Filtrage Inverse et de Wiener

Filtrage Inverse et de Wiener
Jean-François Lerallut
Veronica Medina
Joaquín Azpiroz Leehan
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
1
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Restauration d’images
Récupération d’une image dégradée par
les instruments de détection.
– Artefacts de mouvement
– Distorsions géométriques
– Problèmes de mise au point
– Contamination par du bruit
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
2
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Modèle de dégradation de l’image
Modèle simple:
g(n1,n2) = f(n1,n2) * h(n1,n2) + b(n1,n2)
f: image originale
g: image observée
h: “blur point spread function”
b: bruit
f(n1,n2)
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
H
b(n1,n2)
+
3
g(n1,n2)
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage Inverse
• Dans le filtrage inverse l’idée est d’obtenir l’entrée
d’un système (l’image d’origine) à partir de la sortie
(image dégradée).
• Dans un système sans bruit, un filtre inverse
donnerait f(n1,n2) à partir des observations g(n1,n2).
On peut l’exprimer comme:
−1
=
g ( x ) g ( x ) ou
I
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
4
g ( g ( x )) = x
I
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage Inverse
Si le bruit, n est négligeable dans le domaine
de la fréquence:
G(w1 , w2) = f(w1 , w2)h(w1 , w2)
Si la fonction de dégradation est connue à priori:
G (ω 1 ,ω 2 )
!
F (ω 1 ,ω 2 ) =
H (ω 1 ,ω 2 )
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
5
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage Inverse:
1: original
2: déformation
3: restauration
4: erreur
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
6
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
( d ’après R. Gonzalez et P. Wintz, 1987 )
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
7
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
8
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
9
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage Pseudo-inverse
• Les filtres inverses s’utilisent quand le type de dégradation
qui se trouvera à la sortie du système d’acquisition et
d’affichage d’image est connu. En pratique ils sont difficiles à
construire, parce qu’ils sont instables.
• Or, si h(w1, w2)=0, il ne peut pas exister h-(w1, w2)
• En pratique, on définit un filtre pseudo-inverse comme:
1

 H ( ω ,ω ) , H ≠ 0
1
2
H − ( ω 1 ,ω 2 ) = 

 0 ,
H =0
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
10
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtres De Wiener
• Le problème principal des filtres inverses est leur
sensibilité au bruit. Le filtrage de Wiener peut
s’employer pour effectuer la restauration de ce type
d’image.
• S’il existe une image s(n1,n2) contaminée par un
bruit additif n(n1,n2) avec une moyenne zéro et qui
produit une image observée g(n1,n2):
g(n1,n2)=s(n1,n2)+n(n1,n2).
n(n1,n2) est un signal aléatoire stationnaire
bidimensionnel avec une moyenne nulle
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
11
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtres de Wiener
• On veut estimer la valeur de l’image
bruitée qu’on observe, en utilisant un
filtre linéaire qui a une réponse
impulsionnelle telle que l’erreur
quadratique moyenne soit minimisée:
[
2
] [
E = E e( n1 , n2 ) = E s( n1 , n2 ) − ŝ( n1 , n2 )
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
12
2
]
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener
• Le filtre qui remplit ces conditions est:
∞
∞
∑ ∑h
k = −∞ l = −∞
w
( m − k , n − l )Rgg ( k , l ) = Rsg ( m , n )
• où Rgg(k,l) et Rsg(m,n) représentent l’autocorrélation
et la corrélation croisée respectivement:
Rgg ( k , l ) = E [g ( m , n ) g ( m − k , n − l )]
Rsg ( m , n ) = E [s( m , n ) g ( m − k , n − l )]
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
13
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener
• En appliquant la transformée de Fourier (TDF) au filtre, on en
obtient la fonction de transfert :
H ω ( ω 1 ,ω 2 ) =
Psg ( ω 1 ,ω 2 )
Pgg ( ω 1 ,ω 2 )
où Psg(w1, w2) Pgg(w1, w2) sont le spectre croisé entre s et g et le
spectre de g respectivement, c’est à dire, les TDF de
Rgg(k,l) et Rsg(m,n).
• Ce filtre est connu comme le filtre de Wiener non causal.
Si le signal, et le bruit ne sont pas corrélés, la fonction de transfert
du filtre est:
P ( ω ,ω )
H ω ( ω 1 ,ω 2 ) =
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
ss
1
2
Pss ( ω 1 ,ω 2 ) + Pnn ( ω 1 ,ω 2 )
14
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener
• Le filtrage de Wiener est employé fréquemment pour éliminer
du bruit additif.
• Lorsque le spectre du signal Pss(w1, w2) est beaucoup plus
intense que celui du bruit, Pnn(w1, w2), la fonction de transfert
se rapproche de la valeur un.
• Dans le cas où Pnn(w1, w2) >> Pss(w1, w2), la fonction de
transfert se rapproche de: Pss(w1, w2)/ Pnn(w1, w2), et de
cette façon les composantes fréquencielles s’atténuent
proportionnellement au rapport signal/bruit.
• En général le rapport signal/bruit est haut pour les
fréquences spatiales basses, et de cette manière ce filtre se
comporte comme un filtre passe bas.
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
15
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: Exemples
On montre l’image d’origine et une image avec un bruit gaussien de
moyenne zéro et variance=0.001.
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
16
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: Exemples
Images bruitées et traitées avec un filtre de Wiener
avec un masque de taille 3 x 3
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
17
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: Exemples
Images bruitées et traitées avec un filtre de Wiener
avec un masque de taille 7 x 7
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
18
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: originale
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
19
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
F.W: bruitée variance = 0.001
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
20
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: FW 3 x 3
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
21
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: FW 7 x 7
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
22
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
FW bruit, variance=0.05
Images bruitées et traitées avec un filtre de Wiener
avec un masque de taille 3 x 3
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
23
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
FW bruit, variance=0.05
Images bruitées et traitées avec un filtre de Wiener
avec un masque de taille 7 x 7
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
24
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
F.W: bruitée variance = 0.05
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
25
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: FW 3 x 3
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
26
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Filtrage de Wiener: FW 7 x 7
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
27
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM
Conclusions
• Le principe consiste à obtenir l’entrée d’un système
(l’image d’origine « idéale ») à partir de la sortie
(image dégradée).
• Filtrage inverse, si la dégradation est connue, mais ce
filtre est sensible au bruit.
• Filtres de Wiener: minimiser l’erreur quadratique
moyenne. Peut être utilisé pour éliminer du bruit
additif.
• En général aux fréquences spatiales basses, le
rapport signal/bruit est haut, et de cette façon, le
filtre se comporte comme un filtre passe bas.
BM-06 Chapitre 5 Filtrage de Wiener
28
Lerallut, Medina, Azpiroz
© 1999 UTC-UAM