Copie de Des allumettes dans l™aquarium3

Des allumettes dans l’aquarium
Un problème original à
résoudre…
Ou comment tirer parti d’une situation fortuite
pour résoudre un problème portant sur une
grande quantité au cycle 2.
Ce travail a été réalisé par la classe de
grande section et cours préparatoire de
l ’école publique de Saint-Maudet à CloharsCarnoët.
Mais que font toutes ces allumettes
dans un aquarium ?
• Christian Carignon, metteur en scène en
résidence pendant trois semaines dans la
classe de CM, a eu besoin, pour réaliser
une maquette de la classe, d’une trentaine
de boîtes d’allumettes symbolisant les
tables. Ne sachant que faire des
allumettes que contenaient les boîtes, il
les a mises dans un petit aquarium.
• Les élèves de la classe de grande sectionCP ont découvert avec étonnement le
contenu de l’aquarium et ont
instantanément exprimé l’idée qu’il y avait
vraiment beaucoup d’allumettes dans cet
aquarium ! Yves, le maître de la classe a
alors demandé à ses élèves : « Combien y
a-t-il d’allumettes dans l’aquarium ?» et ce
fût le point de départ de plusieurs séances
intenses de réflexion et de recherche… ..
• A la question concernant le nombre
d’allumettes, les élèves ont répondu, entre
autres : « il y a treize allumettes » ; « il y
en a beaucoup ».
• Yves a alors pris treize allumettes dans sa
main. Un élève a dit « Il y en a encore
beaucoup » et un autre « On pourrait les
compter »… .
• Quelques jours plus tard, il est décidé
d’utiliser les allumettes de l’aquarium pour
en faire un jeu lors de la kermesse
prochaine.
• « On pourrait demander aux gens de dire
combien il y a d’allumettes dans
l’aquarium ».
• Les élèves ont rédigé le texte incitant à
participer au jeu.
1
• Le lendemain de la kermesse, voilà nos élèves
de grande section-cp au pied du mur ! Ils ont en
main les nombres proposés par les participants
au jeu… et toujours l’aquarium rempli
d’allumettes. Un débat a lieu. Tanguy propose
de compter « très vite », Clara de « compter en
même temps à plusieurs », Adam de «faire des
paquets », Gaëlle de « donner à toute la classe
une poignée, on compte et on dit le nombre »,
Jérémy de « faire des paquets de cinq », un
autre propose de « faire des paquets de dix
comme dans Picbille », et une petite élève
propose même « un prend les allumettes dans
l’aquarium et toute la classe compte ».
• Les remarques faites sont une précieuse
indication pour le maître ; on distingue
nettement les élèves ayant compris la
nécessité du groupement pour faciliter le
comptage et ceux qui pensent encore
qu’on peut dénombrer une telle quantité
par le comptage de un en un. Les activités
suivantes, collectives et débattues au sein
de la classe ont été à même de faire
évoluer les conceptions et les procédures
des élèves.
• Après quinze minutes de débat, l’idée de
faire individuellement, sur sa table, des
paquets de dix allumettes, est retenue.
Yves circule pour poser une poignée
d’allumettes sur chaque table… et voilà
toute la classe au travail.
2
• Yves circule et vérifie que chaque paquet
contient bien dix allumettes ; lorsque ce n’est
pas le cas, il signale à l’élève qu’il n’est pas
d’accord avec lui pour tel ou tel paquet.
• Certains élèves sont organisés, d’autres moins,
leurs paquets d’allumettes sont trop proches et
ont tendance à se mélanger… Les élèves ont
conclu d’eux- mêmes qu’il était difficile de «
toujours compter dix », que l’inattention, la
vitesse pouvait être source d’erreur.
• Lorsque l’aquarium fut vide, les tables des
élèves étaient encombrées par les allumettes… .
• Yves met en évidence le fait qu’il n’est pas
possible de laisser la classe ainsi encombrée.
• Un débat permet de recueillir diverses
propositions, l’idée qu’il faut remplacer les
allumettes par autre chose apparaît ; le maître
laisse les élèves chercher dans le matériel de la
classe ce qui pourrait se substituer aux paquets
d’allumettes. Certains proposent de mettre un
feutre à la place de chaque paquet ; finalement,
ce sont les réglettes Cuisenaire que les élèves
trouvent dans la classe qui sont choisies.
3
Et maintenant, comment faire ?
• Avant d’aller chercher le nombre de réglettes
dont il a besoin, chaque élève inscrit sur un
papier le nombre de paquets de dix qu’il a sur sa
table, sans s’occuper pour l’instant des
allumettes « qui ne sont pas dans un paquet ».
Les termes de dizaines et unités sont utilisés
lors de cette phase de travail. Chacun écrit le
nombre de dizaines qu’il a sur sa table, puis le
nombre d’unités. Yves introduit le codage « d »
pour dizaine et « u » pour unité.
• Les élèves vont chercher les réglettes et
les déposent sur leur table ; Yves vérifie le
travail et en cas d’accord, l’élève va
remettre les allumettes dans l’aquarium. Il
y a maintenant sur les tables des
réglettes… qui sont difficiles à compter
lorsqu’elles sont posées de manière
désordonnée.
• La réflexion collective conduit les élèves à
proposer de regrouper les barres par dix,
comme ils l’avaient fait pour les
allumettes.
• Pour faciliter la vérification du travail de
regroupement des barres par dix, un élève
propose de bien aligner les uns sous les
autres les paquets de dix, comme le sont
les perles du boulier.
4
• A ce stade du travail, les élèves ont vérifié que
le nombre de réglettes qu’ils avaient aligné
correspondait au nombre de dizaines qui était
écrit sur leur papier. Ils décident de s’associer et
de mettre en commun leurs rangées de
dizaines, afin de faire de nouveaux
regroupements par dix : la chasse aux barres et
aux rangées est ouverte dans la classe, l’objectif
étant de coopérer pour constituer des
regroupements de dix rangées de dix réglettes.
• Les équipes qui ont réussi à regrouper sur une
table dix rangées de dix réglettes sont invitées à
lever le doigt : il y en a 6. En regroupant les
barres restantes, un septième regroupement est
possible.
• Une nouvelle substitution d’objets est décidée :
une plaque carrée remplace les dix paquets de
dix réglettes.
• A la fin des échanges, les élèves voient sur une
table…
La situation fortuite, source de
difficultés…
• Le nombre – 7677 - est écrit par le maître
au tableau ; certains élèves parviennent à
le lire en commençant par la droite :
d’abord 77 puis un des élèves énonce 677
car il dit savoir « qu’après les dizaines, il y
a des centaines », un autre complète en
disant qu’ensuite « il y a les mille… ».
• Là encore, on voit des élèves coopérer et
élucider collectivement un problème ; chacun
apporte ce qu’il sait pour résoudre la difficulté
rencontrée.
• Pour le maître, le fait que le chiffre 7 apparaisse
trois fois peut poser problème et être une source
de confusion pour les élèves. Mais impossible
de « truquer » le résultat ! Une nouvelle difficulté
va surgir rapidement… il va falloir en effet lire les
propositions des joueurs pour déterminer le
gagnant !
• Yves dispose des estimations des joueurs. Il
énonce oralement les nombres, en s’arrêtant
aux milliers. « deux mille » « quatre mille » etc…
sans donner le nom du joueur pour gommer la
dimension affective (car les élèves et leurs
familles ont joué, un lot est en jeu et ils ne
l’oublient sans doute pas !) et pour maintenir la
concentration sur les nombres.
• Intuitivement, les élèves sentent que « deux
mille » c’est loin de « sept mille », que « six mille
» c’est plus près parce que « six » et « sept »
sont proches.
5
• En procédant ainsi par élimination de ce qui leur
paraissait vraiment trop éloigné de – 7677 – les élèves
décident de retenir les nombres suivants comme étant
les plus proches : 5214 – 8050 – 8000 – 7250
• Après discussion, 5214 est éliminé ; puis 8050 est
éliminé « car c’est plus que 8000 » donc ils en déduisent
logiquement (puisqu’il n’y aura qu’un seul gagnant) que
8050, c’est « encore plus loin de 7677 que 8000 ».
• Les élèves remarquent que 7677 se situe entre 7250 et
8000. Ils retiennent ces deux nombres. Mais comment
déterminer le gagnant ?
• La classe est partagée : certains pensent que c’est 7250 – « car il y le même chiffre pour les mille ». Oui
mais comment être sur ? demande le maître.
• Un élève fait alors remarquer qu’il y a 4
de différence entre le 2 de 7250 et le 6 de
7677… un autre précise alors que ce
n’est pas 4 mais 400 !
• Cet élève là précise pour l’ensemble de la
classe que la position du chiffre dans le
nombre est essentielle.
• Le problème se pose alors de savoir comment
s’écrit en chiffres, le nombre 400. Yves pose
l’addition en colonnes au tableau : 7250 + 400 =
7650. Les élèves remarquent « qu’il en manque
encore pour arriver à 7677 ». Puis Yves ajoute
400 à 7677, toujours de la même façon ; le
résultat est 8077. Les élèves remarquent que «
on a dépassé 8000 donc on a ajouté trop » et ils
en déduisent que 8000 est plus près de 7677
que 7250. Après vérification du nom du gagnant,
les élèves sont heureux de constater que c’est
Maël, un élève de la classe qui a gagné !
6
• Dans leur cahier de vie, les élèves ont élaboré
collectivement (dictée à l’adulte) le récit de cette
aventure mathématique.
• On peut y lire, entre autres :
• « Beaucoup pensaient qu’une classe de grande
section- CP ne pourraient pas compter toutes
ces allumettes ; Yves leur disait que si».
• « Nous avons fait des additions comme les
grands »…
• Le texte se termine ainsi : « avec les
cuisenaires, nous pouvons faire des additions,
des égalités, même les «grande section»
peuvent faire ces jeux.
Et s’il fallait en retenir quelque chose ?
• Collectivement les élèves dépassent leurs difficultés par
le débat et la coopération.
• On peut manipuler des nombres avant de savoir les lire.
• C’est parce que la tâche était difficile et qu’il y avait un
enjeu réel (participer à l’organisation de la kermesse)
que les élèves sont restés très motivés jusqu’au terme
de l’activité.
• On peut résoudre des problèmes portant sur de grandes
quantités dès le cycle 2, en s’appuyant sur les
connaissances des élèves et sur leur capacité à inventer
des procédures.
• Le maître a apporté son savoir quand celui des élèves
n’était plus suffisant pour avancer dans la résolution du
problème.
• « Enseigner le simplifié, c’est enseigner le dénaturé »
(Bernard Devanne) ; on apprend mieux et davantage
lorsque la situation est complexe.
7