Dossier de candidature `a un poste de Maˆıtre de Conférences

Transcription

Marusia Rebolledo
[email protected]
http://alg-geo.epfl.ch/~rebolled
Concours MdC 2006
Dossier de candidature à un poste de
Maı̂tre de Conférences
Marusia Rebolledo-Dhuin ép. Hochart, 29 ans, française.
Assistante post-doctorante à l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (epfl)
Thèse de doctorat soutenue le 27 septembre 2004 : Module supersingulier et points rationnels des
courbes modulaires.
Agrégée titulaire (1999) – numen : 29E9941247CWV.
Inscrite sur les listes de qualification : no 05225152494.
Domaines de recherche : théorie des nombres et géométrie arithmétique.
Mots clefs : courbes elliptiques, courbes modulaires, formes modulaires, symboles modulaires,
fonctions L, fonctions Theta, représentations galoisiennes.
Contenu du dossier
Dossier scientifique
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curriculum vitæ
présentation de la thèse
liste des travaux, ouvrages, articles et réalisations
présentation des activités d’enseignement
rapport de recherche
projets de recherche
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Dossier administratif
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déclaration de candidature (imprimée sur Antares/Antee) ;
carte d’identité (copie) ;
une enveloppe affranchie ;
diplôme de thèse (copie) ;
arrêté de titularisation (copie) ;
un exemplaire du dossier scientifique ;
deux enveloppes destinées aux rapporteurs.
Dossiers destinés aux rapporteurs
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déclaration de candidature ;
un exemplaire du dossier scientifique ;
rapports de thèse de S. Edixhoven et J. Tilouine (copies) ;
rapport de soutenance de thèse (copie) ;
un document attestant de l’acceptation d’un article ;
lettre de recommandation pour l’enseignement : M. More ;
lettre de recommandation de L. Merel.
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Marusia Rebolledo
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Concours MdC 2006
Curriculum Vitæ
Marusia Rebolledo-Dhuin
Née le 22 septembre 1976
à Paris
Nationalité française
Mariée, sans enfant.
Adresse personnelle
Chemin de Montelly 70
CH-1007 Lausanne SUISSE
Tel. +41 21 625 30 52
courriel : [email protected]
Situation actuelle
Assistante post-doctorante à l’École Polytechnique
Fédérale de Lausanne (epfl)
Adresse professionnelle
École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Faculté des Sciences de Base
IMB CSAG MA – Ecublens
CH 1015 Lausanne
Tel. +41 21 693 29 06
Diplômes
• Doctorat de mathématiques, mention très honorable, déposé le 6/05/2004, soutenu le 27/09/2004.
• Agrégation externe de mathématiques obtenue en juillet 1999.
Domaines de recherche
Théorie des nombres et géométrie arithmétique.
Mots clefs : courbes elliptiques, courbes modulaires, formes modulaires, symboles modulaires,
fonctions L, fonctions Theta, représentations galoisiennes.
Formation
1999-2004
Thèse de doctorat de mathématiques, mention très honorable : Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires, rédigée sous la direction de
L. Merel, professeur à l’Université D. Diderot Paris VII, soutenue le 27 septembre
2004 devant le jury composé de : S. Edixhoven (Leiden), Rapporteur – M. Harris
(Paris VII) – L. Merel (Paris VII), Directeur – J.-F. Mestre (Paris VII), Président –
J. Nekovář (Paris VI) – J. Tilouine (Paris XIII), Rapporteur.
1998/1999
Préparation de l’Agrégation externe de mathématiques, à l’université Paris
Sud-Orsay, obtenue en juillet 99.
1997/1998
DEA de méthodes algébriques, Université P. et M. Curie Paris VI, mention bien.
• Cours suivis : Théorie du corps de classes (L. Merel) – Courbes algébriques (F. Loeser) – Théorème de Fermat (L. Clozel)
• Mémoire sous la direction de L. Merel : Représentations paires de dimension 2 de
Gal(Q/Q) .
1996/1997
Maı̂trise de mathématiques, Université Paris VI, mention très bien.
1995/1996
Licence de mathématiques, Université Paris VI, mention bien.
1993-1995
Classes préparatoires, lycée Condorcet à Paris
Deug A obtenu à l’université Paris VI en juin 1995.
Postes et séjours sur invitation
2005/2006
Séjour post-doctoral à l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne (epfl) sur
invitation de E. Bayer.
Sept. 2005
Séjour d’un mois à l’Université de Leiden sur invitation de B. Edixhoven.
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Marusia Rebolledo
Curriculum Vitæ
2004/2005
Séjour post-doctoral à l’Université de Milan dans le cadre du réseau européen
Arithmetic and Algebraic Geometry sur invitation de M. Bertolini.
2003/2004
ATER à l’IUT de l’Université Clermont-Ferrand I.
2002/2003
ATER à l’Université Clermont-Ferrand II
2001/2002
ATER à l’Université Paris VI.
2000/2001
Monitorat à l’Université Clermont-Ferrand II.
1998-2000
Monitorat à l’Université Paris VI.
Publications
Articles publiés :
1. Corps engendré par les points de 13-torsion des courbes elliptiques (11 pages), Acta Arith. 109
(2003), no. 3, 219–230.
2. Module supersingulier et homologie des courbes modulaires (23 pages), à paraı̂tre dans J. of
Number Theory.
Article soumis : Formule de Gross-Kudla et points rationnels de X0+ (pr ) (r > 1) (19 pages).
En préparation : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires.
Responsabilités collectives
Co-organisation de colloques
2005/2006
Co-organisation d’un colloque Géométrie et Arithmétique : mini-cours destinés à des
étudiants des écoles doctorales du IIIe Cycle Roman. Annoncé du 25 au 30 mars
2007. En collaboration avec E. Bayer et L. Thomas.
Co-organisation de groupes de travail
2005/2006
epfl(Lausanne) : formes modulaires, courbes elliptiques et courbes modulaires autour
du livre de Diamond et Shurman [DS05]. En collaboration avec les membres du
laboratoire d’Algèbre et Géométrie de l’epfl.
2004/2005
Université de Milan :
• Autour du livre de Ramakrishnan-Valenza [RV99] sur la thèse de Tate. En collaboration avec I. Longhi et S. Vigni.
• Courbes modulaires, modules de Drinfeld et formes automorphes. En collaboration
avec M. Bertolini et I. Longhi.
Quatre exposés - Module supersingulier, valeurs spéciales de fonctions L et points
rationnels des courbes modulaires.
Université Clermont-Ferrand II : la théorie du corps de classes, en collaboration
avec T. Lambre et F. Martin.
Deux exposés - Théorie de la ramification et application d’Artin.
2002/2003
Communications sur invitation
Colloques internationaux
Juil. 2001
XXII-èmes Journées Arithmétiques, Lille : Corps engendré par les points de 13torsion des courbes elliptiques.
Séminaires à l’étranger
Dec. 2005
Université de Saarbrücken : Torsion of elliptic curves [anglais].
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Curriculum Vitæ
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Oct. 2005
epfl (Lausanne) : Un problème de Serre sur les représentations galoisiennes associées aux courbes elliptiques.
Sept. 2005
Université de Leiden : deux exposés On a Serre’s problem about the torsion of ellliptic
curves [anglais].
Fev. 2005
Université de Rome : Modulo supersingolare e applicazioni [italien].
Séminaires en France
Avr. 2006
Mars 2006
Fev. 2006
Jan. 2005
Juin 2004
Université de Grenoble : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes
modulaires.
Université de Caen : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes
modulaires, reporté pour cause de bloquage de l’université.
Université de Besançon : Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes
modulaires.
• Université de Caen : Module supersingulier et points rationnels de courbes modulaires.
• Université de Saint-Etienne : Module supersingulier et points rationnels de courbes
modulaires.
Séminaire de mathématiques pures, Université Clermont-Ferrand II : Divers aspects
du module supersingulier.
Nov. 2003
Laboratoire de Logique, d’Algorithmique, d’Informatique et de Combinatoire
(llaic), IUT de l’Université d’Auvergne Clermont-Ferrand I : Courbes elliptiques
et nombres congruents.
Nov. 2003
Groupe d’Étude des Problèmes Diophantiens (gepbd), Institut de Mathématiques
de Jussieu : Corps engendré par les points de torsion des courbes elliptiques.
Nov. 2002
• Séminaire de mathématiques pures, Université Clermont-Ferrand II : Arithmétique
des courbes elliptiques et équations diophantiennes.
• Séminaire de théorie des nombres de Clermont-Ferrand II, deux exposés : Techniques à la Mazur pour l’étude des points de torsion des courbes elliptiques.
Fév. 2001
Séminaire de théorie de nombres, Université Clermont-Ferrand II,
exposé 1 : Courbes elliptiques – généralités ; exposé 2 : Points de torsion des courbes
elliptiques.
Séminaires doctorants
Juin 2002
Séminaire doctorant de théorie des nombres, Université Paris VI (sdtn) : exposé
préparatoire au colloque sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (juillet 2002,
Institut de Mathématiques de Jussieu) : Introduction à la conjecture de Birch et
Swinnerton-Dyer.
Avr. 2002
sdtn : Courbes elliptiques supersingulières et méthode du graphe.
Jan. 2002
sdtn : Techniques à la Mazur.
Participation à des colloques
Juil. 2006
• Colloque Iwasawa 2006, Limoges
• Formes modulaires p-adiques, CIRM Luminy
• Summer School on Arithmetic and Algebraic Geometry, Goettingen
Avr. 2006
Number Theory Days, Zürich
Juil. 2005
• Colloque Représentations galoisiennes, Strasbourg
• Colloque en l’honneur de L. Illusie, Orsay
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Curriculum Vitæ
Déc. 2004
• Workshop on F-isocrystals and rigid cohomology, Padova.
• Workshop on Explicit Arithmetic Geometry, Institut Henri Poincaré, Paris.
Juil. 2004
Congrès sur la théorie d’Iwasawa, Besançon.
Juil. 2002
• Conference on modular curves and abelian varieties, Barcelone.
• École d’été sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, Institut de
Mathématique de Jussieu.
Mars 2002
Colloque Jeunes Chercheurs, Université de Besançon.
Jan. 2002
Ecole de Cryptologie, Université de Bordeaux.
Juil. 2001
XXII-èmes Journées Arithmétiques, Université de Lille.
Juin 2001
Conférence en l’honneur de M. Raynaud, Université Paris XI.
Mars 2001
Juin. 2000
Ecole de Théorie Algébrique des Nombres et Géométrie Arithmétique, Université de
Lille.
Colloque Jeunes Chercheurs, Université de Bordeaux.
Sept. 1999
Colloque Jeunes Chercheurs, ENS Lyon.
Sept. 1998
Colloque Jeunes Chercheurs, Université de Caen.
Divers
Informatique
• logiciels de calcul formel utilisés : Magma, Maple, Pari ;
• logiciel enseigné : Maple (voir page 8).
Langues étrangères
anglais, espagnol (notions), italien, russe (notions).
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Présentation de la thèse
Thèse de doctorat soutenue le 27 septembre 2004 à l’Université Pierre et Marie Curie – Paris VI
(U.M.R. no 7586).
Titre : Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires
Résumé : Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d’isomorphisme de courbes
elliptiques supersingulières en caractéristique p, appelé module supersingulier. Nous le comparons
à d’autres modules de Hecke : l’homologie de la courbe modulaire X0 (p) et l’ensemble des formes
modulaires de poids 2 de niveau p. Nous donnons des interprétations et des applications des
formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre
le module supersingulier et la géométrie de X0 (p) nous permettent d’appliquer ces résultats à
l’étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose
et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers p pour lesquels
le quotient de X0 (pr ) (r > 1) par l’opérateur d’Atkin-Lehner n’a d’autres points rationnels que
les pointes et les points CM.
Mots clefs.— courbes elliptiques, courbes modulaires, formes modulaires, fonctions L, module
supersingulier, variétés abéliennes, symboles modulaires.
Le jury était composé de :
M.
M.
M.
M.
M.
M.
6
Sebastiaan Edixhoven
Michael Harris
Loı̈c Merel
Jean-François Mestre
Jan Nekovar
Jacques Tilouine
(Université
(Université
(Université
(Université
(Université
(Université
de Leiden)
Paris 7)
Paris 7)
Paris 7)
Paris 6)
Paris 13)
Rapporteur
Directeur
Président
Rapporteur
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Marusia Rebolledo
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Liste des travaux et publications
Ces travaux sont disponibles sur ma page : http://alg-geo.epfl.ch/~rebolled.
Revues internationales à comité de lecture
Publications
1. Corps engendré par les points de 13-torsion des courbes elliptiques (11 pages)
Acta Arith. 109 (2003), no. 3, 219–230. http://journals.impan.gov.pl/aa/
2. Module supersingulier et homologie des courbes modulaires (23 pages)
à paraı̂tre dans Journal of Number Theory. http://www.sciencedirect.com/
Prépublications
3. Formule de Gross-Kudla et points rationnels de X0+ (pr ) (r > 1) (19 pages)
soumis.
En préparation
4. Fonctions Theta, fonctions L et points rationnels de courbes modulaires.
Autres travaux
- Module supersingulier et points rationnels de courbes modulaires
Thèse de Doctorat de l’Université Pierre et Marie Curie Paris VI, UMR no 7586
- Représentations galoisiennes paires de Gal(Q̄/Q).
Mémoire de DEA de l’Université Pierre et Marie Curie Paris VI, UMR no 7586.
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Activités d’enseignement
On trouvera à la page suivante un tableau récapitulatif des enseignements que j’ai dispensés.
Enseignements de l’année en cours
Encadrements de mémoires –
• Diplôme de fin de Master 5è année : ce travail est actuellement en cours.
• Projet de Master 4è année.
M. Haegler a rédigé sous ma direction un mémoire intitulé Courbes elliptiques et cryptographie. Il
s’est appuyé sur les ouvrages de Cohen [Coh93], Washington [Was03] ainsi que sur un article de
Schoof [Sch85].
Travaux dirigés dans le cadre de cours dispensés par E. Bayer. Les feuilles d’exercices correspondantes sont sur la page http://alg-geo.epfl.ch/cours/.
• Introduction à la théorie des nombres – filière Mathématiques 3è année (28 heures).
Il s’agit d’un cours introduisant les outils fondamentaux d’arithmétique et de théorie des nombres :
rappels d’arithmétique, corps finis, réciprocité quadratique, corps de nombres et en particulier
corps quadratiques et cyclotomiques.
• Arithmétique – filière Systèmes de Communication 4è année (14 heures).
Ce cours était destiné à introduire les notions mathématiques utilisées dans un cours de cryptographie qui a eu lieu en parallèle : principalement arithmétique de base (groupes, anneaux Z/nZ,
théorème des restes chinois) et corps finis.
• Algèbre linéaire – filière Mathématiques 1ère année (28 heures).
Enseignements des années antérieures
J’ai obtenu l’agrégation externe de mathématiques en juillet 1999 et ai assuré des enseignements
en premier cycle de septembre 1998 à septembre 2004 dans le cadre d’un monitorat puis d’ATER à
mi-temps. Au long de ces années, j’ai effectué des enseignements variés dans plusieurs universités,
la mutation de mon conjoint m’ayant amenée à quitter mon université d’origine.
J’ai ainsi pu m’initier à plusieurs facettes du métier d’enseignant, qu’il s’agisse de responsabilités
individuelles comme l’élaboration d’un cours, de feuilles d’exercices ou d’examens, la correction
de copies, ou de responsabilités collectives comme la participation aux réunions pédagogiques ou
aux jurys d’évaluation. J’ai également appris à adapter mon cours aux différents publics que j’ai
pu rencontrer.
Signalons quelques enseignements marquants :
• En 2003/2004, j’ai été ATER à l’IUT de l’université Clermont-Ferrand I. Dans ce cadre, j’ai eu
à ma charge la préparation des cours, TD et TP d’une classe entière. Les notions du cours (algèbre
linéaire, théorie des graphes et programmation linéaire) étaient présentées en vue d’applications
à l’informatique et devaient de surcroı̂t être illustrées et approfondies lors de séances de travaux
pratiques de Maple. Le fait d’avoir l’entière responsabilité de cette classe m’a laissé la liberté
d’adapter mon enseignement aux étudiants d’IUT qui se destinaient à une carrière en Informatique.
• En 1998/1999, j’ai été chargée de la correction de copies de la préparation au Capes de l’Université P. et M. Curie. A cette époque je préparais moi-même l’agrégation et cette expérience a
donc été particulièrement formatrice.
• En 2002/2003, dans le cadre d’un ATER à l’Université Clermont-Ferrand II, on m’a confié une
classe d’étudiants chinois. Enseigner à des étrangers a été une nouvelle expérience très profitable
à ma réflexion pédagogique.
8
Concours MdC 2006
Poste
Assistante
post-doctorante
ATER
ATER
ATER
Monitorat
Monitorat
Monitorat
Année
05/06
03/04
Concours MdC 2006
02/03
01/02
00/01
99/00
98/99
Paris VI
Paris VI
Clermont II
Paris VI
Clermont II
IUT Clermont I
EPFL
Lieu
MIAS
préparation au CAPES
Copies
MIAS
MIAS
SCM
MIAS
D.U. Étudiants chinois
TD
TD
TD
TD
TD
TP
4
1
1
1
1
1
1
2
3
Mathématiques
Informatique
4
Systèmes de Communications
cours, TD
1
Matériaux et Mécanique
TD
5
4
(Bac+..)
Niveau
Mathématiques
Mathématiques
Filière
Encadrement
Type
correction des copies
algèbre linéaire
analyse, algèbre
analyse
algèbre linéaire, théorie
des graphes, programmation linéaire
Maple
théorie des nombres
arithmétique [anglais]
Diplôme de fin de Master
Projet
de
semestre
(mémoire)
Contenu
35
30
64
64
96
48
48
96
28
14
28
–
–
Nombres
d’heures
Marusia Rebolledo
Activités d’enseignement
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Marusia Rebolledo
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Concours MdC 2006
Rapport de recherche
Dans ce rapport ainsi que dans le projet qui suit, les références avec des numéros se rapportent
à ma liste de publications page 7, tandis que les références avec des lettres se rapportent à la
bibliographie à la fin de ce document.
Domaine général de recherche. — Mes travaux concernent la théorie des nombres et la
géométrie arithmétique, et plus particulièrement les courbes elliptiques et les courbes modulaires.
J’utilise notamment les outils suivants : courbes modulaires, formes modulaires, fonctions L, symboles modulaires, représentations galoisiennes.
• Le premier paragraphe de ce rapport présente brièvement le travail que j’ai réalisé en DEA sur
certaines représentations galoisiennes.
• La deuxième partie décrit les résultats que j’ai obtenus pendant et depuis mon doctorat. Ces
travaux ont été motivés par deux problèmes classiques concernant la torsion des courbes elliptiques.
Ceux-ci consistent essentiellement à décrire
- le corps engendré par les points de torsion d’une courbe elliptique (voir la section 2)
- l’image de la représentation donnée par l’action du groupe de Galois sur la torsion des courbes
elliptiques (voir la section 4).
Ces problèmes se ramènent à étudier les points rationnels de certaines courbes modulaires sur
un corps de nombres. La stratégie usuelle est de plonger cette courbe modulaire dans sa jacobienne
puis de projeter sur un quotient de rang nul. Comme l’ont mis en évidence les travaux de Mazur
[Maz77], le noeud du problème est alors de déterminer si cette application est une immersion
formelle (en un ou plusieurs points), c’est-à-dire si l’application qui s’en déduit sur les espaces
cotangents est surjective. Nous avons établi et utilisé (section 2 et 3) un critère d’immersion
formelle mettant en jeu le module supersingulier, c’est-à-dire le Z-module libre P de type fini
engendré par l’ensemble (fini) des classes d’isomorphismes de courbes elliptiques supersingulières
en caractéristique p > 0.
Ceci nous a conduit à étudier le module supersingulier pour lui-même, ainsi que ses relations
avec d’autres modules de Hecke, en particulier avec l’homologie de la courbe modulaire X0 (p) sur
Q classifiant les courbes elliptiques généralisées munies d’une p-isogénie (voir la section 3).
Les résultats énoncés à la section 2 ont été publiés en [1] . Ceux de la section 3 font l’objet d’un
article à paraı̂tre en [2] et ceux de la section 4 d’un article soumis [3]. Ces articles ainsi que le
texte de ma thèse sont accessibles depuis la page : http://alg-geo.epfl.ch/~rebolled.
Notations. — Pour la suite de ce rapport, on fixe p > 3 un nombre premier, F̄p une clôture
algébrique de Fp et Q̄ une clôture algébrique de Q. Plus loin, on notera S l’ensemble fini des
classes d’isomorphismes de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique p > 0 et P 0 le
e l’algèbre engendrée par les
sous-groupe de P = Z[S] formé des éléments de degré nul. Notons T
opérateurs de Hecke agissant sur l’espace des formes modulaires de poids 2 pour Γ0 (p). Le Ze et un accouplement bilinéaire
module P est muni de deux structures algébriques : une action de T
e laisse stable le
non dégénéré h , i pour lequel les opérateurs de Hecke sont autoadjoints. L’algèbre T
0
e
sous-module P et son action se factorise par le quotient T de T agissant fidèlement sur l’ensemble
des formes paraboliques.
1
Représentations galoisiennes
Mon mémoire de DEA, effectué sous la direction de L. Merel en 1998, portait sur les représentations
irréductibles paires de dimension 2 du groupe Gal(Q/Q). On peut associer aux représentations
paires des invariants analogues à ceux définis par Serre [Ser87] pour les représentations impaires.
10
Concours MdC 2006
Marusia Rebolledo
Mais s’il existe un dictionnaire en partie conjectural assez complet reliant les représentations impaires à des formes modulaires de mêmes invariants, on sait peu de choses des représentations
paires.
J’ai étudié la littérature existante sur ces représentations, plus particulièrement les articles de
Serre [Ser87], Vignéras [Vig85], et Figueiredo [Fig99]. J’ai construit un exemple de représentation
paire à valeurs dans GL2 (F49 ), de poids 7, de conducteur 2k .19.367 avec k ≤ 12. Pour cette
représentation, ainsi que pour celles apparaissant dans les articles cités ci-dessus, j’ai établi les
tables des traces de Frobenius ap pour p premier inférieur à 100, à l’aide du logiciel PARI.
2
Corps engendré par la torsion des courbes elliptiques [1]
Soit Q(µp ) le corps engendré par les racines p-ièmes de l’unité dans Q̄. Soit E une courbe
elliptique définie sur un corps de nombres K. Les propriétés des accouplements de Weil montrent
que le corps K(E[p]) engendré par les points de p-torsion de E est une extension finie de Q(µp ).
La motivation initiale de mon doctorat est l’étude du degré de cette extension.
Plus précisément, pour un entier d > 0 donné, j’ai étudié l’ensemble S(d) des nombres premiers
p pour lesquels il existe une courbe elliptique définie sur une extension L de degré d de Q(µp ) ayant
tous ses points d’ordre p définis sur L. Ce problème revient à étudier les points de X0 (p)(d) (Q) où
X0 (p)(d) est la puissance symétrique d-ième de X0 (p).
Il est connu que {2, 3, 5} ⊂ S(1) et Halberstadt a prouvé que 7 6∈ S(1). Merel et Stein [Mer01,
MS01] ont étudié S(1), et ont en particulier montré que si p est un nombre premier avec p 6=
13, 7 < p < 1000, alors p 6∈ S(1). Pour p = 13, les techniques de Merel [Mer01] ne s’appliquent pas
car elles utilisent de façon essentielle le plongement naturel de la courbe modulaire X0 (p) dans sa
jacobienne J0 (p) lorsque son genre g est non nul ; or X0 (13) est de genre nul. La première étape
de mon travail (publiée en [1]) a consisté à résoudre ce cas particulier.
Théorème 1. Aucune courbe elliptique sur un corps de nombres n’a tous ses points d’ordre 13
définis sur Q(µ13 ). Autrement dit, 13 6∈ S(1).
Le point crucial de la démonstration est la preuve de la finitude du groupe J1 (13)(Q(µ13 )).
Pour ceci, j’ai montré la non nullité de L(J1 (13), Q(µ13 ), 1) grâce à des calculs sur les symboles
modulaires. Les résultats de Kato [Kat04] permettent alors de conclure. J’ai exposé ces premiers
résultats lors des 21 es Journées Arithmétiques à Lille en 2001.
J’ai ensuite étudié X0 (p)(d) (Q) pour d > 1. La méthode utilisée est une variante de celle de Mazur
pour l’étude de X0 (p)(Q) et étend les idées développées par Merel pour le cas d = 1. Soit φ(d) le
morphisme composé du morphisme canonique de X0 (p)(d) dans J0 (p) avec un endomorphisme de
J0 (p) ou avec la surjection sur un quotient de J0 (p) par un idéal saturé de T. Comme annoncé
dans l’introduction et comme le révèlent les travaux de Mazur [Maz77, Maz78] et Kamienny
[Kam92], il est crucial pour l’étude de X0 (p)(d) (Q) de savoir détecter si φ(d) est une immersion
formelle. Notons J0 (p)Fp la fibre en p du modèle de Néron de J0 (p) sur Spec Z. La description
analytique rigide de J0 (p)Fp montre qu’il y a un isomorphisme entre Cot(J0 (p)Fp ) et F̄p ⊗ P 0 . Cet
isomorphisme m’a permis de déterminer un critère d’immersion formelle pour φ(d) en tout point
en caractéristique p à l’aide d’éléments de P 0 . Ce critère, établi indépendamment, contient celui
de Parent [Par05] proposition 3.2 et se prête à des tests numériques.
Grâce au critère précédent, j’ai établi des résultats partiels pour S(2). Ces résultats ont fait l’objet d’un exposé au Groupe d’Etudes des Problèmes Diophantiens de l’Institut de Mathématiques
de Jussieu en novembre 2003, mais ne sont actuellement pas encore soumis pour publication.
3
Comparaison de plusieurs modules de Hecke [2]
L’homologie singulière de la surface de Riemann X0 (p)(C) a une structure similaire à celle de P :
e et
l’action des correspondances de Hecke sur X0 (p) munit H = H1 (X0 (p)(C), Z) d’une action de T
Concours MdC 2006
11
Marusia Rebolledo
le produit d’intersection définit un accouplement sur H×H. Il est donc naturel de vouloir comparer
H et P, d’autant plus que la théorie des symboles modulaires de Manin donne une présentation
de l’homologie par générateurs et relations.
Les structures de modules de Hecke de l’homologie [Maz77] et du module supersingulier [Gro87,
+
GK92, Eme02] ont été largement étudiées : par exemple, il est connu que les TQ -modules PQ0 , HQ
et
−
+
−
HQ sont libres de rang 1, où H (resp. H ) est le sous-groupe de H invariant (resp. anti-invariant)
sous l’action de la conjugaison complexe c.
Cependant, en dépit des descriptions explicites de P 0 et H et bien que les Q̄-droites propres
sous l’action de T soient en correspondance bijective, aucun isomorphisme explicite général n’a, à
+
−
notre connaissance, été exhibé entre PQ0 d’une part, et HQ
ou HQ
d’autre part. J’ai comparé les
T-modules P 0 ⊗T Pˇ0 et H+ ⊗T H− où Pˇ0 = Hom(P 0 , Z) est muni de l’action duale de T.
Des générateurs explicites sur Q.
Soient
θ0 : P 0 ⊗T Pˇ0 −→ Hom(T, Z)
et
ψ : H+ ⊗T H− −→ Hom(T, Z)
les homomorphismes de T-modules qui se déduisent des accouplements sur le module supersingulier
et l’homologie. Le dual Hom(T, Z) est isomorphe au Z-module S2 (Γ0 (p), Z) des formes paraboliques
dont le développement de Fourier est à coefficients dans Z. Les résultats de Mazur [Maz77]
m’ont
1
.
Emerton
permis de montrer que ψ est un isomorphisme après extension des scalaires à Z
2
[Eme02] a montré le résultat analogue pour θ0 . Après extension des scalaires à Z 12 , on a donc
un isomorphisme entre P 0 ⊗T Pˇ0 et H+ ⊗T H− .
En particulier, sur Q, nous obtenons un isomorphisme de TQ -modules libres de rang 1. Dans
¯ 0 ∈ P 0 ⊗T P 0 et Λ̄0 ∈ H+ ⊗T H− tels que
[2] théorème 0.1, je décris des éléments ∆
2
2
Q
Q
Q
Q
Q
Q
¯ 0 et Λ̄0 sont respectivement des générateurs des TQ -modules libres
Théorème 2. Les éléments ∆
2
2
+
−
0
0
0 ¯0
PQ ⊗TQ PQ et HQ ⊗TQ HQ et on a θQ
(∆2 ) = ψQ (Λ̄02 ) ∈ S2 (Γ0 (p)).
Interprétation de la formule de Gross-Zhang. Soit f une forme primitive de poids 2 pour
Γ0 (p), −D
√ un discriminant quadratique imaginaire premier à p et εD le caractère non trivial de
Gal(Q( −D)/Q). La formule de Gross [Gro87] généralisée par Zhang [Zha01] exprime L(f, 1)L(f ⊗
εD , 1) en fonction de la composante f -isotypique d’une somme γD ∈ PQ de points de Heegner.
Je propose dans [2] l’interprétation suivante de la formule de Gross-Zhang en termes de symboles
modulaires.
Soit e l’élément d’enroulement défini par Mazur [Maz77] et eD l’élément d’enroulement tordu
par εD . Soit x0 ∈ PQ0 la projection orthogonale d’un élément x ∈ PQ .
0
0
0
Théorème 3. On a θQ
(γD
⊗TQ γD
) = ψQ (e ⊗TQ eD ) ∈ S2 (Γ0 (p)).
Le calcul des coefficients de la forme modulaire du théorème précédent m’a permis d’obtenir un
analogue “quadratique” de la formule d’Eichler [Gro87] (1.12) (voir [2] théorème 0.3).
4
Formule de Gross-Kudla : applications géométriques [3]
Soit E une courbe elliptique sur Q sans multiplication complexe. Pour p un nombre premier,
considérons la représentation
ρp (E) : Gal(Q̄/Q) −→ Aut(E[p]) ∼
= GL2 (Fp )
induite par l’action de Gal(Q̄/Q) sur la p-torsion de E. Serre [Ser72] a prouvé que ρp (E) est
surjective pour p supérieur à une constante dépendant de E. Il demande, notamment dans [Ser72],
si on peut choisir cette constante indépendamment de E. Ce problème revient essentiellement à
12
Concours MdC 2006
Marusia Rebolledo
déterminer si l’image de ρp (E) est contenue dans un sous-groupe de Borel, le normalisateur d’un
Cartan déployé ou d’un Cartan non-déployé. Chacun de ces cas est paramétré par une courbe
modulaire, autrement dit on est ramené à montrer que pour p assez grand, les points rationnels
d’une certaine courbe modulaire sont soit des pointes, soit des points à multiplication complexe
i.e. provenant de courbes elliptiques à multiplication complexe (CM).
Par exemple, en étudiant X0 (p)(Q), Mazur [Maz77] a montré que le cas “Borel” ne se produit
pas pour p > 37. Je me suis intéressée au cas “Cartan déployé” paramétré par la courbe modulaire
X0+ (p2 ) quotient de X0 (p2 ) par l’opérateur d’Atkin-Lehner wp2 . Les techniques employées sont des
variantes de celles de Mazur pour X0 (p) et s’appliquent plus généralement à l’étude des points de
X0+ (pr )(Q) (r > 1). J’ai établi le résultat de densité suivant, améliorant le théorème 1.1 de [Par05]
pour lequel la densité est de 7/29 .
Théorème 4. Il existe un ensemble explicite C de nombres premiers de densité analytique 9/210
tel que si p 6∈ C alors un point de X0+ (pr )(Q) est soit une pointe soit un point CM (on dira que
X0+ (pr )(Q) est trivial).
En fait, on pourrait encore améliorer ce résultat de densité si on le souhaitait. Mon apport aux
méthodes de Parent se situe à un niveau plus technique. Par exemple, j’ai donné un critère de
trivialité de X0+ (pr )(Q) en terme d’une forme modulaire de poids 2 à coefficients dans F̄p qui
permettrait peut-être d’éliminer les conditions sur p dans le théorème 4 (voir plus loin ainsi que
le projet de recherche page 16). J’ai compris récemment qu’il y a en réalité un lien profond entre
mes résultats et ceux de [Par05] (voir section 5).
e l’idéal annulateur du symbole modulaire {0, ∞} dans le premier
Critère de Parent. Soit Ie ⊂ T
groupe d’homologie relative aux pointes de X0 (p)(C). L’image de Ie dans T est l’idéal d’enroulement défini par Merel [Mer96], c’est-à-dire l’annulateur des formes primitives f ∈ S2 (Γ0 (p)) telles
que L(f, 1) 6= 0. Notons P[Ie ] l’ensemble des éléments de P annulés par Ie .
Pour j ∈ P1 (F̄p ) un invariant non supersingulier, considérons l’application
ιj :
P −→ F̄p
P
λ
[s]
7 →
−
s
s∈S
s∈S
P
λs
j−j(s)
(1)
où, pour s ∈ S, j(s) est l’invariant d’une courbe elliptique représentant la classe s. Le théorème 4
repose sur le critère suivant dû à Parent [Par05] et simplifié par Merel [Mer] en utilisant la jacobienne généralisée de X0 (p) relativement aux pointes (dans [Par05], P est remplacé par P 0 ) :
(C) Soit p ≥ 11. Supposons que pour tout j ∈ Fp non supersingulier, il existe x ∈ P[Ie ]
tel que ιj (x) 6= 0. Alors X0+ (pr )(Q) est trivial.
Derrière cet énoncé se cache un critère d’immersion formelle pour les morphismes de X0 (p) dans le
quotient d’enroulement J0 (p)/Ie J0 (p) de J0 (p) (ce quotient a un nombre fini de points rationnels
et c’est conjecturalement le plus gros quotient de J0 (p) ayant cette propriété).
Éléments enroulés. La question centrale est donc de déterminer des éléments de P[Ie ] ou
éléments enroulés. Actuellement, on ne sait pas déterminer d’élément d’enroulement de P c’està-dire un élément dont l’idéal annulateur serait exactement Ie .
Rappelons qu’il existe un isomorphisme T-linéaire entre PC et l’espace M2 (Γ0 (p)) des formes
modulaires de poids 2 pour Γ0 (p). Le sous-module PC [Ie ] de PC est engendré par les vecteurs
propres pour T associés aux formes de Hecke dont la fonction L ne s’annule pas en 1. Cela
explique pourquoi des formules pour les valeurs spéciales de fonctions L peuvent nous donner des
0
éléments de P[Ie ]. Par exemple, Parent déduit de la formule de Gross-Zhang que les éléments γD
0
sont dans PQ [Ie ] et détermine des combinaisons linéaires judicieuses de ces éléments qui ne sont
pas dans ker(ιj ). Je propose d’utiliser la formule de Gross et Kudla [GK92]. Cette formule exprime
la valeur en 2 de la fonction L associée à un produit triple de formes primitives en fonction de
Concours MdC 2006
13
Marusia Rebolledo
P
l’élément diagonal ∆3 = s∈S w1s [s]⊗3 ∈ PQ⊗3 où 2ws est l’ordre du groupe des automorphismes
d’une courbe elliptique dans s. Considérons la forme modulaire à coefficients dans P
G = (1 ⊗ θ)(∆3 ) ∈ P ⊗ M2 (Γ0 (p), Z)
e Z) ∼
où θ : P ⊗ P̌ −→ Hom(T,
= M2 (Γ0 (p), Z) est donné par l’accouplement h , i. Dans [3], je tire
de la formule de Gross-Kudla le théorème suivant
Théorème 5. On a G ∈ P[Ie ] ⊗ M2 (Γ0 (p), Z).
Dès lors, on peut reformuler le critère (C) de la façon suivante :
(C’) Supposons que (pour p assez grand) pour tout j ∈ Fp ordinaire, la forme modulaire
Gj = (ιj ⊗ 1)(G) ∈ F̄p ⊗ M2 (Γ0 (p), Z) est non nulle ; alors X0+ (pr )(Q) est trivial.
Pour m ≥ 1 un entier, posons
ym =
X
hs, Tm s/ws i[s] ∈ P.
s∈S
On a
G=
X
1
aE +
ym q m
2
où aE =
X 1
[s] ∈ PQ .
ws
(2)
s∈S
m≥1
Le théorème 5 montre donc que pour tout m ≥ 1, ym ∈ P[Ie ] et le critère (C’) est équivalent à
(C”) Supposons que pour tout j ∈ Fp ordinaire, il existe m ≥ 1 tel que ιj (ym ) 6= 0 alors
X0+ (pr )(Q) est trivial.
Les éléments ym ont une interprétation géométrique simple : lorsque (m, p) = 1, ym énumère les
boucles du graphe des m-isogénies. J’ai ainsi utilisé une méthode s’inspirant de la méthode du
graphe de Mestre et Oesterlé [MO] pour effectuer les calculs conduisant au théorème 4.
L’intérêt de la formulation (C’) est de pouvoir utiliser des arguments géométriques pour l’étude
de la forme modulaire G (voir le projet de recherche).
5
Comparaison entre les éléments γD et les éléments ym
Comparaison explicite et espace engendré.
Nous montrons dans [3] les résultats suivants :
Proposition 1. 1. On a
X
ym = (m) aE +
γd
2
(s,d)∈Z
4m−s2 =dr 2 >0
où (m) = 1 si m est un carré et (m) = 0 sinon.
0
0
2. Le Q-espace vectoriel engendré par {ym
, m ≥ 1} est engendré par {ym
, 1 ≤ m ≤ g + 1}.
0
3. Le TQ -module engendré par {ym
, m ≥ 1} est égal à PQ0 [Ie ].
Cette proposition entraı̂ne une version précise d’un théorème de non annulation :
Corollaire 1. Si f est une forme modulaire primitive de poids 2 pour Γ0 (p) telle que L(f, 1) 6= 0
alors il existe un discriminant quadratique imaginaire
d ≤ 4g + 4 tel que L(f ⊗ εd , 1) 6= 0 où εd
√
est le caractère quadratique non trivial de Gal(Q( −d/Q)).
14
Concours MdC 2006
Marusia Rebolledo
Formes modulaires de poids demi-entier. Le lien entre les éléments γD et les éléments ym
est en réalité plus profond que ne le laisse entendre la formule explicite 1 de la proposition 1.
S’inspirant du q-développement (2) de G, on pourrait se demander si le q-développement
g=
X
1
aE +
γD q D
2
D
définit une forme modulaire. Cela définit en fait une forme modulaire de poids 3/2 pour Γ0 (p)
+
à coefficients dans P qui est même dans P ⊗ M+
3/2 (Γ0 (p); Z) où M3/2 (Γ0 (p)) est le sous-espace
de Kohnen [Koh82]. Rappelons que le critère (C’) consiste à se demander si pour tout j ∈ Fp
ordinaire, on a ιj ⊗ 1(G) 6= 0. Les travaux de Parent reviennent à se poser la question analogue
pour g.
Kohnen [Koh82] a défini une application (sorte de linéarisation de la correspondance de Shimura)
+
κ : M3/2
(Γ0 (p)) −→ M2 (Γ0 (p)). J’ai compris récemment que
(1 ⊗ κ)(g) = G.
(3)
Cela est dû à l’expression de g et G comme combinaison linéaire de fonctions Theta correspondant
à des réseaux respectivement ternaires et quaternaires.
Arakawa et Böcherer [AB03] ont montré en 2003 que κ est injective. D’après (3), cela révèle que
les travaux de Parent et les miens sont équivalents. Cependant, la théorie des formes modulaires
sur F̄p étant beaucoup plus développée en poids entier, il est plus facile de travailler avec des
formes modulaires de poids 2, donc avec G, plutôt que des formes de poids 3/2 dont g. J’ai ainsi
bon espoir que le critère (C’) permette d’éliminer les conditions sur p du théorème 4 (voir les
projets de recherche).
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15
Marusia Rebolledo
[email protected]
Concours MdC 2006
Projets de recherche
Ces projets de recherche s’inscrivent dans la continuité des travaux exposés dans le rapport de
recherche, en particulier dans les sections 3, 4 et 5, dont nous utiliserons librement les notations
et résultats.
Je m’intéresse tout d’abord à plusieurs questions précises dans la ligne directe de ces travaux.
J’en expose quelques unes plus loin.
Par ailleurs, au contact de mes collègues de Milan et de Lausanne, j’ai développé un intérêt
certain pour des théories qui pourraient être le cadre de mes recherches à plus long terme :
la théorie des courbes de Shimura pour lesquelles il est possible de généraliser les travaux des
sections 4 et 5, la théorie d’Iwasawa et des fonctions L p-adiques (en particulier les travaux de
Bertolini et Darmon), et la théorie des modules de Drinfeld qui est la version “corps de fonctions”
des courbes de Shimura, dans laquelle il existe un analogue au problème de Serre de la section 4
et qui pourrait donner de nouvelles idées pour résoudre le cas classique.
Module supersingulier et homologie
1. Interprétation de l’élément diagonal de Gross-Kudla dans l’homologie.– Comme
pour la formule de Gross, on souhaiterait avoir une interprétation de la formule de Gross-Kudla
0 −1
en terme de symboles modulaires. Plus précisément, notons Φ = θQ
◦ ψQ l’isomorphisme entre
+
−
PQ0 ⊗TQ PQ0 et HQ
⊗TQ HQ
et considérons
C = ∆03 ⊗T⊗3 ∆03 ∈ (PQ0 )⊗3 ⊗T⊗3 (PQ0 )⊗3 ∼
= PQ0 ⊗TQ PQ0
Q
⊗3
.
Q
Il serait intéressant de déterminer Φ⊗3 (C). Pour ce faire, on pourrait essayer d’exprimer C en
¯ 0 ⊗3 décrits dans le théorème 2
fonction des générateurs ∆
2
2. Analogue de la formule d’Eichler.– Je souhaiterais améliorer l’aspect, pour le moment
très technique, de l’analogue de la formule d’Eichler qui découle du théorème 3. La difficulté
principale réside dans le calcul du produit d’intersection e • eD . Je propose dans [2] une méthode
qui pourrait conduire à un calcul plus aisé.
Comparaison entre Gross et Gross-Kudla
1. Comparaison entre ym et γD .– La proposition 1 du rapport de recherche donne ym en
terme de combinaison linéaire d’éléments γD . Sachant que les éléments γD de Gross ainsi que les
éléments ym engendrent le T-module PQ [Ie ], nous sommes assurés du fait que γD s’exprime comme
e m ≥ 1. Il serait intéressant de déterminer explicitement une
combinaison linéaire de tym , t ∈ T,
telle expression.
2. Lien entre les formules de Gross et Gross-Kudla.– Dans la section 5 du rapport de
recherche, j’esquisse un lien entre la formule de Gross-Zhang et celle de Gross-Kudla : la première
est reliée à une forme modulaire de poids 3/2 et la seconde à une forme de poids 2 qui lui
correspond par la correspondance de Shimura. Étant donné le caractère complètement différent
de ces formules, c’est quelque chose d’assez étonnant et qui mérite d’être creusé.
Formes modulaires sur F̄p et lien avec la géométrie
La question qui me paraı̂t la plus significative est la question posée dans le paragraphe 4 : pour
p assez grand (p > 37 par exemple), pour un invariant ordinaire j la forme modulaire Gj =
(ιj ⊗ θ)(∆3 ) est-elle non nulle ? Une réponse positive à cette question résoudrait en effet le cas
“Cartan déployé” du problème de Serre exposé au début de la section 4.
16
Concours MdC 2006
Marusia Rebolledo
Pour prouver la non-nullité de Gj , je travaille actuellement sur deux pistes. Tout d’abord, je
cherche à utiliser le fait que G = (1 ⊗ θ)(∆3 ) s’exprime en terme de fonctions Theta associées
aux ordres maximaux de l’algèbre de quaternions ramifiée en p et l’infini. C’est d’autant plus
intéressant que la formule de Gross et les résultats de Arakawa-Böcherer nous donnent le rang du
Z-module que ces fonctions engendrent.
Une autre piste est de regarder la forme modulaire Gj ∈ F̄p ⊗M2 (Γ0 (p); Z) de façon géométrique,
c’est-à-dire comme section du faisceau des différentielles régulières sur X0 (p)F̄p ayant un éventuel
pôle aux pointes et telle que la somme des résidus soit nulle : Gj ∈ H 0 (X0 (p)F̄p , Ω(−pointes)).
On peut alors l’évaluer aux points supersinguliers vus comme des sections de X0 (p)F̄p c’est-à-dire
déterminer son image par l’isomorphisme composé
∼
∼
H 0 (X0 (p)F̄p , Ω(−pointes)) −
→ Cot(JeF̄p ) −
→ F̄p ⊗ P
où Je est la jacobienne généralisée de X0 (p) relativement aux pointes. J’ai récemment effectué avec
Magma des calculs numériques dans cette direction.
Cas “Cartan non déployé” avec isogénie
Le cas “Cartan non déployé” du problème de Serre énoncé au début de la section 4 est difficile
d’accès. La raison principale est l’absence de quotient de rang nul pour la jacobienne de la courbe
modulaire paramétrant ce problème de modules. En revanche, c’est beaucoup plus simple si l’on
ajoute une structure auxilaire comme une l-isogénie (l 6= p premier), c’est-à-dire si l’on s’intéresse
aux courbes elliptiques E sur Q non CM telles que la représentation ρp (E) est à image dans le
normalisateur d’un Cartan non déployé et qui possèdent de plus une l-isogénie rationnelle. En effet,
la courbe modulaire correspondante admet alors un quotient de rang nul. J’espère donc adapter
les méthodes de la section 4 à ce cas.
Généralisation à des niveaux non premiers, courbes de Shimura
Böcherer et Schulze-Pillot ont généralisé la formule de Gross-Kudla pour un produit f1 ⊗ f2 ⊗ f3
de formes modulaires de poids et niveaux non forcément égaux. Cette formule faisant intervenir
une sorte d’élément diagonal à la Gross-Kudla, il serait intéressant de généraliser les techniques
de la section 4 dans ce contexte.
Concours MdC 2006
17
Marusia Rebolledo
Références
[AB03]
[Coh93]
[DS05]
[Eme02]
[Fig99]
[GK92]
[Gro87]
[Kam92]
[Kat04]
[Koh82]
[Maz77]
[Maz78]
[Mer]
[Mer96]
[Mer01]
[MO]
[MS01]
[Par05]
[RV99]
[Sch85]
[Ser72]
[Ser87]
[Vig85]
[Was03]
[Zha01]
18
T. Arakawa and S. Böcherer. Vanishing of certain spaces of elliptic modular forms and
some applications. J. Reine Angew. Math., 559 :25–51, 2003.
H. Cohen. A course in computational algebraic number theory, volume 138 of Graduate
Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
F. Diamond and J. Shurman. A first course in modular forms, volume 228 of Graduate
Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2005.
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Concours MdC 2006

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