÷ ô ô

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2013-2014
Ayman Moussa
[email protected]
TD no 10 – Espaces de Sobolev.
Pour ξ
P Rd et α P Nd , on note ξα : ±dk1 ξkα , ℓpαq : α1 k
Exercice 1: Une autre définition
Pour s P R, on considère l’espace Hs pRd q : tu P S 1 pRd q : p1
du produit scalaire :
xu, vyH pR q :
s
»
d
Rd
αd , |ξ | : pξ12
ξd2 q1{2 .
|ξ|2qs{2 û P L2 pRd qu que l’on munit
p1 |ξ|2qs ûpξqv̂¯pξqdξ,
et de la norme associée.
1. Montrer que Hs pRd q est un espace de Hilbert et que la convergence dans Hs pRd q est plus fine que
la convergence dans S 1 pRd q : une suite convergente dans Hs pRd q est convergente dans S 1 pRd q.
2. Montrer que si a ¤ b, alors Hb pRd q ãÑ Ha pRd q avec injection continue.
3. Montrer que S pRd q est inclus et dense Hs pRd q, pour tout s P Rd .
Indication : Pour la densité on pourra calculer le produit scalaire d’un élément de Hs pRd q avec les
2
translatées de la Gausienne γ : x ÞÑ e|x| . On rappelle que cette dernière a pour transformée de
?
2
Fourier la Gaussienne x ÞÑ πe|x| {4 .
4. Soit m P N. On va montrer que S pRd q est dense dans l’espace de Sobolev Wm,2 pRd q défini en cours.
(a) Soit u P Wm,2 pRd q et θ
P D pRd q valant 1 sur la boule unité et à support dans Bp0, 2q. Montrer
que pdn θqu ÝÑ u et en déduire que les éléments à supports compacts de Wm,2 pRd q sont denses
nÑ8
Wm,2
dans cet espace.
Indication : Vérifier que les dérivées de ξ
n et appliquer la formule de Leibniz.
ÞÑ dn θpξq : θpξ{nq sont bornées indépendamment de
(b) Montrer à l’aide de la convolution que tout élément de Wm,2 pRd q peut être approché dans cet
espace par une suite d’éléments de S pRd q.
5. Soit m P N.
P Rd , et β P Nd tels que ℓpβ q ¤ m, on a ξ2β ¤ p1 |ξ|2qm .
Montrer qu’il existe une constante C ¡ 0 telle que
¸ 2α
¸ 2α
C 1
ξ ¤ p1 |ξ |2qm ¤ C
ξ .
(a) Montrer que pour tout ξ
(b)
p q¤m
p q¤m
ℓ α
ℓ α
(c) En déduire que les normes de Hm pRd q et de Wm,2 pRd q sont équivalentes sur la classe de
Schwartz.
6. En déduire que lorsque m P N, Hm pRd q coïncide avec l’espace de Sobolev Wm,2 pRd q et que les
normes respectives sont équivalentes.
7. Soient m, k
P N tels que m ¡ d{2
k.
(a) Montrer l’existence d’une constante C
}Bαf }8 ¤ C }ξαfˆ}1 .
¡ 0 telle que pour tout f P S pRd q et α P Nd on ait
1
(b) Montrer l’existence d’une constante D ¡ 0 telle que pour tout f
}ξαfˆ}1 ¤ D}f }Hm pRd q .
Rappel : x ÞÑ p1 |ξ |2qp P L1 pRd q dès lors que 2p ¡ d.
P S pRd q et ℓpαq ¤ k on ait
(c) Déduire de ce qui précède l’existence de d’une constante K ¡ 0 telle que pour toute fonction
à décroissance rapide f on ait sup }B α f }8 ¤ K }f }Hm pRd q .
p q¤k
ℓ α
C k pRd q : B α f P C0 pRd q, ℓpαq ¤ k u muni de la
}8 . On rappelle que c’est alors un espace de Banach. Soit maintenant
l’espace C0k
α
(d) On considère
norme }} : sup
p q¤k
ℓ α
}B
pR q : tf P
d
u P Hm pRd q et une suite pfn qn
(e)
P S pRd qN approchant u dans Hm pRd q.
(i) Montrer que pfn qnPN est de Cauchy dans C0k Rd q, on note v sa limite dans cet espace.
(ii) En étudiant la convergence de pfn qnPN dans S 1 pRd q, montrer que u v.
Déduire de tout ce qui précède qu’on a l’injection continue Wm,2 pRd q € C0k pRd q (déjà vue en
cours). Cette injection est-elle compacte ?
Voir la correction.
Exercice 2: Une EDP
Soit f P L2 pRd q. On cherche u P H2 pRd q vérifiant u ∆u f presque partout (tout cela fait sens :
les deux membres de l’équation sont dans L2 pRd q). Montrer qu’il existe une unique solution au problème.
Indication : Fourier.
Voir la correction.
2
Correction
Correction 1: Une autre définition
1. Montrons d’abord la complétude. Si pun qn est de Cauchy dans Hs pRd q, alors par définition de la
norme Hs pRd q, la suite p1 |ξ |2 qs{2 ûn qn est de Cauchy dans L2 pRd q (complet), et converge donc
dans cet espace vers une certaine limite que nous notons g P L2 pRd q. Nous allons montrer que
g
pR q 1
pun qn nHÝÑ
Ñ 8F
p1 |ξ|2qs{2 : f.
Déjà on a bien sûr f P Hs pRd q par construction. Ensuite,
s
d
}un f }2H pR q s
d
»
»
Rd
p1 |ξ|2qs |ûnpξq f pξq|2 dξ
|p1 |ξ|2qs{2 ûnpξq gpξq|2 dξ
R
}p1 |ξ|2qs{2 ûn g}22 nÝÑ
Ñ 8 0,
d
et on a donc bien la convergence annoncée. On vérifie ensuite que la convergence dans Hs pRd q
entraîne la convergence dans S 1 pRd q, soit donc pun qn convergeant vers u dans Hs pRd q. Si ϕ P S pRd q,
on a bien sûr ψ : ξ ÞÑ p1 |ξ |2qs{2 ϕpξ q P L2 pRd q, si bien que par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
on a
|xû ûn , ϕy| xp1 |ξ|2qs{2 pû ûn q, ψy ¤ }u un }H pR q }ψ}2 nÝÑ
Ñ 8 0,
s
d
et on a donc la convergence de pûn qn vers û dans S 1 pRd q, et donc celle de pun qn vers u dans le même
espace par continuité de la transformée de Fourier inverse sur celui-ci.
2. Si u P Hb pRd q, on écrit, pour a ¤ b
p1
PL8 pRd q
hkkkkkkikkkkkkj
PL2 pRd q
hkkkkkkkikkkkkkkj
2 a{2
|ξ|2qa{2 û pp11 ||ξξ||2qqb{2 p1 |ξ|2qb{2 ûP L2 pRd q,
si bien qu’on a l’inclusion Ha pRd q „ Hb pRd q et l’injection continue en question est juste l’identité
(la constante de continuité étant la norme de la fonction L8 pRd q précédente).
3. L’inclusion est claire, par définition de S pRd q et le fait que cet espace est stable par transformée
de Fourier. Pour ce qui est de la densité, on suit l’indication de l’énoncé. Les translatées de la
2
Gaussienne γ : x ÞÑ e|x| sont dans S pRd q € Hs pRd q, le produit scalaire est donc bien défini, et
?πeixa γ px{2q,
par défintion on a pour tout a P Rd , puisque τy
a γ pξ q xu, τa γ yH pR q xp1 |ξ|2qsû, τy
a γ y2 s
»
d
Rd
:f pξ q
hkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkj
p1 |ξ|2qsû?πeξ2 {4 eiaξ dξ,
et puisque la fonction f est bien sur intégrable, on a en fait xu, τa γ yHs pRd q fˆpaq. Ainsi, si u est
orthogonal à la famille pτa γ qaPRd dans Hs pRd q, alors fˆ 0, et donc également f 0 par injectivité.
Mais f pξ q g pξ qûpξ q, où g P S pRd q ne s’annule pas, on a donc pour toute fonction ϕ P S pRd q,
xû, ϕy xgû, ϕ{gy 0, et donc û 0 ñ u 0, encore par injectivité de la transformée de Fourier.
s
d
d
d
Finalement, on a obtenu pτa γ qK
aPRd t0u dans H pR q et donc Vecttτa γ : a P R u € S pR q dense
s
dans H pRd q.
3
4. (a) On a B α dn θ dn B α θ{nℓpαq , qui est bien sûr bornée par }B α θ}8 . On rappelle aussi la formule
de Leibniz généralisée, si β et α sont deux multi-indices de Nd , on définit la relation d’ordre
partiel β ¤ α par αi ¤ βi pour tout i,
B
α
où les termes
α
β
¸ α β
pf g q pB f qpBαβ gq,
β
β ¤α
sont les coefficients du binôme généralisé. On a donc ici,
B
α
¸ α β
pθn uq pB θn qpBαβ uq.
β
β ¤α
Puisque
θn est constante égale à 1 sur Bp0, nq, l’expression précédente converge presque partout
α α
vers
B u Bαu, et au vu de l’estimation obtenue sur les dérivées de dn θ, on a par ailleurs
0
|B pθn uq| ¤ sup }B
α
¤
β α
α
¸ α
αβ
θ}8
pB uq,
β
β ¤α
P Wm,2 pRd q) qui ne dépend pas de n. Le
W
pR q
théorème de convergence dominée montre finalement que pdn θuq ÝÑ u.
nÑ 8
d
D’après la question précédente il suffit bien sûr de montrer que S pRd q est dense dans Wm,2
c pR q
m,2
m,2
d
(les éléments de W pR q à supports compacts). Et de fait si u P Wc , et si pρn qn est une
approximation de l’unité à support compact, alors on a pu Æρn qn P D pRd q € S pRd q (les supports
qui est une fonction de carré intégrable (puisque u
m,2
(b)
d
s’additionnent avec la convolution, mais restent compacts), et puisque pour tout multi-indice
Bαpu Æ ρn q pBαuq Æ ρn , la convergence pu Æ ρn qn WnÑÝÑpR8 q u découle de
l’appartenance B α u P L2 pRd q et de la propriété classique de l’approximation de l’unité pρn qn :
2
f P L2 pRd q ñ pf Æ ρn qn ÝÑ f .
nÑ 8
Pour tout i, on a ξi2 ¤ p1 |ξ |2q. En élevant ceci à la puissance βi et en effectuant le produit
±d
des termes (tous positifs) de part et d’autres de l’inégalité on obtient bien ξ 2β i1 ξi2β ¤
p1 |ξ|2qβ β ¤ p1 |ξ|2qm .
m,2
d
α, et tout entier n,
5. (a)
i
1
d
(b) La question précédente permet d’obtenir facilement la première inégalité par sommation (C
dépend naturellement de m). Pour la deuxième, on peut par exemple écrire
p1 |ξ|2qm p1
ξ12
ξd2 qm
¸
p q¤m
cα ξ 2α ,
ℓ α
où la valeur précise du coefficient cα importe peu puisqu’on a
p1 |ξ|2qm p1
ξ12
ξd2 qm
¤
sup cα
p q¤m
ℓ α
¸
p q¤m
ξ 2α .
ℓ α
(c) D’après la formule de Plancherel, pour tout élément ϕ P S pRd q, on a pour tout α P Nd ,
α ϕ}2
}Bαϕ}22 p2π1 qd }By
2
p2π1 qd }ξαϕ̂}22 ,
et donc finalement
¸
p q¤m
}B ϕ} α
2
2
ℓ α
1
p2πqd
¸ »
ξ 2α |ϕ̂pξ q|2 dξ
p q¤
$
,
» & ¸
.
1
ξ 2α |ϕ̂pξ q|2 dξ,
d
p2πq Rd %ℓpαq¤m 4
ℓ α
d
m R
si bien qu’en utilisant la question précédente on a
C 1
»
Rd
p1 |ξ|2qm |ϕ̂pξq|2 dξ ¤
¸
p q¤m
}Bαϕ}22 ¤ C
»
ℓ α
Rd
p1 |ξ|2qm |ϕ̂pξq|2 dξ,
ce qui veut exactement dire
C 1{2 }ϕ}Hm pRd q
¤ }ϕ}W
m,2
pR d q ¤ C
{ }ϕ} m d .
H pR q
1 2
6. S pRd q est dense dans les deux espaces complets Wm,2 pRd q et Hm pRd q, et puisque les normes sont
équivalentes sur S pRd q, une suite de Cauchy pour l’une est une suite de Cauchy pour l’autre. Si
par exemple u P Wm,2 pRd q on dispose donc d’une suite pϕn qn P S pRd qN convergeant vers u dans
Wm,2 pRd q, elle est en particulier de Cauchy dans cet espace, et donc également dans Hm pRd q ;
si on note v sa limite dans ce dernier espace (complet), il s’agit de montrer que u v. Cela
peut par exemple se faire en remarquant que Wm,2 pRd q Hm pRd q € L2 pRd q (avec injection continue) et invoquer l’unicité de la limite dans le gros espace, on obtient ainsi l’inclusion ensembliste
Wm,2 pRd q „ Hm pRd q, et l’égalité découle de la symétrie des rôles joués par les deux espaces. L’équivalence des normes s’étend bien sûr alors par densité de S pRd q.
7. (a) Pour f
P S pRd q, par la formule d’inversion on a
~
~
i z
αˆ
α
z
Bαf p2π1 qd Bz
f
p2πqd ξ f,
α
~
z
z
si bien que }B α f }8 p2π qd }ξ α fˆ }8 p2π qd }ξ α fˆ}8 ¤ p2π qd }ξ α fˆ}1 , où l’on a utilisé la
continuité de F : L1 pRd q Ñ C0 pRd q, dont la norme vaut 1.
(b) On écrit
α
|ξαfˆ| p1 |ξ|2qm{2 fˆp1 ||ξξ|2| qm{2 .
(1)
On a pour tout i, ξi2α ¤ p1 |ξ |2qα . Puisque ℓpαq ¤ k, il vient donc |ξ α |2 |ξ 2α | ¤ p1 |ξ |2qk .
La condition m ¡ d{2 k implique 2pm k q ¡ d, et on en déduit finalement que
"
1
| ξ α | *2 ¤
1
d
2
m
{
2
p1 |ξ|2qmk P L pR q.
p1 |ξ| q
i
i
On obtient finalement l’inégalité voulue en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le
membre de droite de l’égalité. (1).
(c) Il suffit d’utiliser les deux questions précédentes pour voir que la constante K : CD convient.
(d)
(i) C’est une conséquence directe de l’inégalité de la question précédente et du fait qu’une
suite convergente est toujours de Cauchy.
(ii) Tout comme lorsque l’on a prouvé l’égalité entre Wm,2 pRd q et Hm pRd q, on a besoin d’un
« gros » espace pour pouvoir identifier les limites, l’espace suggéré est ici S 1 pRd q qui
contient effectivement (avec injection continue) Hm pRd q et C0k pRd q : pfn qn converge dans
ces deux espaces respectivement vers u et v, et elle converge donc également dans S 1 pRd q
vers u et v, et l’unicité de la limite dans S 1 pRd q impose bien u v P C0k pRd q.
}Bαf }8 ¤ K }f }H pR q précédemment obtenue sur S pRd q se prolonge bien sûr
par densité à Wm,2 pRd q, mais il faut bien sûr noter que S pRd q est dense dans C0k pRd q (c’est net :
la norme de cet espace est une somme de semi-normes de S pRd q). La compacité de l’injection
est impossible : il suffit par exemple de se fixer un vecteur non nul a P Rd , un élément ϕ P
D pBp0, 1qq vérifiant ϕp0q 1 et de considérer la suite pτna ϕqn . Par un simple changement de
variable on voit que cette suite reste dans la sphère de rayon }ϕ}H pR q de Hm pRd q. Cette suite
tend par ailleurs simplement vers 0, et la convergence dans C0k pRd q impliquant la convergence
simple, la seule valeur d’adhérence possible de cette suite dans C0k pRd q est la fonction nulle, ce
(e) L’inégalité sup
p q¤k
m
d
ℓ α
m
5
d
qui est proscrit par l’inégalité }τna ϕ}C0k pRd q ¥ 1 (puisque τna ϕpnaq ϕp0q 1). De manière
générale les injections compactes dans les espaces fonctionnels ne sont pas valables dans le
cas où l’espace de base n’est pas borné (on peut construire un contre-exemple « fuyant vers
l’infini » comme précédemment).
Retour à l’énoncé de l’exercice.
Correction 2: Une EDP
p1
éé En Fourier l’opérateur ∆ correspond à la multiplication par |ξ |2 , l’équation devient donc
|ξ|2qû fˆ, et u est donc explicitement donné par
fˆpξ q
1
ξ ÞÑ
.
uF
2
1
Retour à l’énoncé de l’exercice.
6
|ξ|