Théorie de Pólya pour des ensembles orbiquotients

Transcription

Séminaire d’algèbre de l’Université de Sherbrooke
Théorie de Pólya pour des ensembles
orbiquotients
Héctor José Blandin Noguera
En colaboration avec Rafael G. Dı́az Camacho
Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia.
Université de Sherbrooke
29 février 2016
En colaborationUdeS
avec Rafael G. Dı́az Camacho Universid
1
Introduction
Le contexte de ce travail sont les actions de groupes sur des ensembles
pondérés. La Théorie de Pólya nous permet de calculer la cardinalité
pondérée de l’ensemble d’orbites de ces actions. Deux résultats principaux
de cette théorie sont le Théorème de Cauchy-Frobenius (Alias Lemme de
Burnside) et le Théorème de Pólya-Redfield classique. L’outil pour établir
ce théorème est le polynôme indicateur de cycles de l’action d’un groupe
fini G sur un ensemble fini Y . Dans ce travail on obtient une généralisation
de la Théorie de Pólya au contexte des ensembles orbiquotients. Pour ce
faire on remplace la notion d’ensemble orbites usuelle par la notion
d’ensemble orbi-quotient. Dans ce cas, l’outil principal pour généraliser le
Théorème de Pólya est le polynôme indicateur d’orbi-cycles de l’action G
sur Y . Finalement, on discute comment continuer cette étude pour avoir
un Théorème de Bruijn pour des ensembles orbi-quotients.
En colaborationUdeS
2
Notions préliminaires
Partout dans cette présentation on notera par G un groupe fini et A un
anneau commutatif unitaire. Plus présicement on travaille avec deux
catégories, la première est la catégorie Ens/A des ensembles pondérés sur
l’anneau A. La deuxième est la catégorie ActGrp des actions de groupe
sur des ensembles pondérés. On décrit la catégorie Ens/A dont les objets
sont de couples (X , ω) où X est un ensemble fini et ω : X −→ A est une
fonction arbitraire.
Ob (Ens/A) = {(X , ω) : ω : X −→ A}
Les morphismes f : entre deux objets (X , ω) et (Y , η) sont toutes les
applications f : X −→ Y qui rendrent commutatif le diagramme:
/Y
f
X
ω

η
A
En colaborationUdeS
3
La composition de morphismes dans Ens/A est la composition usuelle
d’applications. Supposons que les deux cotés du diagramme suivant
commutent:
g
f
/Y
/Z
X
ω
η
& x
γ
A
alors, le diagramme suivant commute:
g ◦f
X
ω
&
A
x
/Z
γ
En colaborationUdeS
4
Le poids d’un ensemble
Soit (X , ω) ∈ Ob(Ens/A). On appele le poids de X à la fonction ω. Si X
est fini la cardinalité pondéré de X est la somme suivante:
X
|X |ω =
ω(x).
x∈X
Si X est infini et la somme
dans A.
P
x∈X
ω(x) existe, on dit que X est sommable
En colaborationUdeS
5
Action d’un groupe sur un ensemble pondéré
Si X est un ensemble, on note par S[X ] le groupe des fonctions bijectives
de X vers X avec la composition. On dit qu’un groupe G agit sur
l’ensemble X s’il existe un homomorphisme de groupes ϕ : G −→ S[X ].
Pour simplifier la notation on écrira:
g · x := ϕ(g )(x).
Soit (X , ω) ∈ Ob (Ens/A). On dit que G sgit sur (X , ω) s’il existe un
homomorphisme de groupes ϕ : G −→ S[X ] qui est compatible avec le
poids, c’est-à-dire,
ω(g · x) = ω(x), ∀g ∈ G , ∀x ∈ X .
En colaborationUdeS
6
La catégorie des actions de groupes
Les objets de la catégorie GrpAct sont des triplets (G , X , ω, ϕ) où X est
un ensemble, G est un groupe et ϕ : G −→ S[Y ] est un homomorphisme
de groupes. Étant donnés deux objets (G , X , ω, ϕ) et (H, Y , η, ψ) les
morphismes entre eux sont tous les couples (α, f ) tels que:
1
f : (X , ω) −→ (Y , η) est un morphisme dans Ens/A.
2
α : G −→ H est un homomorphisme de groupes.
3
Le couple (α, f ) est compatible avec les actions, c’est-à-dire, pour
tout g ∈ G et tout x ∈ X on a:
f (ϕ(g )(x)) = ψ(α(g )) (f (x)) .
ou avec la convention f (g · x) = α(g ) · f (x).
En colaborationUdeS
7
L’ensemble d’orbites d’une action
Si G agit sur X , on a une relation d’équivalence sur X associée à cette
action, à savoir:
x1 ∼ x2
⇐⇒
∃ g ∈ G tel que x2 = g · x1 .
L’ensemble quotient de la relation ∼ est noté par X /G . Les classes
d’équivalence sont appelées les orbites. On utilise la notation suivante:
O(x) := {g · x : g ∈ G }.
Observons que si X est pondéré par le poids ω : X −→ A et G agit sur
(X , ω), alors l’ensemble d’orbites de X modulo G est pondéré par le poids
ω : X /G −→ A doné par:
ω(O(x)) = ω(x).
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L’ensemble des points fixes d’une action
Soit S ⊆ G on note l’ensemble des points fixes de S dans X par:
X S := {x ∈ X : g · x = x, ∀ g ∈ S}.
En particulier, si S a un seul élément g ∈ G on écrit:
X g := {x ∈ X : g · x = x}.
On utilise la notation suivante pour le centralisateur de g dans G :
Z (g ) := {h ∈ G : hg = gh}.
Notons par hg1 , . . . , gk i le sous-groupe de G engendré par g1 , . . . , gk ∈ G .
En colaborationUdeS
9
Théorème de Cauchy-Frobenius
Proposition
Si un groupe fini G agit sur un ensemble A-pondéré (X , ω) fini ou
soumable alors
X
X /G = 1
|X g |ω .
ω
|G | g ∈G
En colaborationUdeS
10
Polynôme indicateur de cycles
Définition
Soit X un ensemble de cardinalité n. Supposons le groupe G agit sur X .
Le polynôme indicateur de cycles de l’action de G sur X est donné par:
cn ϕ(g )
1 X c1 ϕ(g ) c2 ϕ(g )
.
x2
· · · xn
x1
PG :X (x1 , x2 , . . . , xn ) =
|G |
g ∈G
où ck ϕ(g ) est le nombre de cycles de longueur k de la permutation
ϕ(g ) associée à l’élément g .
En colaborationUdeS
11
Exemples
Les groupes Zn et Sn agissent sur [n] := {1, 2, . . . , n}. Les polynômes
indicateurs de cycles sont
PZn :[n] (x1 , . . . , xn ) =
n
1X
φ(d)xdd ,
n
d|n
où φ(n) est la fonction indicatrice de Euler. Pour le groupe symétrique
Sn le polynôme indicateur de cycles es le suivant:
PSn :[n] (x1 , . . . , xn ) =
X
α1 +2α2 +···+nαn =n
y1α1 y2α2 · · · ynαn
.
α1 !2α2 α2 ! · · · nαn αn !
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12
L’action de Pólya
Soient X et Y deux ensembles. Si G agit sur X , alors G agit sur
l’ensemble Y X des applications de X vers Y au moyen de l’action de
Pólya. Cette action associe à chaque application f : X −→ Y une nouvelle
application g · f définie par:
(g · f )(x) := f (g −1 · x).
Encore, si Y est pondéré par le poid ω alors Y X est pondéré par la formule:
Y
ω̃(f ) :=
ω(f (x)).
x∈X
cette pondération est compatible avec l’action de Pólya.
En colaborationUdeS
13
Théorème de Pólya-Redfield
Proposition
Soient X et Y deux ensembles finis. Supposons que |X | = n et
(Y , ω) ∈ Ob(Ens/A). Si G est un groupe fini qui agit sur l’ensemble
pondéré X alors
X Y /G = PG :X (|Y |ω , |Y |ω2 , . . . , |Y |ωn )
η
= PG :X (x1 , x2 , . . . , xn )
.
xk =|Y |ωk
où ω k (x) := ω(x)k et η(O(f )) = ω̃(f ).
En colaborationUdeS
14
Théorème 1 (N. G. de Bruijn)
Proposition (de Bruijn)
Soit G un groupe fini agissant sur l’ensemble X de cardinalité n. Soit Y
un ensemble fini et h0 une permutation fixée de Y . Supposons que
(Y , ω) ∈ Ob(Ens/A). Alors
X h0
Y
G = PG :X (p1 , p2 . . . , pn ) .
η
où
pk =
X
ω(y )ω(h0 y ) · · · ω(h0k−1 y ),
{y ∈Y : h0k y =y }
et η est le poids induit par ω sur Y X /G .
En colaborationUdeS
15
Une action du produit directe G × H sur Y X
Si G agit sur X et H agit sur Y alors le produit direct
G × H agit sur Y X . Si f ∈ Y X alors on a une nouvelle
fonction (g , h) · f définie par:
((g , h) · f )(x) := h · f (g −1 · x).
En colaborationUdeS
16
Théorème 2 (N. G. de Bruijn)
Proposition (de Bruijn)
Soient G et H deux groupes finis tels que G agit sur X et H agit sur Y .
Supposons que |X | = n. Soit Y un ensemble fini et h0 une permutation
fixée de Y . Supposons que (Y , ω) ∈ Ob(Ens/A). Alors
X
1 X
Y
G × H =
PG :X (p1 , p2 . . . , pn ) .
|H|
η
h∈H
où
pk (h) :=
X
ω(y )ω(hy ) · · · ω(hk−1 y ),
{y ∈Y : hk y =y }
et η est le poids induit par ω sur Y X /G .
En colaborationUdeS
17
L’ensemble inertial
Soit G un groupe qui agit sur X .
Définition (Inertial set)
L’ensemble inertial de l’action est le suivant:
I (G , X ) = {(g , x) ∈ G × X : g · x = x}.
Proposition (Classique, Frobenius)
L’action de G sur X induit une action de G sur l’ensemble inertial, à
savoir:
h · (g , x) := (hgh−1 , h · x).
En colaborationUdeS
18
Orbiquotients
Pour chaque g ∈ G l’action de G sur X induit une action de Z (g ) sur X g .
Donc, on peut parler de X g /Z (g ) pour tout g ∈ G . On note par C (G )
l’ensemble de classes de conjugaison de G .
Définition (Ensemble orbiquotient)
Si G agit sur l’ensemble X alors l’ensemble orbi-quotient de cette action
est donné par la réunion disjointe suivante:
G
X g /Z (g ).
X / orb G =
g ∈C (G )
où la réunion est prise sur un ensemble de représentants des classes de
conjugaison. Cet ensemble est bien défini à bijection près.
En colaborationUdeS
19
Remarque
Supposons que h et g sont conjugées dans G . Alors si h = kgk −1
alors l’application F : X g −→ X h telle que F (x) = k · x induit une
bijection
F :X g /Z (g ) −→ X h /Z (h)
O(x) 7−→ O(k · x).
On introduit la notation
P(G ) := {(g , h) | g ∈ C (G ), h ∈ Z (g )}.
En colaborationUdeS
20
Orbiquotient et les orbites de I (G , X )
Proposition
La cardinalité pondéré de l’orbiquotient est la quantité d’orbites de
l’ensemble inertial sous l’action de G . En symboles:
I (G , X )/G = X orb /G .
η
η
En colaborationUdeS
21
Orbi-analogue du Théorème de Cauchy-Frobenius
Théorème
Si le groupe G agit sur (X , ω) ∈ Ob(Ens/A), alors la cardinalité pondéré
de l’ensemble orbiquotient X orb /G est
X
orb
1
/G ω =
|G |
X
|g | X hg ,hi .
(g ,h)∈P(G )
En colaborationUdeS
22
Le supremum de deux partitions d’un ensemble
Définition
Soient π et ρ deux partitions d’un ensemble X . La partition π ∨ ρ est
donnée par la règle: i, j appartient au même bloque de π ∨ ρ si et
seulement si il existe une suite i = a0 , a1 , . . . , ak = j d’éléments de X
tels que ai et ai+1 appartient au même bloque de π ou ai et ai+1
appartient au même bloque de ρ.
Remarque
Pour chaque g ∈ G les cycles de la permutation ϕ(g ) de X induisent
une partition de X .
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23
Polynôme indicateur d’orbicycles
Si π est une partition de X on note par bk (π) le nombre de bloques de π
de longueur k.
Définition
Soit X un ensemble à n éléments et G un groupe qui agit sur X . Le
polynôme indicateur d’orbicycles de l’action de G sur X est donné par:
PGorb
:X (x1 , x2 , . . . , xn )
1
=
|G |
X
(g ,h)∈P(G )
|g |
n
Y
b (C (g )∨C (h))
xk k
k=1
En colaborationUdeS
24
Une des idée principales
Lemma
Soit G un sous-groupe de Sm . Alors G agit dans X [m] où [m] est
l’ensemble [m] := {1, 2, . . . , m}. Supposons que g , h commutent, alors i, j
sont dans le même bloque de C (g ) ∨ C (h) si et seulement si il existe
a, b ∈ Z tels que j = (g a hb )(i). Une application f ∈ X [m] est fixée par le
groupe hg , hi si et seulement si f est constante dans chaque bloque de
C (g ) ∨ C (h).
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25
Orbi-analogue du Théorème de Pólya-Redfield
Théorème
Soit (Y , ω) ∈ Ob(Ens/A) et X un ensemble fini. Si G agit sur X alors
X orb Y / G = P orb (|Y |ω , |Y |ω2 , . . . , |Y |ωn ) .
G :X
η
où ω k (x) = w (x)k et η(O(f )) = ω̃(f ).
En colaborationUdeS
26
Fonction Jk de Jordan (Jordan totient fonction)
Supposons que l’entier naturel n > 0 se factorise en produit de puissances
de nombres premiers distincts p1 , . . . , pr comme suit:
n = p1α1 p2α2 · · · prαr ,
pour chaque entier naturel k fixe, la fonction Jk de Jordan est définie par
al formule suivante:
1
1
1
k
1 − k ··· 1 − k ,
Jk (n) = n 1 − k
pr
p1
p2
où de façon équivalente:
Jk (n) = {(x1 , . . . , xk ) : 1 ≤ xi ≤ n, pgcd(x1 , . . . , xk , n) = 1}.
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27
Polynôme indicateur de orbi-cycles de Zn
Théorème
Soit n > 0. Le polynôme Polynôme indicateur de orbi-cycles de l’action de
Zn sur 1, 2, . . . , n est donné par:
PZorb
(x1 , x2 , . . . , xn ) =
n
n
1X
J2 (d)xdd .
n
d|n
Le coefficient cZorb
(i1 , . . . , im ) du monôme x1i1 · · · xnin est donné par la
n
formule suivante:
i1
im
+
·
·
·
+
X
d
d !
1
cZorb
(i
,
.
.
.
,
i
)
=
J
(d)
.
1
m
2
n
i1
im
n
d!... d !
d|(i ,...,i )
1
m
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Partages de profondeur k
Définition
Une partage de profondeur k d’un entier naturel n > 0, noté par α `k n
est une application α : Nk → N telle que
X
i1 . . . ik α(i1 , . . . , ik ) = n.
(i1 ,...,ik )∈Nk+
Une partage de profondeur 1 est une partage dans le sense usuel.
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29
Polynôme indicateur de orbi-cycles de Sn
Théorème
Le polynôme indicateur de orbi-cycles de l’action de Sn sur {1, 2, . . . , n}
est donné par la formule suivante:
β (d, dk )
yk d|k
.
j β(i,j) β(i, j)!
P
PSorb
(y1 , y2 , . . . , yn ) =
n
X
Y
β`2 n (i,j,k)∈[n]×[αi ]×[n]
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30
Problèmes
Problème
Généraliser le Théorème de Pólya-Redfield en obtenant une formule
analogue au Théorème de Bruijn. Plus précisement, supposons que
(Y , ω) ∈ Ob(Ens/A) et X est un ensemble fini. Si G agit sur X et H
agit sur Y alors on aimerait trouver une formule pour calculer en
général la cardinalité pondéré suivante:
X orb
.
Y
G
×
H
η
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31
Problèmes
Problème
Supposons que G agit sur X et H agit sur Y . On aimerait calculer le
polynôme indicateur d’orbicycles de l’action des actions suivantes:
1
l’action du produit direct G × H sur X × Y .
2
l’action du produit en couronne G o H sur X × Y .
3
l’action du produit G × H direct sur Y X donnée par:
((g , h) · f )(x) := h · f (g · x).
En colaborationUdeS
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Références
1
2
H. Blandin, R. Dı́az; Polya Theory For Orbiquotients Sets,
arXiv:math/0506630v5 [math.CO].
Claude Berge, Principes de Combinatoire 1968, Dunod, Paris,
France.
En colaborationUdeS
33
FIN
Merci beaucoup toute le monde !
Thank you very much every one !
Muchas gracias a todos !
En colaborationUdeS
34