3 (from critical Ising model)
(b) CLE4 (from the FK model with q = 4) �
n = 2 cos π(1 − 4/κ) ∈]0, 2[
κ ∈]4, 8[
B(z; ε)
Modèle continu CLEκ
■ Presque sûrement :
N (0, 1)
∼
sin π(1 − 4/κ)
Schramm, Sheffield, Wilson ’09
(κ/4
(κ/4 −
− 1)
1) ln(1/ε)
ln(1/ε)
# boucles séparant B(z; ε) du bord ∼
ε→0 πtan
π tanπ(1
π(1−
−4/κ)
4/κ)
(c) CLE16/3 (from the FK model with q = 2)
(d) CLE6 (from
critical bond
percolation)
�
d’après
Miller
et al.
(κ = 6)
Vue d’ensemble
4. Gravité quantique 2d
3. Invariants de nœuds
GÉOMÉTRIE
TOPOLOGIE 3D
ÉNUMÉRATIVE
Combinatoire
1. MATRICES
ALÉATOIRES
Lois universelles
de v.a. corrélees
2. Récurrence
topologique
Probabilités
PHYSIQUE
STATISTIQUE
SYSTÈMES
INTÉGRABLES
Toda, KdV, KP, ...
Quelques références
Asymptotiques des modèles de matrice
- avec A. Guionnet Commun. Math. Phys. 317 2 (2013)
- avec A. Guionnet math-ph/1303.1045
- avec A. Guionnet, K. K. Kozlowski math-ph/1312.6664
Tracy-Widom β
- avec B. Eynard, S.N. Majumdar, C. Nadal J. Stat. Mech. P11024 (2011)
- avec C. Nadal Random matrices : Theory Appl. (2012)
Récurrence topologique : théorie et applications
- avec B. Eynard, N. Orantin
math-ph/1303.5808
- math-ph/1307.4957
Théorie des nœuds
Jones : - avec B. Eynard à paraitre dans Quantum Topology (2014)
HOMFLY Seifert : - avec B. Eynard en préparation
Kauffman : - avec B. Eynard, A. Grassi, M. Mariño en préparation
Modèle O(n) : énumération
- avec B. Eynard J. Stat. Mech P01010 (2011)
- avec J. Bouttier, E. Guitter J. Phys. A : Math. Theor. 45 045002 (2012)
- avec J. Bouttier, E. Guitter J. Phys. A : Math. Theor. 45 275206 (2012)

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