Chapitre 2 — Bruit

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GEL–4203 / GEL–7041 — Exercices — Chapitre 2 — A–2010
Chapitre 2 — Bruit
Exercice 2.1
®
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La modélisation des composantes résistives d’un photodétecteur et de son amplificateur
est illustrée à la figure 2.1–a.
50 kW
@ 300 K
1 MW
@ 300 K
+
vth (t)
−
Figure 2.1–a – Circuit résistif équivalent d’un photodétecteur et de l’entrée
d’un amplificateur.
a) Calculez la densité spectrale de puissance de la tension, Svth (f ), due au bruit thermique
aux bornes de ces résistances.
b) Si la température de la résistance de 50 kW est réduite à la température de l’hélium
liquide (4 K), que devient la densité spectrale de puissance de la tension de bruit ?
c) Est-ce que le refroidissement supplémentaire de la résistance de 1 MW à cette même
température permettrait de réduire par un facteur encore plus élevé la tension de bruit ?
Si oui, par combien de dB ?
b
®
Exercice 2.2
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Considérez le circuit illustré à la figure 2.2–a. Supposez que le condensateur et l’inductance
sont idéaux, c.-à-d. sans pertes.
L
R
C
+
v(t)
−
Figure 2.2–a – Circuit résonnant RLC à température T .
a) Calculez la densité spectrale de puissance de la tension v(t) due au bruit thermique de
la résistance R.
© Pierre Tremblay 2002, 2010
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b) Vérifiez que le résultat que vous avez obtenu en (a) satisfait :
Sv (f ) = 4kT Ré{Z(f )},
où Z(f ) est l’impédance du circuit RLC, telle que vue à travers les bornes de droite.
Ce résultat général est connu sous le nom de Théorème de Nyquist.
c) Remplacer le circuit ouvert entre les bornes de droite par un court-circuit et calculez la
densité spectrale de puissance du courant i(t) due au bruit thermique de la résistance
R.
d) Vérifiez que le résultat que vous avez obtenu en (c) satisfait :
Si (f ) = 4kT Ré{Y (f )},
où Y (f ) est l’admittance du circuit RLC, telle que vue à travers les bornes de droite.
Ce résultat général est corollaire au Théorème de Nyquist.
b
Exercice 2.3
®
Un bruit blanc de courant i(t), de densité spectrale de puissance (monolatérale) Si (f ) =
Ni , est intégré pendant un temps τ . L’intégration d’un courant pendant un certain temps
résulte en une accumulation de charges. Le bruit résultant est donc :
q(t) =
Z t
i(t0 ) dt0 .
t−τ
a) Quelle est la réponse impulsionnelle correspondant à cette relation ? Déduisez-en la
réponse en fréquences.
b) Quelle est la densité spectrale de puissance de q(t) ?
c) Quelle est la valeur efficace (ou l’écart type) des fluctuations de la charge accumulée ?
b
®
Exercice 2.4
Quelle est la largeur équivalente de bruit d’un filtre de premier ordre :
H(f ) =
G
,
1 + jf /fc
où G est le gain à basses fréquences et fc est la fréquence de coupure à −3 dB ?
Suggestion : Utilisez la méthode des résidus.
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b
®
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Exercice 2.5
Quelle est la largeur équivalente de bruit d’un filtre de second ordre :
H(f ) = G
1 + jf /fc
,
1 + j2ζf /fn − f 2 /fn2
où G est le gain à basses fréquences, fc est la fréquence à +3 dB correspondant au zéro, ζ
est l’amortissement et fn est la fréquence propre non amortie du second-ordre ?
Suggestion : Utilisez la méthode des résidus.
®
Exercice 2.6
Vous observez un bruit de courant qui résulte de la somme de 3 composantes. Leurs
caractéristiques sont fournies au tableau 2.6–a.
Tableau 2.6–a – Composantes de bruit de courant.
composante
composante A
composante B
composante C
DSP√
13 nA/ √Hz
7,1 nA/ √Hz
0,21 µA/ Hz
NEBW
410 MHz
3 GHz
650 kHz
Quelle la valeur efficace du bruit de courant observé ?
Ï
Exercice 2.7
®
Un bruit blanc dont la densité spectrale est de 10−12 V2 /Hz est soumis à un filtre passe-bas
de premier ordre coupant à 200 kHz.
a) Tracez la densité spectrale de puissance du bruit filtré résultant. Utilisez des axes loglog.
b) Considérez que le bruit filtré ci-haut est échantillonné à une cadence de 100 MHz
avec un oscilloscope dont le convertisseur analogique-numérique fonctionne à 8 bits.
L’échelle de gain choisie sur l’oscilloscope permet une plage de 80 mV, soit 8 divisions
à 10 mV/division. Tracez la densité spectrale de puissance du bruit échantillonné et
numérisé résultant en considérant les impacts du repliement spectral et du bruit de
quantification.
c) Quelle est finalement l’écart type du bruit filtré échantillonné et numérisé ?
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b
®
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Exercice 2.8
Considérez l’amplificateur inverseur élaboré à l’exercice 1.1. Ajoutez les sources de bruit
opportunes au modèle développé en 1.1(c). Quelle serait la DSP du bruit de tension à la
sortie de l’amplificateur inverseur ?
Suggestion : utilisez l’équivalent Norton pour représenter la source ve (t) et la résistance R1 , ainsi que les DSP de bruit de courant pour caractériser les contributions du bruit
thermique.
BA