PHQ951 Physique Subatomique

PHQ951 Physique Subatomique
13 décembre 2009
Autiwa
Table des matières
2
Table des matières
1
2
3
4
5
6
Interaction fondamentale et particule élémentaire
3
Introduction au formalisme décrivant l'interaction électromagnétique
3
Structure du nucléon
6
Exemples de réactions
6
Deux propriétés fondamentales de l'interaction forte
9
2.1 La charge électrique en QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Types de réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Composition de moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction d'onde du nucléon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Diusion d'un électron par un proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Production de Hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
6
7
8
5.1 Liberté asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Le connement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
Phénoménologie de l'interaction faible
10
6.1
6.2
6.3
6.4
Polarisation préférentielle des leptons . . . . . . .
Théorie de Fermi et interaction Vectorielle-Axiale
Diusion électron-neutrino par courant chargé . .
Angle de Cabbibo . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
12
13
13
3
2 Introduction au formalisme décrivant l'interaction électromagnétique
_
_
état final
temps
vertex
_
_
état initial
espace
Fig.
1
1 Exemple simple d'un diagramme de Feynman
Interaction fondamentale et particule élémentaire
On représente habituellement les interactions entre particules élémentaires à l'aide de diagramme de
.
Lors d'une interaction entre particules, la notion d'échange peut-être interprétée dans le cadre de la
relation d'incertitude d'Heisenberg
Feynman
(1.1)
∆E.∆t > ~
L'écart à la conservation de l'énergie ∆E ne peut durer qu'un instant ∆t. On parle alors d'un processus
virtuel. Pendant le très court instant ∆t, une particule virtuelle, quantum de l'interaction, est échangée
entre les particules. Dans toute la suite, on utilisera de tels diagrammes et assurera la conservation du
quadrivecteur énergie-impulsion à chaque vertex. Pour cela, la particule échangée sera hors couche de
masse ce qui signie que la relation p2 = m2 c2 ne sera plus satisfaite.
2
Introduction au formalisme décrivant l'interaction électromagnétique
On s'intéresse à l'interaction électromagnétique entre particules de spin 1/2 .
L'amplitude de diusion d'un électron, plongé dans un quadri-potentiel Aµ (x), qui passe d'un état
initial ψi à un état nal ψf est donnée (au premier ordre de la théorie des perturbations) par :
ˆ
Tf i = −i ψf† (x)V (x)ψi (x) d4 x
ˆ
= ie ψ f (x)γµ Aµ (x)ψi (x) d4 x
ˆ
Tf i = −i jµf i (x)Aµ (x) d4 x
(2.1)
où
jµf i (x) = −eψ f (x)γµ ψi (x)
= −euf γµ ui e
i(p −p )x
f
i
(2.2)
On considère maintenant l'interaction d'un électron et d'un muon. Par rapport à l'exemple précédent,
le potentiel électromagnétique Aµ (x) est ici créé par le muon µ− , sinon le reste est équivalent.
4
Après quelques calculs il vient :
ˆ
1
jµ (e− ) − 2 j µ (µ− ) d4 x
q
ˆ
1 →
−0
→
−
→
− 0
0
−
= −i −eu( p )γµ u(→
p) − 2
−eu( k 0 )γ µ u( k )
ei(p +k −p−k).x d4 x
q
Tf i = −i
(2.3)
= −i(2π)4 δ (4) (p0 + k 0 − p − k)M
Avec l'amplitude M dénie par :
propagateur du photon


z }| {
µν


→
−0
→
−
→
−
ig
→
−
0
ν
 −ieu( k )γ u( k )
− 2
−iM = −ieu( p )γµ u( p ) 
 |
{z
}
q
{z
} 
|


Fig.
2 Diagramme de Feynman de l'interaction entre un électron et un muon
fermion entrant
Fig.
À chaque
À chaque
À chaque
À chaque
(2.4)
deuxième vertex
premier vertex
fermion sortant
anti-fermion entrant
anti-fermion sortant
3 Nomenclature des diagrammes de Feynamn
fermion entrant, on associe un facteur u
fermion sortant, on associe un facteur u
antifermion entrant, on associe un facteur v
antifermion sortant, on associe un facteur v
On ne représente pas d'anti-fermion dans les diagrammes de Feynman. À la place, on représente
la particule correspondante 1 , c'est à dire une particule d'énergie négative, d'impulsion opposée
−
(−→
p ). C'est la raison pour laquelle dans les diagrammes, les èches pour les anti-fermions sont dans
l'autre sens, parce que c'est la particule équivalente que l'on représente.
1. On rappelle qu'une antiparticule d'énergie E est équivalente à une particule d'énergie -E se déplaçant dans le sens
inverse.
5
2 Introduction au formalisme décrivant l'interaction électromagnétique
Comme illustré sur [Fig. 3], pour écrire la partie de l'amplitude de transition correspondant aux lignes
fermioniques, on parcourt ces lignes dans le sens inverse des èches en intercalant les vertex.
2.1 La charge électrique en QED
La charge électrique est associée au couplage électron-photon qui peut être symbolisé par le premier
diagramme de [Fig. 4]. On remarque cependant qu'il peut y avoir d'autres diagrammes qui interviennent
lorsque l'on veut mesurer la charge électrique. En eet, rien n'interdit d'avoir création de paire électronpositron, puis annihilation de ces deux particules pour redonner le photon.
Lorsque l'expérimentateur souhaite mesurer la charge électrique, il mesure donc la somme des contributions de tous les diagrammes possibles (somme jusqu'à une innité de création de paire consécutives).
Ainsi, le premier diagramme ne représente pas la charge.
Appelons alors e0 le charge nue, i.e la charge qui apparaît à tous les couplages électrons-photons de
tous les diagrammes. la charge e va alors correspondre à la somme de tous les diagrammes modiant le
propagateur du photon. Cette charge e est la charge que l'expérimentateur mesure, c'est à dire :
α=
Fig.
1
e2
'
4π
137
(2.5)
4 Diagrammes possibles intervenants lors de la mesure de la charge électrique
Dans l'expression de l'amplitude, les vertex extérieurs sont les mêmes et M peut s'écrire comme une
contribution d'échange d'un photon :
e0 2
e0 2 2
e0 2
2
2
+
e
Π
(q
)
+
(e0 2 Π (q 2 )) + · · ·
0
q2
q2
q2
(2.6)
ce qui donne, une fois la somme eectuée :
e0 2
1
e2 (q 2 )
≡
2
2
2
q 1 − e0 Π (q )
q2
(2.7)
où Π (q 2 ) est la polarisation du photon ou un truc du genre, j'ai pas bien compris ça.
Ainsi, tout se passe comme si la charge e0 était remplacée par une charge e (q 2 ) dépendant de l'impulsion échangée (donc de la résolution r ∼ 1q ).
2.2 Types de réaction
Il y a trois types de réactions :
réaction inclusive dans laquelle on ne s'occupe pas de la production hadronique :
e− + p → e− + X
(2.8)
où X représente un ou plusieurs hadrons dont on ne s'intéresse pas. En somme, on ne s'intéresse qu'à la
variation d'impulsion de l'électron.
réaction semi-inclusive dans laquelle il apparaît en sortie un hadron, mais où on ne s'intéresse pas aux
éventuels autres hadrons produits :
e− + p → e− + π + X
(2.9)
6
réaction exclusive
ristiques :
où cette fois-ci on compte toutes les particules et on mesure toutes leurs caracté(2.10)
e− + p → e− + p + π
3
Structure du nucléon
3.1 Composition de moments cinétiques
Si on compose deux isospins 1/2 on obtient un singulet et un triplet. Symboliquement, on écrit cette
composition de la façon suivante :
(3.1)
2⊗2=3⊕1
Soient un proton et un neutron respectivement d'isospin I1 = 21 et I2 = 21 . Dans (3.1), les nombres
correspondent à la dimension du multiplet. On compose en eet deux multiplet de dimension 2·Ik +1 = 2.
La composition des moments cinétiques donne :
→
−
→
− →
−
|I1 − I2 | 6 I = I1 + I2 6 I1 + I2
(3.2)
I vaut donc soit 1 (c'est à dire un multiplet de dimension 2 × 1 + 1 = 3), soit 0 (c'est à dire un
multiplet de dimension 2 × 0 + 1 = 1). La composition des deux multiplets de dimension 2 donne un
multiplet de dimension 3 plus un multiplet de dimension 1.
3.2 Fonction d'onde du nucléon
Y
1
ddd
uuu
∆
⊕
0
-1
-2
-1
-1/2
0
Y
Y
1
1
1
0
⊕
(x2)
-1
-2
sss
-3/2
Y
1/2
1
Symétrique (S)
3/2
I
0
⊕
(x2)
-1
-2
-3/2
-1
-1/2
0
1/2
1
3/2
Mixte symétrique (Ms)
I
0
-1
-2
-3/2
-1
-1/2
0
1/2
1
3/2
Mixte anti-symétrique (Ma)
I
-3/2
-1
-1/2
0
1/2
1
3/2
I
anti-symétrique (A)
5 Schéma représentant les multiplets formés par toutes les compositions possible de 3 quarks u,d,s. Les
multiplets ont une symétrie bien déterminée.
Fig.
En combinant 3 quarks de 3 types diérents, on eectue le produit tensoriel de 3 triplets :
3⊗3⊗3=3⊗ 6⊕3
= (3 ⊗ 6) ⊕ 3 ⊗ 3
= (10 ⊕ 8) ⊕ (8 ⊕ 1)
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
(3.3)
Ces multiplets sont représentés sur [Fig. 5]
Les états mixte symétrique et mixte anti-symétrique ont des symétries mixtes, et sont respectivement
symétrique et anti-symétrique dans l'échange des deux premiers quarks.
4
Exemples de réactions
4.1 Diusion d'un électron par un proton
7
4 Exemples de réactions
X
(hadron
quelconque)
proton
6 Schéma représentant la diusion d'un électron par un proton. La diérence avec les précédents cas est
que le proton n'est pas ponctuel.
Fig.
Remarque
bien sur)
: Dans la suite, tout ce qui n'aura pas de èche sera un quadrivecteur (à part l'énergie
L'état nal d'une réaction inclusive 2 est caractérisé par les deux variables cinématiques v = E − E 0 ,
énergie perdue par l'électron, et θ l'angle de diusion dans le référentiel du laboratoire. Il est cependant
souvent préférable d'utiliser d'autres combinaisons de ces variables. On utilise par exemple q 2 (où q est
l'énergie-impulsion transférée au proton) dénit comme :
2
q 2 = (p − p0 )
où p et p0 sont les quadrivecteurs de l'électron dans son état initial et nal
= p2 + p0 2 − 2pp0
on considère que les masses sont faibles au regard des énergies cinétiques considérés. On approxime donc
les quadrivecteur à des quadrivecteurs de genre lumière où E = pc. (mais on a pris c = 1). On a ainsi
−
p2 = E 2 − →
p = m2 ∼ 0
2
' −2pp0
→
−
−
= −2(EE 0 − →
p p0 )
= −2(EE 0 − EE 0 cos θ)
= −2EE 0 (1 − cos θ)
θ
<0
q 2 = −4EE 0 sin2
2
(4.1)
4.2 Annihilation
on a :
(4.2)
q = p1 + p2 = p3 + p4
ig µν
−
−
−iM = (u(→
p3 )(−ieγµ )v(→
p4 )) − 2
q
−
−
(v(→
p2 )(−ieγ ν )u(→
p1 ))
(4.3)
On cherche à exprimer la section ecace dans la limite ultra-relativiste. On se place dans le référentiel
du centre de masse. Soit E l'énergie de l'électron incident et soit θ l'angle d'émission du muon par rapport
2. Dans une
réaction inclusive,
on ne s'occupe pas de la production hadronique
8
temps
4.3 Production de Hadrons
espace
Fig.
7 Schéma représentant une annihilation électron-positron
à l'axe de la collision. On dénit les variables de Mandelstam s, t et u de la façon suivante :
(4.4a)
s = (p1 + p2 )2 = q 2 ' 4E 2
2
−
t = (p − p )2 ' −2→
p (1 − cos θ)
(4.4b)
2
−
u = (p1 − p4 ) ' −2→
p (1 + cos θ)
(4.4c)
1
3
2
−
−
−
(on est dans la limite ultra-relativiste, c'est à dire m ' 0 avec |→
p | = |→
p1 | = |→
p2 |.
Remarque : On rappelle que tout ce qui n'a pas une èche est un quadrivecteur. Les dénitions
des variables de Mandelstam se font donc à partir des quadrivecteurs énergie-impulsions des particules
initiales et nales.
Démonstration 1
On développe le calcul d'une des variables de Mandelstam pour montrer les grandes lignes types du
calcul :
t = (p1 − p3 )2
2
−
On rappelle qu'on travaille dans le système où c = 1. On a donc E 2 = →
p + m2 . Le quadrivecteur au
2
−
carré donne donc E 2 − →
p = m2 (on rappelle que les masses sont négligées)
2
2
=
m
m
1 +
3 − 2p1 · p3
2
−
= −2(E 2 − →
p cos θ)
−
du fait que les masses sont négligeables, on a Ei ' k→
pi k
= −2E 2 (1 − cos θ)
4.3 Production de Hadrons
Le processus
e+ + e− → hadrons
(4.5)
peut être vu comme un processus en deux étapes :
1. processus électromagnétique (production de la paire q q̄ )
e+ + e− → q + q̄
(4.6)
9
5 Deux propriétés fondamentales de l'interaction forte
2. fragmentation de la paire q q̄ : processus impliquant l'interaction forte qui convertit la paire q q̄
hautement énergétique principalement en deux jets de hadrons émis dans des directions opposés
dans le référentiel du centre de masse (direction du q et du q̄ ).
Le calcul du premier processus est excactement le même que celui du processus e+ + e− → µ− + µ+
à condition de remplacer la charge du muon par celle du quark :
σ(e+ e− → q q̄) = 3eq 2 σ(e+ e− → µ− µ+ )
(4.7)
où eq est la charge fractionnaire du quark q (eq = −1/3 , 2/3 . Le facteur 3 vient du fait qu'il y a un diagramme
pour chaque couleur des quarks et que l'on somme les sections ecaces correspondantes.
En pratique, les hadrons formés sont observés dans des cônes étroits ou jets dont la direction
correspond à l'impulsion des quarks et antiquarks produits au vertex électromagnétique. La distribution
angulaire suit, comme celle des quarks, une loi en 1 + cos2 θ caractéristique de la production de particules
de spin 1/2 .
5
Deux propriétés fondamentales de l'interaction forte
5.1 Liberté asymptotique
Les quarks interagissent fortement par l'échange de charges de couleurs. Pour cela, le gluon doit
lui-même être coloré (objet bicolore). On peut construire une théorie de la couleur forte en copiant
l'électrodynamique quantique (QED) : la chromodynamique quantique.
Neufs états bicolores peuvent être créés. De ces neufs combinaisons, R̄R + B̄B + V̄ V est un singulet
de couleur (fonction d'onde des mésons) et donc ne peut jouer le rôle d'un gluon portant la charge de
couleur d'un quark à l'autre.
De plus, puisque les gluons portent eux-mêmes une charge de couleur, ils peuvent interagir entre eux
(impossible pour le photon qui ne possède pas de charge électrique).
Définition 1 (Liberté asymptotique)
Lorsqu'un quark s'approche d'un autre quark et qu'il pénètre dans le nuage de polarisation de celui-ci,
la charge de couleur vue diminue jusqu'à devenir faible à très courte distance.
Si deux quarks sont très proches, ils ne se voient pas, mais s'ils s'éloignent ils vont s'attirer de
nouveau. Les quarks se comportent comme s'ils étaient liés par des cordes non tendues.
On a
αs (Q2 ) =
α0
1 − 4πα0 Π (Q2 )
(5.1)
Π (Q2 ) qui est la polarisation irréductible du gluon contenant la boucle de quarks et la boucle de
gluons diverge car il contient des uctuations quantiques de longueur d'onde aussi petite que l'on veut.
On élimine cette divergence en soustrayant à Π (Q2 ) la polarisation Π (µ2 ) prise à une certaine échelle µ2
appelée point de renormalisation.
En appliquant la théories des perturbations pour de grandes valeurs de Q2 on obtient
α0 (µ2 )
αs (Q2 ) =
1−
α0
( )
µ2
12π
(33 − 2Nf ) ln
Q2
µ2
(5.2)
où Nf est le nombre de saveur des quarks (au plus égal à 6)
Il reste une relique de la renormalisation qui est la présence de cette échelle µ2 . À faible Q2 , αs devient
grand. Il est coutume de noter ΛQCD l'échelle de Q à laquelle αs devient grand (c'est à dire où la
théorie des perturbations n'est plus valable). On introduit la quantité :
Λ2QCD = µ2 exp
−12π
(33 − 2Nf )αs (µ2 )
(5.3)
5.2 Le connement
10
qui nous donne
αs (Q2 ) =
12π
(33 − 2Nf ) ln
Q2
(5.4)
QCD
Λ2
Pour des valeurs de Q2 très supérieures à Λ2QCD , αs est faible et les quarks et les gluons interagissent
peu.
Pour des valeurs de Q2 de l'ordre ou inférieures à Λ2QCD , αs est fort. Les quarks et les gluons s'arrangent
ensemble en hadrons et la force entre hadrons sans couleur n'est alors que le résidu de la force entre quarks.
5.2 Le connement
Un des enjeux majeurs de la physique actuelle est de montrer que QCD conduit au connement de la
couleur, c'est à dire que seules les congurations de quarks et gluons observables (ayant une masse nie)
se réduisent à des singulets de couleur dans une région de taille typique 1 fm.
Définition 2 (Le confinement)
Le connement est une hypothèse voulant que l'on ne puisse pas observer des états colorés dans la nature
(les gluons et les quarks ne peuvent exister seuls).
C'est un fait expérimental qu'il n'a jamais été observé de quarks ou gluons seuls, mais il n'a
jamais été démontré que ça ne puisse pas exister. Le connement n'est qu'une hypothèse pour
l'instant.
Lorsqu'on essaye de séparer un quark et un antiquark, on étire les lignes de champ de couleur de
la force jusqu'à ce que l'énergie potentielle augmente susamment pour créer une autre paire q q̄ (voir
[Fig. 8]). Le tube de ux se brise en deux tubes plus petits avec une énergie totale plus faible en dépit
de l'énergie additionnelle provenant de la paire q q̄ formée.
Les quarks et antiquarks continuent leur chemin et étirent à nouveau leurs lignes de couleur. Un
grand nombre de paire q q̄ peuvent être créées jusqu'à ce que l'énergie cinétique de la paire initiale soit
transformée en groupe de quarks et gluons, chacun ayant une couleur totale nulle et une faible impulsion.
Chaque groupe formera un hadron et on obtiendra deux jets de particules qui vont voyager plus ou moins
dans la direction du quark et de l'antiquark original
Fig.
6
8 Formation de jets lors de la séparation d'un quark et d'un antiquark.
Phénoménologie de l'interaction faible
Les temps de vie des particules qui se désintègrent par interaction électromagnétique sont de l'ordre
de 10−16 s (104 à 107 fois supérieurs aux temps de vie typiques des particules qui se désintègrent par
interaction forte : 10−23 s).
D'un autre coté, on observe tout un tas de particules qui ont une durée de vie de l'ordre de 10−10 s.
Les deux échelles que sont α et αs ne permettent pas de comprendre ces faibles durée de vie. On est
donc forcé d'introduire une nouvelle échelle αW associée à une nouvelle interaction, l'interaction faible .
Une autre façon d'interpréter la faible valeur de αW est de dire que le W ± (quanta de l'interaction
faible) se couple aux particules de la même façon que le fait le photon à ceci près que les W ± auraient
une grande masse.
11
6 Phénoménologie de l'interaction faible
: On rappelleµνque le propagateur d'un boson virtuel échangé lors d'une interaction à
couplage vectoriel est −i q2g−m2 .
Remarque
6.1 Polarisation préférentielle des leptons
Définition 3 (Polarisation)
On dit qu'une particule est droite lorsque sa polarisation est positive, c'est à dire lorsque son spin pointe
dans la direction de son mouvement (hélicité positive).
Respectivement, on dit qu'elle est gauche si sa polarisation est négative.
L'interaction faible produit des leptons gauches et des antileptons droits et ce de façon d'autant plus
marquée qu'ils sont rapides.
Soit NL le nombre de leptons gauche et NR le nombre de leptons droit, on a la relation suivante :
v
NR − NL
=−
NR + NL
c
(6.1)
Le neutrino et l'anti-neutrino ayant une masse très faible, ils ont des vitesses proches de celle de la
lumière. Ainsi, le neutrino est forcément gauche et l'anti-neutrino droit. Les congurations où un neutrino
ou un anti-neutrino ne sont pas créés avec cet état de polarisation intrinsèque sont interdits.
Ces propriétés de l'interaction faible permettent d'expliquer que les π + produisent 8000 fois plus
souvent des µ+ que des e+ alors que le pion, de masse 140 MeV, aurait plutôt tendance à favoriser la
production d'un e+ de masse 511 keV, bien plus léger qu'un µ+ de masse 106 MeV. Ceci vient du fait que
le pion ayant un spin 0, la conservation du moment cinétique implique que le lepton chargé l+ (électron
ou muon) et le neutrino νl ont des hélicités identiques.
π + −→ l+ + νl
(6.2)
Le π + est dans un état J = 0. On doit donc être dans l'état singulet et avoir S = S1 + S2 = 0 et
L = 0. Si S = 0, on doit donc avoir Sz = 0. La somme des projections du spin des deux particules sur
l'axe z doit donc être nul.
On doit donc avoir S1z = 12 et S2z = − 12 ou inversement.
Les deux particules étant émises en sens opposés, elles ont leurs impulsions de sens opposé. L'hélicité
étant la projection du spin sur la direction de l'impulsion, les deux particules ont même hélicité (vu que
le signe de leur projection du spin ET de leur impulsion changent).
Or le neutrino est forcément gauche (hélicité négative), comme nous l'avons vu précédemment. En
conséquence, l'antilepton formé doit lui aussi être gauche. On sait que la proportion d'antilepton gauche
formé ne sera importante qu'à faible vitesse. Or, le positron sera produit à grande vitesse (étant donné
la grande énergie disponible) et sa vitesse sera très proche de celle de la lumière. Par contre, le µ+ a une
énergie de masse voisine de l'énergie de masse du π + . En conséquence sa vitesse sera moindre.
Ceci explique donc pourquoi la réaction π + → µ+ + νµ est favorisée par rapport à π + → e+ + νe .
Exemple
: On va calculer les énergies cinétiques pour les réactions
π ± → µ± + νµ
±
±
π → e + νe
(6.3a)
(6.3b)
On se place dans le référentiel où le muon est au repos. On utilise la conservation du quadrivecteur
énergie-impulsion (on fait ceci pour la réaction (6.3a), mais on généralisera à la n pour les deux
réactions).
pπ = pµ + pν
pν = pπ − pµ
µ
On élève au carré
2
−
Eν 2 − →
pν = pπ 2 + pµ 2 − 2pπ · pµ
6.2 Théorie de Fermi et interaction Vectorielle-Axiale
12
2
−
On sait de plus que E 2 = →
p + m2 (avec c = 1). On néglige la masse du neutrino. De plus, l'impulsion
→
−
du pion est nulle dans son centre de masse, on a donc −
p→
π = 0 et Eπ = mπ :
→2 −2m E
0 = mπ 2 + Eµ 2 − −
p
π µ
µ
| {z }
mµ 2
2
2mπ Eµ = mπ + mµ
2
D'où :
Eµ =
mπ 2 + mµ 2
2mπ
(6.4)
De plus on sait que
(6.5)
E = γm
avec γ = (1 − v 2 )− /2 le facteur de Lorentz (on rappelle que c = 1).
Ainsi
1
1
Eµ
=p
mµ
1 − vµ 2
mµ 2
Eµ 2
mµ 2
=1−
Eµ 2
1 − vµ 2 =
vµ 2
Il vient
p 2
Eµ − mµ 2
vµ =
Eµ
(6.6)
L'application numérique donne
Eµ ' 110 MeV
vµ ' 0, 27c
Ee ' 70 MeV
ve ' 0, 99997c
6.2 Théorie de Fermi et interaction Vectorielle-Axiale
Cette théorie est apparut à un moment où on ne connaisait pas encore les vecteurs de l'interaction
faible W ± . Le propagateur de l'interaction faible est pris constant égal à GF (déterminé par l'expérience).
Ceci peut s'expliquer par le fait que pour q 2 faible, on a
−1
∼ cte
q2 − M 2
Cette théorie se base sur l'électromagnétisme et tente de faire l'analogie pour trouver une expression
de l'amplitude de transition pour l'interaction faible. Suite à la découverte de la violation de la parité
dans les interactions faibles, le changement suivant a été eectué :
γµ →
1 µ
γ (1 − γ 5 )
2
avec γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 opérateur qui viole automatiquement la conservation de la parité.
L'amplitude vaut donc
4GF
1
µ1
5
5
M= √
uγ (1 − γ ) u vγµ (1 − γ ) v
2
2
2
L'interaction faible permet alors deux types d'échanges :
(6.7)
13
6 Phénoménologie de l'interaction faible
l'interaction vectorielle en γ µ pour laquelle le spin de la particule reste instact ;
l'interaction axiale en γ µ γ 5 pour laquelle le spin de la particule change.
L'interaction est alors nommée interaction vectorielle-axiale .
6.3 Diusion électron-neutrino par courant chargé
Dans la suite, on xe l'axe des z arbitrairement, mais on prend ce même axe pour toutes les particules
de toutes les réactions (sinon on peut pas comparer).
On rappelle aussi que l'hélicité est la projection du spin sur la direction de l'impulsion (ici impulsion
suivant z ).
La rétro-diusion νe + e− → e− + νe est interdite à cause de la conservation du moment cinétique
(voir [Fig. 9]). En eet, on a vu précédemment que les leptons sont préférentiellement gauche, et les
anti-leptons préférentiellement droit. Ceci nous permet de connaître l'orientation de la projection du spin
pour un lepton donné. En faisant ceci avant et après diusion, on peut remonter jusqu'à la variation de
spin, ce qui permet de voir si la rétrodiusion est possible ou pas.
Bon par contre, j'avoue ne pas savoir pourquoi on peut pas avoir ∆S 6= 0...
avant
collision
hélicité
impulsion
après
collision
⇒permis
Fig.
⇒interdit
9 Conséquence de la conservation du moment cinétique sur la diusion d'un électron et d'un antineutrino
6.4 Angle de Cabbibo
Jusqu'à présente, nous avons vu que les leptons et les quarks participent aux interactions faibles aux
travers de courants construits à partir de pairs (fermions gauches) suivantes :
νe
e−
νµ
µ−
utilisant la même constante de couplage GF .
Il est naturel d'essayer d'inclure également le doublet
u
d
c
. Cependant avec la réaction K + → µ+ + µν
s
(avec K + ≡ us), le courant faible couple un u au s. Cela contredit le schéma selon lequel seules des
transitions faibles u ↔ d et c ↔ s sont permises.
Au lieu d'introduire une autre constante de couplage, essayons de modier les doublets de quarks. On
postule que les couples de courant chargés sont obtenus à partir de rotations des états de quarks suivants :
u
d0
c
s0
(6.8)
avec
d0 = d cos(ϑc) + s sin(ϑc )
0
s = −d sin(ϑc) + s cos(ϑc )
(6.9)
(6.10)
Cela introduit un paramètre arbitraire ϑc , l'angle de mélange des quarks connu sous le nom d'angle
.
Il s'est suit que le couplage u ↔ d est caractérisé par ∆s = 0 et une amplitude de probabilité
proportionnelle à GF cos(ϑc ), alors que le couplage s ↔ u est caractérisé par |∆s| = 1 et une amplitude
de probabilité proportionnelle à GF sin(ϑc ).
de Cabbibo