Amérique du Sud, novembre 2006 T ES

Amérique du Sud, novembre 2006
T ES
Exercice 1 ( 5 points)
Commun à tous les candidats
Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s’intéresse aux
prises de sang effectuées dans cet hôpital.
Partie A : Dans le service de soins A.
Dans le tableau suivant figure le nombre de prises de sang effectuées dans le service de soins A lors des premiers mois
de l’année 2006.
mois
rang du mois xi
nombres de prises de
sang effectuées yi
janvier
1
février
2
mars
3
avril
4
mai
5
51
49
48
46
44
1) Donnons une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.
D’après la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de y en x est y = −1, 7x + 52, 7.
2) Avec cet ajustement, quel nombre de prises de sang peut-on prévoir pour le mois de décembre 2006 ? (arrondir à l’unité).
Décembre correspond à x = 12.
Remplaçons dans l’équation précédente :
y = −1, 7x + 52, 7 = −1, 7 × 12 + 52, 7 = 32, 3.
Au moins de décembre, on peut prévoir environ 32 prises de sang dans le service de soins A.
Partie B : Dans l’ensemble des trois services de soins.
On a constaté après l’observation d’une assez longue période que :
• 40 % des prises de sang sont effectuées dans le service de soins A,
• un tiers le sont dans le service de soins B,
• les autres dans le service de soins C.
Les aiguilles utilisées pour effectuer les prises de sang sont fournies soit par le laboratoire GLOBULEX, soit par le
laboratoire HEMATIS ;
• dans le service de soins A, 60 % des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire
GLOBULEX ;
• dans le service de soins B, 4/5 des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire
HEMATIS ;
• dans le service de soins C, il y a autant de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire
GLOBULEX que de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire HEMATIS.
On choisit au hasard un patient qui a subi une prise de sang dans l’hôpital.
On considère les évènements suivants :
– A : « La prise de sang a été effectuée dans le service de soins A. »
– B : « La prise de sang a été effectuée dans le service de soins C. »
– C : « La prise de sang a été effectuée dans le service de soins C. »
– G : « L’aiguille utilisée a été fournie par le laboratoire GLOBULEX. »
– H : « L’aiguille utilisée a été fournie par le laboratoire HEMATIS. »
Pour toutes les questions, on donnera les valeurs exactes de probabilités demandées.
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1) Représentons la situation par un arbre de probabilité en complétant cet arbre autant qu’il est possible.
3
5
G
2
5
H
1
5
G
4
5
H
1
2
G
1
2
H
A
2
5
1
3
B
4
15
C
2) Déterminons la probabilité de l’évènement « Le patient a subi une prise de sang dans le service de
soins B avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS ».
1 4
4
× =
.
3 5
15
3) Calculons la probabilité de l’évènement H.
p(B ∩ H) = p(B) × pB (H) =
A, B et C formant une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales,
2 2
4
4
1
p(H) = p(A ∩ H) + p(B ∩ H) + p(C ∩ H) = × +
+
×
5 5 15 15 2
4
4
2
4
6
4
2
4
10
p(H) =
+
+
=
+
=
+ =
+
25 15 15
25 15
25 5
25 25
14
.
p(H) =
25
4) Le patient a subi une prise de sang avec une aiguille fournie par le laboratoire HEMATIS.
Déterminons la probabilité que cette prise de sang ait été effectuée dans le service de soins B.
4
p(B ∩ H)
25
100
4
15
pH (B) =
=
×
=
=
14
p(H)
15 14
210
25
10
pH (B) =
21
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Exercice 2 (5 points)
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.
1) La fonction f définie sur l’ensemble R des nombres réels par f (x) = 2x a pour dérivée la fonction f ′ telle que :
pour tout réel x, f ′ (x) = x 2x−1 .
f (x) = 2x = ex ln 2 f est de la forme eu avec u = x ln 2 et u′ = ln 2.
′
Comme [eu ] = u′ eu , alors,
f ′ (x) = ln 2 ex ln 2 = ln 2 2x .
L’affirmation est fausse.
2) L’équation ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(3x + 5) a une autre solution réelle que le nombre 1.
ln(x + 1) est définie pour x > −1.
ln(x + 3) est définie pour x > −3.
5
ln(3x + 5) est définie pour x > − .
3
Résolvonsl’équation sur ] − 1 ; +∞[.
ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(3x + 5)
ln[(x + 1)(x + 3)] = ln(3x + 5).
La fonction ln étant croissante,
(x + 1)(x + 3) = 3x + 5
x2 + 4x + 3 = 3x + 5
x2 + x − 2 = 0
(x − 1)(x + 2) = 0. D’où x = 1 et x = −2.
Cependant, la solution x = −2 n’appartient pas à l’ensemble de définition.
L’affirmation est fausse.
3) En 20 ans, la population d’une commune rurale a augmenté de 40 %.
Le taux d’accroissement moyen annuel, arrondi à 10−2 , est de 1, 70 %.
Soit cm le coefficient multiplicateur annuel moyen. On a alors :
(cm )20 = 1, 4
1
D’où cm = (1, 4) 20 = 1, 01697
Le taux d’accroissement moyen annuel est bien 1, 70 %. L’affirmation est vraie.
1 − e−4
4) La valeur moyenne sur l’intervalle [0 ; 4] de la fonction qui à x associe e−x est
.
4
Posons f (x) = e−x .
Une primitive de f est F définie par F (x) = −e−x .
I=
Z
0
1
f (x)dx = F (4) − F (0) = −e−4 − e0 = 1 − e−4 .
Or, la valeur moyenne µ est donnée par la formule :
Z b
1
µ=
f (x)dx
b−a a
1 − e−4
1
L’affirmation est vraie.
µ= I =
4
4
5) Une étude statistique sur des séances de « tir au but » a montré que 75 % des tirs au but étaient réussis. Au
cours d’un match de football, 4 tirs au but, que l’on suppose être des épreuves aléatoires indépendantes, ont été
effectués.
Affirmation : « La probabilité qu’au moins un des quatre tirs au but échoue est 0, 254 . »
L’espérience consiste à tenter un tir au but. Il y a deux issues possibles :
– le succès : le tir est réussi de probabilité 0, 75 ;
– l’échec : le tir est manqué de probabilité 0, 25.
On répète cette expérience de Bernoulli 4 fois pour obtenir un schéma de bernoulli de paramètres (4 ; 0, 75).
La probabilité de réussir les 4 tirs est 0, 754 .
D’où la probabilité de l’évènement contraire : « au moins un des quatre tirs au but échoue » : 1 − 0, 754 .
L’affirmation est fausse.
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Exercice 3 (7 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
1) Résoudre, dans l’ensemble R des nombres réels, l’équation :
2X 2 − 15X + 18 = 0.
Posons P (X) = 2X 2 − 15X + 18 et calculons son discriminant :
∆ = b2 − 4ac = (−15)2 − 4(2)(18) = 81 = 92 .
Comme ∆ > √
0, P (X) admet deux racines
√ :
−b − ∆
−b + ∆
X1 =
X2 =
2a
2a
15 + 9
15 − 9
X2 =
4
4
3
X1 =
X2 = 6
2
a) Déduisons-en les solutions de l’équation :
X1 =
2)
2 e2x − 15 ex + 18 = 0.
Posons X = ex .
L’équation 2X 2 − 15X + 18 = 0 devient 2 e2x − 15 ex + 18 = 0. D’où
3
X1 =
X2 = 6
2
3
2 3
x1 = ln
2
ex1 =
ex2 = 6
La fonction ln étant croissante,
x2 = ln 6.
b) Déduisons-en le signe de
2 e2x − 15 ex + 18
selon les valeurs de x.
3
2 e2x − 15 ex + 18 = 2(ex − )(ex − 6)
2
D’où le tableau de signes suivant :
x
3
ln
2
−∞
2
+
3
e −
2
ex − 6
2e2x − 15 ex + 18
x
−
−
+
ln 6
+∞
+
+
0
+
+
0
−
−
0
0
+
+
Partie B
Soit f la fonction définie par :
pour tout nombre réel x de l’intervalle ] ln 3 ; +∞[,
f (x) = 2x − 2 +
ex
3
.
−3
On note (Cf ) la courbe représenative de la fonction f relativement à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).
1) Déterminons la limite de la fonction f en ln 3. Que peut-on en déduire pour (Cf ) ?
lim (2x − 3) = 2 ln 3 − 2
x→ln 3
x>ln 3
lim (
x→ln 3
x>ln 3
3
3
= +∞
)=
ex − 3
0+
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D’où lim f (x) = (2 ln 3 − 2) + (+∞) = +∞.
x→ln 3
x>ln 3
La courbe (Cf ) admet comme asymptote verticale la droite (d) d’équation x = ln 3.
2) Démontrer que la droite (D) d’équation y = 2x − 2 est asymptote à la courbe (Cf ) en +∞.
f (x) = 2x − 2 + h(x)
Or lim f (x) =
x→+∞
avec h(x) =
3
=0
+∞
ex
3
.
−3
La droite (D) d’équation y = 2x − 2 est asymptote à la courbe (Cf ) en +∞.
Quelle est la limite de la fonction f en +∞ ?
lim (2x − 2) = +∞
x→+∞
donc lim f (x) = +∞
x→+∞
3) Etudions la position relative de la fonction f en +∞.
Sur ] ln 3 ; +∞[, ex − 3 > 0 et h(x) > 0.
(Cf ) est au dessus de D.
4) La fonction f est dérivable sur l’intervalle ] ln 3 ; +∞[ ; on note f ′ sa dérivée.
Montrons que : pour tout nombre réel x de l’intervalle ] ln 3 ; +∞[,
f (x) = 2x − 2 +
ex
f ′ (x) =
3
− 3
2 e2x − 15 ex + 18
.
(ex − 3)2
′
′
3
3
=
2
+
ex − 3
ex − 3
1
1
est de la forme avec u = ex − 3 et u′ = ex .
x
e −3
u
′
′
u
1
=− 2
Or
u
u
′
ex
1
=− x
d’où x
e −3
(e − 3)2
f ′ (x) = [2x − 2]′ +
3 ex
2(ex − 3)2 − 3
=
(ex − 3)2
(ex − 3)2
2x
x
2(e − 6 e + 9) − 3 ex
2 e2x − 15 ex + 18
f ′ (x) =
=
x
2
(e − 3)
(ex − 3)2
et f ′ (x) = 2 −
En déduire, à l’aide de la partie A, le signe de f ′ (x) puis dresser le tableau de variations de f .
Sur ] ln 3 ; ln 6], f ′ (x) 6 0 et f est décroissante.
Sur [ln 6 ; +∞[, f ′ (x) > 0 et f est croissante.
Au point A d’abscisse x = ln 6, (Cf ) admet une tangente horizontale (T ).
3
f (ln 6) = 2 ln 6 − 2 +
2 ln 6 − 2 + 1 = 2 ln 6 − 1.
6−3=
D’où le tableau de variation de f :
x
ln 3
f (x)
+∞
′
f (x)
−
ln 6
0
@
@
R
@
2 ln 6 − 1
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+∞
+
+∞
T ES
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5) Traçons la courbe (Cf ) ainsi que ses asymptotes.
(Si lafonction présente un minimum ou un maximum, le mettre en évidence.)
10
8
(d)
6
(D)
4
(Cf )
Ab
2 ln 6 − 1
(Cf ) : y = f (x)
(d) : x = ln 3
2
(D) : y = 2x − 2
−
→
j
O
−
→
i
ln 6 2
4
6/ 10
6
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6)
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a) Montrons que : pour tout réel x de l’intervalle ] ln 3 ; +∞[, f (x) = 2x − 3 +
3
3
ex − 3
3
= 2x − 3 + 1 + x
= 2x − 3 + x
+
−3
e −3
e − 3 ex − 3
ex
.
D’où f (x) = 2x − 3 + x
e −3
b) Soit g la fonction définie par :
f (x) = 2x − 2 +
ex
pour tout réel x de l’ntervalle ] ln 3 ; +∞[,
g(x) =
Déterminer une primitive de la fonction g sur l’intervalle ] ln 3 ; +∞[.
u′
u
Posons u = ex − 3. Alors u′ = ex .
′
On sait que [ln u] =
′
[ln(ex − 3)] =
ex
ex − 3
Une primitive G de g est définie par : G(x) = ln(ex − 3).
c) Déduisons-en une primitive de la fonction f sur l’intervalle ] ln 3 ; +∞[.
f (x) = 2x − 3 +
ex
.
−3
ex
ex
= 2x − 3 + g(x)
ex − 3
Or (x2 )′ = 2x, et (3x)′ = 3.
D’où, F (x) = x2 − 3x + G(x) + k
Prenons k = 0.
Une primitive F de f est définie par : F (x) = x2 − 3x + ln(ex − 3).
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ex
.
ex − 3
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Exercice 4 (3 points)
Commun à tous les candidats
Pour cet exercice, il est conseillé aux candidats d’expliquer leurs recherches sur leur copie car toute
démarche correcte, y compris avec la calculatrice, sera valorisée même si elle ne permet pas d’aboutir
au résultat demandé.
Bruno a occupé un emploi saisonnier du 1er juin 2005 au 30 septembre 2005 en tant que commercial pour une entreprise
de produits surgelés. Pour ses besoins professionnels, il a utilisé un téléphone portable et l’opérateur téléphonique lui
a proposé la formule suivante :
– au 1er juin, il disposait d’un forfait de 420 minutes de communication ;
– au 1er juillet, il lui restait 300 minutes sur son forfait et l’opérateur lui a offert une durée supplémentaire de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait avec 5 < t < 20 ;
– en juillet, il a consommé 120 minutes, et au 1er août, l’opérateur lui a à nouveau offert une durée supplémentaire
de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait ;
– en août, il a consommé 120 minutes, et au 1er septembre, l’opérateur lui a encore offert une durée supplémentaire
de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait ;
– en septembre, il a consommé 120 minutes, et au 1er octobre il a rendu son téléphone en ayant tout consommé.
Déterminer une approximation à 10−2 près de la valeur de t.
Appelons x le coefficient multiplicateur asssocié à une hausse de t %. Comme 5 < t < 5, alors x ∈]1, 05 ; 1, 2[.
–
–
–
–
Le
Le
Le
Le
1er
1er
1er
1er
juillet, il dispose de 300x.
août, il dispose de (300x − 120)x.
septembre, il dispose de [(300x − 120)x − 120]x.
octobre, il dispose de [(300x − 120)x − 120]x − 120.
Comme il ne reste plus de crédit le 1er octobre, on a l’équation :
[(300x − 120)x − 120]x − 120 = 0
(300x2 − 120x − 120)x − 120 = 0
300x3 − 120x2 − 120x − 120 = 0
5x3 − 2x2 − 2x − 2 = 0
Rentrons la fonction f définie par f (x) = 5x3 − 2x2 − 2x − 2 dans la calculatrice pour x ∈ [1, 05 ; 1, 2].
En utilisant les tableaux de valeurs, on se rend compte que :
1, 09 < x < 1, 10
1, 097 < x < 1, 098
1, 0970 < x < 1, 0971
D’où 9, 70 < t < 9, 71
La valeur par défaut de t est de 9, 70 %.
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Exercice 5 (5 points)
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1) A l’occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voyages
en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d’une équipe nationale.
Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la
distance en kilomètres séparant les villes.
Les lettres B, D, F , H, K, M , N et S représentent les villes Berlin, Dortmnd, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart.
H
490
600
D
490
650
780
600
F
B
580
630
120
N
210
K
S
230
M
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin
en utilisant les cars de cette agence.
Utilisons l’algorithme de Dijkstra :
Etape
F
F
H
S
M
N
D
K
0
F
120(K)
H
S
M
N
1 260(H)
1 390(H)
1 390(H)
1 210(H)
1 210(H)
1 210(H)
D
B
1 990(M )
1 990(M )
1 890(H)
1 890(H)
1 890(H)
1 890(H)
610(F )
Le plus court chemin pour aller de Kaiserslautern à Berlin est :
Kaiserslautern - Francfort - Hambourg - Stuttgart - Berlin
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chemin
K
K −F
K −F −H
K −F −H −S
K −F −H −S
K −F −H −S
K −F −H −S
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2) Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de
football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel.
On donne ci-dessous le graphe d’incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un
supporter de l’équipe A ne peut être logé avec un supporter de l’équipe P .
P
A
C
Q
G
R
E
a) Déterminons le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée.
Ce graphe contient le sous-graphe AP QE complet, d’ordre 4.
On en déduit que le nombre chromatique γ est tel que : γ > 4.
De plus, j’arrrive à colorier mon graphe avec 4 couleurs, d’où : γ 6 4.
En conclusion, γ = 4.
b) Proposons une répartition des supporters par hôtels en utilisant un nombre minimum d’hôtels.
Voici une répartition possible :
– Premier hôtel : P , C et G.
– Deuxième hôtel : A et R.
– Troisième hôtel : Q.
– Quatrième hôtel : E.
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