1 Changement de système de coordonnées 2 Gradient, Laplacien

Fiche 7
Université Joseph FOURIER - Grenoble I
UE MAT126 L1
TD de Mathématiques
1 Changement de système de coordonnées


r0
Exercice 1 On considère le point M0 de coordonnées  θ0  dans un repère cylindrique.
z0
Trouver ses coordonnées dans un repère cartésien et sphérique.
Exercice 2 Soit la surface S d'équation :
³ x ´2
a
+
³ y ´2
b
+
³ z ´2
c
=1
dans un repère cartésien de l'espace R3 . Déterminer l'équation de S dans un repère cylindrique et sphérique.


r
Exercice 3 Soit M le point de l'espace R3 de coordonnées sphériques  θ . Déterminer
ϕ
ses coordonnées cartésiennes.
√
Exercice 4 On considère la courbe plane d'équation polaire ρ = tan2 θ + 1. Déterminer
son équation cartésienne.
2 Gradient, Laplacien, divergence et rotationnel
Exercice 5 Soient f et g deux fonctions de deux variables :
~
~
~
montrer que grad(f.g)
= f.grad(g)
+ g.grad(f
).
~
Soient E = P (x, y, z)~ı + Q(x, y, z)~ + R(x, y, z)~k et V(x,y,z) une fonction de 3 variables.
~
~ = 0 et rot(
~ E)
~ gradV
Montrer que div(rot
) = ~0.
Exercice 6 Soit r(x, y) =
p
~
~
x2 + y 2 . Calculer ∆r, ∆ ln r, grad(r)
et grad(ln
r).
Exercice 7 Soit F (x, y) = f (r) où r est déni dans l'exercice précédent. Calculer ∆F en
fonction de r. Peut on choisir f pour que ∆F = 0 ?
~ le champ de vecteur de
Exercice 8 Soit E
~ = q 3 OM
~ . Montrer que
R2 déni par : E
4π²o r
q
2
~
~
E(M
) = −grad(
4π²o r ), O étant l'origine des coordonnées et M un point de R − {(0, 0)}.
~
Exercice 9 Montrer que E(x,
y, z) = (y + z)~ı + (z + x)~ + (x + y)~k dérive d'un potentiel
~
~
~ E(M
(Un champ de vecteur E(M
) dérive d'un potentiel si et seulement si rot
) = ~0).
1
3 Plan tangent, dérivées partielles...
Exercice 10 Soit S la sphère d'équation x2 + y 2 + z 2 = r2 . Ecrire l'équation du plan
tangent à S en un des points de coordonnées (x0 , y0 , z0 ), où z0 6= 0. Que se passe t-il si
z0 = 0 ?
Exercice 11 Soit f (x, y) = y exp(x) + sin(x2 ).
a) Calculer f (0, 1).
b) Soit P : (0, 1, f (0, 1)). Ecrire l'équation de la courbe de niveau Cp contenant P , dans le
plan (Oxy).
c) Quelle est l'équation de la tangente T à Cp en (0, 1).
d) Montrer que le gradient de f au point (0, 1) est normal à la tangente T .
e) Ecrire l'équation du plan tangent à la surface d'équation z = f (x, y) au point P .
Exercice 12 Soit f (x, y) =
2x−y
x+y .
a) Trouver le domaine de dénition de f .
b) Soient x0 6= 0 et M0 (x0 , 2x0 , 0). Vérier que M0 appartient à la surface représentative
de f , notée Sf .
c) Ecrire l'équation du plan tangent à Sf au point M0 .
d) Montrer que ce plan passe toujours par un même point quand x0 varie.
Exercice 13 Soit f (x, y) = x2 y + 1.
a) Si a ∈ R, on pose La = {(x, y), a = f (x, y)} la ligne de niveau de hauteur a. Ecrire
l'équation de La , et tracer sur un même graphe : L0 , L0.7 , L1 , L1.3 , L2 .
b) Ecrire l'équation z = φ(x) de l'intersection de la surface Sf représentant f avec le plan
d'équation y = b, b ∈ R. Graphe.
c) Ecrire l'équation z = ψ(y) de l'intersection de Sf avec le plan d'équation x = c, c ∈ R.
Graphe.
d) En déduire l'allure de la surface.
Exercice 14 Soit f (x, y) = sin(xy). Etudier localement f au point (0, 0, 0) (extremum ou
"point selle"?). Même question pour f (x, y) = cos(xy) − 1.
Exercice 15 Que devient en coordonnées polaires l'équation
y
∂f
∂f
−x
= kf
∂x
∂y
En déduire les fonctions solutions.
4 Calcul d'erreur
Exercice 16 On considère la fonction P = U I cos φ. Déterminer l'erreur absolue commise
sur P lorsque : U = 110V à 0, 5V près, I = 5A à 0, 1A près, φ = 5 degrés à 10 minutes
près.
Exercice 17 Déterminer l'erreur relative commise sur la hauteur d'un cylindre h =
lorsque le volume V est connu à 1 % près, et le rayon R à 2 % près.
2
V
πR2