Histoire de la fixation de la date de la fête de Pâques et de

Histoire de la fixation de la date
de la fête de Pâques et de son calcul
Damien W YART
[email protected]
13 mars 2002
Séminaire-laboratoire Pensée des sciences, ENS/Ulm
« É,  ’,   : Sur les calendriers,
on ne sait pas ce que c’est. »
Gustave F, Dictionnaire des idées reçues, 1879.
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Introduction
Introduction
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Introduction
Interrogations intuitives
– Pour quelles raisons la date de Pâques change-t-elle chaque année ?
– Comment cette date est-elle déterminée ?
– Peut-on connaître cette date pour une année donnée sans utiliser
un calendrier ?
– Ces dispositions vont-elles changer un jour ?
– Quelles sont les applications pratiques de tout cela ?
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Introduction
Mes objectifs
– Aspects historiques du comput (notions et techniques utilisées
pour déterminer Pâques).
– Synthèse non-technique de mes recherches sur les aspects
algorithmiques des calendriers.
– Partager cette passion. Vulgariser ces questions très peu connues
des non-spécialistes.
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Introduction
Vos objectifs
– Origine et signification des principaux éléments du comput, dont
la date de Pâques.
– Algorithme de G.
– Quelques aspects quotidiens ou insolites qui sont liés au caractère
mobile de la fête de Pâques.
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Introduction
Remarques
1. Exposé non exhaustif : thème très riche.
2. Aspects laissés de côté :
– questions théologiques,
– détails historiques précis,
– détails bibliographiques.
3. Vous pouvez poser des questions au cours de l’exposé.
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Introduction
Plan
1. Quelques anecdotes personnelles.
2. Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput.
3. Aspects directement liés à l’histoire des sciences.
4. Sélection d’aspects plus anecdotiques.
5. Conclusion.
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Introduction
Points de repère importants
325
525
1582
Travaux de
Denis le Petit
Concile
de Nicée
Réforme
grégorienne
du calendrier
1800
1876
1941
1997
après J.C.
Dernier
algorithme
d’O
Algorithme
de G
Algorithme
anonyme
de Nature
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Algorithme
de L
(échelle
non linéaire)
Première partie : Quelques anecdotes personnelles
Première partie :
Quelques anecdotes personnelles
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Première partie : Quelques anecdotes personnelles
Calcul de la date de Pâques : très anecdotique, très peu connu du
« grand public ». Pourquoi s’y intéresser ?
Vieux livre de récréations mathématiques, qui présentait (de manière
erronée !) l’algorithme de G pour déterminer Pâques.
Obtention de quelques articles classiques, recherche des références
citées. Et ainsi de suite...
Une passion !
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Première partie : Quelques anecdotes personnelles
Actuellement
– Plusieurs centaines de références bibliographiques
– Projet de livre (en collaboration) pour présenter les différents
aspects du comput. Documentation disponible : éparpillée,
souvent ancienne.
– Plus de recul sur ce sujet et ses multiples facettes.
– Intérêt marqué pour les calendriers en général (pas uniquement la
date de Pâques !).
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Première partie : Quelques anecdotes personnelles
Thème très riche
Comput ecclésiastique recouvre :
– théologie,
– histoire, diplomatique et chronologie,
– épistémologie,
– hémérologie (science des calendriers),
– astronomie,
– mathématiques (pas seulement amusantes),
– informatique, théorique (algorithmique) et pratique (dates),
– horlogerie...
Vie quotidienne : vacances scolaires, jours fériés, fabricants de
calendriers et d’agendas...
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Deuxième partie :
Aspects concernant l’histoire religieuse
et le comput
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Quand la fête de Pâques a-t-elle lieu ?
Pâques est le dimanche qui suit immédiatement la première pleine lune
venant après (ou le jour même de) l’équinoxe de printemps
(qui tombe toujours le 21 mars pour la lune fictive du comput).
Concile de Nicée : 325 après .. Impose Pâques entre le 22 mars (inclus) et
le 25 avril (inclus).
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Origines et significations de la fête de Pâques
À l’origine, Pâques = fête célébrant les moissons à venir. Fixée à la première
pleine lune du printemps. Coïncidence avec la fuite vers l’Égypte : modifie sa
charge symbolique. Dans le calendrier juif, date fixe.
Chez les chrétiens, deux camps : fêter la Cène, la veille de la passion et
de la mort du Christ, ou fêter sa résurrection. Chrétiens d’Asie
(proches de la tradition juive) : optent pour la première solution.
Pâques au 14 Nisan (la Cène : repas de la Pâque juive).
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Vers la définition actuelle
Fin du e siècle : Victor er impose la célébration de la résurrection
du Christ. Excommunie les réfractaires.
Hésitation subsiste : suivre à la lettre le calendrier juif ou conserver
une allusion au dimanche (jour du constat de la résurrection) ?
Polémiques jusqu’au concile de Nicée, en 325. Adoption de la règle
très générale citée précédemment. Divergences résiduelles pendant
plusieurs siècles.
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
La lune fictive du comput
Détermination de la date de Pâques relativement compliquée car liée au
calendrier juif (basé sur les cycles solaires et lunaires). Calendrier grégorien :
cycle solaire uniquement.
Attendre chaque année le nouveau croissant de lune ? Non : Plus
commode (et plus simple techniquement) d’établir la date de Pâques
longtemps à l’avance. Utilisation d’une lune fictive moyenne (lune du
comput).
Calcul introduit en 525 par Denys le Petit (inventeur de l’ère chrétienne).
Fixe le calendrier julien par la même occasion.
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
La réfome grégorienne
Imperfections du calendrier julien : consternation parmi les dignitaires de
l’Église chrétienne.
Maintien du pouvoir : réforme compliquée. Clavius (un des auteurs
de la réforme grégorienne de 1582) reconnaît : on aurait pu en
profiter pour fixer la date de Pâques, ou la rendre presque fixe (en
choisissant par exemple le premier dimanche d’avril).
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Les Orthodoxes
Certains orthodoxes (Grèce) : se basent sur le calendrier julien.
Transition difficile vers une nouvelle définition unifiée et
astronomique du comput.
De la fête juive de Pessah à la date de Pâques dans le calendrier grégorien :
calculs de plus en plus sophistiqués.
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Pâques unifié ou fixé ?
Congrès d’Alep (mars 1997) : tentative d’adoption d’une nouvelle
définition unifiée pour Pâques, basée sur la lune réelle (méthodes
modernes de prévision très précises). 2001 : concordance de Pâques
en julien et en grégorien. Opportunité d’amorçage.
Églises orthodoxes : réticentes à ce changement. Abandon du projet.
Définition actuelle : n’est plus menacée. Fixation de cette fête très peu
probable.
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Deuxième partie : Aspects concernant l’histoire religieuse et le comput
Éléments du comput
Pourrait constituer un exposé à part entière. Liste extrêmement succinte de ces
notions.
La lettre dominicale : liée à la position relative des dimanches dans
une année.
Le nombre d’or : rang d’une année dans un cycle privilégié de
périodicité de la lune par rapport à notre calendrier.
L’épacte (introduite par la réforme grégorienne) : clé de voute du
comput. Représente l’âge de la lune fictive au 1er janvier, diminué
de un.
Date de Pâques d’une année : combinaison de ces trois quantités.
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Troisième partie :
Aspects liés à l’histoire des sciences
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Calendrier julien : seule façon de connaître la date de Pâques = consultation
de tables. Pas de formules ! Tables : nombre d’or et lettre dominicale sur de
longues périodes (épacte non utilisée pour le calcul de la date de Pâques en
style julien). Table perpétuelle sur tout le cycle pour le calendrier julien.
Impossible en style grégorien.
Comput (une étymologie de computer) : principale motivation pour
le développement de l’arithmétique à cette époque.
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Méthode de Gauss (1)
Première méthode complètement basée sur l’algèbre. Publiée en 1800
(Gauss a 23 ans). Sa mère voulait savoir quel jour il était né. Un
mercredi, huit jours avant une fête de l’Ascension. G : résout le
problème le 16 mai 1800 (journal)
Très grande influence. Caractère très frappant (à l’époque).
Fonctionnement non calqué sur les tables officielles.
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Méthode de Gauss (2)
Continue de susciter des publications. Nombreux auteurs (parmi les
plus connus : C, D, G, B, O,
G) : démonstrations, corrections, généralisations. G :
rectifie lui-même quelques années plus tard.
G également célèbre pour sa méthode de détermination de la date grégorienne de la Pâque
juive (fixe dans le calendrier juif). Publiée en 1802. Sans erreur. Problème beaucoup plus
difficile.
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Passage célèbre : G explique pourquoi il ne démontre pas ses
formules.
Termine une de ses œuvres les plus importantes (il est encore très
jeune !) : les Disquisitiones arithmeticae, publiées en 1801. Pose les
fondations de l’arithméthique moderne et de la théorie moderne des
nombres. Exemple : notation actuelle des congruences d’entiers
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
La méthode de Gauss (3)
(1)
Y
←−
année
(2)
a
←−
Y mod 19
(3)
b
←−
Y mod 4
(4)
c
←−
Y mod 7
(5)
←−
k
(6)
(7)
p
←−
q
←−
Y
100
8k + 13
25
k
4
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
La méthode de Gauss (4)
(8)
M
←−
15 + k − p − q
(9)
N
←−
4+k−q
(10)
d
←−
(19a + M) mod 30
(11)
e
←−
(2b + 4c + 6d + N) mod 7








le (22 + d + e − 7) mars





date de Pâques
←−


ou






le (22 + d + e) mars




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

d = 29 et e = 6


si



sinon.
ou
d = 28, a > 10 et e = 6
Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
La méthode de Gauss (5)
En 2002 :
a = 7, b = 2, c = 0, k = 20, p = 6, q = 5, M = 24, N = 19, d = 7 et e = 2.
Pâques : 31 mars 2002.
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Quelques autres méthodes importantes
Nombreux auteurs : méthodes « plus générales », plus « simples », etc.
Très subjectif.
Principaux algorithmes de détermination de Pâques :
– Algorithmes d’origine française : F (1813), D (1815–1821),
A (v. 1917), O (1940–1941), T (1992).
– Algorithmes italiens : C (1817), G (1818),
– Algorithmes anglo-saxons : le fameux anonymous New-York correspondant de la
prestigieuse revue Nature (1876), B (1877), K (1962), O’B
(1965), B (avec C et G, 1982), C (1986 ?), M
(1995), R (1998).
– Algorithmes allemands : G (1800, corrigé en 1807 et 1816), P (1841),
L (1997).
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Troisième partie : Aspects liés à l’histoire des sciences
Beaucoup d’autres...
Plus de simplicité → période réduite de validité des calculs.
Cycle pascal complet : période de 5 700 000 ans dans le calendrier
grégorien. Concepteurs très confiants en sa pérennité...
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Quatrième partie : Sélection d’aspects plus anecdotiques
Quatrième partie :
Sélection d’aspects plus anecdotiques
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Quatrième partie : Sélection d’aspects plus anecdotiques
Méthodes basées sur les doigts de la main
Méthodes mnémotechniques étudiées et exposées dans deux articles
(1926–1928) par Florian C (célèbre historien et épistémologue
des mathématiques). Datent souvent de plusieurs siècles. Permettent
de retenir certaines tables en associant des éléments à des phalanges.
Il faut mémoriser des données annexes.
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Quatrième partie : Sélection d’aspects plus anecdotiques
L’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg
Thème extrêmement riche. Plusieurs livres sur ce sujet. Réalisation
très impressionnante (achevée en 1842, après 40 années de réflexion
et de conception et 4 années de construction). Beauté, soin apporté à
sa réalisation, ampleur du travail nécessaire à sa construction :
remarquables !
Horloge de Copenhage : seule à avoir un mécanisme de comput aussi
général.
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Quatrième partie : Sélection d’aspects plus anecdotiques
Nomogramme de Damien Garrigues
Publié en 1939. Remarquable dans le contexte de l’époque.
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Quatrième partie : Sélection d’aspects plus anecdotiques
La montre Calibre 89 de Patek Philippe
Seule montre mécanique qui calcule la date de Pâques. Montre la plus
compliquée jamais réalisée (1728 pièces).
Fonctions : Heures, minutes et secondes du temps sidéral - Heures pour un second fuseau
horaire - Heures de lever et de coucher du soleil - Equation du temps - Régulateur à tourbillon Calendrier perpétuel - Correction séculaire de l’année bissextile - Date du mois - Siècle, décade,
année - Jour de la semaine - Mois de l’année - Cycle de quatre ans des années bissextiles Aiguille du soleil (saisons, équinoxes, solstices et signes du zodiaque) - Carte du ciel - Age et
phases de la lune - Date de Pâques - Chronographe - Rattrapante - Compteur totalisateur sur
30 minutes - Compteur totalisateur sur 12 heures - « Grande sonnerie » avec carillon - « Petite
sonnerie » avec carillon - Répétition minutes - Réveil - Indication de réserve de marche du train
principal - Indication d’armage du train de sonnerie - Blocage de sécurité du train de sonnerie
en fin de course - Double barillet avec remontage différentiel - Dispositif de mise à l’heure et de
remontage à quatre positions - Indication de la position de la couronne.
Pas vraiment de calcul de Pâques : mécanisme (breveté) affiche la date
précalculée et « stockée » grâce à des rouages spécialement étudiés.
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Conclusion
Conclusion
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Conclusion
Plusieurs aspects complémentaires du comput ecclésiastique :
histoire, principes, rapport avec notre calendrier, étude par les
mathématiciens au cours des siècles, applications insolites.
Difficile de résumer de façon intéressante et pertinente un sujet aussi
riche. Présentation rapide de plusieurs points de vue très différents.
Compromis : niveau de détail, nombre d’aspects de la question
abordés, caractère anecdotique de certains exemples et trame générale
du sujet.
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Conclusion
Merci d’être venus assister à cette présentation !
Des questions ?
Des avis sur cet exposé ?
Transparents disponibles en ligne :
<http://damien.wyart.free.fr/paques.pdf>
Me contacter par courrier électronique
pour obtenir des précisions supplémentaires...
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