Probl`emes elliptiques et paraboliques dans un cadre non variationnel

Transcription

Alain Prignet
Problèmes elliptiques et paraboliques dans
un cadre non variationnel
9 janvier 1997
UMPA-ENS Lyon
46 Allée d’Italie
69364 Lyon Cedex 07
France
Table des Matières
Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Cadre classique pour les équations elliptiques et paraboliques
1.1 Elliptique et parabolique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elliptique non linéaire (opérateurs de Leray-Lions) . . . . . . . . .
1.3 Parabolique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
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13
13
14
15
16
17
2 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Résultats d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Espaces de Sobolev et analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
20
I
23
Problèmes linéaires et dualité
3 Relation entre regularité et existence du problème adjoint
3.1 Equivalence entre existence et régularité . . . . . . . . . . . .
3.2 r0 peut être fini et même très proche de 2 . . . . . . . . . . .
3.3 Perte de régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25
25
27
27
4 Solution par dualité de Stampacchia . . . . . . . .
4.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . .
4.2 La théorie de Stampacchia . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Comparaison avec les solutions par approximations
.
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29
29
30
33
II
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Problèmes non-linéaires : Existence
5 Existence de solutions de problèmes elliptiques avec second membre
mesure et conditions aux limites non homogènes . . . . . . . . . . . .
5.1 Conditions aux limites de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Conditions aux limites de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Conditions aux limites de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
37
38
44
47
4
6 Non unicité des solutions vérifiant la formulation au
butions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 L’équation et la solution de Serrin . . . . . . . . . .
6.3 Modification du problème pour N > 2 . . . . . . . . .
6.4 Régularité de u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Étude des tronqués de u . . . . . . . . . . . . . . . .
III
sens des distri. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
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. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Seconds membres L1 : unicité et continuité
7 Dépendance continue par rapport à un paramètre des
problème elliptique à seconds membres L1 . . . . . . . . .
0
7.1 Cadre variationnel : f ∈ W −1,p (Ω) . . . . . . . . . . . .
7.2 Cadre non variationnel : f ∈ L1 (Ω) . . . . . . . . . . . .
53
53
54
55
56
59
61
solutions
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
de
. 63
. 64
. 66
8 Existence et unicité des solutions entropiques de problèmes paraboliques à données L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 La solution obtenue par approximation . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Existence d’une solution entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Unicité de la solution entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
78
82
84
IV
89
Seconds membres mesure : propriétés
9 Etude des singularités de
bre mesure . . . . . . . . . .
9.1 Construction de w et v
9.2 Propriétés de w − v . .
la solution
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
d’une
. . . .
. . . .
. . . .
équation
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
à second
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
mem. . . 91
. . . 91
. . . 92
10 Espaces de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Espaces de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Quelques fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Classes de fonctions test pour problèmes elliptiques
bre mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Trois définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Solutions entropiques et solutions w . . . . . .
11.2.2 Solutions renormalisées et solutions w . . . . .
11.3 Non unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
à second
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
95
95
97
mem. . . 101
. . . 101
. . . 102
. . . 102
. . . 104
. . . 105
12 Convergence faible des tronqués des solutions problèmes elliptiques
à second membre mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5
13 Une généralisation des notions de SOLA et de solutions entropiques
et renormalisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.1 Assumptions and statement of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.1.1 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.1.2 Definition of renormalized solutions . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.1.3 Other definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13.1.4 Existence and strong convergence of truncates . . . . . . . . . 121
13.1.5 Notation and preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.2 Approximation of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.3 Near E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
13.4 Far from E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.5 Proof of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.5.1 Proof of the strong convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.5.2 Importance of sign restriction on (λ+ )ε and (λ− )ε . . . . . . . 141
13.5.3 Proof of existence of renormalized solutions . . . . . . . . . . 142
13.6 Equivalence between definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Introduction
Les équations aux dérivées partielles de types elliptiques et paraboliques ont été
étudiées depuis longtemps et le cas de problèmes linéaires à données H −1 (elliptique)
ou L2 (0, T ; H −1 ) (parabolique), cadre (( variationnel )), est bien connu. Il y a existence
et unicité dans les (( bons espaces )) et les équations sont formulées de la façon suivante
(où Ω est un ouvert borné de RN ) : pour une équation elliptique avec conditions aux
limites de Dirichlet et f ∈ H −1 (Ω), on cherche (Lax-Milgram [32]) u vérifiant

1
 u ∈ H0 (Ω)
Z
 (A∇u)∇ϕ = hf, ϕi
∀ϕ ∈ H01 (Ω)
Ω
où A est une matrice bornée et coercitive, et pour une équation parabolique avec
u0 ∈ L2 (Ω) et f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)), on cherche (Lions-Magenes [35]) u vérifiant

u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ut ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω))


Z T
Z T
Z TZ

hf, ϕi
∀ϕ ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω))
(A∇u)∇ϕ =
hut , ϕi +


0
0 Ω
0


u(0) = u0
Les hypothèses sur u entraı̂nent que u ∈ C(0, T ; L2 (Ω)), la condition initiale a donc
bien un sens.
Si l’on considère le problème elliptique dans le cas où les données ne sont plus
H −1 , cette formulation n’est plus adaptée. Pour f ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 , espace de
mesures, Stampacchia [48] a proposé en 1965 une méthode donnant dans le cas linéaire
existence et unicité des solutions d’une équation elliptique (nous la précisons dans
[43]). Cette méthode utilise la dualité (et un résultat de régularité) et conduit à la
formulation suivante
\

u
∈
W01,q (Ω)





q < NN

−1
Z
(1)
t

− hdiv(A ∇ϕ), ui =
ϕ df



Ω

S

∀ϕ ∈ H01 (Ω) ∩ C(Ω) tel que div(At ∇ϕ) ∈ r > N W −1,r (Ω).
8
Introduction
La formulation faible (( classique )) serait plutôt

\

W01,q (Ω)
u
∈




q < NN
−1
Z
Z
(2)
[



(A∇u)∇ϕ =
ϕ df
∀ϕ ∈
W01,r (Ω).

 Ω
Ω
r>N
Comme W01,r (Ω) ⊂ C(Ω), et ϕ ∈ W01,r (Ω) implique div(At ∇ϕ) ∈ W −1,r (Ω), les
fonctions test de (2) peuvent aussi être choisies commes fonctions test pour (1), mais
la réciproque est fausse. Aussi (2) n’assure pas l’unicité des solutions comme nous
allons le voir, alors que (1) l’assure.
0
Pour f ∈ W −1,p (Ω) et p > 1, c’est-a-dire, ici encore, dans le cadre (( variationnel )),
les équations non-linéaires de la forme
− div(a(x, u, ∇u)) = f
où a(x, s, ξ) défini un opérateur elliptique ont été étudiées par Leray et Lions (1965)
(voir [33]), qui ont montré qu’il y avait existence d’une solution u vérifiant
(3)

1,p
 u ∈ W0 (Ω)
Z

a(x, u, ∇u)∇ϕ = hf, ϕi
∀ϕ ∈ W01,p (Ω)
Ω
0
0
et pour le cas parabolique (Lions [34]) avec u0 ∈ L2 (Ω) et f ∈ Lp (0, T ; W −1,p (Ω)) il
existe u vérifiant

0
0
u ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω)), ut ∈ Lp (0, T ; W −1,p (Ω))



Z T
Z TZ
Z T
a(t, x, u, ∇u)∇ϕ =
hf, ϕi
∀ϕ ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω))
hut , ϕi +


0
0
0 Ω


u(0) = u0
(les hypothèses sur u entraı̂nent ici aussi u ∈ C(0, T ; L2 (Ω))).
Lorsque a ne dépend pas de u, il y a unicité de la solution, dans le cas contraire,
pour les équation elliptiques, Boccardo, Gallouët et Murat [13] ont montré que si a
est lipschitzienne en u, il y a unicité des solutions de (3) pour p ≤ 2 et il existe des
contre-exemples à l’unicité pour p > 2.
Cependant, pour les équations elliptiques et f ∈ M (Ω), espace de mesures,
la méthode de Stampacchia ne fonctionne pas avec des opérateurs non linéaires
aussi, beaucoup plus récemment (1989), Boccardo et Gallouët [11] ont construit
par approximation une solution pour les équations elliptiques et paraboliques avec
conditions aux limites homogènes de Dirichlet. Nous avons montré l’existence d’une
solution pour des conditions non-homogènes de Dirichlet, Neumann et Fourier (voir
Introduction
9
[41]). La formulation que vérifie la solution est proche de celle des distributions : pour
l’équation elliptique dans le cas de Dirichlet homogène, et f ∈ M (Ω)

\

u
∈
W01,q (Ω)




(p−1)
q < NN
−1
Z
Z
[



a(x,
u,
∇u)∇ϕ
=
ϕ
df
∀ϕ
∈
W01,r (Ω)


Ω
Ω
r>N
et pour l’équation parabolique avec f ∈ M ([0, T ] × Ω) et u0 ∈ M (Ω)

\

Lq (0, T ; W01,q (Ω))
u
∈




+1)+1

q < (p−1)(N

N +1


Z
Z
Z TZ
Z TZ

T
−
hu, ϕt i − ϕ(0) du0 +
a(t, x, u, ∇u)∇ϕ =
ϕ df.


0
Ω
0 Ω
0 Ω




∀ϕ ∈ C([0, T ] × Ω) tel que



S
S

ϕ ∈ r > N Lr (0, T ; W01,r (Ω)), ϕt ∈ r > N +2 Lr (0, T ; W −1,r (Ω)).
Dans le cas où a ne dépend pas de u, l’existence d’une solution a d’abord été
donnée dans [11] (et plus rapidement dans [15]) avec une hypothèse technique sur a
afin d’avoir la convergence presque partout de ∇un vers ∇u. Cette condition a été
levée dans [12], et le résultat a été montré pour a(x, u, ∇u) dans le cas elliptique (voir
[26, 25, 41]). Dans le cas parabolique avec a(t, x, ∇u), ceci a été fait par Dall’Aglio
et Orsina [24], puis pour a(t, x, u, ∇u) dans [10].
Nous avons montré, dans[43], que dans le cas elliptique linéaire la méthode par
approximation utilisée pour montrer l’existence conduit à la même solution que celle
de Stampacchia. Cependant la formulation (2) est trop faible pour assurer l’unicité
comme nous le prouvons (voir [43]) avec le contre-exemple de Serrin [46], qui permet
d’obtenir, dans le cas linéaire, une solution non nulle pour un problème à données
nulles.
Pour remédier à cela, dans le cas elliptique avec conditions aux limites homogènes
de Dirichlet, où les données sont L1 (Ω) (ce qui est bien sûr plus restrictif que M (Ω)),
trois approches ont été utilisées.
Dall’Aglio [23] a montré que, même pour un problème non-linéaire, la méthode
par approximation conduit à une unique solution appelée SOLA (Solution Obtenue
comme Limite d’Approximations).
Bénilan, Boccardo, Gallouët, Gariepy, Pierre et Vazquez [4] définissent la notion
de solution entropique (ici p > 2 − 1/N pour simplifier) :

1,1
Tk (u) ∈ W01,p (Ω) ∀k > 0
 u ∈ W (Ω),
Z
Z

a(x, ∇u)∇Tk (u − ϕ) ≤
f Tk (u − ϕ) ∀ϕ ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω).
Ω
Ω
Il y a continuité de la solution par rapport, d’une part, au second membre (Vazquez
[49]), et d’autre part, à l’opérateur a ([42] où nous l’avons montré). De plus l’existence
10
Introduction
et l’unicité de solutions entropiques a été montrée pour des conditions aux limites
homogènes plus générales et en particulier de Neumann et Fourier par Andreu, Mazón,
Segura de León et Toledo [3].
Enfin, Lions et Murat [36, 39] ont introduit une autre notion : celle de solution
renormalisée (suite aux solutions du même nom, dues à Di Perna et Lions, pour
l’équation de Boltzmann). Elle vérifie (ici aussi, p > 2 − 1/N pour simplifier) :


u ∈ W 1,1 (Ω),
Tk (u) ∈ W01,p (Ω) ∀k > 0


Z





|∇u|p = 0 ∀k > 0
lim
 h→+∞
h≤|u|≤k+h
Z
Z
Z

0


S(u) a(x, ∇u)∇ϕ + S (u) ϕ a(x, ∇u)∇u =
f S(u) ϕ



Ω
Ω
Ω



∀ϕ ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω)
pour toute fonction S régulière à variable réelle et à support compact.
Ces trois définitions sont équivalentes puisqu’elles conduisent à la même (unique)
solution.
Dans le cas parabolique et p > 2−1/(N +1), nous avons, de façon analogue, défini
la solution entropique d’une équation parabolique (voir [44]) :


u ∈ C(0, T ; L1 (Ω)) ∩ L1 (0, T ; W 1,1 (Ω)),
Tk (u) ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω)) ∀k > 0,



Z
Z
Z T




Θk (u − ϕ)(T ) − Θk (u0 − ϕ(0)) −
hϕt , Tk (u − ϕ)i



Ω
0
 Ω
Z
Z TZ

f Tk (u − ϕ)
a(t, x, ∇u)∇Tk (u − ϕ) ≤
+



Ω
0 Ω




∀ϕ ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω) ∩ C(0, T ; L1 (Ω))



0
0

tel que ϕt ∈ Lp (0, T ; W −1,p (Ω)).
Blanchard et Murat [8] ont aussi défini une solution renormalisée qui vérifie


u ∈ C(0, T ; L1 (Ω)) ∩ L1 (0, T ; W 1,1 (Ω)),
Tk (u) ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω)),



Z TZ




lim
|∇u|p = 0 ∀k > 0,


h→+∞ 0 h≤|u|≤k+h




u(0) = u0 ,
Z TZ
Z T




hS(u), ϕt i +
S 0 (u) a(t, x, ∇u)∇ϕ
−



0
0 Ω


Z TZ
Z TZ



00

S (u) ϕ a(t, x, ∇u)∇u =
f S 0 (u) ϕ
∀ϕ ∈ D(Ω)
+

0
Ω
0
Ω
pour tout S 0 régulière à support compact.
Ces deux définitions sont elles aussi équivalentes car il y a unicité des solutions.
Introduction
11
Les critères d’unicité (SOLA, solutions entropiques et renormalisées) fonctionnent
pour f ∈ L1 (Ω) car Tk (u) et S(u)ϕ ∈ L∞ (Ω) cependant l’unicité des solutions
entropiques a été étendue aux seconds membres mesure ne chargeant pas les ensembles
de p-capacités nulles par Boccardo, Gallouët et Orsina [14], c’est à-dire pour un second
membre µ vérifiant pour B un borélien
capp (B, Ω) = 0
=⇒
µ(B) = 0,
0
ce qui est équivalent (voir [14]), pour une mesure µ, à µ ∈ L1 (Ω) + W −1,p (Ω).
Dans le cas où le second membre est une mesure quelconque, on ne sait plus, en
général, démontrer que la notion de SOLA assure l’unicité, et les solutions entropiques
et renormalisées ne sont plus définies. Pour les équations elliptiques, de nouvelles
définitions équivalentes ont été proposées par Dal Maso, Murat, Orsina et Prignet
[22] : elles généralisent les trois notions précédentes, mais ne conduisent pas (encore)
à l’unicité.
Une mesure f ∈ M (Ω) peut être décomposée en f = µ0 + λ+ − λ− où µ0 est une
0
mesure ne chargeant pas les ensembles de p-capacités nulles (µ0 ∈ L1 (Ω)+W −1,p (Ω))
et λ+ et λ− les parties positives et negatives de f − µ0 . Voici une des formulations
vérifiée par u :
Z
Z
Z
Z
+∞
+
a(x, ∇u)∇w dx =
w dµ0 + w dλ − w−∞ dλ−
Ω
Ω
Ω
Ω
pour tout w ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) tel qu’il existe k > 0, w+∞ et w−∞ ∈ W 1,r (Ω), avec
r > N , tels que
(
w = w+∞ capp -quasi partout sur {u > k},
w = w−∞
capp -quasi partout sur {u < −k}.
Cet ouvrage est constitué de chapitres pouvant être lus indépendamment les uns
des autres. Les chapitres 1 et 2 sont des rappels concernant les équations elliptiques
et paraboliques dans un cadre (( classique )), l’intégration et les espaces de Sobolev.
La première partie est consacrée aux méthodes de dualité pour des problèmes
elliptiques linéaires : le chapitre 3 concerne les équations à seconds membres W −1,s (Ω)
pour s < 2, et le chapitre 4 les équations à seconds membres mesure.
La deuxième partie fait intervenir des équations elliptiques dans une formulation
au sens des distributions. Le chapitre 5 donne l’existence pour des équations nonlinéaires, tandis que le chapitre 6 prouve que même dans le cas linéaire il n’y a pas
unicité.
La troisième partie est consacrée aux équations à seconds membres L1 : le chapitre
7 montre la continuité des solutions entropiques d’une équation elliptique par rapport
à un paramètre (et redémontre leur unicité). Et le chapitre 8 prouve l’existence et
l’unicité des solutions entropiques d’équations paraboliques.
12
Introduction
Enfin la quatrième partie donne des propriétés des solutions des équations
elliptiques à seconds membres mesure (dont on connaı̂t déjà l’existence et la nonunicité). Dans le chapitre 9, on étudie les singularités de la solution pour un second
membre somme d’un dirac et d’une fonction L1 . Puis le chapitre 10 montre que les
espaces de Lorentz, bien que plus fins que les espaces de Sobolev, ne permettent
pas de distinguer les solutions à second membre dirac de celles à second membre
L1 . Le chapitre 11 est consacré à l’étude d’une formulation plus générale que les
formulations entropiques et renormalisées, mais ne donnant pas l’unicité lorsque le
second membre est un dirac. Lorsque le second membre est L1 , il y a convergence
forte des troncatures des approximations, nous montrons dans le chapitre 12 que ce
n’est plus nécessairement le cas pour une mesure quelconque. Enfin, le chapitre 13
propose une généralisation des notions de SOLA, solutions entropiques, et solutions
renormalisées pour une mesure quelconque au second membre.
Les chapitres 4 et 6 sont les deux parties (en français) de l’article [43] publié à
Rendiconti di Matematica.
Le chapitre 5 est à paraı̂tre aux Annales de Toulouse [41].
Le chapitre 8 est paru (en anglais) à Nonlinear Analysis TMA [44].
Le chapitre 7 est un article en préparation [42].
Le chapitre 13 est un article en préparation [22] écrit en collaboration avec G. Dal
Maso, F. Murat et L. Orsina, une note CRAS est aussi en préparation.
1. Cadre classique pour les équations elliptiques et
paraboliques
Soit Ω un ouvert borné de RN avec N ≥ 2, on étudie des problèmes elliptiques et
paraboliques dont les modèles sont : pour l’elliptique linéaire
(
−∆u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω,
et pour le parabolique linéaire


 ut − ∆u = f
u=0


u(0) = u0
dans ]0, T [×Ω
sur ]0, T [×∂Ω,
sur Ω,
P
2
où ∆ =
i=1,...,N ∂xi (par la suite, les sommes en i ne seront plus notées). Les
problèmes modèles pour les équations non linéaires font intervenir le p-laplacien
∆p (u) = div(|∇u|p−2 ∇u)
−∆p u = f
u=0
dans Ω
sur ∂Ω,
ut − ∆p u = f
u=0
u(0) = u0
et
dans ]0, T [×Ω
sur ]0, T [×∂Ω,
sur Ω,
1.1 Elliptique et parabolique linéaire
On étudie le problème de Dirichlet elliptique
− div(A∇u) = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
où A est une matrice de taille N . Si l’on note aij les coefficients de A, l’équation
s’écrit −∂xi (aij ∂xj u) = f. Nous supposons que aij ∈ L∞ (Ω) et satisfait la condition
d’ellipticité (ou coercitivité) : il existe α > 0 tel que
X
X
∀(ξi ) ∈ RN
ξi aij ξj ≥ α
ξi ξj .
i,j
i,j
14
Chap. 1
Cadre classique pour les équations . . .
Ce problème admet alors, pour f ∈ H −1 (Ω), une unique solution variationnelle,
qui appartient à H01 (Ω) et vérifie
Z
1
∀ v ∈ H0 (Ω)
(A∇u)∇v dx = hf, viH −1 ,H01
Ω
Cette solution est obtenue grâce au théorème de Lax-Milgram [32].
Sous les mêmes hypothèses sur A (matrice bornée et coercitive), le problème
parabolique
ut − div(A∇u) = f dans ]0, T [×Ω
u = 0 sur ]0, T [×∂Ω
u(0) = u0 sur Ω
admet, pour f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) et u0 ∈ L2 (Ω), une unique solution variationnelle u (voir Lions-Magenes [35]) appartenant à L2 (0, T ; H01 (Ω)) et vérifiant
ut ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)),
Z T
Z TZ
Z T
2
1
∀ v ∈ L (0, T ; H0 (Ω))
hut , vi +
(A∇u)∇v = hf, vi
0
0
Ω
0
et
u(0) = u0
dans L2 (Ω),
qui a bien un sens car u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) et ut ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) implique
u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)).
1.2 Elliptique non linéaire (opérateurs de Leray-Lions)
On étudie le problème elliptique
− div(a(x, u, ∇u)) = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
0
avec p > 1 et f dans W −1,p (Ω) (p0 = p/(p − 1)) où Ω est un ouvert borné de RN
et a une fonction de Carathéodory satisfaisant des conditions, données ci-après, de
coercitivité, de monotonie stricte et de croissance du type de celles de Leray-Lions,
et définissant un opérateur sur W01,p (Ω). La solution u, dont l’existence est donnée
par [33], vérifie u ∈ W01,p (Ω) et
Z
1,p
∀ϕ ∈ W0 (Ω)
a(x, u, ∇u)∇ϕ = hf, ϕi.
Ω
La solution est obtenue par une méthode de Galerkin, c’est-à-dire comme limite de
solutions appartenant à des espaces de dimensions finies.
En fait A(u) = − div(a(x, u, ∇u)) définit un opérateur de Leray-Lions, c’est-àdire qu’il vérifie les hypothèses générales suivante :
1.3 Parabolique non linéaire
15
• u 7→ A(u) est un opérateur de V , Banach séparable et réflexif, dans V 0 son
dual.
• A(u) est un opérateur borné, au sens où il transforme les bornés de V en des
bornés de V 0 .
• A(u) est continu de tout sous-espace de V de dimension finie dans V 0 faible.
• A est coercitif au sens suivant
hA(v), vi
= +∞
|v|→∞
|v|
lim
• A est monotone, c’est-à-dire que hA(u) − A(v), u − vi ≥ 0 pour tout u et
v ∈V.
Ces hypothèses suffisent pour montrer que A est surjectif [33], aussi A(u) = f
admet une solution pour tout f ∈ V 0 . Elles sont vérifiées, en particulier, sous les
0
hypothèses suivantes, avec V = W01,p (Ω) et V 0 = W −1,p (Ω).
Nous supposons que a satisfait les hypothèses suivantes (qui font de A(u) un
opérateur de Leray-Lions) : a est une fonction de Carathéodory, c’est-à-dire que
• a(x, s, ξ) : RN × R × RN → RN est mesurable en x ∈ RN pour tout s ∈ R
et ξ ∈ RN et continue en ξ ∈ RN et s ∈ R pour presque tout x ∈ RN . Nous
noterons a(x, u, ∇u) = a(x, u(x), ∇u(x)).
et a vérifie aussi des conditions de coercitivité, monotonie stricte et croissance : il
existe p vérifiant 1 0 tel que pour tout s et ξ et presque tout x on ait
a(x, s, ξ)ξ ≥ α|ξ|p
• Pour tout s, ξ et η et presque tout x on a
[a(x, s, ξ) − a(x, s, η)](ξ − η) > 0 pour ξ 6= η
0
• Il existe b(x) ∈ Lp (Ω) (p0 = p/(p − 1)) et β > 0 tels que pour tout s et ξ et
presque tout x on ait
|a(x, s, ξ)| ≤ β(b(x) + |s|p−1 + |ξ|p−1 )
Ces hypothèses sont classiques pour l’étude des opérateurs non linéaires sous forme
divergentielle.
1.3 Parabolique non linéaire
Il s’agit de résoudre l’équation parabolique
ut − div(a(t, x, u, ∇u)) = f dans ]0, T [×Ω
u = 0 sur ]0, T [×∂Ω
u(0, .) = u0 dans Ω
16
Chap. 1
Cadre classique pour les équations . . .
0
avec u0 dans L2 (Ω) et f dans Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)) où a est une fonction de
Carathéodory satisfaisant des conditions de coercitivité, de monotonie stricte et
de croissance du type de celles de Leray-Lions, définissant un opérateur sur
Lp (]0, T [; W01,p (Ω)).
La solution u, obtenue par Lions [34] (ici aussi grâce à une méthode de Galerkin),
vérifie
0
0
u ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) et ut ∈ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω))
Z T
Z TZ
Z T
1,p
p
hut , ϕi +
a(t, x, u, ∇u)∇ϕ = hf, ϕi
∀ϕ ∈ L (]0, T [; W0 (Ω))
0
0
Ω
0
u(0) = u0 ,
ici aussi cette dernière égalité a bien un sens car u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)), ce qui est une
conséquence de la régularité de u et ut .
Donnons les hypothèses sur a, qui font de A(u) = − div(a(t, x, u, ∇u)) un
opérateur de Leray-Lions : a est une fonction de Carathéodory, c’est-à-dire que
• a(t, x, s, ξ) : R × RN × RN → RN est mesurable en t ∈ R et x ∈ RN pour
tout s ∈ R et ξ ∈ RN et continue en s ∈ R et ξ ∈ RN pour presque tout
t ∈ R et x ∈ RN . Nous noterons a(t, x, u, ∇u) = a(t, x, u(t, x), ∇u(t, x)).
et a vérifie aussi des conditions de coercitivité, monotonie stricte et croissance : il
existe p vérifiant 1 0 tel que pour tout s et ξ et presque tout t et x on ait
a(t, x, s, ξ)ξ ≥ α|ξ|p
• Pour tout s, ξ et η et presque tout t et x on a
[a(t, x, s, ξ) − a(t, x, s, η)](ξ − η) > 0 pour ξ 6= η
0
• Il existe b(t, x) ∈ Lp (]0, T [×Ω), (où p0 = p/(p − 1)) et β > 0 tels que pour
tout s et ξ et presque tout t et x on ait
|a(t, x, s, ξ)| ≤ β(b(t, x) + |s|p−1 + |ξ|p−1 )
Ces hypothèses sont classiques pour l’étude des opérateurs non linéaires sous forme
divergentielle.
1.4 Troncature
Soit k > 0 et Tk : R → R la fonction (( tronquante )) valant


 −k pour x ≤ −k
x pour |x| ≤ k


k pour x ≥ k.
et sa primitive Θk : R → R+
Z
x
Tk (s) ds.
Θk (x) =
0
1.5 Mesure
17
La fonction Tk sert, par exemple, à montrer le principe du maximum faible pour les
équations elliptiques, elle va être très utilisée dans la suite.
Comme cette fonction est lipschitzienne, le théorème de Stampacchia affirme que
pour u une fonction W 1,p (Ω), avec p ≥ 1, on a Tk (u) ∈ W 1,p (Ω) et
∇Tk (u) = Tk 0 (u)∇u.
1.5 Mesure
Soit O un ouvert, il existe plusieurs espaces de mesures sur O. Nous considérons
ici M (O) = (C(O))0 le dual de l’ensemble des fonctions continues sur O muni de
sa norme habituelle (la norme du sup). On supposera de plus que ces mesures ne
chargent pas le bord. De toute façon la partie de la mesure pouvant charger le bord
est ignorée par la formulation au sens des distributions puisque les fonctions test sont
à support compact. La restriction n’est donc importante que pour des conditions aux
limites de Neumann ou de Fourier.
2. Outils de base
2.1 Résultats d’intégration
Nous reprenons les énoncés de Kavian [31], les résultats n’y sont pas démontrés
(sauf le théorème de Vitali), les démonstrations peuvent être trouvées dans Rudin
[45]. Dans la suite Ω sera un ouvert borné de RN et nous utiliserons la mesure de
Lesbegue, mais ces résultats restent vrais dans un cadre plus général.
Lemme de Fatou : Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables positives. Alors
Z Z
fn dx.
lim fn dx ≤ lim
Ω
n→∞
n→∞
Ω
Théorème de convergence dominée de Lebesgue : Soit (fn ) une suite de
fonctions de L1 (Ω) convergeant presque partout vers une fonction mesurable f . On
suppose qu’il existe g ∈ L1 (Ω) telle que pour tout n ≥ 1, on ait |fn (x)| ≤ g(x) presque
partout sur Ω. Alors f ∈ L1 (Ω), et
Z
Z
Z
lim
|fn − f | dx = 0,
lim
fn dx =
f dx
n→∞
n→∞
Ω
Ω
Ω
Réciproque partielle du théorème de convergence dominée : Soient
1 ≤ p < ∞, f ∈ Lp (Ω) et (fn ) une suite de fonctions de Lp (Ω) telles que limn→∞ kfn −
f kp = 0. Alors il existe une fonction g ∈ Lp (Ω) et une sous-suite (fnk ) telles que :
|fn | ≤ g
p.p,
fn → f
p.p.
Définition de l’équi-intégrabilité : On dit qu’une suite (fn ) de fonctions de
L (Ω) est équi-intégrable si : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que ∀E ⊂ Ω mesurable
avec mes(E) < δ on ait
Z
1
|fn |dx < ε.
Ω
Théorème de Vitali : Soit (fn ) une suite de fonctions de L1 (Ω) convergeant
presque partout vers une fonction mesurable f . Alors (fn ) tend vers f dans L1 (Ω) si
et seulement si la suite (fn ) est équi-intégrable.
20
Chap. 2
Outils de base
Conséquence : Si (un ) est bornée dans W 1,p (Ω) avec p > 1 (et donc convergeant
dans W 1,p (Ω) faible à une sous suite près) et si (∇un ) converge presque partout alors
(un ) converge (à une sous suite près) dans W 1,q (Ω) (fort) ∀q < p.
En effet, d’après le théorème de Vitali, il suffit de montrer que (|∇un |q ) est équiintégrable or pour E borelien
Z
q/p Z 1−q/p
Z
q
p
|∇un | ≤
|∇un |
1
≤ C mes(E)1−q/p .
E
Ω
E
Lemme : Soit f une fonction mesurable strictement positive. Alors pour tout
ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout A ⊂ Ω mesurable on ait
Z
f dx < δ =⇒ mes(A) < ε.
A
Démonstration : On a mes(A) ≤ mes({x, f (x) ≤ 1/n}) + mes(A ∩ {x, f (x) ≥ 1/n})
or
Z
mes(A ∩ {x, f (x) ≥ 1/n}) ≤ n f dx
A
et par continuité de la mesure mes({x, f (x) ≤ 1/n}) → mes({x, f (x) ≤ 0}) = 0
lorsque n → +∞, donc il existe n0 tel que mes({x, f (x) ≤ 1/n0 }) ≤ ε/2, il suffit
alors de choisir δ ≤ ε/(2n0 ).
Lemme : Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables de Ω dans R. Si (fn ) est
de Cauchy en mesure, c’est-à-dire si
∀ε > 0, ∀η > 0, ∃n0 ∈ N tel que p, q ≥ n0 ⇒ mes({x ∈ Ω; |fp (x) − fq (x)| > ε}) ≤ η,
alors il existe une sous-suite de (fn ) convergeant presque partout.
Démonstration : Comme (fn ) est de Cauchy en mesure, il existe une sous-suite
(fnk ) telle que
mes({x ∈ Ω; |fnk+1 (x) − fnk (x)| > 1/2k }) ≤ 1/2k .
S
Notons Ak = {x ∈ Ω; |fnk+1 (x) − fnk (x)| > 1/2k }, et soit Bp = k≥p Ak alors
mes(Bp ) ≤ 1/2p−1 . Sur Bpc , son complémentaire, la suite (fnk ) est de Cauchy et
converge donc uniformément et simplement vers gp . Pour p0 ≥ p on a Bpc ⊂ Bpc0 donc
gp0 /Bpc = gp si bien qu’il existe g tel que g/Bpc = gp . Ainsi (fnk ) converge simplement
T
S
S
vers g sur p∈N Bpc . Et ( p∈N Bpc )c = p∈N Bp qui est de mesure nulle, donc (fnk )
converge presque partout vers g.
2.2 Espaces de Sobolev et analyse fonctionnelle
Nous reprenons ici aussi certains énoncés de Kavian [31] et de Brezis [19], pour
une présentation plus complète des espaces de Sobolev, on pourra voir Adams [1].
Par la suite, Ω est un ouvert borné de RN .
2.2 Espaces de Sobolev et analyse fonctionnelle
21
Définition des espaces de Lebesgue : Pour 1 ≤ p < ∞, l’espace de Lebesgue
L (Ω) est défini par :
R
Lp (Ω) = {u mesurable ; Ω |u|p < +∞}
p
et on le munit de la norme (parfois notée k.kp )
Z
kukLp =
|u|p dx
p1
,
Ω
et pour p = ∞, on note
L∞ (Ω) = {u mesurable ; sup |u| < ∞}
Ω
de norme
kukL∞ = sup |u|.
Ω
Définition des espaces de Sobolev : Pour 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace de Sobolev
W 1,p (Ω) est défini par :
W 1,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω); ∇u ∈ (Lp (Ω))N }
et on le munit pour p < ∞ de la norme
kukW 1,p = ((kukLp )p + (k∇ukLp )p )1/p ,
et pour p = ∞
kukW 1,∞ = max(kukL∞ , k∇ukL∞ ).
L’espace D(Ω) désignant l’ensemble des fonction de classe C ∞ (Ω) à support compact
dans Ω, on note pour 1 ≤ p < ∞
W 1,p (Ω)
W01,p (Ω) = D(Ω)
.
Comme pour 1 ≤ p < ∞, l’espace D(Ω) est par définition dense dans W01,p (Ω), on peut
identifier le dual de W01,p (Ω) à un sous-espace de l’espace des distributions D0 (Ω) (le
0
dual de Lp (Ω) étant identifié à Lp (Ω) où p0 = p/(p − 1)). On note :
0
W −1,p (Ω) = (W01,p (Ω))0 .
Dans le cas particulier où p = 2, W 1,2 (Ω), W01,2 (Ω) et W −1,2 (Ω) sont respectivement
notés H 1 (Ω), H01 (Ω) et H −1 (Ω).
Théorème : Soit E un espace de Banach séparable et soit (fn ) une suite bornée
dans E 0 . Alors il existe une sous suite (fnk ) qui converge pour la topologie faible ∗ de
E 0.
Ce théorème est souvent utilisé pour E = L1 (Ω), qui est bien séparable (mais pas
réflexif), comme E 0 = L∞ (Ω), on peut donc extraire d’une suite bornée dans L∞ (Ω),
une sous suite qui converge dans L∞ (Ω) faible ∗.
22
Chap. 2
Outils de base
Théorème : Soit E un espace de Banach réflexif et soit (fn ) une suite bornée
dans E. Alors il existe une sous suite (fnk ) qui converge pour la topologie faible de
E.
Ce théorème permet d’extraire des sous suites convergentes faiblement de suites
bornées dans Lp (Ω) pour 1 < p < ∞, puisque Lp (Ω) est alors réflexif. Il ne s’applique
donc ni à L1 (Ω), ni à L∞ (Ω) (pour lequel, en revanche, le théorème précédent
s’applique). Il en est de même pour les W01,p (Ω).
Théorème de Rellich : Soit Ω un ouvert borné de RN et p ≥ 1. Si p < N alors
pour tout q tel que 1 ≤ q ≤ p∗ (avec 1/p∗ = 1/p − 1/N ), l’injection de W01,p (Ω)
dans Lq (Ω) est continue et pour tout q tel que 1 ≤ q < p∗ l’injection est compacte,
c’est-à-dire que les bornés de W01,p (Ω) sont relativement compacts dans Lq (Ω).
En particulier l’injection de W01,p (Ω) dans Lp (Ω) pour 1 ≤ p < N est compacte.
Il existe un théorème analogue utile pour les équations paraboliques (voir Simon [47]
Corollaire 4)
Théorème du type d’Aubin : Soient X ⊂ B ⊂ Y trois espaces de Banach
tels que l’injection de X dans B soit compacte. Si F est borné dans Lp (0, T ; X) avec
1 ≤ p < N et si Ft = {ft , f ∈ F } est borné dans L1 (0, T ; Y ) alors F est relativement
compacte dans Lp (0, T ; B).
Inégalité de Poincaré : Si Ω est un ouvert borné de RN , il existe une constante
C telle que pour tout u ∈ W01,p (Ω) :
kukLp ≤ Ck∇ukLp .
En particulier k∇ukLp est une norme équivalente à celle de W01,p (Ω).
Inégalité de Poincaré-Wirtinger : Soient
R Ω un ouvert borné, connexe et
lipschitzien de RN et 1 < p < ∞. Alors si u
e = ( Ω u dx)/|Ω|, il existe C tel que pour
tout u ∈ W 1,p (Ω) on ait :
ku − u
ekLp ≤ Ck∇ukLp .
Part I
Problèmes linéaires et dualité
23
3. Relation entre regularité et existence du
problème adjoint
On s’intéresse ici à des équations elliptiques linéaires à seconds membres W −1,s avec
s < 2, dont on montre l’existence de solutions par dualité.
3.1 Equivalence entre existence et régularité
Pour Ω ouvert borné de RN avec N ≥ 2, on étudie le problème de Dirichlet
elliptique
−∂xi (aij ∂xj u) = f dans Ω
(3.1)
u = 0 sur ∂Ω
avec aij ∈ L∞ (Ω), satisfaisant la condition d’ellipticité
X
X
∀(ξi ) ∈ RN
ξi aij ξj ≥ α
ξi ξj
i,j
i,j
pour α > 0 et f ∈ W −1,r (Ω).
Ce problème admet, pour r ≥ 2 et donc f ∈ H −1 (Ω), une unique solution
variationnelle (théorème de Lax Milgram [36]), qui appartient à H01 (Ω) et vérifie
Z
1
∀ v ∈ H0 (Ω)
aij ∂xj u ∂xi v dx = hf, viH −1 ,H01 .
Ω
Si f est plus régulière, la solution peut être plus régulière, par exemple grâce au
théorème de Meyers [6]. Aussi introduisons nous
r0 = sup{r1 ; f ∈ W −1,r (Ω) ⇒ u ∈ W01,r (Ω) ∀ 2 ≤ r ≤ r1 }.
Par construction, r0 ≥ 2 et le théorème de Meyers dit, en fait, que r0 > 2. Ceci par
dualité va permettre de résoudre (3.1) pour des f moins réguliers, en particulier pour
f ∈ W −1,q (Ω) avec q < 2 : aussi de façon analogue à la définition de r0 définit-on
q0 = inf{q1 ; pour f ∈ W −1,q (Ω),
(3.1) admet une unique solution dans W01,q (Ω) ∀q1 ≤ q ≤ 2}.
Théorème : Régularité des solutions et existence d’une solution sont duales, i.e.
q0 = r 0 0 .
26
Chap. 3
Relation entre regularité et existence du problème adjoint
Démonstration : Soit 1 < s < ∞ tel que ∀ g ∈ W −1,s (Ω) il existe un unique
v ∈ W01,s (Ω) qui vérifie
Z
0
(A∗ ∇v)∇ϕ = hg, ϕiW −1,s ,W 1,s0 ∀ ϕ ∈ W01,s (Ω).
0
Ω
Notons Gs : W −1,s (Ω) → W01,s (Ω) tel que Gs (g) = v, on notera que Gs est bijectif et
Z
0
(A∗ ∇Gr (g))∇ϕ = hg, ϕiW −1,s ,W 1,s0 ∀ ϕ ∈ W01,s (Ω),
(3.2)
0
Ω
De plus, − div(A∗ ∇) est continue de W01,s (Ω) dans W −1,s (Ω) et bijective d’inverse Gs
aussi grâce au théorème de l’application ouverte, Gs est continue de W −1,s (Ω) dans
W01,s (Ω), à l’aide du théorème de Riesz, on peut donc définir Gs ∗ son adjoint, tel que
0
0
0
Gs ∗ : W −1,s (Ω) → W01,s (Ω) et par définition pour f ∈ W −1,s (Ω) on a u = Gs ∗ (f ) si
(3.3)
∀ g ∈ W −1,s (Ω) hu, giW 1,s0 ,W −1,s = hf, Gs (g)iW −1,s0 ,W 1,s
0
or en prenant ϕ = u dans (3.2) on a
Z
−1,s
(A∗ ∇Gs (g))∇u = hg, uiW −1,s ,W 1,s0
∀g ∈ W
(Ω)
0
Ω
or Gr (W −1,s (Ω)) = W01,s (Ω) donc, si l’on note que
Z
Z
∗
(A ∇Gs (g))∇u = (A∇u)∇Gs (g),
Ω
Ω
on a avec (3.3)
∀v ∈
W01,s (Ω)
Z
(A∇v)∇u = hf, viW −1,s0 ,W 1,s ,
Ω
c’est-à-dire que v est solution de
(
u = 0 sur Ω
0
0
pour f ∈ W −1,s (Ω), ainsi a-t-on trouvé une solution de (3.1) dans W01,s (Ω), et elle
est unique : en effet, il suffit de montrer que pour f = 0 on a u = 0. Or grâce à la
formule de Green
∀ g ∈ W −1,s (Ω) hu, giW 1,s0 ,W −1,s = 0
0
1,s0
0
et g décrit W −1,s (Ω) le dual de W0 (Ω) donc u = 0. Donc pour f ∈ W −1,s (Ω), (3.1)
0
admet une unique solution dans W01,s (Ω) si et seulement si (il suffit d’échanger les
rôles de A et A∗ ) (3.1) écrit avec A∗ admet pour f ∈ W −1,s (Ω) une unique solution
dans W01,s (Ω) donc q0 = r0 0 .
3.2 r0 peut être fini et même très proche de 2
27
3.2 r0 peut être fini et même très proche de 2
D’après Serrin [46], on peut construire (voir [43] et chapitre 6) As symétrique et
us 6∈ H 1 (Ω)
− div(As ∇us ) = 0 dans Ω
us = u sur ∂Ω
avec u ∈ H 1/2 (Ω), il existe alors une fonction de H 1 (Ω) que nous noterons encore u
solution variationnelle du même problème. Aussi
− div(As ∇(us − u)) = 0 dans Ω
us − u = 0 sur ∂Ω
et us ∈ W 1,β (Ω) pour β < 2/(1 + ε) donc us − u aussi, et us − u 6= 0 or 0 est aussi
solution : il n’y a donc pas unicité. Ainsi q0 > 1 et en choisissant ε petit, on peut
rendre q0 aussi près que l’on veut de 2, donc il existe des problèmes tels que r0 < +∞
et même avec r0 aussi proche de 2 que souhaité.
3.3 Perte de régularité
Considérons r > r0 tel qu’il existe g ∈ W −1,r (Ω) n’admettant pas de solutions
dans W01,r (Ω), donc
− div(A∗ ∇W01,r (Ω)) 6= W −1,r (Ω).
Or si E ⊂ F ,
E = F ⇐⇒ E fermé et E dense dans F
donc ici, on a soit − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) non fermé, soit − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) non dense.
Théorème : − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) fermé est équivalent à la propriété : (3.1) admet
0
une solution pour tout f ∈ W −1,r (Ω).
Démonstration : D’après la théorie des opérateurs (voir Brezis [19], par exemple),
0
− div(A∗ ∇W01,r (Ω)) fermé équivaut à − div(A∇W01,r (Ω)) fermé, or si f ∈ H −1 (Ω),
0
il existe une solution de (3.1) dans H01 (Ω) et donc dans W01,r (Ω), donc H −1 (Ω) ⊂
0
0
0
− div(A∇W01,r (Ω)) et H −1 (Ω) est dense dans W −1,r (Ω) donc − div(A∇W01,r (Ω))
0
0
aussi. Ainsi − div(A∇W01,r (Ω)) est fermé et dense dans W −1,r (Ω), donc on a
0
0
− div(A∇W01,r (Ω)) = W −1,r (Ω) et il y a donc existence d’une solution de
0
(3.1). Réciproquement si (3.1) admet une solution pour tout f ∈ W01,r (Ω), alors
0
− div(A∇W01,r (Ω)) est fermé, donc − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) aussi.
Théorème : − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) dense est équivalent à la propriété : (3.1) admet
0
au plus une solution pour tout f ∈ W −1,r (Ω).
Démonstration : On a montré à la fin de la première partie que la densité de
− div(A∗ ∇W01,r (Ω)) entraı̂ne l’unicité, réciproquement si − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) n’est
28
Chap. 3
Relation entre regularité et existence du problème adjoint
pas dense, il existe g 6∈ − div(A∗ ∇W01,r (Ω)), soit v tel que
hv, hi = 0 pour tout h ∈ − div(A∗ ∇W01,r (Ω))
et hv, gi = 1, ainsi v est non nul et vérifie, grâce à la formule de Green, (3.1) avec
0
f = 0, et v peut être prolongé grâce à Hahn-Banach à W −1,r (Ω) donc v ∈ W −1,r (Ω).
Comme 0 est aussi solution, il n’y a pas unicité.
Remarque : Le contre exemple de Serrin montre qu’il existe des équations pour
lesquelles il n’y a pas unicité, et donc telles que − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) n’est pas dense.
Il existe aussi des A∗ tels que − div(A∗ ∇W01,r (Ω)) ne soit pas fermé.
4. Solution par dualité de Stampacchia
Ce chapitre est la version française de la première partie d’un article publié à
Rendiconti di Matematica [43].
On montre ici l’existence et l’unicité des solutions pour des équations elliptiques
linéraires à seconds membres mesure, à l’aide d’un argument de dualité. Nous
précisons la méthode de Stampacchia [48].
4.1 Présentation du problème
elliptique
(4.1)
u = 0 sur ∂Ω
avec aij ∈ L∞ (Ω), satisfaisant la condition d’ellipticité
X
X
∀(ξi ) ∈ RN
ξi aij ξj ≥ α
ξi ξj
i,j
i,j
pour α > 0 et f ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 espace de mesures qui est le dual de l’espace des
fonctions continues sur Ω muni de sa norme habituelle.
Ce problème admet, pour f ∈ H −1 (Ω), une unique solution variationnelle, qui
appartient à H01 (Ω) et vérifie
Z
1
∀ v ∈ H0 (Ω)
(A∇u)∇v dx = hf, viH −1 ,H01
Ω
Pour T
f 6∈ H −1 (Ω), mais f ∈ M (Ω) on ne trouve plus de solutions dans H01 (Ω), mais
dans q < N W01,q (Ω), ce qui conduit à une formulation plus faible, puisque pour que
N −1
S
la première intégrale ait un sens il faut alors que v ∈ p > N W 1,p (Ω) :
(4.2)
∀v ∈
[
p>N
W01,p (Ω)
Z
Z
(A∇u)∇v dx =
Ω
v df.
Ω
Nous avons W01,p (Ω) ⊂ C(Ω) pour p > N aussi le membre de droite a un sens.
30
Chap. 4
Solution par dualité de Stampacchia
Cette formulation étant plus faible que la formulation variationnelle elle n’assure
plus l’unicité, comme le montre le contre-exemple de Serrin [46] que nous présentons
au chapitre 6.
L’existence de solutions vérifiant cette formulation a été obtenue de plusieurs
façons, nous allons nous intéresser à deux types de solutions : les solutions obtenues
par dualité et les solutions obtenues par approximation. Le premier est dû à Stampacchia [48], les solutions vérifient une formulation plus forte qui assure l’unicité mais
n’est applicable qu’à un problème linéaire et le second à Boccardo et Gallouët [11],
il est applicable à un problème non linéaire mais n’assure pas l’unicité, aussi pour
préciser la formulation, des inégalités d’entropie ont été introduites [4].
Soit L l’opérateur elliptique du second ordre linéaire à structure divergentielle
correspondant à (4.1)
Lu = − div(A∇u) = −∂xi (aij ∂xj u)
avec aij ∈ L∞ (Ω), qui satisfont la condition d’ellipticité et Ω ouvert borné de RN
avec N ≥ 2. Il s’agit donc d’étudier les solutions du problème de Dirichlet homogène
d’équation Lu = f avec f ∈ M (Ω), auparavant nous rappelons les deux constructions
utilisées.
4.2 La théorie de Stampacchia
Soit L∗ l’opérateur elliptique adjoint (ou transposé) de L (L∗ est l’opérateur
correspondant à aji ), le problème de Dirichlet L∗ v = f dans Ω avec f ∈ H −1 (Ω) et
v = 0 sur ∂Ω admet une unique solution dans H01 (Ω) (donnée par le théorème de
Lax-Milgram). Soit p > N et soit f ∈ W −1,p (Ω), comme Ω est borné et p > 2, nous
avons f ∈ H −1 (Ω), alors soit v la solution variationnelle, elle est solution de L∗ v = f
au sens des distributions (on a, en fait, l’égalité dans W −1,p (Ω)). Stampacchia, dans
[48], montre que v ∈ C(Ω) et que l’opérateur de Green Gp défini par Gp f = v est
continu de W −1,p (Ω) dans C(Ω).
Pour p1 > p2 , on a W −1,p1 (Ω) ⊂ W −1,p2 (Ω) etSon peut vérifier aisément que
Gp2 /W −1,p1 (Ω) = Gp1 , on peut donc définir G de p > N W −1,p (Ω) dans C(Ω) par
T
G/W −1,p (Ω) = Gp et G∗ son adjoint, opérateur de M (Ω) dans q < N W01,q (Ω), par
N −1
∀p>N
∀ g ∈ W −1,p (Ω)
hG∗ µ, giW 1,p0 ,W −1,p = hµ, GgiM (Ω),C(Ω)
0
A g fixé l’application µ → hµ, GgiM (Ω),C(Ω) est continue de M (Ω), muni de la topologie
faible ∗, dans R donc G∗ est continu au sens faible suivant
Soit p > N et g ∈ W −1,p (Ω) alors µ → hG∗ µ, giW 1,p0 ,W −1,p est continue de
0
M (Ω), muni de la topologie faible ∗, dans R
Nous pouvons aussi utiliser le cadre des espaces localement convexes (voir Conway
[21]). W −1,p (Ω) est un espace normé donc localement convexe et si p1 > p2 nous
4.2 La théorie de Stampacchia
31
avons
W −1,p1 (Ω) ⊂ W −1,p2 (Ω) avec inclusion continue, nous pouvons donc munir
S
−1,p
(Ω) de la topologie limite inductive de celles des W −1,p (Ω). Pour cette
p>N W
S
topologie, un opérateur est continu sur p > N W −1,p (Ω) si et seulement s’il est continu
S
sur chaque W −1,p (Ω) pour p > N , donc G est continu de p > N W −1,p (Ω) dans C(Ω) et
S
T
T
( p > N W −1,p (Ω))0 = q < N W01,q (Ω). Nous pouvons alors munir q < N W01,q (Ω)
N −1
N −1
de la topologie faible ∗ et on vérifie aisément que la continuité
faible
de
G∗ définie
T
précédemment est équivalente à celle de G∗ de M (Ω) dans q < N W01,q (Ω) pour les
N −1
topologies faibles ∗.
Résumons cela dans la proposition suivante
: Il existe G, l’opérateur de Green associé à L∗ , continu de
S Proposition
−1,p
(Ω), muni de la topologie limite inductive, dans C(Ω), c’est-à-dire tel
p>N W
que G/W −1,p (Ω) est continu pour chaque p > N . Et G admet un opérateur adjoint G∗
T
S
continu de M (Ω) = (C(Ω))0 dans q < N W01,q (Ω) = ( p > N W −1,p (Ω))0 pour les
N −1
topologies faibles ∗, c’est-à-dire que pour chaque p > N et pour chaque g ∈ W −1,p (Ω),
µ → hG∗ µ, giW 1,p0 ,W −1,p est continue de M (Ω) faible ∗ dans R.
0
Dans le cas où f ∈ H −1 (Ω) ∩ M (Ω), soit u la solution variationnelle de Lu = f ,
elle vérifie
Z
1
(4.3)
∀ w ∈ H0 (Ω)
(A∇u)∇w dx = hf, wiH −1 ,H01 .
Ω
Soit g ∈ W −1,p (Ω) avec p > N et v = Gg ; par définition, v est la solution variationnelle
de L∗ v = g donc
Z
1
(A∇w)∇v dx = hg, wiH −1 ,H01 .
(4.4)
∀ w ∈ H0 (Ω)
Ω
Comme u et v appartiennent à
dans (4.4), ce qui donne
H01 (Ω)
choisissons w = v = Gg dans (4.3) et w = u
Z
hf, GgiH −1 ,H01 =
Ω
(A∇u)∇Gg dx = hg, uiH −1 ,H01 .
S
T
Comme g ∈ p > N W −1,p (Ω), Gg ∈ C(Ω), f ∈ M (Ω) et u ∈ q < N W01,q (Ω) (car Ω
N −1
borné et u ∈ H01 (Ω)), nous obtenons
∀p>N
∀ g ∈ W −1,p (Ω)
hu, giW 1,p0 ,W −1,p = hf, GgiM (Ω),C(Ω)
0
donc pour f ∈ H −1 (Ω)∩M (Ω) nous avons u = G∗ f , ce qui nous conduit à la définition
suivante
Définition : On dira que u est solution de Lu = f avec f ∈ M (Ω) si u = G∗ f ,
c’est-à-dire si
T
(
u ∈ q < N W01,q (Ω)
(4.5)
S N −1
∀ g ∈ p > N W −1,p (Ω)
0
32
Chap. 4
où 1/p + 1/p0 = 1.
S
0
Soit q < NN−1 alors u ∈ W01,q (Ω), comme g ∈ p > N W −1,p (Ω), g décrit W −1,q (Ω)
le dual de W01,q (Ω) (avec 1/q + 1/q 0 = 1) donc u est unique. Cette formulation assure
donc bien l’unicité.
Propriété : La fonction u est l’unique solution de Lu = f dans le sens (4.5) si
et seulement si elle vérifie l’une des deux formulations équivalentes suivantes

T
u ∈ q < N W01,q (Ω)


N −1

S
1
(4.6) ∀ v ∈ H0 (Ω) ∩ C(Ω) tel que L∗ v ∈ p > N W −1,p (Ω)



hu, L∗ vi 1,p0
= hf, vi
W0
(4.7)

1
 u ∈ L (Ω)
∀v ∈
H01 (Ω)
∩ C(Ω)
tel que
Z
∗
M (Ω),C(Ω)
,W −1,p
L v ∈ C(Ω)
∗
Z
u L v dx =
Ω
v df.
Ω
Démonstration : Montrons l’équivalence entre (4.5) et (4.6). Si nous notons
v = Gg, nous avons L∗ v = g, et nous obtenons une formulation équivalente à (4.5)
S
−1,p
(4.8)
∀v ∈ G
W
(Ω)
hu, L∗ viW 1,p0 ,W −1,p = hf, viM (Ω),C(Ω)
p>N
0
S
−1,p
Cependant G
(Ω) n’est pas connu, ce qui rend peu claire cette formup>N W
lation, aussi allons nous montrer quelques inclusions.
Nous avons vu que Gg est, par définition, la solution
de L∗ v = g
S variationnelle
1
−1,p
d’où Gg ∈ H0 (Ω) et que de plus Gg ∈ C(Ω) donc G( p > N W
(Ω)) ⊂ H01 (Ω) ∩
S
S
C(Ω). Soit v ∈ p > N W01,p (Ω) alors L∗ v ∈ p > N W −1,p (Ω) et puisque p > N ,
S
S
v ∈ H01 (Ω) donc v = G(L∗ v) et donc p > N W01,p (Ω) ⊂ G( p > N W −1,p (Ω)), ainsi
avons nous
S
[
−1,p
W01,p (Ω) ⊂ G
W
(Ω)
⊂ H01 (Ω) ∩ C(Ω),
p>N
p>N
donc
G
S
S
−1,p
W
(Ω)
= {v ∈ H01 (Ω) ∩ C(Ω) tel que L∗ v ∈ p > N W −1,p (Ω)}
p>N
aussi (4.8) peut s’écrire
∀ v ∈ H01 (Ω) ∩ C(Ω) tel que L∗ v ∈
S
p>N
W −1,p (Ω)
hu, L∗ viW 1,p0 ,W −1,p = hf, viM (Ω),C(Ω) .
0
Ainsi (4.5) et (4.6) sont équivalentes.
33
Avant de montrer l’équivalence entre (4.5) et (4.7), notons que (4.7) a été
introduite par Stampacchia pour avoir une formulation simple c’est-à-dire ne faisant
intervenir que des intégrales.
S
Soit g ∈ C(Ω) ⊂ p > N W −1,p (Ω) alors il existe v ∈ H01 (Ω)∩C(Ω) tel que g = L∗ v
la formulation (4.7) peut donc s’écrire, pour f = 0,
Z
∀g ∈ C(Ω)
u g dx = 0
Ω
1
ce qui implique u = 0 puisque u ∈ L (Ω). Ainsi (4.7) assure l’unicité de u.
Pour montrer l’équivalence de (4.5) et (4.7) il suffit donc de montrer que
la
de (4.7). La solution u de (4.5) vérifie u ∈
T solution1,qde (4.5) est solution
1
W
(Ω)
donc
u
∈
L
(Ω)
et
N
0
q<
N −1
0
et pour g ∈ C(Ω) ⊂
S
p>N
W −1,p (Ω) nous avons
Z
hu, giW 1,p0 ,W −1,p =
g u dx
0
Ω
nous obtenons donc
Z
Z
∀g ∈ C(Ω)
g u dx =
Ω
Gg df,
Ω
et si nous posons v = Gg nous avons
Z
∀v ∈ G(C(Ω))
∗
Z
u L v dx =
Ω
v df.
Ω
Or d’après les inclusions précédentes v ∈ G(C(Ω)) si et seulement si v ∈ H01 (Ω)∩C(Ω)
et L∗ v ∈ C(Ω) donc u vérifie (4.7), ce qui achève la démonstration.
La solution définie par Boccardo et Gallouët, dans [11], est la limite de solutions
obtenues pour des fonctions f plus régulières. Soit f ∈ M (Ω) et soit hfn i ∈ H −1 (Ω) ∩
L1 (Ω) une suite convergeant vers f au sens des distributions, avec kfn kL1 (Ω) ≤
kf kM (Ω) ; cette suite existe par densité de H −1 (Ω) ∩ L1 (Ω) dans M (Ω) pour la
topologie faible ∗ de M (Ω). Soit un la solution variationnelle de Lun = fn , alors
kun kW 1,q (Ω) < C, où C ne dépend que de q, L, Ω et kf kM (Ω) , pour tout q tel que
0
1 ≤ q < NN−1 (voir [11]).
Il existe alors un u ∈ W01,q (Ω) et une sous-suite notée, à nouveau, (un ) tels que
un * u dans W01,q (Ω) faible, donc Lun → Lu au sens des distributions, et donc
Lu = f dans D0 (Ω), c’est-à-dire que
Z
Z
∀ ϕ ∈ D(Ω)
(A∇u)∇ϕ dx =
ϕ df
Ω
Ω
34
Chap. 4
R
S
et donc par densité de D(Ω) dans p > N W01,p (Ω), ( Ω v df a un sens puisque p > N
implique W01,p (Ω) ⊂ C(Ω))
Z
Z
[
1,p
(4.9)
∀v ∈
W0 (Ω)
(A∇u)∇v dx =
v df,
Ω
p>N
Ω
qui est bien la formulation (4.2).
Écrivons la formulation (4.9) en faisant porter toutes les dérivations sur v, on
obtient
Z
[
1,p
∗
(4.10)
∀v ∈
W0 (Ω)
hu, L viW 1,p0 ,W −1,p =
v df
0
p>N
Ω
S
S
Comme p > N W01,p (Ω) ⊂ G( p > N W −1,p (Ω)) (et l’inclusion peut être stricte), (4.10)
0
est donc plus faible que (4.8). Et pour tout q fixé, L∗ v ne décrit plus W −1,q (Ω), le
0
dual de W01,q (Ω), pour q < NN−1 , mais un de ses sous espaces L∗ (W01,q (Ω)), l’unicité
donc n’est plus assurée.
Ainsi la formulation au sens des distributions est plus faible que celle de Stampacchia et n’assure pas l’unicité (voir le chapitre 6) ; et la solution de Stampacchia
vérifie (4.8) et donc vérifie aussi (4.9).
Considérons à nouveau la suite (un ) introduite dans [11], elle vérifie
Z
1
∀ v ∈ H0 (Ω)
(A∇un )∇v dx = hfn , viH01 ,H −1
Ω
∗
S
soit, avec la formule de Green, hun , L viH01 ,H −1 = hfn , viH01 ,H −1 , or G( p > N W −1,p (Ω))
⊂ H01 (Ω) donc
S
∀ v ∈ G( p > N W −1,p (Ω))
hun , L∗ viH01 ,H −1 = hfn , viH01 ,H −1
d’où (4.8) avec f = fn et u = un doncTun = G∗ fn . Comme fn * f dans M (Ω)
faible ∗ et G∗ est continu de M (Ω) dans q < N W01,q (Ω) pour les topologies faibles
N −1
T
∗, nous obtenons G∗ fn * G∗ f dans q < N W01,q (Ω) faible ∗, or un * u aussi, donc
N −1
u = G∗ f . Les solutions de Boccardo-Gallouët sont donc solutions de Stampacchia, et
réciproquement.
Ainsi les deux types de solutions sont les mêmes et comme il y a unicité de la
solution de Stampacchia, il y a donc aussi unicité de la solution de Boccardo-Gallouët,
c’est-à-dire que, d’une part, la suite de départ (un ) a une unique valeur d’adhérence
et que, d’autre part, celle-ci est indépendante de la suite (fn ) et ne dépend donc que
de f (pour f ∈ L1 (Ω), l’unicité peut aussi être montrée grâce à la linéarité de L).
Remarque : si aij ∈ W 1,∞ (Ω) alors un lemme de Meyers dit que, pour
g S
∈ W −1,p (Ω), la solution
de L∗ v = g appartient à W01,p (Ω), dans ce cas
S
G( p > N W −1,p (Ω)) = p > N W01,p (Ω) et l’équation Lu = f admet une unique solution vérifiant (4.9), ce qui est plus fort que l’unicité des solutions de BoccardoGallouët ou de Stampacchia. Ceci est classique, il suffit en fait que aij ∈ C 0,α (Ω).
Part II
Problèmes non-linéaires : Existence
35
5. Existence de solutions de problèmes elliptiques
avec second membre mesure et conditions aux
limites non homogènes
Ce chapitre est à paraı̂tre aux Annales de Toulouse [41].
Pour Ω ouvert borné régulier de RN avec N ≥ 2, on montre l’existence de
solutions au problème elliptique
− div(a(x, u, ∇u)) = f
dans D0 (Ω)
avec f ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 , espace des mesures qui est le dual de l’espace des fonctions
continues sur Ω muni de sa norme habituelle) et avec des conditions aux limites non
homogènes de Neumann, Fourier et Dirichlet.
Ce problème a été étudié dans le cas de conditions homogènes de Dirichlet
par Boccardo et Gallouët dans [11],[12], où il est montré l’existence d’une solution.
Cependant il n’y a pas unicité comme le montre le contre-exemple de Serrin (voir [46]
et [43]), nous ne montrerons donc ici que l’existence d’une solution pour un second
membre mesure.
Le principe de la démonstration consiste à construire les solutions de problèmes
approchés puis à considérer la limite de ces solutions. Pour cela, on régularise le second
membre et les conditions aux limites. Nous nous appuierons sur les démonstrations
de [15], [12] pour les étapes 1 et sur celle de [4], [26] et [25] pour les étapes 2.
Donnons les hypothèses sur a, opérateur de Leray-Lions, nous les appellerons (H)
par la suite : a est une fonction de Carathéodory, c’est-à-dire que
• a(x, s, ξ) : RN × R × RN → RN est mesurable en x ∈ RN pour tout s ∈ R
noterons a(x, u, ∇u) = a(x, u(x), ∇u(x)).
et A vérifie aussi des conditions de coercitivité, monotonie et croissance : il existe p
vérifiant 2 − 1/N 0 tel que pour tout s et ξ et presque tout x on ait
a(x, s, ξ)ξ ≥ α|ξ|p
• Pour tout s, ξ et η et presque tout x on a
[a(x, s, ξ) − a(x, s, η)](ξ − η) > 0 pour ξ 6= η
38
Chap. 5
Existence de solutions de problèmes elliptiques
0
• Il existe b(x) ∈ Lp (Ω) (p0 = p/(p − 1)) et β > 0 tels que pour tout s et ξ et
|a(x, s, ξ)| ≤ β(b(x) + |s|p−1 + |ξ|p−1 )
Ces hypothèses sont classiques (sauf p > 2 − 1/N ) pour l’étude des opérateurs non
linéaires sous forme divergentielle (voir Leray-Lions [33]).
Pour k > 0, nous utiliserons la fonction (( tronquante )) Tk : R → R telle que
Tk (x) = min(k, max(x, −k)). Cette fonction étant lipschitzienne, si u ∈ W 1,p (Ω) on
a Tk (u) ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), cette dernière fonction pourra donc servir de fonction
test.
Nous noterons C toute constante indépendante de n, indice des suites qui
interviendrons ci-après.
5.1 Conditions aux limites de Neumann
Le problème de Neumann consiste à chercher u telle que
− div(a(x, u, ∇u)) = f
a(x, u, ∇u).n = g
(5.1)
dans Ω
sur ∂Ω
avec f ∈ M (Ω) et g ∈ M (∂Ω), où n désigne, ici, la normale à ∂Ω. On résoudra (5.1)
au sens faible suivant : on cherche
\
u∈
W 1,q (Ω)
q<
(p−1)N
N −1
tel que
∀ϕ ∈
[
r>N
W
1,r
Z
Z
a(x, u, ∇u)∇ϕ =
(Ω)
Ω
Z
ϕ dg +
∂Ω
ϕ df.
Ω
où l’on note encore ϕ, la trace de ϕ sur ∂Ω, ce que nous ferons désormais.
Bien entendu, si ce problème admet une solution, le choix ϕ ≡ 1 impose
Z
Z
(5.2)
dg + df = 0,
∂Ω
Ω
ce que nous allons supposer. Ce problème admet alors, en particulier, une infinité de
solutions : plus précisément, il existe une solution de moyenne C, pour toute constante
C. Aussi cherche-t-on les solutions à moyenne donnée.
Théorème : Soient f ∈ M (Ω) (ne chargeant pas le bord), g ∈ M (∂Ω), vérifiant
(5.2), Ω un ouvert borné connexe, régulier de RN , A vérifiant les hypothèses (H) et
soit u
e ∈ R, alors le problème (5.1) admet une solution de moyenne u
e.
39
0
Démonstration : Soient (fn ) ∈ W −1,p (Ω) ∩ L1 (Ω) et (gn ) ∈ (W 1−1/p,p (∂Ω))0 ∩
L1 (∂Ω) tels que kfn kL1 ≤ kf kM (Ω) , kgn kL1 ≤ kgkM (∂Ω) et fn * f dans M (Ω) faible
∗ et gn * g dans M (∂Ω) faible ∗ tels que
Z
Z
gn + fn = 0.
∂Ω
Ω
Soit un ∈ W 1,p (Ω) une solution de (5.1) avec f = fn et g = gn , telle que
Z
1
un = u
e∈R
|Ω| Ω
(son existence est donnée par Leray et Lions [33]) elle vérifie
Z
Z
Z
1,p
∞
(5.3) ∀ϕ ∈ W (Ω) ∩ L (Ω)
a(x, un , ∇un )∇ϕ =
ϕ gn + ϕ fn .
Ω
∂Ω
Ω
Étape 1 : Montrons que un est borné dans W 1,q (Ω) pour q <(p − 1)N/(N − 1),
ce qui donnera l’existence de u ∈ W 1,q (Ω) tel qu’une sous-suite de un converge vers
u dans W 1,q (Ω) faible.
Rx
Pour m > 0 donné, soit ψm (x) = m 0 dt/(t + 1)m+1 pour x ≥ 0 et ψm (x) =
0
−ψm (−x) pour x ≤ 0 on a |ψm | ≤ 1, |ψm
| ≤ m et ψm continue. Alors ψm (un ) ∈
1,p
∞
W (Ω) ∩ L (Ω), il est donc possible de choisir ϕ = ψm (un ) dans (5.3) qui devient
Z
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇ψm (un ) =
ψm (un )gn + ψm (un )fn
Ω
∂Ω
Ω
0
or ∇ψm (un ) = ψm
(un )∇un donc par coercitivité
Z
0
α |∇un |p ψm
(un ) ≤ kfn kL1 + kgn kL1
Ω
0
(x) = m/(|x| + 1)m+1 donc
et ψm
Z
α m
Ω
|∇un |p
≤ C,
(|un | + 1)m+1
grâce à l’inégalité de Hölder nous obtenons pour q 0 tel que (m + 1)q/(p − q) < q ∗ (1/q ∗ = 1/q − 1/N ) ce qui est
possible pour q <(p − 1)N/(N − 1) alors
∗
(|un | + 1)(m+1)q/(p−q) ≤ ε|un |q + C(ε)
pour ε > 0 petit, où C(ε) dépend de ε. On obtient donc
(p−q)/p
Z
Z
q
(p−q)/p
q∗
(5.4)
|∇un | ≤ Cε
|un |
+C
Ω
Ω
40
Chap. 5
or la moyenne de un est u
e donc l’inégalité de Poincaré-Sobolev nous donne
kun − u
ekLq∗ ≤ Ck∇un kLq
soit
kun kLq∗ ≤ Ck∇un kLq + |e
u|(mes(Ω))1/q
∗
d’où grâce à (5.4)
Z
q∗
|un |
1/q∗
≤ Cε
(p−q)/pq
Z
q∗
(p−q)/pq
|un |
Ω
Ω
1
+C ≤
2
Z
q∗
(p−q)/pq
|un |
+C
Ω
∗
pour ε assez petit. Or
n kLq∗ ≤ C et
R (p − qq)/pq ≤ 1/q pour p ≤ N donc ku
1,q
donc, grâce à (5.4), Ω |∇un | ≤ C. Ainsi un est bornée dans W (Ω) pour tout
q <(p − 1)N/(N − 1), il est donc possible d’extraire de un une sous-suite convergeant
faiblement dans W 1,q (Ω).
Étape 2 : Afin de passer à la limite dans a(x, un , ∇un ), la convergence presque
partout de un et ∇un est nécessaire. Celle de un s’obtient par extraction d’une soussuite car un converge dans Lq (Ω) (théorème de Rellich), mais il faut montrer le résultat
pour ∇un .
Pour cela, montrons que ∇un tend vers ∇u en mesure (et donc que (∇un ) est
de Cauchy en mesure), ce qui entraı̂nera ∇un → ∇u presque partout, pour une sous
suite (voir chapitre 2). Cela consiste à montrer que
∀δ, ∀ε, ∃n0 tel que ∀n ≥ n0
mes{x; |(∇un − ∇u)(x)| ≥ δ} ≤ ε
remarquons que pour k > 0 et η > 0 on a
{|(∇un − ∇u)(x)| ≥ δ} ⊂
{|un | ≥ k} ∪ {|u| ≥ k} ∪ {|∇un | ≥ k} ∪ {|∇u| ≥ k} ∪ {|un − u| ≥ η}
∪ {|(∇un − ∇u)(x)| ≥ δ, |un | ≤ k, |u| ≤ k, |∇un | ≤ k, |∇u| ≤ k, |un − u| ≤ η}
nous appellerons A1 à A6 les six ensembles du membre de droite. On pourra
remarquer, dans la suite de la démonstration, que seule la majoration de la mesure
de A6 fait intervenir (5.3), l’équation dont un est solution.
Majorons mes(A1 ), nous avons
Z
Z
|un | ≥
|un | ≥ k mes(A1 )
Ω
donc
A1
1
mes(A1 ) ≤
k
Z
|un | ≤
Ω
C
≤ε
k
pour k assez grand, puisque un est borné dans W 1,q (Ω) pour q <(p − 1)N/(N − 1) et
donc dans L1 (Ω). De même ∇un est borné dans L1 (Ω) et u ∈ W 1,q (Ω) ⊂ W 1,1 (Ω),
donc les mesures de A2 , A3 et A4 sont majorées de la même façon. Fixons k tel que
chacune des mesures soit plus petite que ε.
41
Majorons maintenant mes(A5 ), nous avons
Z
Z
|(un − u)| ≥
|(un − u)| ≥ η mes(A5 )
Ω
A5
or un converge vers u dans L1 (Ω), grâce au théorème de Rellich, donc pour η donné
il existe n1 tel que pour n ≥ n1 on ait
mes(A5 ) ≤ ε.
Il reste donc à majorer mes(A6 ), et à choisir η. D’après la monotonie de A, nous
avons [a(x, s, ξ1 ) − a(x, s, ξ2 )](ξ1 − ξ2 ) > 0 pour ξ1 − ξ2 6= 0 or l’ensemble des (s, ξ1 , ξ2 )
tels que |s| ≤ k, |ξ1 | ≤ k, |ξ2 | ≤ k et |ξ1 − ξ2 | ≥ δ est compact et A est continue
en (s, ξ) pour presque tout x, donc [a(x, s, ξ1 ) − a(x, s, ξ2 )](ξ1 − ξ2 ) atteint sur ce
compact son minimum que nous noterons γ(x), qui vérifie γ(x) > 0 pp. De plus grâce
à un résultat d’intégration (voir chapitre 2), il existe ε0 > 0 tel que
Z
γ ≤ ε0 =⇒ mes(A6 ) ≤ ε
A6
R
il suffit donc de montrer que A6 γ ≤ ε0 . Par définition de γ nous avons
Z
Z
γ≤
[a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇Tk (u))](∇un − ∇Tk (u))1{|un −Tk (u)|≤η}
A6
A6
car sur A6 , |un − Tk (u)| = |un − u| ≤ η, de plus le terme intégré est positif et
∇Tη (un − Tk (u)) = (∇un − ∇Tk (u))1{|un −Tk (u)|≤η} , nous avons donc
Z
Z
γ ≤ [a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇Tk (u))]∇Tη (un − Tk (u))
A6
ZΩ
Z
≤
a(x, un , ∇un )∇Tη (un − Tk (u)) − a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − Tk (u))
Ω
Ω
et si l’on choisit ϕ = Tη (un − Tk (u)) ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) dans (5.3) on obtient
Z
a(x, un , ∇un )∇Tη (un − Tk (u)) ≤ η (kfn kL1 + kgn kL1 ) ≤ η C
Ω
il reste donc à majorer l’autre intégrale, or pour |un | ≥ k + η on a |un − Tk (u)| ≥ η
d’où ∇Tη (un − Tk (u)) = 0, si bien que
Z
a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − Tk (u))
Ω
Z
=
a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (un ) − Tk (u)).
Ω
Soit h > 0, choisissons maintenant ϕ = Th (un ) ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) dans (5.3), alors
Z
a(x, un , ∇un )∇Th (un ) ≤ h (kfn kL1 + kgn kL1 ) ≤ h C
Ω
42
Chap. 5
et par coercitivité
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇Th (un ) =
a(x, un , ∇un )∇un 1|un |≤h
Ω
Ω
Z
Z
p
≥ α |∇un | 1|un |≤h = α |∇Th (un )|p
Ω
Ω
et l’inégalité de Poincaré avec moyenne nous donne alors
Z
p
p
p
kTh (un )kW 1,p ≤ C
|∇Th (un )| + |e
u| ≤ C(hC/α + |e
u|p )
Ω
donc Th (un ) est borné dans W 1,p (Ω) pour tout h. Aussi pour h = k + η, Tk+η (un )
tend, à une sous-suite près, vers Tk+η (u) faiblement dans W 1,p (Ω) et donc fortement dans Lp (Ω) et presque partout quand n → +∞. Donc a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u))
0
converge presque partout et |a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u))|p est equi-intégrable, aussi
0
grâce au théorème de Vitali, a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u)) converge fortement dans Lp (Ω)
vers a(x, Tk+η (u), ∇Tk (u)). Et comme 1{|Tk+η (un )−Tk (u)|≤η} tend presque partout vers
1{|Tk+η (u)−Tk (u)|≤η} et est borné, le théorème de convergence dominée de Lebesgue
donne la convergence forte de
a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u))1{|Tk+η (un )−Tk (u)|≤η} → a(x, Tk+η (u), ∇Tk (u))1{|Tk+η (u)−Tk (u)|≤η}
0
dans Lp (Ω).
De plus comme Tk+η (un ) converge faiblement dans W 1,p (Ω), ∇(Tk+η (un ) − Tk (u))
converge faiblement vers ∇(Tk+η (u) − Tk (u)) dans Lp (Ω) pour n → +∞ donc
Z
lim
a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (un ) − Tk (u))
n→+∞ Ω
Z
a(x, Tk+η (u), ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (u) − Tk (u))
=
Ω
or ∇Tη (Tk+η (u) − Tk (u)) → 0 pp quand η → 0, et pour η ≤ 1
∇Tη (Tk+η (u) − Tk (u)) ≤ ∇T1 (Tk+1 (u) − Tk (u)) ∈ Lp (Ω)
et
0
a(x, Tk+η (u), ∇Tk (u)) ≤ β(b(x) + |Tk+1 (u)|p−1 + |∇Tk (u)|p−1 ) ∈ Lp (Ω)
donc par convergence dominée, l’intégrale du second membre tend vers 0 pour η → 0.
Fixons η < ε0 /2C tel que
Z
0
a(x, Tk+η (u), ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (u) − Tk (u)) ≤ ε
4
Ω
alors soit n2 tel que pour tout n ≥ n2
Z
a(x, Tk+η (un ), ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (un ) − Tk (u))
Ω
Z
ε0
− a(x, Tk+η (u), ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (u) − Tk (u)) ≤
4
Ω
43
donc (grâce à ∇Tη (Tk+η (un ) − Tk (u)) = ∇Tη (un − Tk (u)))
Z
0
a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − Tk (u)) ≤ ε
2
Ω
alors
Z
γ≤C
A6
ε0
ε0
+ = ε0
2C
2
0
et le choix de ε entraı̂ne donc
mes(A6 ) ≤ ε
η étant fixé, les majorations de mes(A5 ) et de mes(A6 ) nous donnent n1 et n2 tels
que pour n ≥ max(n1 , n2 ) on ait
mes({|(∇un − ∇um )(x)| ≥ δ}) ≤ 6ε,
donc (∇un ) est de Cauchy en mesure.
Étape 3 : Montrons que u est solution de (5.1). Soit ϕ ∈ W 1,r (Ω) avec r > N
alors ϕ ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), donc par définition de un
Z
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇ϕ =
ϕ gn + ϕ fn .
Ω
∂Ω
Ω
respectivement
Comme fn et gn convergent dans
M (Ω)R ∗-faible et M (∂Ω) ∗-faible
R
R
R
1,r
et que ϕ ∈ W (Ω) ⊂ C(Ω), ∂Ω ϕ gn + Ω ϕ fn converge vers ∂Ω ϕ dg + Ω ϕ df . Or
nous avons vu que un et ∇un sont bornés dans Lq (Ω) pour q <(p − 1)N/(N − 1),
la condition de croissance sur A entraı̂ne donc que a(x, un , ∇un ) est borné dans
Lq (Ω) pour q < N/(N − 1). Soit s < q, l’inégalité de Hölder nous donne alors pour E
mesurable
Z
|a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)|s
E
Z
q
s/q Z
1−s/q
|a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)|
≤
≤ C mes(E)
1E
Ω
Ω
ainsi |a(x, un , ∇un )−a(x, u, ∇u)|s est équi-intégrable et converge presque partout vers
0 donc converge dans L1 (Ω), grâce au théorème de Vitali, et donc a(x, un , ∇un ) →
a(x, u, ∇u) dans Ls (Ω) pour s < N/(N − 1), ainsi
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇ϕ →
a(x, u, ∇u)∇ϕ
Ω
Ω
et donc
∀ϕ ∈
[
r>N
W
1,r
Z
Z
a(x, u, ∇u)∇ϕ =
(Ω)
Ω
Z
ϕ dg +
∂Ω
ϕ df.
Ω
Remarquons que ∇un est borné dans W 1,q (Ω) pour q <(p−1)N/(N −1) aussi de la
même façon que ci-dessus, nous pouvons montrer que |∇(un − u)|q est équi-intégrable
et converge presque partout et donc, grâce au théorème de Vitali, que ∇un → ∇u
dans Lq (Ω) pour q <(p − 1)N/(N − 1).
44
Chap. 5
5.2 Conditions aux limites de Fourier
Le problème de Fourier consiste à chercher u telle que
− div(a(x, u, ∇u)) = f
a(x, u, ∇u).n + λu = g
(5.5)
dans Ω
sur ∂Ω
avec f ∈ M (Ω), g ∈ M (∂Ω) et λ > 0. On résoudra (5.5) au sens faible suivant : on
cherche
\
u∈
W 1,q (Ω)
q<
(p−1)N
N −1
tel que
∀ϕ ∈
[
W
1,r
Z
Z
a(x, u, ∇u)∇ϕ + λ
(Ω)
Ω
r>N
Z
uϕ =
∂Ω
Z
ϕ dg +
∂Ω
ϕ df.
Ω
Théorème : Soient f ∈ M (Ω) (ne chargeant pas le bord), g ∈ M (∂Ω), Ω un
ouvert borné connexe régulier de RN , et soit A vérifiant les hypothèses (H), alors le
problème (5.5) admet une solution.
Avant de démontrer ce résultat rappelons une inégalité de type Poincaré et une
inégalité de type Poincaré-Sobolev (que nous démontrerons par soucis de clarté).
Lemme : Il existe C1 > 0 tel que pour tout u ∈ W 1,1 (Ω) on ait
Z
Z
Z
|u| ≤ C1
|∇u| +
|u|
Ω
Ω
∂Ω
et il existe C2 tel que pour tout u ∈ W 1,q (Ω) (1 < q < N ) on ait
Z
q Z
Z
q/q∗
q∗
q
≤ C2
|u| + |∇u|
|u|
∂Ω
Ω
Ω
Démonstration du lemme : Montrons
par
R la première inégalité
R
R l’absurde.
Supposons qu’il existe une suite (un ) telle que Ω |un | = |Ω| et Ω |∇un |+ ∂Ω |un | → 0
appliquons alors l’inégalité de Poincaré-Wirtinger
Z
Z
|un − 1| ≤ C
|∇un | → 0
Ω
Ω
R
donc un → 1 dans L1 (Ω) et dans W 1,1 (Ω) or ∂Ω 1 6= 0 et l’application trace est
continue, il y a donc une contradiction.
Montrons maintenant la second inégalité. Soit q ≥ 1 alors d’aprèsR l’inégalité de
Poincaré avec moyenne il existe C > 0 tel que pour u ∈ W 1,q (Ω) avec Ω u = u
e|Ω| on
ait
ku − u
ekLq ≤ Ck∇ukLq
soit
Z
q
Z
|u| ≤ C
Ω
q
Z
|e
u| +
Ω
Ω
|∇u|q
5.2 Conditions aux limites de Fourier
or
R
Ω
45
R
R
R
|e
u|q = |e
u|q |Ω| et |e
u|q |Ω|q ≤ ( Ω |u|)q donc Ω |e
u|q ≤ C( Ω |u|)q d’où
Z
Z
q
|u| ≤ C
Ω
q Z
|u| + |∇u|q
Ω
Ω
appliquons alors le lemme puisque u ∈ W 1,1
Z
Z
Z
|u| ≤ C
|∇u| +
Ω
Ω
|u|
∂Ω
R
R
et Ω |∇u| ≤ C( Ω |∇u|q )1/q (inégalité de Hölder) donc
Z
Z
q
|u| ≤ C
Ω
q Z
q
|u| + |∇u|
∂Ω
Ω
ce qui combiné avec l’inégalité de Sobolev nous donne
Z
q∗
q/q∗
|u|
Z
≤C
Ω
q Z
q
|u| + |∇u| .
Ω
∂Ω
qui est bien l’inégalité demandée.
0
Démonstration du théorème : Soient (fn ) ∈ W −1,p (Ω) ∩ L1 (Ω) et (gn ) ∈
(W 1−1/p,p (∂Ω))0 ∩ L1 (∂Ω) tels que kfn kL1 ≤ kf kM (Ω) , kgn kL1 ≤ kgkM (∂Ω) et fn * f
dans M (Ω) ∗-faible et gn * g dans M (∂Ω) ∗-faible. Soit un ∈ W 1,p (Ω) une solution
de (5.5) avec f = fn et g = gn (Leray-Lions [33]), elle vérifie
Z
Z
Z
Z
1,p
∞
(5.6) ∀ϕ ∈ W ∩ L (Ω)
a(x, un , ∇un )∇ϕ + λ
un ϕ =
ϕ gn + ϕ fn .
Ω
∂Ω
∂Ω
Ω
Étape 1 : Montrons que un est borné dans W 1,q (Ω) pour q <(p − 1)N/(N − 1).
La méthode est la même que pour les conditions de Neumann,R mais l’inégalité de
Poincaré-Sobolev que nous venons de démontrer fait intervenir ∂Ω |un |, il nous faut
donc une estimation de cette intégrale. Comme Tk (un ) ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) nous
pouvons choisir ϕ = Tk (un ) dans (5.6), ce qui nous donne
Z
Z
Z
Z
0
a(x, un , ∇un )∇un Tk (un ) + λ
un Tk (un ) =
Tk (un ) gn + Tk (un ) fn
Ω
∂Ω
∂Ω
or a(x, un , ∇un )∇un ≥ 0, Tk 0 (x) ≥ 0 et |Tk | ≤ k donc
Z
λ
un Tk (un ) ≤ k(kgn kL1 + kfn kL1 )
∂Ω
soit
Z
λ
1
un Tk (un ) ≤ C
k
∂Ω
Ω
46
Chap. 5
or limk→0 x Tk (x) = |x| pour x =
6 0 donc en passant à la limite pour k → 0 (par
convergence dominée) on a
Z
(5.7)
|un | < C/λ.
∂Ω
Comme pour les conditions
R de Neumann, choisissons ϕ = ψm (un ) dans (5.6). Or
λ > 0 et x ψm (x) ≥ 0 donc λ ∂Ω un ψm (un ) ≥ 0, nous obtenons alors
Z
0
α |∇un |p ψm
(un ) ≤ kfn kL1 + kgn kL1
Ω
et comme dans le cas Neumann on peut montrer que
Z
q
|∇un | ≤ Cε
(p−q)/p
Ω
Z
q∗
(p−q)/p
|un |
+ C,
Ω
donc grâce au lemme, à (5.7) et pour ε petit on a
Z
q∗
|un |
Ω
1/q∗
1
≤
2
Z
q∗
(p−q)/pq
|un |
+ C + C/λ,
Ω
et on conclut de la même façon que pour les conditions de Neumann.
Étape 2 : Il faut ici aussi montrer la convergence presque partout de ∇un ,
on procède comme précédemment : on construit de même A1 à A6 , et seule la
majoration de mes(A6 ) fait intervenir (5.6), les autres majorations s’appliquent
de façon identique. Pour celle de A6 on peut remarquer que si l’on choisit ϕ =
Tη (un − Tk (u)) dans (5.6) on obtient
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇Tη (un − Tk (u)) + λ un Tη (un − Tk (u))
Ω
Z Ω
Z
=
fn Tη (un − Tk (u)) +
gn Tη (un − Tk (u))
Ω
∂Ω
notons le second membre Cη,n , nous obtenons alors
Z
Z
[a(x, un , ∇un )−a(x, un , ∇Tk (u))]∇Tη (un −Tk (u))+λ (un −Tk (u))Tη (un −Tk (u))
Ω
Ω
Z
Z
= Cη,n + λ Tk (u)Tη (un − Tk (u)) − a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − Tk (u))
Ω
Ω
R
de plus nous avons (un − Tk (u))Tη (un − Tk (u)) ≥ 0, |Cη,n | ≤ η C et | Ω Tk (u)Tη (un −
Tk (u))| ≤ k η C donc
Z
[a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇Tk (u))]∇Tη (un − Tk (u))
Ω
Z
≤ η C(1 + λ k) + a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − Tk (u))
Ω
5.3 Conditions aux limites de Dirichlet
47
où k a été fixé pour que les mesures de A1 à A4 soient inférieures à ε.
Et si l’on choisit ϕ = Th (un ) dans (5.6), comme un Th (un ) ≥ 0, on obtient
Z
a(x, un , ∇un )∇Th (un ) ≤ h C
Ω
R
R
or nous avons vu que ∂Ω |un | est borné donc ∂Ω Tk (un ) aussi et l’on peut donc, grâce
au lemme, démontrer comme précédemment que Th (un ) est borné dans W 1,p (Ω) et
choisir η < ε0 /2C(1 + λ k) tel que
Z
0
a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − Tk (u)) ≤ ε
2
Ω
pour n assez grand, alors
Z
Z
γ ≤ [a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇Tk (u))]∇Tη (un − Tk (u)) ≤ ε0
A6
Ω
ce qui permet d’achever cette étape de la même façon.
Étape 3 : Comme pour les conditions aux limites
de Neumann nous
R
R avons,
1,r
pour
ϕ
∈
W
(Ω)
avec
r
>
N
,
les
convergences
de
a(x,
u
,
∇u
)∇ϕ,
ϕ fn et
n
n
Ω
Ω
R
R
1,q
ϕ gn , il reste donc à montrer celle de ∂Ω un ϕ. Comme un → u dans W (Ω) pour
∂Ω
q <(p − 1)N/(N − 1) la trace de un sur ∂Ω converge vers celle de u dans W 1−1/q,q (∂Ω)
et donc dans Lq (∂Ω), comme ϕ ∈ W 1,r (Ω) pour r > N , ϕ ∈ C(Ω) donc ϕ ∈ L∞ (∂Ω)
et nous obtenons
Z
Z
un ϕ →
uϕ
∂Ω
∂Ω
ce qui permet de conclure que u est solution de (5.5).
Le problème de Dirichlet consiste à chercher u tel que
− div(a(x, u, ∇u)) = f
u=g
(5.8)
dans Ω
sur ∂Ω
avec f ∈ M (Ω) et g ∈ W 1−1/p,p (∂Ω). On résoudra (5.8) au sens faible suivant : on
cherche
\
u∈
W 1,q (Ω)
q<
(p−1)N
N −1
tel que, pour ge ∈ W 1,p (Ω), un relèvement de g, on ait u − ge ∈
∀ϕ ∈
[
r>N
W01,r (Ω)
Z
T
(p−1)N
N −1
Z
a(x, u, ∇u)∇ϕ =
Ω
q<
ϕ df.
Ω
W01,q (Ω), et
48
Chap. 5
Théorème : Soient f ∈ M (Ω), g ∈ W 1−1/p,p (∂Ω), Ω un ouvert borné régulier,
et soit A vérifiant les hypothèses (H), alors le problème (5.8) admet une solution.
0
Démonstration : Soient (fn ) ∈ W −1,p (Ω) ∩ L1 (Ω) tel que kfn kL1 ≤ kf kM (Ω) et
fn * f dans M (Ω) faible ∗. Soit un ∈ W 1,p (Ω) une solution de (5.8) avec f = fn
(Leray-Lions [33]), elle vérifie
Z
Z
1,p
∞
(5.9)
∀ϕ ∈ W0 ∩ L (Ω)
a(x, un , ∇un )∇ϕ =
ϕ fn ,
Ω
Ω
et un − g ∈ W01,p (Ω).
Étape 1 : Nous montrons, là encore, que un est borné dans W 1,q (Ω) pour
q <(p−1)N/(N −1). La démonstration ne peut pas être ici faite avec ϕ = ψm (un −e
g ),
aussi allons nous adopter une variante de la démonstration correspondant aux
conditions aux limites de Neumann.
Soit k ∈ N, choisissons ϕ = Tk (un − ge) ∈ W01,p ∩ L∞ (Ω) alors
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇(un − ge)1{|un −eg|≤k} =
Tk (un − ge) fn
Ω
Ω
donc
Z
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇un 1{|un −eg|≤k} =
Tk (un − ge) fn + a(x, un , ∇un )∇e
g 1{|un −eg|≤k}
Ω
Ω
Ω
et par coercitivité et condition de croissance de A
Z
Z
p
α |∇un | 1{|un −eg|≤k} ≤ kkfn kL1 + β (b(x) + |un |p−1 + |∇(un )|p−1 )|∇e
g |1{|un −eg|≤k}
Ω
Ω
et grâce à l’inégalité de Hölder
Z
(b(x) + |un |p−1 + |∇un |p−1 )|∇e
g |1{|un −eg|≤k} ≤ ke
g kW 1,p
Ω
Z
(p−1)/p
(b(x) + |un | + |∇un | )(1{|un −eg|≤k} )
p0
p
p
Ω
car (1{|un −eg|≤k} )p/(p−1) = 1{|un −eg|≤k} . L’inégalité de Poincaré nous donne, appliquée à
Tk (un − ge) ∈ W01,p (Ω),
Z
Z
Z
p
p
|un − ge| 1{|un −eg|≤k} ≤
|Tk (un − ge)| ≤ C
|∇(un − ge)|p 1{|un −eg|≤k}
Ω
Ω
si bien que
Z
p
Ω
Z
|un | 1{|un −eg|≤k} ≤ C
Ω
p
p
Z
(|e
g | + |∇e
g| ) + C
Ω
Ω
|∇un |p 1{|un −eg|≤k}
49
alors
Z
α |∇un |p 1{|un −eg|≤k} ≤ kkf kM (Ω) + βCke
g kW 1,p [kbkW 1,p0 + (ke
g kW 1,p )p−1 ]
Ω
Z
(p−1)/p
p
+2βCke
g kW 1,p
|∇un | 1{|un −eg|≤k}
Ω
donc
1
k
Z
p
|∇un | 1{|un −eg|≤k}
Ω
Z
(p−1)/p
1
p
≤C +C
|∇un | 1{|un −eg|≤k}
k Ω
et (p − 1)/p < 1 donc il existe C indépendant de n et de k tel que
Z
|∇un |p 1{|un −eg|≤k} ≤ C k
Ω
or
R
Ω
|∇e
g |p 1{|un −eg|≤k} ≤ (k∇e
g kLp )p donc
Z
(5.10)
Ω
|∇(un − ge)|p 1{|un −eg|≤k} ≤ C k
et donc
k−1 Z
X
(5.11)
l=0
Ω
|∇(un − ge)|p 1{l≤|un −eg|≤l+1} ≤ C k
et comme précédemment, il s’agit de majorer
Z
XZ
|∇(un − ge)|p
|∇(un − ge)|p
=
1{k≤|un −eg|≤k+1}
e|)m+1 k∈N Ω (1 + |un − ge|)m+1
Ω (1 + |un − g
Z
X
1
|∇(un − ge)|p 1{k≤|un −eg|≤k+1}
≤
m+1
(1
+
k)
Ω
k∈N
posons
1
ak =
(1 + k)m+1
Z
et bk =
ce qui nous amène à considérer
B0 = 0 alors pour N ∈ N
N
X
k=0
ak b k =
N
X
Ω
P
k∈N
ak (Bk+1 − Bk ) =
k=0
=
=
|∇(un − ge)|p 1{k≤|un −eg|≤k+1}
ak bk , notons Bk =
N
X
ak Bk+1 −
N
X
k=0
k=0
N
X
N
X
k=0
N
X
k=0
ak Bk+1 −
Pk−1
l=0
bl pour k ≥ 1 et
ak Bk
ak+1 Bk+1 + aN +1 BN +1
k=0
(ak − ak+1 ) Bk+1 + aN +1 BN +1
50
Chap. 5
or (5.11) nous donne Bk ≤ C k donc limN →+∞ aN +1 BN +1 = 0 et
Ck
k
0 ≤ (ak − ak+1 ) Bk+1 ≤
+o
(1 + k)m+2
(1 + k)m+2
P
comme m > 0, cette série est convergente donc la série k∈N ak bk est aussi convergente et il existe donc C tel que
Z
X
|∇(un − ge)|p
≤
ak b k ≤ C
e|)m+1 k∈N
Ω (1 + |un − g
aussi, comme pour les conditions de Neumann, on peut montrer que
Z
(p−q)/p
Z
q
(p−q)/p
q∗
|∇(un − ge)| ≤ Cε
|un − ge|
+ C,
Ω
Ω
de plus on a un − ge ∈ W01,p (Ω), donc l’inégalité de Poincaré-Sobolev nous donne
Z
q∗
Ω
|un − ge|
q/q∗
Z
≤C
Ω
|∇(un − ge)|q
donc pour ε petit nous obtenons
Z
1/q∗
Z
(p−q)/pq
1
q∗
q∗
|un − ge|
≤
|un − ge|
+ C,
2
Ω
Ω
et pour q <(p − 1)N/(N − 1), on conclut de la même façon que précédemment que
un − ge est borné dans W01,q (Ω) et donc que un est borné dans W 1,q (Ω).
Remarque : Au cours de cette démonstration nous avons montré le lemme suivant
qui est plus fort que celui qui est utilisé dans [11] :
Lemme : Soient (vn ) une suite de W01,p (Ω) et C > 0 tels que
Z
|∇vn |p 1{|vn |≤k} ≤ C k
Ω
pour tout k ∈ N alors
q <(p − 1)N/(N − 1).
R
Ω
|∇vn |q ≤ C 0 donc (vn ) est bornée dans W01,q (Ω) pour tout
Étape 2 : Il s’agit de montrer la convergence de ∇un presque partout, il suffit,
ici encore, de majorer mes(A6 ).
Il faut montrer que pour h > 0, Th (un − ge) est bornéR dans W01,p (Ω). Ceci vient
presque d’être fait, en effet pour k = h, (5.10) entraı̂ne Ω |∇Th (un − ge)|p ≤ C h et
d’autre part |Th (un − ge)| ≤ h donc, pour h fixé, Th (un − ge) est borné dans W01,q (Ω).
Pour majorer mes(A6 ), choisissons ϕ = Tη (un − ge − Tk (u − ge)) ∈ W01,p (Ω) dans
(5.9) alors
Z
a(x, un , ∇un )∇Tη (un − ge − Tk (u − ge)) ≤ η C
Ω
51
de plus un = un − ge + ge et ∇Tη (un − ge − Tk (u − ge)) = 0 si |un − ge| ≥ k + η donc
Z
a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − ge − Tk (u − ge))
Ω
Z
=
a(x, Tk+η (un − ge) + ge, ∇Tk (u))∇Tη (Tk+η (un − ge) − Tk (u − ge))
Ω
or nous avons montré que Th (un − ge) est borné dans W01,p (Ω) donc ∇(Tk+η (un − ge) −
Tk (u − ge)) converge faiblement dans Lp (Ω) vers ∇(Tk+η (u − ge) − Tk (u − ge)) et nous
pouvons faire le même raisonnement que celui qui a été fait pour les conditions de
Neumann, avec un − ge : 1{|Tk+η (un −eg)−Tk (u−eg)|≤η} tend pp vers 1{|Tk+η (u−eg)−Tk (u−eg)|≤η}
0
et a(x, Tk+η (un − ge) + ge, ∇Tk (u)) converge fortement dans Lp (Ω) vers a(x, Tk+η (u −
ge) + ge, ∇Tk (u)) pour n → +∞. Enfin ∇Tη (Tk+η (u − ge) − Tk (u − ge)) → 0 pp pour
η → 0, on peut donc choisir η < ε0 /2C tel que pour n assez grand
Z
0
a(x, un , ∇un )∇Tη (un − ge − Tk (u − ge)) ≤ ε
2
Ω
et
Z
0
a(x, un , ∇Tk (u))∇Tη (un − ge − Tk (u − ge)) ≤ ε
2
Ω
donc de même que pour le problème de Neumann on a mes(A6 ) ≤ ε pour n assez
grand, ce qui achève la preuve de la convergence.
Étape 3 : Comme précédemment on peut montrer que a(x, un , ∇un ) converge
vers a(x, u, ∇u) dans Lq (Ω) pour q < N/(N − 1) et ∇ϕ ∈ Lr (Ω) pour r > N , ce qui
permet de montrer que
Z
Z
a(x, un , ∇un )∇ϕ →
a(x, u, ∇u)∇ϕ
Ω
et donc que u est solution de (5.8).
Ω
6. Non unicité des solutions vérifiant la
formulation au sens des distributions
Ce chapitre est la version française de la seconde partie d’un article publié à
Rendiconti di Matematica [43].
Nous montrons, à l’aide du contre-exemple de Serrin, que la formulation au sens
des distributions n’assure pas l’unicité des solutions d’un problème elliptique à second
membre mesure : construction d’une solution non nulle pour un problème linéaire à
données nulles.
6.1 Présentation du problème
elliptique
(6.1)
u = 0 sur ∂Ω
avec A matrice de coefficients aij ∈ L∞ (Ω), satisfaisant la condition d’ellipticité
X
X
∀(ξi ) ∈ RN
ξi aij ξj ≥ α
ξi ξj
i,j
i,j
pour α > 0 et f ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 espace de mesures qui est le dual de l’espace des
fonctions continues sur Ω muni de sa norme habituelle.
Ce problème admet, pour f ∈ H −1 (Ω), une unique solution variationnelle, qui
appartient à H01 (Ω) et vérifie
Z
1
∀ v ∈ H0 (Ω)
(A∇u)∇v dx = hf, viH −1 ,H01
Ω
Pour T
f 6∈ H −1 (Ω), mais f ∈ M (Ω) on ne trouve plus de solutions dans H01 (Ω), mais
dans q < N W01,q (Ω), ce qui conduit à une formulation plus faible, puisque pour que
N −1
S
la première intégrale ait un sens il faut alors que v ∈ p > N W 1,p (Ω) :
Z
Z
[
1,p
(6.2)
∀v ∈
W0 (Ω)
(A∇u)∇v dx =
v df.
p>N
Ω
Ω
54
Chap. 6
Non unicité des solutions . . .
Nous avons W01,p (Ω) ⊂ C(Ω) pour p > N aussi le membre de droite a un sens.
Cette formulation étant plus faible que la formulation variationnelle elle n’assure
plus l’unicité, comme le montre le contre-exemple de Serrin [46] que nous allons
présenter.
Pour N ≥ 2, nous avons étudié, au chapitre 4 deux constructions d’une solution
de (6.1) au sens de (6.2), cette solution appartient à W01,q (Ω), ∀q < NN−1 . Nous allons
montrer que, pour N > 2 et Ω = BRN (la boule unité de RN ), il n’ y a pas, dans cet
espace, unicité des solutions vérifiant (6.2).
L’idée est d’adapter le contre-exemple de Serrin [46] (que nous présentons dans
le paragraphe 6.2) pour construire une solution u de l’équation de (6.1) pour f = 0
telle que u ∈ W 1,q (BRN ) pour tout q < NN−1 et u 6∈ H 1 (Ω) mais dont la trace sur
1
S N −1 la sphère unité de RN est dans H 2 (S N −1 ). Nous construisons cette solution au
paragraphe 6.3 et montrons sa régularité au paragraphe 6.4.
Grâce à la régularité de u sur S N −1 , nous pouvons considérer le problème de
Dirichlet suivant
− div(A∇v) = 0 dans BRN
(6.3)
v = u sur S N −1
qui admet une unique solution (variationnelle) v dans H 1 (BRN ). Comme u 6∈
H 1 (BRN ), on a donc construit deux solutions distinctes de (6.3) qui appartiennent à
T
1,q
(BRN ). Soit w = u − v, par linéarité, w vérifie
q< N W
N −1
− div(A∇w) = 0 dans BRN
w = 0 sur S N −1
c’est-à-dire que w ∈
T
q<
∀ϕ ∈
N
N −1
[
p>N
W01,q (BRN ) et
W01,p (BRN )
Z
(A∇w)∇ϕ = 0
B RN
(c’est la formulation (6.2)) et donc, toujours par linéarité, (6.1) admet au moins deux
solutions dans W 1,q (BRN ) pour tout q < NN−1 : celle de [11], notée u1 , et u1 + w.
Afin de rétablir l’unicité (pour f ∈ L1 dans (6.1)) un critère d’entropie a été
introduit dans [4], il demande que la solution (( tronquée )) appartienne à H 1 (Ω) et
qu’elle vérifie une inégalité supplémentaire. Nous montrons au paragraphe 6.5 que u
ne vérifie pas la première condition.
6.2 L’équation et la solution de Serrin
Considérons l’équation suivante, avec Ω ouvert borné contenant 0,
(6.4)
− div(A∇v) = 0 dans Ω.
6.3 Modification du problème pour N > 2
55
Serrin dans [46] a construit un contre-exemple à l’unicité des solutions de cette
équation si l’on n’impose pas qu’elles soient dans H 1 (Ω). Cette solution u a une trace
1
dans H 2 (∂Ω) mais n’appartient pas à H 1 (Ω), aussi existe-t-il une autre solution de
l’équation : la solution variationnelle valant u sur le bord.
Pour N ≥ 2 le contre-exemple est le suivant : soit
aij = δij + (a − 1)
xi xj
r2
√
avec r = x1 2 + · · · + xN 2 et a une constante que nous allons fixer. Les coefficients aij
sont bornés et satisfont la condition de coercitivité, pour a > 0. Alors, d’après [46], la
fonction u = x1 r−N +1−ε est solution de l’équation précédente au sens des distributions
N
pour a = 1/ε2 , et u ∈ W 1,β (Ω) pour tout β < N −1+ε
et Ω borné contenant 0, mais
N
u 6∈ W 1, N −1+ε (Ω).
N
La solution de (6.4) proposée par Serrin est dans T
W 1,β (Ω) pour tout β < N −1+ε
et
comme ε > 0, elle n’appartient pas à l’espace souhaité q < N W 1,q (Ω). Cette solution
N −1
est C ∞ sur tout ouvert ne contenant pas 0, sa trace est donc dans C ∞ (S N −1 ) et donc
1
dans H 2 (S N −1 ).
6.3 Modification du problème pour N > 2
2
Pour N = 2, la solution de (6.4) appartient à W 1,q (Ω) pour tout q < 1+ε
et si N > 2
N
N
2
on a N −1 < 2, et donc pour ε assez petit N −1 < 1+ε , l’idée est donc de construire une
équation dans RN dont soit solution la fonction u correspondant à N = 2.
√ Conservons les aij introduits précédemment avec N = 2 (donc avec r =
x1 2 + x2 2 ) pour i, j = 1, 2 et posons aij = δij sinon. Cette matrice correspond
à une forme bilinéaire continue qui est, bien sûr, encore coercitive et bornée. Soit
u = x1 r−1−ε la solution pour N = 2 qui est donc constante par rapport à x3 , . . . , xN .
Remarque : Cette adaptation n’est donc possible que pour N > 2. Ceci est normal
puisque l’on sait, grâce au lemme de Meyers [37], que
T pour N = 2 le problème de
Dirichlet homogène admet une unique solution dans q < N W01,q (Ω) (voir [29]).
N −1
Propriété : La fonction u est solution de (6.4) au sens des distributions, c’està-dire que
Z
aij ∂xj u ∂xi ϕ dx = 0,
Ω
pour ϕ fonction C
∞
à support compact dans Ω.
√
Démonstration : Rappelons que r = x1 2 + x2 2 , et posons z = (0, 0, x3 , . . . , xN ).
Comme aij ∂xj u ∂xi ϕ appartient à L1 (Ω), nous avons
Z
Z
I
xi
aij ∂xj u ∂xi ϕ dx = lim
aij ∂xj u ∂xi ϕ dx = lim
ϕ aij ∂xj u dσ,
η→0 r > η
η→0 r=η
r
Ω
56
Chap. 6
car ∂xi (aij ∂xj u) = 0 dans r > η puisque u est solution classique de (6.4) dans
{x ∈ RN | r > η}, pour tout η > 0. De plus, les calculs conduisent à
I
I
xi
1
x1
ϕ aij ∂xj u dσ =
ϕ r−1−ε dσ
r
ε r=η r
r=η
et comme ϕ est C 1
ϕ(x1 , . . . , xN ) = ϕ(0, x2 , . . . , xN ) + f (x1 , . . . , xN )
avec
sup |f (x1 , . . . , xN )| = O(η)
r=η
donc
I
x1
ϕ r−1−ε dσ =
r
r=η
I
x1
ϕ(0, . . . , xN ) r−1−ε dσ +
r
r=η
I
f (x1 , . . . , xN )
r=η
x1 −1−ε
r
dσ.
r
Le premier terme est nul car c’est l’intégrale d’une fonction impaire en x1 sur un
domaine symétrique en x1 . Pour le second passons en coordonnées (( cylindriques ))
avec dσ = rdθ dz,
I
I
x
x
1
1
=
f
(x)
dσ
f
(x)
r
g(θ,
z)
dθ
dz
r2+ε
r2+ε
r=η
r=η
I
1
≤ ε O(η)
|g(θ, z)| dθ dz
η
r=η
= O(η 1−ε ).
si bien que
Z
aij ∂xj u ∂xi ϕ dx = O(η
1−ε
Z
)
d’où
r>η
aij ∂xj u ∂xi ϕ dx = 0,
Ω
ce qui achève la démonstration.
6.4 Régularité de u
La fonction u peut être considérée à la fois comme une fonction de R2 → R
et comme une fonction de RN → R constante par rapport à ses N − 2 dernières
variables. Or u = O(r−ε ) et ux = O(r−1−ε ) au voisinage de r = 0 donc pour tout
2
, on vérifie aisément
Ω2 ⊂ R2 ouvert borné, tout Ω ⊂ RN ouvert borné et tout β < 1+ε
β
β
β
que u ∈ L (Ω2 ) et ux ∈ L (Ω2 ) et donc que u ∈ L (Ω) et ux ∈ Lβ (Ω) pour tout
2
β < 1+ε
. Ainsi, à condition de choisir ε < NN−2 , nous avons (puisque N > 2)
u ∈ W 1,q (Ω)
∀q<
N
.
N −1
6.4 Régularité de u
57
De plus u ∈ C ∞ sur tout ouvert d’intersection vide avec {x1 = x2 = 0}.
Afin de pouvoir construire une solution v dans H 1 (Ω) vérifiant v = u sur ∂Ω,
1
il faut montrer que u ∈ H 2 (∂Ω). Pour que Ω soit de bord régulier nous choisissons
Ω = BRN , la boule unité de RN si bien que ∂Ω = S N −1 la sphère unité de RN .
L’ouvert Ω = BRN ainsi choisi a la régularité C m pour tout m ∈ N et une
1
frontière bornée, aussi pouvons-nous définir H 2 (S N −1 ).
1
Propriété : La fonction u appartient à H 2 (S N −1 ) pour ε < N 1−1 .
Rappelons quelques définitions concernant les espaces de Sobolev (Adams [1]).
Dire que Ω est de régularité C m et à frontière bornée signifie qu’il existe un recouvrement fini (Uj ) de ∂Ω et une famille correspondante (Φj ) de C m difféomorphismes
de Uj dans BRN telle que :
S
(i) ∃δ > 0, j Ψj ({ y ∈ BRN | |y| < 1/2 }) ⊃ Ωδ , où Ωδ = { x ∈ Ω | d(x, ∂Ω) > δ }
et Ψj = Φj −1
(ii) ∀j, Φj (Uj ∩ Ω) = { y ∈ BRN |yN > 0}.
(iii) Si (ϕj,1 , . . . , ϕj,N ) et (ψj,1 , . . . , ψj,N ) sont les composantes de Φj et Ψj alors
∃M fini tel que ∀α, |α| ≤ m, ∀i, 1 ≤ i ≤ N, ∀j, on ait
|Dα ϕj,i (x)| ≤ M, x ∈ Uj
|Dα ψj,i (y)| ≤ M, y ∈ BRN
La définition de W s,p (∂Ω) (avec s ≤ m, m ∈ N) est alors la suivante : soient
(Uj ) et (Ψj ) définis comme ci-dessus, si (ωj ) est une partition C m de l’unité de ∂Ω
subordonnée aux (Uj ), définissons θj u sur RN −1 par
0
θj u(y ) =
(ωj u)(Ψj (y 0 , 0)) si |y 0 | < 1
0
sinon,
où y 0 = (y1 , . . . , yN −1 ), alors u ∈ W s,p (∂Ω) si θj u ∈ W s,p (RN −1 ). Cette définition est
indépendante du choix des (Uj ), (Ψj ) et (ωj ).
Démonstration : Soit (Uj ) un recouvrement de S N −1 justifiant la régularité
C m de S N −1 , soit Uj un de ces ouverts (j restera ainsi fixé par la suite) et soit
z = (z1 , . . . , zN ) tel que z ∈ Uj ∩ ∂Ω alors z1 2 + √
· · · + zN 2 = 1 donc il existe k tel
que |zk | = maxi |zi |, on vérifie alors que |zk | ≥ 1/ N aussi, condition de choisir les
Uj assez petits, nous pouvons supposer que zk 6= 0 dans tout Uj ∩ ∂Ω, donc, par
continuité, zk est de signe constant dans Uj ∩ ∂Ω.
Supposons,
pour simplifier l’écriture, que k = N et zN > 0 dans Uj ∩ ∂Ω alors
q
zN =
0
0
2
1 − z12 − · · · − zN
−1 donc Ψ tel que Ψ(y ) = (ψj,1 , . . . , ψj,N −1 )(y , 0) définit une
bijection de BRN −1 dans Ψ(BRN −1 ) ⊂ RN −1 qui est aussi un C m difféomorphisme,
d’inverse noté Φ.
58
Chap. 6
D’après la définition ci-dessus il faut montrer que θj u ∈ W s,p (RN −1 ). Comme
supp(θj u) ⊂ BRN −1 , θj u ∈ W s,p (RN −1 ) est équivalent à θj u ∈ W s,p (BRN −1 ). Il faut
donc étudier la régularité de u sur Ψj (BRN −1 × {0}) que nous noterons Oj .
Sur Oj tel que Oj ∩ {x1 = x2 = 0} = Ø, u est C ∞ donc θj u ∈ C ∞ (BRN −1 ). Il reste
donc à déterminer la régularité de θj u sur les Oj tels que Oj ∩ {x1 = x2 = 0} =
6 Ø.
Pour un tel j, Uj ∩ ∂Ω contient un point z = (0, 0, z3 , . . . , zN ), introduisons alors
les C m difféomorphismes Φ et Ψ définis précédemment (comme z1 = z2 = 0 le zk
maximum est atteint pour k > 2 et on peut donc bien supposer que k = N ). Or par
définition v ∈ Lβ (Oj ) signifie que
Z
I(v) =
|v(ψ1 , . . . , ψN )(y1 , . . . , yN −1 , 0)|β dy1 . . . dyN −1 < +∞,
BRN −1
donc pour v ne dépendant pas de xN on a
Z
I(v) =
|v(ψ1 , . . . , ψN −1 )(y1 , . . . , yN −1 , 0)|β dy1 . . . dyN −1 ,
BRN −1
effectuons le changement de variable x0 = Ψ(y 0 )
Z
I(v) =
|v(x1 , . . . , xN −1 )|β |J(Φ)| dx1 . . . dxN −1
Ψ(BRN −1 )
comme Φ est un C 1 difféomorphisme on a |J(Φ)| ≤ M , et Ψ(BRN −1 ) est borné donc
il existe γ tel que Ψ(BRN −1 ) ⊂ (0, 0, z3 , . . . , zN −1 ) + [−γ, γ]N −1 que nous appellerons
Wj et donc
Z
|v(x1 , . . . , xN −1 )|β dx1 . . . dxN −1
I(v) ≤ M
Wj
et si v ne dépend que de x1 et x2 on a
N −3
Z
I(v) ≤ M (2γ)
|v(x1 , x2 )|β dx1 dx2
[−γ,γ]2
2
or nous avons vu que u et ux ∈ Lβ (Ω2 ) pour β < 1+ε
donc I(u) < +∞ et I(ux ) < +∞,
0
0
β
c’est-à-dire que u(Ψj (y , 0)) et ux (Ψj (y , 0)) ∈ L (BRN −1 ) or ωj est C 1 donc θj u ∈
2
W 1,β (BRN −1 ) pour β < 1+ε
.
1
1
Afin de montrer que u ∈ H 2 (S N −1 ), il reste à montrer que θj u ∈ H 2 (RN −1 ) pour
cela, utilisons un théorème d’injection de Sobolev (voir [1]) :
1
W 1,q (RN −1 ) ⊂ W 2 ,p (RN −1 ) pour
1
1
1
= −
p
q 2(N − 1)
1
2
comme θj u ∈ W 1,β (RN −1 ) pour tout β < 1+ε
on déduit que θj u ∈ W 2 ,p (RN −1 ) pour
1
−2
−2
+ ε) > 2 ce qui est le cas pour
+ ε). Donc θj u ∈ H 2 (RN −1 ) si 2/( N
tout p < 2/( N
N −1
N −1
1
1
1
N
−1
) pour ε < N −1 (la démonstration montre un peu plus
ε < N −1 . Ainsi u ∈ H 2 (S
2
1,β
N −1
c’est-à-dire que u ∈ W (S
) pour tout β < 1+ε
).
6.5 Étude des tronqués de u
59
6.5 Étude des tronqués de u


x pour |x| ≤ k


k pour x ≥ k.
Afin d’obtenir l’unicité des solutions de (6.1) dans le cas f ∈ L1 , il est demandé
dans [4], pour des conditions homogènes de Dirichlet, que la solution u vérifie
Tk (u) ∈ H01 (Ω) pour tout k > 0 et que u vérifie une inégalité supplémentaire. Lorsque
la condition aux limites n’est plus homogènes, on montre dans [41] et au chapitre 5
que Tk (u − ϕ) ∈ H01 (Ω) pour k > 0 et ϕ un relèvement H 1 (Ω) de la condition aux
limites.
Nous allons donc montrer que le contre-exemple de Serrin, noté u au paragraphe
6.3, u vérifie Tk (u) 6∈ H 1 (BRN ) pour tout k ≥ 0 et qu’il existe ϕ ∈ H 1 (Ω) valant u
sur le bord et tel que Tk (u − ϕ) 6∈ H01 (Ω). Pour cela montrons que l’intégrale
Z
Z
2
k∇Tk (u)k =
k∇(u)k2 1{|u|≤k}
BRN
BRN
est divergente. Comme u ne dépend que de x1 et x2 , on a
Z
Z
Z
2
k∇uk 1{|u|≤k} ≥
k∇uk2 1{|u|≤k}
x3 2 +···+xN 2 ≤ 21 x1 2 +x2 2 ≤ 12
BRN
Z
= CN
k∇uk2 1{|u|≤k} dx1 dx2
x1 2 +x2 2 ≤ 12
Passons en polaire, nous obtenons u = cos θ/ρε donc nous avons |u| ≤ k pour
ρε ≥ | cos θ|/k soit ρ ≥ (| cos θ|/k)1/ε que nous noterons ρ(θ), d’où
Z
Z
2
x1 2 +x2 2 ≤ 12
√
2πZ 1/ 2
k∇uk 1{|u|≤k} dx1 dx2 =
0
or
k∇uk2 =
(x1
2
k∇uk2 ρ dρ dθ
ρ(θ)
1
(Ax1 4 + Bx1 2 x2 2 + Cx2 4 )
+ x2 2 )3+ε
où A, B et C dépendent de ε. Considérons chacun des trois termes
Z
x1 2 +x2 2 ≤ 1
2
|u|≤k
x1 4
dx1 dx2 =
(x1 2 + x2 2 )3+ε
Z
0
√
2πZ 1/ 2
ρ(θ)
cos4 θ
dρ dθ = K +
ρ1+2ε
Z
2π
cos2 θ dθ < +∞
0
et de même
Z
1
x1 2 +x2 2 ≤ 2
|u|≤k
x1 2 x2 2
dx1 dx2 = K 0 +
(x1 2 + x2 2 )3+ε
Z
0
2π
sin2 θ dθ < +∞
60
Chap. 6
et
Z
1
x1 2 +x2 2 ≤ 2
|u|≤k
or cos θ ∼
x2 4
dx1 dx2 = K 00 +
(x1 2 + x2 2 )3+ε
Z
0
2π
sin4 θ
dθ
cos2 θ
π
π
− θ en donc la dernière intégrale est divergente, aussi
2
2
Z
k∇uk2 1{|u|≤k} dx1 dx2 = +∞
x1 2 +x2 2 ≤ 12
et grâce aux minorations
Z
k∇Tk (u)k2 = +∞,
BRN
ainsi Tk (u) 6∈ H 1 (Ω).
Soit maintenant ϕ ∈ H 1 (BRN ) un relèvement de u sur le bord (car u ∈
1/2
H (S N −1 )), en multipliant ϕ par une fonction régulière et nulle dans la boule de
rayon 1/2, on obtient un relèvement (encore noté ϕ) nul dans cette même boule, le
calculs ci-dessus donnent donc, de même Tk (u − ϕ) = Tk (u) 6∈ H01 (B1/2 ) et donc
Tk (u − ϕ) 6∈ BRN .
Part III
Seconds membres L1 : unicité et
continuité
61
7. Dépendance continue par rapport à un
paramètre des solutions de problème elliptique à
seconds membres L1
Ce chapitre est un article en préparation.
On étudie ici la continuité par rapport à α de la solution uα du problème elliptique
(
− div(a(x, α, ∇uα )) = f dans Ω
(7.1)
uα = 0 sur ∂Ω
où Ω est un ouvert borné de RN , et a définit un opérateur elliptique strictement
0
monotone de Leray-Lions [33] agissant de W01,p (Ω) dans W −1,p (Ω) et continu par
rapport à α.
Avant de pouvoir considérer la continuité de uα par rapport à α, il nous faut
l’unicité de uα , aussi allons nous, nous placer dans les deux cadres suivants.
0
Pour f ∈ W −1,p (Ω), il y a existence et unicité de la solution (voir Leray-Lions
[33]) vérifiant
(7.2)

1,p
 u ∈ W0 (Ω)
Z

a(x, α, ∇uα )∇ϕ = hf, ϕi
∀ϕ ∈ W01,p (Ω)
Ω
0
où h., .i est le crochet de dualité entre W01,p (Ω) et W −1,p (Ω).
Lorsque f ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 , espace de mesures, l’existence d’une solution
vérifiant

\

u
∈
W01,q (Ω)




q < (p−1)N
(N −1)
(7.3)
Z
Z
[



a(x,
α,
∇u
)∇ϕ
=
ϕ
df
∀ϕ
∈
W01,r (Ω)

α

Ω
Ω
r>N
a été montrée par Boccardo et Gallouët [11, 12]. Cependant il n’y a pas unicité des
solutions au sens ci-dessus comme le montre le contre-exemple adapté de celui de
Serrin (voir [46, 43] et chapitre 6). Aussi lorsque f appartient seulement à L1 (Ω)
faut-il considérer les solutions au sens suivant (Tk fonction (( tronquante )) est définie
64
Chap. 7
Dépendance continue par rapport à un paramètre
par la suite)

\

W01,q (Ω)
Tk (u) ∈ W01,p (Ω) ∀k > 0
u
∈



q < (p−1)N
(N −1)
(7.4) Z
Z



 a(x, α, ∇uα )∇Tk (uα − ϕ) ≤ f Tk (uα − ϕ) ∀ϕ ∈ L∞ (Ω) ∩ W01,p (Ω),
Ω
Ω
dont l’unicité a été montrée par Bénilan, Boccardo, Gallouët, Gariepy, Pierre et
Vazquez [4].
Donnons les hypothèses sur a, opérateur de Leray-Lions, nous les appellerons (H)
par la suite : a est une fonction de Carathéodory, c’est-à-dire que
• a(x, α, ξ) : RN × R × RN → RN est mesurable en x ∈ RN pour tout α ∈ R
noterons a(x, α, ∇uα ) = a(x, α, ∇uα (x)).
et a vérifie aussi des conditions de coercitivité, monotonie et croissance : il existe p
vérifiant 2 − 1/N 0 tel que pour tout α et ξ et presque tout x on ait
a(x, α, ξ)ξ ≥ γ|ξ|p
• Pour tout α, ζ et η et presque tout x on a
[a(x, α, ξ) − a(x, α, ζ)](ξ − ζ) > 0 pour ξ 6= ζ
0
• Il existe b(x) ∈ Lp (Ω) (p0 = p/(p − 1)) et β > 0 tels que pour tout α et ξ et
|a(x, α, ξ)| ≤ β(b(x) + |ξ|p−1 )
Ces hypothèses sont classiques (sauf p > 2 − 1/N ) pour l’étude des opérateurs non
linéaires sous forme divergentielle (voir Leray-Lions [33]).
Nous ajoutons une forme un peu plus forte de continuité par rapport à α :
(7.5)
|a(x, α1 , ξ) − a(x, α2 , ξ)| ≤ c(α1 − α2 )(b(x) + |ξ|p−1 )
pour tout α1 , α2 , ξ et presque tout x, avec c fonction positive continue de R → R+
0
telle que c(x) → 0 lorsque x → 0 et b ∈ Lp (Ω) donnée ci-dessus.
Pour k > 0, nous utiliserons la fonction (( tronquante )) Tk : R → R telle que
Tk (x) = min(k, max(x, −k)). Cette fonction étant lipschitzienne, si u ∈ W 1,p (Ω) on a
Tk (u) ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), cette dernière fonction pourra donc servir de fonction test
dans (7.4).
0
7.1 Cadre variationnel : f ∈ W −1,p (Ω)
Théorème 1 (classique) : Soient Ω un ouvert borné de RN , a(x, α, ξ) vérifiant
0
H et (7.5), f ∈ W −1,p (Ω), uα et uα0 les solutions de (7.1) correspondant à α et α0 .
Lorsque α → α0 , on a uα → uα0 dans W01,p (Ω).
0
7.1 Cadre variationnel : f ∈ W −1,p (Ω)
65
Nous allons en donner la démonstration par soucis de complétude, mais surtout
afin d’éclairer la démonstration suivante.
Démonstration : Choisissons d’abord ϕ = uα alors
Z
a(x, α, ∇uα )∇uα = hf, uα i
Ω
soit, par coercitivité,
Z
p
p
Z
|∇uα | ≤
γ(kuα kW 1,p ) = γ
0
a(x, α, ∇uα )∇uα
Ω
Ω
et
hf, uα i ≤ kf kW −1,p0 kuα kW 1,p
0
donc
(kuα kW 1,p )p−1 ≤
0
1
kf kW −1,p0
γ
c’est-à-dire que (uα ) est bornée dans W01,p (Ω) indépendamment de α.
Choisissons ϕ = uα − uα0 dans (7.2) écrit pour α et α0 , alors après soustraction
Z
[a(x, α0 , ∇uα ) − a(x, α0 , ∇uα0 )]∇(uα − uα0 )
Ω
Z
= [a(x, α0 , ∇uα ) − a(x, α, ∇uα )]∇(uα − uα0 )
Ω
en utilisant la continuité de a et la positivité du premier membre, nous obtenons
Z
0 ≤ [a(x, α0 , ∇uα ) − a(x, α0 , ∇uα )]∇(uα − uα0 )
Ω
Z
≤ c(α − α0 ) (b(x) + |∇uα |p−1 )|∇(uα − uα0 )|
Ω
et l’inégalité de Hölder conduit à
Z
(b(x) + |∇uα |p−1 )|∇(uα − uα0 )|
Ω
Z
≤
p−1 p0
(b(x) + |∇uα |
1/p0 Z
1/p
|∇(uα − uα0 )|
)
Ω
p
Ω
or on a vu que (kuα kW 1,p )p−1 ≤ kf kW −1,p0 /γ donc
0
Z
0 ≤ [a(x, α0 , ∇uα ) − a(x, α, ∇uα )]∇(uα − uα0 )
Ω
≤ c(α − α0 )[kbkLp0 + (kf kW −1,p0 /γ)1/(p−1) ]2(kf kW −1,p0 /γ)1/(p−1) .
Lorsque α → α0 le second membre tend vers 0, donc
gα = [a(x, α0 , ∇uα ) − a(x, α0 , ∇uα )]∇(uα − uα0 )
66
Chap. 7
vérifie
Z
lim
α→α0
gα = 0
Ω
et est positif donc (gα ) converge vers 0 dans L1 (Ω). Une sous-suite encore notée (gα )
converge donc presque partout vers 0, donc pour presque tout x fixé, par stricte
monotonie, ∇uα (x) → ∇uα0 (x) (par l’absurde grâce à la continuité de a par rapport
à ξ et α). Ainsi (∇uα ) converge presque partout vers ∇uα0 .
De plus (ua ) est bornée dans W01,p (Ω) donc (par unicité de la limite) converge
faiblement vers uα0 dans W01,p (Ω) lorsque α → α0 donc hf, uα i → hf, uα0 i et donc
Z
Z
a(x, α, ∇uα )∇uα →
a(x, α0 , ∇uα0 )∇uα0 .
Ω
Ω
Comme a(x, α, ∇uα )∇uα ≥ 0, ceci implique la convergence de a(x, α, ∇uα )∇uα dans
L1 (Ω) or
γ|∇uα |p ≤ a(x, α, ∇uα )∇uα
donc la suite (γ|∇uα |p ) est dominée par une suite qui converge dans L1 et est donc
équi-intégrable et (|∇uα − ∇uα0 |p ) aussi, comme cette dernière suite converge de plus
presque partout, le théorème de Vitali entraı̂ne que ∇uα → ∇uα0 dans Lp (Ω) (fort).
Ainsi (ua ) converge fortement vers uα0 dans W01,p (Ω).
Par unicité de la limite uα0 , on a en fait la convergence de toute la suite (uα ) de
départ (par l’absurde).
Remarque 1 : Dans le cas fortement monotone et p = 2 et a lipschitzien en α,
α 7→ uα est lipschitzienne de R dans H01 (Ω).
Remarque 2 : Nous venons de montrer que (uα ) converge fortement vers uα0
dans W01,p (Ω), et en particulier converge faiblement donc l’opérateur div(a(x, α, ξ)ξ)
H-converge vers div(a(x, α, ξ)ξ).
7.2 Cadre non variationnel : f ∈ L1 (Ω)
Considérons maintenant le cas f ∈ L1 (Ω) (cadre non variationnel), à α fixé,
l’existence et l’unicité de uα a été montrée dans [4], à condition d’écrire
Z
Z
a(x, α, ∇uα )∇Tk (uα − ϕ) ≤
f Tk (uα − ϕ)
Ω
Ω
pour tout ϕ ∈ L∞ (Ω) ∩ W01,p (Ω). L’unicité est ici essentielle : s’il n’y avait pas unicité,
la continuité n’aurait aucun sens. Aussi ne peut-on pas considérer le cas f mesure,
pour lequel la formulation au sens des distributions n’assure pas l’unicité (voir cidessus).
Théorème 2 : Soient Ω un ouvert borné de RN , a(x, α, ξ) vérifiant (H) et (7.5),
f ∈ L1 (Ω), uα et uα0 les solutions de (7.1) correspondant à α et α0 . Lorsque α → α0 ,
on a uα → uα0 dans W01,q (Ω) pour tout q <(p − 1)N/(N − 1).
67
Démonstration : Ici aussi on peut montrer que (uα ) est borné dans W01,q (Ω)
pour q < N/(N − 1) indépendamment de α, voir [11, 12].
De façon analogue à ce que nous venons de faire, choisissons ϕ = Th (uα0 ) dans
l’équation en uα et ϕ = Th (uα ) dans celle en uα0 (ceci reprend partiellement [4]), et
faisons la somme
Z
[a(x, α, ∇uα ) − a(x, α, ∇uα0 )]∇Tk (uα − Th (uα0 ))
Ω
Z
Z
≤ − a(x, α, ∇uα0 )∇Tk (uα − Th (uα0 )) − a(x, α0 , ∇uα0 )∇Tk (uα0 − Th (uα ))
Ω
Z Ω
+ f [Tk (uα − Th (uα0 )) + Tk (uα0 − Th (uα ))]
Ω
Notons A, B et C les trois parties, donc A ≤ B + C.
Z
C=
|uα |≤h
|uα0 |≤h
f [Tk (uα − uα0 ) + Tk (uα0 − uα )]
Z
f [Tk (uα − Th (uα0 )) + Tk (uα0 − Th (uα ))]
+
|uα |≥h ou |uα0 |≥h
le premier terme est nul, donc
Z
C≤
|f |.
D’autre part, soit
Z
a(x, α, ∇uα )∇Tk (uα − Th (uα0 ))
A1 =
|uα0 |≥h
et
Z
a(x, α, ∇uα0 )∇Tk (uα − Th (uα0 ))
A2 =
|uα0 |≥h
alors
Z
[a(x, α, ∇uα ) − a(x, α, ∇uα0 )]∇Tk (uα − Th (uα0 )) ≤ A − A1 + A2 .
|uα0 |≤h
Enfin, soit
Z
a(x, α, ∇uα0 )∇Tk (uα − Th (uα0 )),
B1 =
|uα0 |≥h
Z
B2 =
|uα |≥h
|uα0 |≤h
a(x, α, ∇uα0 )∇Tk (uα − Th (uα0 )),
Z
a(x, α0 , ∇uα0 )∇Tk (uα0 − Th (uα )),
B3 =
|uα |≥h
Z
B4 =
|uα0 |≥h
|uα |≤h
a(x, α0 , ∇uα0 )∇Tk (uα0 − Th (uα )).
68
Chap. 7
On notera que A2 = B1 , que A1 ≥ 0, et B3 ≥ 0 en effet
Z
a(x, α, ∇uα )∇uα ≥ 0
A1 =
|uα0 |≥h
|uα −Th (uα0 )|≤k
et même chose pour B3 .
Z
B≤
|uα |≤h
|uα0 |≤h
[a(x, α, ∇uα0 ) − a(x, α0 , ∇uα0 )]∇Tk (uα0 − uα ) − B2 − B4
Ce qui nous donne,
Z
[a(x, α, ∇uα ) − a(x, α, ∇uα0 )]∇Tk (uα − Th (uα0 )) ≤ C − B2 − B4
|uα0 |≤h
Z
+
[a(x, α, ∇uα0 ) − a(x, α0 , ∇uα0 )]∇Tk (uα0 − uα )
|uα |≤h
|uα0 |≤h
Donc
Z
|uα0 |≤h
Z
+
[a(x, α, ∇uα0 ) − a(x, α0 , ∇uα0 )]∇Tk (uα0 − uα )
|uα |≤h
|uα0 |≤h
or |[a(x, α, ∇uα0 )−a(x, α0 , ∇uα0 )]∇(uα0 −uα )| ≤ c(α−α0 )(b(x)+|∇uα0 |p−1 )|∇(uα0 −
uα )|
Z
|uα0 |≤h
Z
+c(α − α0 )
p0
|b(x)| + |∇uα |p
|uα |≤h
1/p0
!1/p
Z
|uα0 |≤h
|uα |≤h
|∇Tk (uα − uα0 )|p
Il s’agit maintenant de passer à la limite en α → α0 et en h → ∞, mais comme il y
deux passages à la limite, on ne peut faire comme précédemment avec une limite dans
L1 puis une limite presque partout, nous allons donc démontrer la convergence presque
partout de (uα ) par une méthode analogue à celle de [12]. Montrons que (∇uα ) est
convergente (et donc de Cauchy) en mesure, ce qui entraı̂nera ∇uα → ∇uα0 presque
partout, pour une sous-suite (voir chapitre 2). Cela consiste à prouver que
∀δ > 0, ∀ε > 0, ∃ α1 tel que ∀α ≤ α1
mes{x; |(∇uα − ∇uα0 )(x)| ≥ δ} ≤ ε.
Pour cela, fixons δ > 0 et ε > 0, et remarquons que pour k > 0 et h > 0 nous avons
{x; |(∇uα − ∇uα0 )(x)| ≥ δ} ⊂
{|uα0 | ≥ h} ∪ {|∇uα | ≥ h} ∪ {|∇uα0 | ≥ h} ∪ {|uα − uα0 | ≥ k}
∪ {|(∇uα − ∇uα0 )| ≥ δ, |uα0 | ≤ h, |∇uα | ≤ h, |∇uα0 | ≤ h, |uα − uα0 | ≤ k}
69
nous appellerons D1 à D5 les cinq ensembles du membre de droite. On pourra
remarquer, dans la suite de la démonstration, que seule la majoration de la mesure de
D5 fait intervenir les équations dont uα et uα0 sont solutions. Les autres majorations
utilisent le fait que (uα ) et (∇uα ) sont bornées. C désignera une constante quelconque.
Majorons mes(D1 ), nous avons
Z
Z
|uα0 | ≥
|uα0 | ≥ h mes(D1 )
Ω
donc
D1
Z
1
mes(D1 ) ≤
h
|uα0 | ≤
Ω
C
≤ε
h
pour h assez grand, puisque uα0 est borné dans Lq (]0, T [×Ω) pour q <(p−1)N/(N −1)
et donc dans L1 (Ω). Fixons donc h tel que mes(D1 ) ≤ ε.
Majorons mes(D2 ) et mes(D3 ), nous avons
Z
Z
|∇uα | ≥
|∇uα | ≥ h mes(D2 )
Ω
donc
D1
1
mes(D2 ) ≤
h
Z
|∇uα | ≤
Ω
C
≤ε
h
pour h assez grand, puisque (∇uα ) est borné dans Lq (]0, T [×Ω) pour q <(p−1)N/(N −
1) et donc dans L1 (Ω). Fixons donc h tel que mes(D2 ) ≤ ε et mes(D3 ) ≤ ε.
Majorons maintenant mes(D4 ), nous avons
Z
Z
|(uα − uα0 )| ≥
|(uα − uα0 )| ≥ k mes(D4 )
Ω
D3
Comme (uα ) est borné dans W 1,q (Ω) et donc dans L1 (Ω) indépendamment de α on a
Z
2C ≥
|(uα − uα0 )| ≥ k mes(D4 )
Ω
donc pour k assez grand, on a
mes(D4 ) ≤ ε.
Fixons k ainsi.
Il reste donc à majorer mes(D5 ). D’après la monotonie de A, nous avons
[a(t, x, ξ1 ) − a(t, x, ξ2 )](ξ1 − ξ2 ) > 0 pour ξ1 − ξ2 6= 0 or l’ensemble des (ξ1 , ξ2 ) tels
que |ξ1 | ≤ h, |ξ2 | ≤ h et |ξ1 − ξ2 | ≥ δ est compact et a est continue en ξ pour presque
tout t et x, donc [a(t, x, ξ1 ) − a(t, x, ξ2 )](ξ1 − ξ2 ) atteint sur ce compact son minimum
que nous noterons γ(x), qui vérifie γ(x) > 0 presque partout. De plus grâce à un
résultat d’intégration (voir chapitre 2), il existe ε0 > 0, tel que pour tout ensemble
mesurable E ⊂ ]0, T [×Ω
Z
γ ≤ ε0 =⇒ mes(E) ≤ ε
E
70
Chap. 7
R
pour obtenir mes(D5 ) ≤ ε, il suffit donc de montrer que D5 γ ≤ ε0 . Par définition de
γ et de D5 , nous avons
Z
Z
γ≤
[a(t, x, ∇uα ) − a(t, x, ∇uα0 )](∇uα − ∇uα0 )1{|uα −uα0 |≤η}
D5
D5
Or on a vu que
Z
|uα0 |≤h
Z
p0
+c(α − α0 )
p
1/p0
!1/p
Z
|b(x)| + |∇uα |
p
|uα0 |≤h
|uα |≤h
|uα |≤h
|∇Tk (uα − uα0 )|
R
et D5 ⊂ {|uα0 | ≤ h} donc ceci majore D5 γ.
Soit v la limite de uα presque partout grâce à Rellich, k a déjà été fixé, nous
allons choisir un nouvel h plus petit que le précédent (majoration de D1 et D2 ) tel
que
Z
|f | ≤ ε00
|v|≥h ou |uα0 |≥h
par continuité de la mesure car mes{|v| ≥ h ou |uα0 | ≥ h} = O(1/h). De plus
Z
Z
p
γ
|∇uα | ≤ k |f |
h≤|uα |≤h+k
Ω
en choisissant v = Th (uα ) dans l’équation entropique. Et presque de même
Z
Z
p
|∇uα0 )| ≤ k
|f |
γ
h−k≤|uα0 |≤h
donc
Z
h−k≤|uα0 |
Z
p0
0
(b(x) + |∇uα0 |p−1 )p
h−k≤|uα0 |≤h
Z
0
(b(x) + (|f |/γ)1/(p−1) )p
≤
|a(x, α, ∇uα0 )| ≤
h−k≤|uα0 |≤h
h−k≤|uα0 |
Soit donc h assez grand tel que
!1/p
Z
≤ ε00
|f |
k
h−k≤|uα0 |
Comme ∇Tk (uα − Th (uα0 )) = 0 pour |uα | ≤ k + h
Z
B2 =
a(x, α, ∇uα0 )∇Tk (uα − Th (uα0 ))
|uα |≥h
|uα0 |≤h
Z
=
Z
|uα |≥h,|uα0 |≤h
|uα −uα0 |≤k
a(x, α, ∇uα0 )∇uα −
|uα |≥h,|uα0 |≤h
|uα −uα0 |≤k
a(x, α, ∇uα0 )∇uα0
71
notons alors B5 et B6 les deux dernières intégrales, et B7 , B8 celles venant de la même
façon de B4 . Grâce à Hölder, on a
Z
|B5 | ≤
|a(x, α, ∇uα0 )∇uα |
|uα |≥h,|uα0 |≤h
1/p0 

Z
≤
0
|a(x, α, ∇uα0 )|p 
|uα |≥h,|uα0 |≤h
Z
p0
≤

|uα |≥h,|uα0 |≤h
!1/p0 Z
|∇uα |p 
p
|a(x, α, ∇uα0 )|
1/p
|∇uα |
h−k≤|uα0 |≤h
car
1/p
Z
h≤|uα |≤h+k
{|uα | ≥ h, |uα0 | ≤ h, |uα − Th (uα0 )| ≤ k} ⊂ {h − k ≤ |uα0 | ≤ h}
{|uα | ≥ h, |uα0 | ≤ h, |uα − Th (uα0 )| ≤ k} ⊂ {h ≤ |uα | ≤ h + k}
Ainsi pour h assez grand |B5 | ≤ Cε00 et de même pour B6 , |B7 |, B8 . Pour ce h fixé,
on a
Z
0
|b(x)|p + |∇uα |p ≤ Ch
|uα |≤h
et
Z
|uα0 |≤h
|uα |≤h
|∇Tk (uα − uα0 )|p ≤ Ch
indépendamment de α donc pour |α − α0 | ≤ α1 , on a
Z
p0
p
1/p0
|b(x)| + |∇uα |
c(α − α0 )
!1/p
Z
|uα |≤h
et pour |α − α0 | ≤ α1 on a aussi
Z
Z
|f | −
|v|≥h
p
|uα0 |≤h
|uα |≤h
ou
par continuité de la mesure donc
Z
C≤
|∇Tk (uα − uα0 )|
≤ ε00
|f | ≤ ε00
|uα0 |≥h
|f | ≤ 2ε00
compte tenu du choix de h.
Finalement
Z
γ ≤ 4ε00 + 2ε00 + ε00
D5
pour |α − α0 | ≤ α1 , donc si l’on choisit ε00 ≤ ε0 /7 on a
Ainsi pour |α − α0 | ≤ α1 , on a
R
D5
γ ≤ ε0 donc mes(D7 ) ≤ ε.
mes({|(∇uα − ∇uα0 )(x)| ≥ δ}) ≤ 5ε,
72
Chap. 7
la convergence en mesure de (∇uα ) vers ∇u est donc démontrée, donc (après
extraction d’une sous-suite) ∇uα → ∇uα0 presque partout (voir chapitre 2) donc
∇uα → ∇uα0 dans Lq (Ω) (ceci est une conséquence du théorème de Vitali). Et grâce
à l’inégalité de Poincaré uα → uα0 dans W01,q (Ω) pour tout q(p − 1) < N/(N − 1).
Remarque 1 : Ici même pour a fortement monotone, lipschitzien en α et p = 2
cette méthode ne permet pas de montrer que α → uα est lipschitzienne.
Remarque 2 : Boccardo [9] a montré, à l’aide d’une version L1 du lemme de
Minty, que la H-convergence de div(a(x, α, ξ)ξ) implique la convergence faible de (uα )
vers uα0 lorsque f ∈ L1 (Ω). Ici l’hypothèse est plus forte : continuité de a(x, α, ξ) par
rapport à α au sens de (7.4), aussi la conclusion est plus forte : convergence forte de
(uα ) (et en particulier convergence presque partout de (∇uα )).
Remarque 3 : Le théorème 2 redémontre en fait l’unicité des solutions du
problème elliptique (c’est-à-dire évite d’utiliser [4]). Si l’on utilise l’unicité démontrée
dans [4], on peut faire la démonstration suivante (qui est plus proche de l’idée de
[12]).
La suite (uα ) étant bornée dans W 1,q (Ω), on peut extraire une sous-suite, encore
notée uα , et convergeant faiblement vers u dans W 1,q (Ω). Nous allons montrer que
∇uα → ∇u presque partout et que u est solution entropique de (7.1) avec α0 et donc
par unicité u = uα0 . Ce qui implique, grâce à la convergence presque partout et à
l’unicité de la limite, que uα → uα0 dans W 1,q (Ω) (fort).
Soit η > 0 qui sera petit par la suite
{x; |(∇uα − ∇u)(x)| ≥ δ} ⊂
{|u| ≥ h} ∪ {|uα | ≥ h} ∪ {|∇uα | ≥ h} ∪ {|∇u| ≥ h} ∪ {|uα − u| ≥ η}
∪ {|(∇uα − ∇uα0 )| ≥ δ, |u| ≤ h, |uα | ≤ h|∇uα | ≤ h, |∇u| ≤ h, |uα − u| ≤ η}
Les mesures des quatre premiers ensembles sont majorées de la même façon que cidessus, celle du cinquième est petite pour η fixé et α − α0 petit car uα tend vers u
presque partout grâce au théorème de Rellich, il reste donc à fixer η et à majorer la
mesure du sixièmeR ensemble, que nous noterons D6 . Pour cela, et comme ci dessus il
suffit de majorer D6 γ :
Z
Z
γ≤
[a(x, α, ∇uα ) − a(x, α, ∇u)]∇(uα − u).
D6
D6
Comme D6 ⊂ {|u| ≤ h, |uα − u| ≥ η}
Z
Z
[a(x, α, ∇uα )∇(uα − u) =
[a(x, α, ∇uα )∇Tη (uα − Th (u))
D6
D6
et uα est solution entropique donc
Z
Z
[a(x, α, ∇uα )∇Tη (uα − Th (u)) ≤
f Tη (uα − Th (u))
D6
Ω
73
et pour η petit
Z
Z
f Tη (uα − Th (u)) ≤ η
Ω
ainsi
|f | ≤ ε,
Ω
Z
[a(x, α, ∇uα )∇(uα − u) ≤ ε.
D6
L’autre terme est
Z
Z
a(x, α, ∇u)∇(uα − u) =
D6
a(x, α, ∇Th (u))∇(Th (uα ) − Th (u))
D6
d’après la condition de croissance de a
|a(x, α, ∇Th (u))| ≤ (b(x) + |∇Th (u)|p−1 )
0
qui est donc borné dans Lp car h est déjà fixé et (Th (uα )) est borné dans W 1,p (Ω)
donc est convergent à une sous-suite près dans W 1,p (Ω) faible, sa limite étant Th (u)
car grâce au théorème de Rellich uα → u presque partout et donc Th (uα ) → Th (u)
presque partout donc
∇(Th (uα ) − Th (u)) → 0 dans Lp0 (Ω) faible
donc
Z
D6
a(x, α, ∇Th (u))∇(Th (uα ) − Th (u)) ≤ ε
lorsque α − α0 est petit, et donc
Z
Z
γ≤
[a(x, α, ∇uα ) − a(x, α, ∇u)]∇(uα − u) ≤ 2ε,
D6
D6
ce qui permet de conclure.
8. Existence et unicité des solutions entropiques
de problèmes paraboliques à données L1
Ce chapitre est la version française d’un article à paraı̂tre à Nonlinear Analysis TMA
[43].
La formulation classique des problèmes paraboliques dans le cas où les données
sont dans L1 n’assure pas l’unicité des solutions aussi nous présentons ici une
formulation appelée entropique permettant d’obtenir existence et unicité.
8.1 Position du problème
Il s’agit de résoudre l’équation parabolique
ut − div(a(t, x, ∇u)) = f dans ]0, T [×Ω
u = 0 sur ]0, T [×∂Ω
u(0, .) = u0 dans Ω
(8.1)
avec u0 dans L1 (Ω) et f dans L1 (]0, T [×Ω) où Ω est un ouvert borné de RN et a une
fonction de Carathéodory satisfaisant des conditions de coercitivité, de monotonie
et de croissance du type de celles de Leray-Lions, définissant un opérateur sur
Lp (]0, T [; W01,p (Ω)).
Boccardo et Gallouët [11] ont montré, dans le cas plus général où u0 ∈ M (Ω),
f ∈ M ([0, T ] × Ω) (pour O un ouvert M (O) = (C(O))0 est le dual de l’ensemble des
fonctions continues sur O muni de sa norme habituelle, c’est un espace de mesures),
et p > 2 − 1/(N + 1), qu’il existait une solution au sens suivant
\
u∈
Lq (]0, T [, W01,q (Ω))
q<
et
(8.2)
Z TZ
−
Ω
Z TZ
Z
u ϕt +
0
(p−1)(N +1)+1
N +1
a(t, x, ∇u)∇ϕ =
ϕ(0) du0 +
Ω
Z TZ
0
Ω
ϕ df
0
Ω
pour tout ϕ ∈ D([0, T [×Ω).
Cependant cette formulation n’assure pas l’unicité pour N > 2 : il suffit de
considérer le contre-exemple (( elliptique )) (voir [43] et chapitre 6) adapté à partir
76
Chap. 8
Solutions entropiques de problèmes paraboliques
de celui de Serrin [46]. Il existe A une matrice uniformément coercitive et bornée,
c’est-à-dire que aij (x) ∈ L∞ (Ω) et que
X
X
ξi aij (x) ξj ≥
ξi 2
∀(ξi ) ∈ RN pp x ∈ Ω,
i,j
i
et il existe v(x) non nul, tel que v ∈
on choisit ici ε < 1/N ) et qui vérifie
T
q < 2−ε
W01,q (Ω) (pour ε > 0 arbitrairement petit,
− div(A∇v) = 0 dans Ω
au sens des distributions, et
v = 0 sur ∂Ω.
Alors w(t, x) = v(x) vérifie
wt − div(A∇w) = 0 dans ]0, T [×Ω
w = 0 sur ]0, T [×∂Ω
w(0, .) = v dans Ω
T
1,q
q
2
au sens de (8.2) avec w ∈
+2 L (]0, T [, W0 (Ω)) or, de plus, v ∈ L (Ω)
q< N
N +1
(car ε < 1/N , voir [43]) donc il existe une solution variationnelle w
e de ce même
problème mais telle que w
e ∈ L2 (]0, T [; H01 (Ω)) (Lions et Magenes [35]). Comme
2
1
e ∈
w
(car v 6∈ H01 (Ω)), w et w
e sont distincts donc w = w − w
T 6∈ L (]0,q T [; H0 (Ω))
q
N +2 L (]0, T [, W0 (Ω)) est une solution non nulle de
q<
N +1
wt − div(A∇w) = 0 dans ]0, T [×Ω
w = 0 sur ]0, T [×∂Ω
w(0, .) = 0 dans Ω.
au sens de (8.2).
Afin de remédier à la non-unicité, une formulation entropique est proposée, celleci est proche de celle qui a été introduite pour le cas elliptique dans [4]. Dans le cas
où a ne dépend pas de t, l’existence et l’unicité de la solution entropique ont été
montrées, en utilisant la théorie des semi-groupes, par Andreu, Mazón, Segura de
León et Toledo [2].
Une autre formulation définissant des solutions dites renormalisées et assurant
aussi l’unicité est donnée par Blanchard et Murat [8]. Ces deux formulations conduisent à la même solution.
Donnons les hypothèses sur a, nous les appellerons (H) par la suite : a est une
fonction de Carathéodory, c’est-à-dire que
• a(t, x, ξ) : R × RN × RN → RN est mesurable en t ∈ R et x ∈ RN pour tout
ξ ∈ RN et continue en ξ ∈ RN pour presque tout t ∈ R et x ∈ RN . Nous
noterons a(t, x, ∇u) = a(t, x, ∇u(t, x)).
et a vérifie aussi des conditions de coercitivité, monotonie et croissance : il existe p
vérifiant 2 − 1/(N + 1) 0 tel que pour tout ξ et presque tout t et x on ait
a(t, x, ξ)ξ ≥ α|ξ|p
• Pour tout ξ et η et presque tout t et x on a
[a(t, x, ξ) − a(t, x, η)](ξ − η) > 0 pour ξ 6= η
0
• Il existe b(t, x) ∈ Lp (]0, T [×Ω), (où p0 = p/(p − 1)) et β > 0 tels que pour
tout ξ et presque tout t et x on ait
|a(t, x, ξ)| ≤ β(b(t, x) + |ξ|p−1 )
Ces hypothèses sont classiques (sauf p > 2 − 1/(N + 1)) pour l’étude des opérateurs
non linéaires sous forme divergentielle (voir Leray et Lions [33]).


x pour |x| ≤ k


k pour x ≥ k.
et sa primitive Θk : R → R+
Z
Θk (x) =
x
Tk (s) ds.
0
Nous utiliserons par la suite le résultat suivant (F. Mignot [28])
Z
d
Θk (v)
dans L1 (]0, T [)
hvt , Tk (v)i =
dt
Ω
qui implique
Z
T
Z
Z
hvt , Tk (v)i =
Θk (v(T )) −
0
Ω
Θk (v(0)) .
Ω
0
h., .i représente la dualité entre W −1,p (Ω) et W01,p (Ω). Il en sera de même par la suite
sauf mention contraire.
Définition : Pour f ∈ L1 (]0, T [×Ω), u0 ∈ L1 (Ω) et Ω ouvert borné de RN , on
appelle solution entropique de (8.1) une fonction u ∈ C([0, T ]; L1 (Ω)) telle que pour
tout k > 0 on ait Tk (u) ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) et qui vérifie
Z
Z
Z T
Θk (u − ϕ)(T ) − Θk (u0 − ϕ(0)) + hϕt , Tk (u − ϕ)i
Ω
Ω
0
Z TZ
Z TZ
(8.3)
+
a(t, x, ∇u)∇Tk (u − ϕ) ≤
f Tk (u − ϕ)
0
Ω
0
Ω
pour tout k > 0 et ϕ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω) ∩ C([0, T ]; L1 (Ω)) tel que
0
0
ϕt ∈ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)).
78
Chap. 8
Le résultat que nous prouvons ici est le théorème suivant
Théorème : Soient Ω ouvert borné de RN , f ∈ L1 (]0, T [×Ω), u0 ∈ L1 (Ω), et a
vérifiant (H), alors le problème (8.1) admet une et une seule solution entropique.
Nous rappelons tout d’abord comment est obtenue la solution de [11] et nous
précisons sa régularité et, dans les deux paragraphes suivants, nous montrons
l’existence puis l’unicité de la solution entropique.
8.2 La solution obtenue par approximation
La méthode employée, dans [11], pour montrer l’existence de solutions pour u0 ∈
M (Ω) et f ∈ M ([0, T ] × Ω) consiste à régulariser u0 et f par deux suites (un0 ) et (fn )
0
0
appartenant respectivement à L2 (Ω) ⊂ L1 (Ω) et Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)) ∩ L1 (]0, T [×Ω)
ce qui donne une solution un de (8.1) (avec fn et un0 au lieu de f et u0 ) puis à passer
à la limite pour n → ∞.
Plus précisément, ici f ∈ L1 (]0, T [×Ω) ⊂ M ([0, T ]×Ω) soit alors (fn ) une suite de
0
0
fonctions de L1 (]0, T [×Ω) ∩ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)) telle que kfn kL1 ≤ kf kL1 et fn → f
dans L1 (]0, T [×Ω) et soit un0 une suite de L2 (Ω) ⊂ L1 (Ω) telle que kun0 kL1 ≤ ku0 kL1
et un0 → u0 dans L1 (Ω). Soit un la solution (( classique )) (voir Lions [34]) de
unt − div(a(t, x, ∇un )) = fn dans ]0, T [×Ω
un = 0 sur ∂Ω
un (0, .) = un0 dans Ω
c’est-à-dire que l’on a
0
0
un ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) et unt ∈ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω))
et que un vérifie
Z
(8.4)
0
T
hunt , ϕi
Z TZ
Z
a(t, x, ∇un )∇ϕ =
+
0
Ω
T
hfn , ϕi
0
pour tout ϕ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) et que un (0) = un0 . Il est montré dans [11] que (un )
+1)+1
est borne dans Lq (]0, T [, W01,q (Ω)) pour tout q < (p−1)(N
et que Tk (un ) est borné
N +1
1,p
p
dans L (]0, T [, W0 (Ω)) pour tout k > 0 aussi
il existe u tel
T (à une sous suite près)
q
que (un ) converge faiblement vers u dans q <[(p−1)(N +1)+1]/(N +1) L (]0, T [, W01,q (Ω))
et Tk (un ) converge faiblement vers Tk (u) dans Lp (]0, T [, W01,p (Ω)) pour tout k > 0.
Pour montrer que u est une solution de (8.1), il nous reste à montrer la propriété
suivante.
Propriété : La suite (∇un ) converge presque partout vers ∇u (éventuellement à
une sous-suite près).
79
Démonstration : Montrons que (∇un ) est de Cauchy en mesure, ce qui
entraı̂nera ∇un → ∇u presque partout, pour une sous suite (voir chapitre 2). Cela
consiste à prouver que
∀δ > 0, ∀ε > 0, ∃n0 tel que ∀n, m ≥ n0
mes{(t, x); |(∇un − ∇um )(t, x)| ≥ δ} ≤ ε.
Pour cela, fixons δ > 0 et ε > 0, et remarquons que pour k > 0 et η > 0 nous avons
{(t, x); |(∇un −∇um )(t, x)| ≥ δ} ⊂
{|∇un | ≥ k} ∪ {|∇um | ≥ k} ∪ {|un − um | ≥ η}
∪ {|(∇un − ∇um )| ≥ δ, |∇un | ≤ k, |∇um | ≤ k, |un − um | ≤ η}
nous appellerons A1 à A4 les quatre ensembles du membre de droite. On pourra
remarquer, dans la suite de la démonstration, que seule la majoration de la mesure de
A4 fait intervenir (8.4), l’équation dont un et um sont solutions. Les autres majorations
utilisent le fait que (un ) et (∇un ) sont bornées.
Majorons mes(A1 ) et mes(A2 ), nous avons
Z TZ
Z
|∇un | ≥
|∇un | ≥ k mes(A1 )
0
Ω
donc
1
mes(A1 ) ≤
k
A1
Z TZ
|∇un | ≤
0
Ω
C
≤ε
k
pour k assez grand, puisque (∇un ) est borné dans Lq (]0, T [×Ω) pour q <[(p − 1)(N +
1) + 1]/(N + 1) et donc dans L1 (]0, T [×Ω). Fixons donc k tel que mes(A1 ) ≤ ε et
mes(A2 ) ≤ ε (pour tous n, m ∈ N).
Majorons maintenant mes(A3 ), nous avons
Z TZ
Z
|(un − um )| ≥
|(un − um )| ≥ η mes(A3 )
0
Ω
A3
il suffit donc de montrer que (un ) est de Cauchy dans L1 (]0, T [×Ω). Comme (un ) est
borné dans Lq (]0, T [; W01,q (Ω)) pour q <[(p − 1)(N + 1) + 1]/(N + 1), div(a(t, x, ∇un ))
est borné dans Lq (]0, T [; W −1,q (Ω)) pour tout q <[(p − 1)(N + 1) + 1]/(p − 1)(N + 1).
De plus L1 (Ω) ⊂ W −1,q (Ω) pour tout q < N/(N − 1), et comme p > 2 − 1/(N + 1), on
a [(p − 1)(N + 1) + 1]/(p − 1)(N + 1) < N/(N − 1) donc (fn ) qui est, par hypothèse,
borné dans L1 (]0, T [×Ω), l’est aussi dans L1 (]0, T [; W −1,q (Ω)) pour q <[(p − 1)(N +
1) + 1]/(p − 1)(N + 1). Or unt = fn + div(a(t, x, ∇un )) donc (unt ) est borné dans
L1 (]0, T [; W −1,q (Ω)) pour tout q <[(p − 1)(N + 1) + 1]/(p − 1)(N + 1). Ainsi
(un ) est borné dans Lq (]0, T [; W01,q (Ω))
(unt ) est borné dans L1 (]0, T [; W −1,q (Ω))
donc, d’après un lemme de compacité du type de celui d’Aubin (voir, par exemple,
Simon [47]), (un ) converge (à une sous-suite près) dans Lq (]0, T [; Lq (Ω)) pour tout
q <[(p − 1)(N + 1) + 1]/(p − 1)(N + 1) et donc dans L1 (]0, T [×Ω). Ainsi la suite (un )
80
Chap. 8
est convergente (à une sous-suite près) dans L1 (]0, T [×Ω) et est donc de Cauchy dans
L1 (]0, T [×Ω) donc pour η donné, il existe n0 tel que pour n, m ≥ n0 on ait
mes(A3 ) ≤ ε.
Il reste donc à majorer mes(A4 ), et à choisir η. D’après la monotonie de a, nous
avons [a(t, x, ξ1 ) − a(t, x, ξ2 )](ξ1 − ξ2 ) > 0 pour ξ1 − ξ2 6= 0 or l’ensemble des (ξ1 , ξ2 )
tels que |ξ1 | ≤ k, |ξ2 | ≤ k et |ξ1 − ξ2 | ≥ δ est compact et a est continue en ξ pour
presque tout t et x, donc [a(t, x, ξ1 ) − a(t, x, ξ2 )](ξ1 − ξ2 ) atteint sur ce compact son
minimum que nous noterons γ(t, x), qui vérifie γ(t, x) > 0 pp. De plus grâce à un
résultat d’intégration (voir chapitre 2), il existe ε0 > 0, tel que pour tout ensemble
mesurable A ⊂ ]0, T [×Ω
Z
(8.5)
γ ≤ ε0 =⇒ mes(A) ≤ ε
A
R
pour obtenir mes(A4 ) ≤ ε, il suffit donc de montrer que A4 γ ≤ ε0 . Par définition de
γ et de A4 , nous avons
Z
Z
γ≤
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )](∇un − ∇um )1{|un −um |≤η} ,
A4
A4
de plus le terme intégré est positif et ∇Tη (un − um ) = (∇un − ∇um )1{|un −um |≤η} , nous
avons donc
Z
Z TZ
γ≤
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )]∇Tη (un − um )
A4
0
Ω
et si l’on choisit ϕ = Tη (un − um ) ∈ Lp (]0, T [; W 1,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω) qui vérifie
0
0
Tη (un − um )t ∈ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)) dans l’équation (8.4) écrite avec un puis avec
um on obtient
Z T
Z TZ
h(un − um )t , Tη (un − um )i +
0
0 Ω
Z TZ
=
(fn − fm ) Tη (un − um )
0
Ω
soit (Θη est la primitive de Tη )
Z
Z
Θη (un − um )(T ) − Θη (un − um )(0)
Ω
Ω
Z TZ
Z TZ
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )]∇Tη (un − um ) =
(fn − fm ) Tη (un − um )
+
0
Ω
0
Ω
le premier terme est positif (Θη (x) ≥ 0), et Θη (x) ≤ η|x| donc
Z TZ
0 Ω
Z
Z TZ
|fn − fm | + η |un0 − um
≤η
0 | ≤ 2 η (kf kL1 + ku0 kL1 )
0
Ω
Ω
81
R
aussi pour η suffisamment petit, on a A4 γ ≤ ε0 et donc mes(A4 ) ≤ ε (grâce à (8.5)).
Ainsi η étant fixé, la majoration de mes(A3 ) nous donne n0 tel que pour tout
n, m ≥ n0 on ait mes(A3 ) ≤ ε et donc
mes({|(∇un − ∇um )(x)| ≥ δ}) ≤ 4ε,
la convergence en mesure de (∇un ) vers ∇u est donc démontrée, ainsi que la propriété
(après extraction d’une sous-suite).
Ceci achève de prouver que u est solution de (8.2). Par la suite nous avons besoin
de la propriété suivante.
Propriété : La suite (un ) est de Cauchy dans C([0, T ]; L1 (Ω)), aussi u ∈
C([0, T ]; L1 (Ω)) et il y a convergence de un vers u dans C([0, T ]; L1 (Ω)).
Démonstration : Soient m et n deux entiers, un et um vérifient alors (d’après
(8.4))
Z T
Z TZ
Z TZ
h(un − um )t , ϕi +
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )]∇ϕ =
(fn − fm ) ϕ
0
0
Ω
0
Ω
pour tout ϕ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω).
Prenons ϕ = T1 (un − um )1{[0,t[} , avec t ≤ T , on a bien ϕ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩
L∞ (]0, T [×Ω) donc
Z t
Z Z
t
h(un − um )t , T1 (un − um )i +
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )]∇T1 (un − um )
0
0 Ω
Z
Z Z
t
(8.6)
|fn − fm |
(fn − fm ) T1 (un − um ) ≤ T
=
Ω
0 Ω
et rappelons que Θ1 est la primitive de T1 , d’où
Z
h(un − um )t , T1 (un − um )i =
Θ1 (un − um )
Ω
t
or un ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) donc
Z t
Z
Z
h(un − um )t , T1 (un − um )i = [Θ1 (un − um )](t) − [Θ1 (un − um )](0)
0
Ω
Ω
de plus ∇T1 (un − um ) = ∇(un − um )1{|un −um |≤1} aussi
Z Z
t
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )]∇T1 (un − um ) =
0 Ω
Z Z
t
[a(t, x, ∇un ) − a(t, x, ∇um )]∇(un − um )1{|un −um |≤1} ≥ 0
0 Ω
grâce à la monotonie de a, si bien que (8.6) conduit à
Z
Z
Z
n
m
[Θ1 (un − um )](t) − Θ1 (u0 − u0 ) ≤ T
|fn − fm |
Ω
Ω
Ω
82
Chap. 8
soit
Z
Z
Θ1 (un0
[Θ1 (un − um )](t) ≤
Ω
−
um
0 )
Z
|fn − fm |
+T
Ω
Ω
or
Θ1 (x) ≤ |x|
donc
Z
Z
[Θ1 (un − um )](t) ≤
Ω
|un0
−
um
0 |
Z
|fn − fm |
+T
Ω
Ω
pour tout t ≤ T . Notons an,m le second membre, aussi
Z
Z
Z
|un − um |(t)
2
|un − um | (t) +
≤ [Θ1 (un − um )](t) ≤ an,m
2
|un −um | < 1
|un −um | > 1
Ω
et
Z
Z
Z
|un − um |(t) =
|un − um |(t) +
|un −um | < 1
Ω
|un − um |(t)
|un −um | > 1
12
1
|un − um | (t) mes(Ω) 2 + 2 an,m
Z
2
≤
|un −um | < 1
1
1
≤ (2 mes(Ω)) 2 an,m 2 + 2 an,m .
Comme (fn ) et (un ) convergent dans L1 on a an,m → 0 pour m et n → ∞ donc
(un ) est de Cauchy dans C([0, T ]; L1 (Ω)), aussi u ∈ C([0, T ]; L1 (Ω)) et ∀ t ≤ T on a
un (t) → u(t) dans L1 (Ω). Ce qui achève la démonstration de cette propriété.
8.3 Existence d’une solution entropique
Nous pouvons maintenant montrer que la limite u de la suite (un ), définie
précédemment, est une solution entropique de (8.1), c’est-à-dire qu’elle vérifie (8.3).
La solution u de (8.2), obtenue au paragraphe précédent, est limite de (un ) qui
vérifie (8.4), c’est-à-dire,
Z
(8.7)
T
hunt , ψi
Z TZ
a(t, x, ∇un )∇ψ =
+
0
Z
0
Ω
T
hfn , ψi
0
pour tout ψ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)). Choisissons ψ = Tk (un − ϕ) où ϕ vérifie
0
0
ϕ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω) et ϕt ∈ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)) : on vérifie
aisément que ψ ∈ Lp (]0, T [×Ω) et ∇ψ ∈ Lp (]0, T [×Ω) car
∇ψ = 1{|un −ϕ|≤k} ∇(un − ϕ)
si bien que ψ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)). Ce choix de ψ dans (8.7) est donc possible et,
nous obtenons
Z TZ
Z T
Z TZ
n
fn Tk (un − ϕ)
hut , Tk (un − ϕ)i +
a(t, x, ∇un )∇Tk (un − ϕ) =
0
0
Ω
0
Ω
8.3 Existence d’une solution entropique
83
et comme unt = (un − ϕ)t + ϕt on a
Z T
Z
Z
Z T
n
hut , Tk (un − ϕ)i = [Θk (un − ϕ)](T ) − [Θk (un − ϕ)](0) + hϕt , Tk (un − ϕ)i
0
Ω
Ω
0
ce qui conduit à
Z
Z
Z T
[Θk (un − ϕ)](T ) − [Θk (un − ϕ)](0) + hϕt , Tk (un − ϕ)i
Ω
Ω
0
Z TZ
Z TZ
(8.8)
+
a(t, x, ∇un )∇Tk (un − ϕ) =
fn Tk (un − ϕ)
0
Ω
0
Ω
(c’est la formulation entropique pour un avec une égalité). Etudions le passage à la
limite pour n → ∞ de chacun des termes.
On a vu que un → u dans C([0, T ]; L1 (Ω)), donc ∀ t ≤ T , un (t) → u(t) dans
L1 (Ω). Comme Θk est lipschitzienne de coefficient 1, on a, lorsque n → ∞
Z
Z
[Θk (un − ϕ)](T ) → [Θk (u − ϕ)](T )
Ω
et
R
Ω
Ω
R
[Θk (un − ϕ)](0) = Ω Θk (un0 − ϕ(0)) et un0 → u0 dans L1 (Ω) donc de même
Z
Z
[Θk (un − ϕ)](0) →
Θk (u0 − ϕ(0))
Ω
Ω
RT
Passons maintenant à la limite dans 0 hϕt , Tk (un − ϕ)i. Utilisons l’hypothèse
ϕ ∈ L∞ (]0, T [×Ω), et notons M = kϕk∞ , alors Tk (un − ϕ) = Tk (Tk+M (un ) − ϕ).
0
0
De plus ϕt ∈ Lp (]0, T [; W −1,p (Ω)), il suffit donc de montrer que, Tk (Tk+M (un ) −
ϕ) → Tk (Tk+M (u) − ϕ) dans Lp (]0, T [; W 1,p (Ω)) faible. La convergence dans
Lp (]0, T [; W 1,p (Ω)) faible signifie que 1{|Tk+M (un )−ϕ|≤k} ∇(Tk+M (un )−ϕ) converge dans
Lp (]0, T [×Ω) faible ce qui bien le cas puisque ∇Tk+M (un ) converge dans Lp (]0, T [×Ω)
faible, et puisqu’à une sous-suite près Tk+M (un ) converge presque partout. Donc
Z T
Z T
hϕt , Tk (Tk+M (un ) − ϕ)i →
hϕt , Tk (Tk+M (u) − ϕ)i
0
0
c’est-à dire que
Z
T
Z
0
T
hϕt , Tk (u − ϕ)i.
hϕt , Tk (un − ϕ)i →
0
Le dernier des termes de gauche peut aussi s’écrire
Z TZ
a(t, x, ∇Tk+M (un ))∇Tk (Tk+M (un ) − ϕ)
0 Ω
Z TZ
a(t, x, ∇Tk+M (un ))∇Tk+M (un ) 1{|Tk+M (un )−ϕ|≤k}
=
0 Ω
Z TZ
a(t, x, ∇Tk+M (un ))∇ϕ 1{|Tk+M (un )−ϕ|≤k} .
−
0
Ω
84
Chap. 8
Comme Tk+M (un ) est borné dans Lp (]0, T [, W01,p (Ω)), a(t, x, ∇Tk+M (un )) est borné
0
dans Lp (]0, T [×Ω) et donc converge faiblement. De plus ∇Tk+M (un ) → ∇Tk+M (u)
pp, donc a(t, x, ∇Tk+M (un )) → a(t, x, ∇Tk+M (u)) pp (car ∇Tk+M (un ) → ∇Tk+M (u)
0
presque partout) et dans Lp (]0, T [×Ω) faible. Et comme, grâce à la convergence
dominée, ∇ϕ 1{|Tk+M (un )−ϕ|≤k} converge dans Lp (]0, T [×Ω), on a
Z TZ
a(t, x, ∇Tk+M (un ))∇ϕ 1{|Tk+M (un )−ϕ|≤k}
0 Ω
Z TZ
→
a(t, x, ∇Tk+M (u))∇ϕ 1{|Tk+M (u)−ϕ|≤k}
0
Ω
l’autre terme étant positif, le lemme de Fatou nous donne (nous avons montré la
convergence presque partout de (∇un ) ce qui entraı̂ne celle de ∇Tk+M (un ))
Z TZ
a(t, x, ∇Tk+M (u))∇Tk+M (u)1{|Tk+M (u)−ϕ|≤k}
0 Ω
Z TZ
≤ lim
a(t, x, ∇Tk+M (un ))∇Tk+M (un ) 1{|Tk+M (un )−ϕ|≤k}
0
Ω
(où lim indique la limite inférieure).
R TR
Enfin il reste à passer à la limite dans 0 Ω fn Tk (un −ϕ). Comme |Tk (un −ϕ)| ≤ k,
Tk (un − ϕ) converge vers Tk (u − ϕ) dans L∞ (]0, T [×Ω) faible ∗ par convergence
dominée et, de plus, fn → f dans L1 (]0, T [×Ω) donc
Z TZ
Z TZ
fn Tk (un − ϕ) →
f Tk (u − ϕ).
0
Ω
0
Ω
Et finalement grâce à (8.8) nous obtenons
Z
Z T
Z
[Θk (u − ϕ)](T ) − Θk (u0 − ϕ(0)) + hϕt , Tk (u − ϕ)i
Ω
Ω
0
Z TZ
Z TZ
+
a(t, x, ∇u)∇Tk (u − ϕ) ≤
f Tk (u − ϕ).
0
Ω
0
Ω
Remarque : On peut, en fait, montrer la convergence forte de ∇Th (un ) vers
∇Th (u) dans Lp (]0, T [×Ω) (voir [7], et [39], [36] pour l’elliptique), ce qui conduit à
une égalité dans la formulation entropique, cependant l’inégalité est suffisante pour
montrer l’unicité.
8.4 Unicité de la solution entropique
Nous allons montrer ici l’unicité de la solution entropique (c’est-à-dire une
solution de (8.3)). Soit u la solution entropique construite précédemment et soit v une
autre solution entropique, nous allons montrer que u = v ce qui donnera l’unicité.
Cette solution u n’est, a priori, pas unique : elle pourrait dépendre du choix de
(fn ) (l’approximation de f ) et, de plus, plusieurs sous-suites ont été extraites lors de
85
la construction de u. Cependant l’égalité u = v montre aussi l’unicité de la solution
u construite par approximations.
On souhaite choisir ψ = Th (un ) comme fonction test dans (8.3), cependant Th
n’est pas assez régulier, si bien que (Th )0 (un ) 6∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)), aussi introduisons
nous, pour h > ε > 0, Thε ∈ C 2 (R, R) tel que
• (Thε )0 (x) = 0 si |x| ≥ h,
• (Thε )0 (x) = 1 si |x| ≤ h − ε,
• 0 ≤ (Thε )0 ≤ 1,
ainsi Thε (un ) ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω) ∩ C([0, T ]; L1 (Ω)) et (Thε )0 (un ) ∈
Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) (car (Thε )0 et (Thε )00 ∈ L∞ ), l’équation (8.3) nous donne alors (par
un argument classique de régularisation)
Z
Z
Z T
ε
ε n
Θk (v − Th (un ))(T ) − Θk (u0 − Th (u0 )) + h(un )t , (Thε )0 (un ) Tk (v − Thε (un ))i
Ω
Ω
0
Z TZ
Z TZ
ε
(8.9)
f Tk (v − Thε (un )) .
+
a(t, x, ∇v) ∇Tk (v − Th (un )) ≤
0
0
Ω
Ω
RT
Eliminons 0 h(un )t , (Thε )0 (un ) Tk (v − Thε (un ))i, de (8.9) pour cela, choisissons
ϕ = (Thε )0 (un )ψ dans (8.4) avec ψ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)) ∩ L∞ (]0, T [×Ω) si bien que
ϕ ∈ Lp (]0, T [; W01,p (Ω)), on a donc
Z T
Z TZ
ε 0
h(un )t , (Th ) (un )ψi +
(Thε )00 (un )ψ a(t, x, ∇un )∇un
0
0 Ω
Z TZ
Z TZ
ε 0
(8.10)
+
(Th ) (un ) a(t, x, ∇un )∇ψ =
fn (Thε )0 (un ) ψ
0
Ω
0
Ω
Choisissons ψ = Tk (v − Thε (un )), alors de (8.9) et (8.10), nous obtenons
Z
Z
ε
Θk (v − Th (un ))(T ) − Θk (u0 − Thε (un0 ))
Ω
Ω
Z TZ
−
(Thε )00 (un )Tk (v − Thε (un )) a(t, x, ∇un )∇un
0 Ω
Z TZ
Z TZ
ε 0
ε
−
(Th ) (un ) a(t, x, ∇un )∇Tk (v − Th (un )) +
a(t, x, ∇v) ∇Tk (v − Thε (un ))
0 Ω
0 Ω
Z TZ
Z TZ
fn (Thε )0 (un )Tk (v − Thε (un )).
f Tk (v − Thε (un )) −
≤
0
Ω
0
Ω
Nous allons maintenant faire tendre successivement ε vers 0, n vers ∞ puis h vers
∞. Commençons par ε → 0. Notons Aε1 à Aε7 ces sept termes, nous obtenons alors
Aε1 + Aε2 + Aε3 + Aε4 + Aε5 ≤ Aε6 + Aε7
et donc
Aε1 + Aε2 + Aε4 + Aε5 ≤ Aε6 + Aε7 + |Aε3 |.
comme |Θk (v − Thε (un ))(T )| ≤ k[|v| + |Th (un )|](T ), (Thε )0 (x) ≤ Th0 (x) et |∇Tk (v −
Thε (un ))| ≤ [|∇Tk+h (v)| + |∇Th (un )], les quatre termes du membre de gauche et les
86
Chap. 8
deux premiers du membre de droite passent à la limite pour ε → 0 grâce au théorème
de convergence dominée de Lebesgue.
Majorons |Aε3 | (ces calculs s’inspirent de ceux de [18]), soit Rhε fonction paire telle
que Rhε (0) = 0 et (Rhε )0 (x) = 1 − (Thε )0 (x) pour x > 0 (Rhε ∈ C 2 (R, R)) et choisissons
ϕ = (Rhε )0 (un ) dans (8.4) alors
Z
Rhε (un )(T )
Z
−
Rhε (un0 )
Z TZ
+
0
Ω
Ω
(Rhε )00 (un ) a(t, x, ∇un )∇un
Z TZ
=
0
Ω
fn (Rhε )0 (un )
Ω
or Rhε (x) ≥ 0 donc
Z TZ
0
et
R
(Rhε )00 (un ) a(t, x, ∇un )∇un
0
|fn |1{|un |≥h−ε} +
0
R
Ω
Z
≤
Ω
Rε (un ) ≤
Ω h 0
Z TZ
Z TZ
Ω
Rhε (un0 )
Ω
|un0 |1{|un0 |≥h−ε} et |(Thε )00 (x)| = (Rhε )00 (x) donc
|(Thε )00 (un )|
Z TZ
(Rhε )00 (un ) a(t, x, ∇un )∇un
0 Ω
Z
Z TZ
|fn |1{|un |≥h−ε} + |un0 |1{|un0 |≥h−ε} .
≤
a(t, x, ∇un )∇un =
Ω
0
Ω
Ω
Donc
|Aε3 |
Z TZ
Z
|fn |1{|un |≥h−ε} +
≤k
0
Ω
Ω
|un0 |1{|un0 |≥h−ε}
R TR
R
qui converge vers k( 0 Ω |fn |1{|un |≥h} + Ω |un0 |1{|un0 |≥h} ) lorsque ε → 0, par convergence
dominée.
Il reste à observer, pour Aε4 , que
(Th )0 (un )a(t, x, ∇un ) = 1{|un |≤h} a(t, x, ∇un )
= a(t, x, ∇un 1{|un |≤h} ) = a(t, x, ∇Th (un ))
car la coercitivité de a entraı̂ne a(t, x, 0) = 0, pour obtenir
Z
Z
Θk (v − Th (un ))(T ) − Θk (u0 − Th (un0 ))
Ω
Ω
Z TZ
[a(t, x, ∇v) − a(t, x, ∇Th (un ))]∇Tk (v − Th (un ))
+
0 Ω
Z TZ
Z TZ
Z
0
n
(f − fn (Th ) (un ))Tk (v − Th (un )) + k
|fn |1{|un |≥h} + |u0 |1{|un0 |≥h}
≤
0
Ω
0
Ω
Ω
Faisons maintenant tendre n → ∞, nous avons
= [a(t, x, ∇v) − a(t, x, ∇Th (un ))]∇(v − Th (un ))1{|v−Th (un )|≤k} ≥ 0
87
et nous avons montré que ∇un → ∇u presque partout donc ∇Th (un ) → ∇Th (u)
presque partout donc grâce au lemme de Fatou nous avons
Z TZ
[a(t, x, ∇v) − a(t, x, ∇Th (u))]∇Tk (v − Th (u))
0 Ω
Z TZ
≤ lim
0
Ω
et les autres termes convergent (à une sous-suite près, pour avoir la domination de
(fn ) et (un0 ) (voir chapitre 2)) grâce au théorème de convergence dominée de Lebesgue
quand n → ∞ donc
Z
Z
Θk (v − Th (u))(T ) − Θk (u0 − Th (u0 ))
Ω
Ω
Z TZ
+
[a(t, x, ∇v) − a(t, x, ∇Th (u))]∇Tk (v − Th (u))
0 Ω
Z TZ
Z TZ
Z
0
≤
f (1 − (Th ) (u))Tk (v − Th (u)) + k
|f |1{|u|≥h} + |u0 |1{|u0 |≥h}
0
Ω
0
Ω
Ω
Enfin faisons h → ∞, nous avons v(T ) et u(T ) ∈ L1 (Ω) et u0 ∈ L1 (Ω) or |Θk (v −
Th (u))(T )|
R ≤ k(|v(T )| + |u(T )|) et |Θ
R k (u0 − Th (u0 ))| ≤ k|uR0 | donc par convergence
dominée Ω Θk (u0 − Th (u0 )) → 0 et Ω Θk (v − Th (u))(T ) → Ω Θk (v − u)(T ) et
Z TZ
|f |1{|u|≥h} +
0
Z
Ω
|u0 |1{|u0 |≥h}
→0
Ω
et 1 − Th0 (u) → 0 presque partout donc par convergence dominée
Z TZ
0
f (1 − (Th )0 (u))Tk (v − Th (u)) → 0
Ω
donc
Z TZ
Z
[a(t, x, ∇v) − a(t, x, ∇v)]∇Tk (v − u) ≤ 0
Θk (v − u)(T ) +
Ω
0
Ω
et Θk (x) ≥ 0 donc, par coercitivité de a, Tk (u − v) = 0 presque partout pour tout k
et donc u = v presque partout, ce qui achève la démonstration.
Part IV
Seconds membres mesure :
propriétés
89
9. Etude des singularités de la solution d’une
équation à second membre mesure
Pour Ω = B1 (RN ), la boule unité de RN , il s’agit de comparer, en 0, les solutions de
(9.1)
−∆w = δ
−∆v = f ∈ L1 (Ω)
vérifiant des conditions de Dirichlet homogène sur ∂Ω. On pourrait supposer qu’en
0, w l’emporte sur v (i.e. qu’elle explose plus au sens w − v → +∞ pour x → 0), il
n’en est rien comme le montre l’exemple suivant qui vérifie
Propriétés : Soit Ω = B1 (RN ), la boule unité de RN , soient w et v solutions de
(9.1) alors
w − v 6→ +∞ en 0,
Tk (w − v) non continu en 0,
Z
Z
1
1
(w − v) = +∞,
lim
Tk (w − v) = k,
lim
ε→0 |Bε | Ω
ε→0 |Bε | Ω
où Bε = {x ∈ RN ; |x| < ε}.
9.1 Construction de w et v
La solution w, radiale, est bien connue : pour N > 2, on a w = CN (1/rN −2 − 1)
où r = |x|, et CN est une constante.
Pour construire v, nous allons utiliser u une solution de −∆u = g avec g ∈ L1 (Ω),
qui vaut ∞ en 0. Nous reprenons la solution d’Orsina [40] : considérons u radiale telle
que u(1) = 0 et
−1
u0 (r) = N −1
r
(− ln(r/e))θ−1
avec 1 < θ < 2 − 1/N . Pour une fonction radiale, le laplacien devient
u0
00
− u + (N − 1)
=g
r
d’où
g=
(θ − 1)e
rN (− ln(r/e))θ
92
Chap. 9
Etude des singularités de la solution . . .
donc g est positif et (avec DN = |B1 |)
Z
DN
<∞
g=
θ−1
Ω
d’où g ∈ L1 (Ω).
Soit ϕn radiale régulière telle que ϕn (r) = 1 pour r ≤ 1/4n2 et 0 pour r ≥ 1/3n2 .
Alors u ϕn est solution de
−∆(u ϕn ) = g ϕn − 2∇u · ∇ϕn − u ∆ϕn
et comme g ∈ L1 (Ω), u ∈ L1 (Ω), ∇u ∈ L1 (Ω), ϕn ∈ L∞ (Ω), ∇ϕn ∈ L∞ (Ω) et
∆ϕn ∈ L∞ (Ω), on a
gn = g ϕn − 2∇u · ∇ϕn − u∆ϕn ∈ L1 (Ω)
et u ϕn (0) = u(0) = ∞. Soient un = u ϕn / max(1, kgn k1 ) et fn = gn / max(1, kgn k1 ),
donc un est solution de
−∆un = fn ,
le support de un est inclus dans la boule de rayon 1/3n2 et kfn k ≤ 1.
Soient xn = (1/n, 0, . . . , 0) et yn = (1/n − 1/3n2 , 0, . . . , 0), ainsi yn+1 < xn+1 < yn
2
< xn . Posons maintenant
P vn (x) = un (x − xn )/n (alors vn (yn ) = 0 compte-tenu du
support de un ), et v = n≥1 vn donc v vérifie
−∆v = f =
X 1
f (. − xn )
2 n
n
n≥1
et comme kfn (. − xn )k1 = kfn k1 ≤ 1,
kf k1 ≤
X 1
<∞
2
n
n≥1
donc f ∈ L1 (Ω). De plus les supports des vn sont disjoints donc v(xn ) = ∞, et
v(yn ) = 0, ainsi v n’est pas continue en 0 (puisque xn et yn → 0 lorsque n → ∞).
9.2 Propriétés de w − v
Considérons maintenant w − v qui est solution de
−∆(w − v) = δ − f
et qui vérifie (w −v)(xn ) = CN /xn N −2 −∞ = −∞ et (w −v)(yn ) = CN /(yn )N −2 −0 =
CN nN −2 /(1 − 1/3n)N −2 ≥ CN nN −2 ainsi
(w − v)(xn ) = −∞,
(w − v)(yn ) ≥ CN nN −2
9.2 Propriétés de w − v
93
donc w − v n’a pas de valeur en 0 et Tk (w − v)(xn ) = −k alors que Tk (w − v)(yn ) =
Tk (nN −2 /(1 − 1/3n)N −2 ) = k pour n assez grand, soit
Tk (w − v)(xn ) = −k,
Tk (w − v)(yn ) = k
pour n assez grand, donc Tk (w − v) n’est pas continu en 0.
On vient de voir que w − v n’est pas continu en 0, cependant
Z
1
(w − v) = +∞
lim
ε→0 |Bε | B
ε
En effet
1
|Bε |
Z
1
(w − v) =
|Bε |
Bε
Z
1
w−
|Bε |
Bε
Z
v
Bε
et d’une part (si DN = |B1 |)
Z ε
Z
Z
1
1
1
1
1
w = CN
(
− 1)dx = CN
r dr − 1 = CN
−1
Bε Bε
|Bε | Bε rN −2
εN 0
2εN −2
et d’autre part
X 1 Z
X 1 Z
v=
vn =
vn
2
2
n
n
Bε
B
B
ε
ε
n≥1
Z
n≥1/ε
or u est positif donc un et vn aussi et 0 ≤ ϕn ≤ 1 donc
Z
Z
Z
Z
1
u ϕn ≤
u
vn ≤
un =
max(1, kgn k1 ) Bε
Bε
Bε
Bε
donc
1
|Bε |
Z
v≤
Bε
Rr
1
1
1
1
r
u0 (car u(1) = 0) et (− ln(r/e)) ≥ 1 pour r ≤ 1
1
1
−1
dr =
−1
rN −1
N − 2 rN −2
ainsi
u≤
donc
1
|Bε |

n≥1/ε
Rr
u0 + u(1) =
Z r
Z
0
u(r) =
u ≤
Comme u(r) =
donc

X
1
1
u 
.
|Bε | Bε
n2
Z
Z
1
w
(N − 2)CN
1
u≤
N −2
Bε
1
2εN −2
−1
si bien que
1
|Bε |
Z
v≤
Bε
1
N −2
1
2εN −2


X
1
ε
1
≤
−1 
−1
n2
N − 2 2εN −2
n≥1/ε
94
Chap. 9
Etude des singularités de la solution . . .
car le reste de la série est inférieur à ε. D’où
Z
1
(w − v) = ∞.
lim
ε→0 |Bε | B
ε
Montrons maintenant que
Z
1
lim
ε→0 |Bε |
Tk (w − v) = k.
Bε
Comme w − v ne peut être négative que dans le support de v qui est la réunion des
translatés des B1/3n2 (c’est-à-dire le support des vn ) et qu’en dehors, w − v ≥ k si ε
est assez petit, on a
Z
Z
Z
Tk (w − v) ≥
k+ S
−k
S
Bε −
Bε
n≥1/ε (B1/3n2 +xn )
n≥1/ε (B1/3n2 +xn )
(où B1/3n2 + xn désigne le translaté de B1/3n2 par xn ), soit
Z
Z
Z
Tk (w − v) ≥
k−2 S
Bε
Bε
k
n≥1/ε (B1/3n2 +xn )


≥ k |Bε | − 2
X
|B1/3n2 |
n≥1/ε
or |Bε | = DN εN (si DN = |B1 |) et
X
|B1/3n2 | = DN
n≥1/ε
donc
Z
X 1 N
DN ε2N −1
≤
3n2
3N (2N − 1)
n≥1/ε
Tk (w − v) ≥ k DN (εN − Cε2N −1 ) ≥ k DN εN (1 − CεN −1 )
Bε
d’où
1
|Bε |
Z
Tk (w − v) ≥ k(1 − CεN −1 )
Bε
et Tk (w − v) ≤ k donc
1
|Bε |
et finalement
Z
1
lim
ε→0 |Bε |
Tk (w − v) ≤ k
Bε
Z
Tk (w − v) = k.
Bε
Ce qui achève la démonstration des propriétés de w − v.
10. Espaces de Lorentz
Les espaces de Lebesgue ou de Sobolev sont insuffisants pour distinguer les solutions
des équations elliptiques à second membre L1 et mesure : en effet, il existe u et v
solutions de
(10.1)
−∆u = δ
−∆v = f ∈ L1
(10.2)
N
dans Ω la boule unité de R
des conditions homogènes de Dirichlet sur
T , satisfaisant
1,N/(N −1)
1,q
∂Ω, et telles que u et v ∈ q < N W0 (Ω), mais u et v 6∈ W0
(Ω). La solution
N −1
u est la fonction (bien connue) de Green, et la fonction v est due à Orsina [40]. Ces
deux fonctions appartiennent aussi à un même espace de Macinkiewicz.
Comme ces espaces ne permettent pas de distinguer ces deux fonctions, il pourrait
être intéressant de considérer une famille plus fine d’espaces et en particulier les
espaces de Lorentz. Nous allons montrer que u et v n’appartiennent pas aux mêmes
espaces, mais que l’on peut construire w solution de
−∆w = g ∈ L1
(10.3)
appartenant aux mêmes espaces que u. Les espaces de Lorentz sont donc, eux aussi,
insuffisants.
10.1 Espaces de Lorentz
Nous utilisons la définition de Ziemer [50] des espaces de Lorentz, pour définir f ∗
nous reprenons aussi la présentation de Kavian [31].
Soit f une fonction mesurable positive, il existe f ∗ positive, radiale et décroissante
(définie sur R+ ) telle que
mesN {f > t} = mes1 {f ∗ > t}
où d’une part, mesN {f > t} = mesN {x; f (x) > t} et mesN désigne la mesure de
Lebesgue dans Ω, et d’autre part, mes1 {f ∗ > t} = mes1 {s; f ∗ (s) > t} et mes1 est
la mesure de Lebesgue sur ]0, |Ω|[. On prolonge f ∗ par 0 en dehors de ]0, |Ω|[. Cette
fonction est appelée rearrangement décroissant de f . On peut choisir
f ∗ (t) = inf{s > 0, mesN {f > s} ≤ t}
96
Chap. 10
Espaces de Lorentz
c’est-à-dire que si mes{f > s} est bijective, f ∗ (s) = (mesN {f > s})−1 . Grâce au
théorème de Fubini,
Z
Z Z ∞
Z ∞Z
Z ∞
p
f dx =
1{f p > t} dt dx =
1{f > t1/p } dx dt =
mesN {f > t1/p } dt
Ω
Ω
0
0
et de même
Z
∞
Ω
Z
∗ p
∞
(f ) dt =
0
0
mes1 {f ∗ > t1/p } dt,
0
∗
et comme mesN {f > t} = mes1 {f > t} on a finalement
Z
Z ∞
p
f dx =
(f ∗ )p dt.
Ω
0
Soit maintenant f ∈ Lp (Ω), définissons alors |f |∗ à partir de |f | (avec, ici encore,
|f |∗ (t) = 0 pour t > |Ω|), on a
Z
kf kp =
1/p
p
|f | dx
Z
=
Ω
∞
1/p Z
(|f | ) dt
=
∞
∗ p
0
0
1/p
(t
dt
|f | (t))
t
∗
p
1/p
d’où l’idée de définir l’espace des fonctions telles que
Z ∞
1/q
1/p
∗
q dt
(t |f | (t))
< +∞,
t
0
(voir Ziemer [50]).
Définition : Pour 1 < p < +∞ et 1 ≤ q ≤ +∞, on appelle espace de Lorentz
L (Ω) l’ensemble des fonctions mesurables f telles que kf kp,q < +∞ où
p,q
Z
kf kp,q =
∞
1/p
(t
0
dt
|f | (t))
t
∗
kf kp,q = sup t1/p |f |∗ (t)
q
1/q
1 0
En particulier, et selon le calcul précédent, pour 1 < p < +∞ on a Lp,p (Ω) = Lp (Ω).
Rappelons maintenant la définition des espaces de Marcinkiewicz (voir [5])
Définition : Pour 1 t} ≤
M
.
tp
On a M p (Ω) = Lp,∞ (Ω). En effet notons ϕf (t) = mesN {|f | > t}, alors
ϕf (|f |∗ (t)) ≤ t et |f |∗ (ϕf (t)) ≤ t pour t ≥ 0. On déduit donc aisément que si
|f |∗ (t) ≤ Ct−1/p alors ϕf (s) ≤ C p /sp donc Lp,∞ (Ω) ⊂ M p (Ω), et si ϕf (s) ≤ C/sp
alors |f |∗ (t) ≤ C 1/p t−1/p donc M p (Ω) ⊂ Lp,∞ (Ω).
10.2 Quelques fonctions
97
Par la suite C désignera une constante quelconque (donc, en particulier, un
nombre indépendant de p et q) dont la valeur pourra varier d’une ligne à l’autre.
Soit v radiale strictement décroissante positive et continue (donc bijective), alors
mesN {v > t} = mesN {r < v −1 (t)} = DN (v −1 (t))N
(où DN est la mesure de la boule unité de RN ) donc
v ∗ (t) = inf{s > 0, DN (v −1 (s))N ≤ t} = v((t/DN )1/N ).
Commençons par considérer la fonction de Green solution de l’équation (10.1)
1
u = CN
−1
rN −2
on peut vérifier aisément que ∇u ∈ Lq (Ω) pour tout q < N/(N − 1) mais que
∇u 6∈ LN/N −1 (Ω). Déterminons à quel espace de Lorentz appartient ∇u. On a
|∇u|(r) = (N − 2)CN /rN −1 donc pour t ≤ |Ω|
|∇u|∗ (t) = |∇u|((t/DN )1/N ) =
C
t
N −1
N
donc
Z
∞
1/p
(t
0
dt
|∇u| (t))
=
t
∗
q
Z
|Ω|
t
C
1
p
0
t
N −1
N
q
dt
=C
t
Z
|Ω|
q
tp−
q(N −1)
−1
N
dt
0
qui est fini si et seulement si q/p − q(N − 1)/N − 1 > −1 et donc si p < N/(N − 1)
et q quelconque. De plus t1/p |∇u|∗ (t) = Ct1/p−(N −1)/N qui est borné au voisinage de
0 pour p ≤ N/(N − 1). Ainsi
|∇u| ∈ Lp,q (Ω),
1<p<
|∇u| ∈ Lp,∞ (Ω),
mais
N
|∇u| 6∈ L N −1 ,q (Ω),
N
,
N −1
1<p ≤
1 < q < +∞,
N
,
N −1
1 < q < +∞.
Étudions maintenant la solution de (10.2) qui s’écrit, pour v radiale,
v0
00
− v + (N − 1)
= f,
r
avec f = (θ − 1)/rN (1 − ln r)θ et 1 < θ < 2 − 1/N . On a f ∈ L1 (Ω) et
v 0 (r) =
1
rN −1 (1 − ln r)θ−1
98
Chap. 10
Espaces de Lorentz
(voir Orsina [40]) donc
C
|∇v|∗ (t) =
t
N −1
N
(1 −
1
N
ln( DtN ))θ−1
donc d’après des calculs analogues aux précédents, on a, pour 1 N/(N − 1). Mais pour p = N/(N − 1),
Z
|Ω|
1/p
(t
0
dt
=
|∇v| (t))
t
∗
q
|Ω|
Z
0
t(1 −
1
N
C dt
< +∞
ln( DtN ))q(θ−1)
si q(θ − 1) > 1, or θ − 1 <(N − 1)/N donc l’intégrale est finie pour N/(N −
1) < 1/(θ − 1) < q < +∞ et p = N/(N − 1). Enfin t1/p |∇v|∗ (t) = Ct1/p−(N −1)/N /(1 −
ln(t/DN )/N )q(θ−1) qui est borné au voisinage de 0 pour p ≤ N/(N − 1), donc
∇v ∈ Lp,∞ (Ω). Ainsi v vérifie, comme u
|∇v| ∈ Lp,q (Ω),
1<p<
|∇v| ∈ Lp,∞ (Ω),
N
,
N −1
1<p ≤
1 < q < +∞,
N
.
N −1
Mais on a, de plus,
N
|∇v| ∈ L N −1 ,q (Ω),
N
1
<
< q < +∞.
N − 1 (θ − 1)
Les espaces de Lorentz permettent donc de distinguer u et v.
Nous allons construire w solution de (10.3) mais appartenant aux mêmes espaces
que u. Soit
1+α
g= N
r (2 − ln r)(ln(2 − ln r))2+α
on a g ∈ L1 (Ω) dès que α > 0 et (10.3) devient pour une fonction radiale
w0
00
− w + (N − 1)
=g
r
d’où
w0 (r) =
rN −1 (ln(2
1
− ln r))1+α
donc
|∇w|∗ (t) =
C
t
N −1
N
[ln(2 −
1
N
ln( DtN ))]1+α
99
alors
|Ω|
Z
0
dt
(t |∇w| (t))
=C
t
1
p
∗
q
Z
q
q(N −1)
t p − N −1
dt
[ln(2 − N1 ln( DtN ))]q(1+α)
|Ω|
0
qui est fini pour p < N/(N − 1) (comme précédemment). Pour p = N/(N − 1), si l’on
pose s = ln(t/DN )
Z
0
|Ω|
t[ln(2 −
1
N
dt
=
ln( DtN ))]q(1+α)
Z
0
C
−∞
(ln(2 −
ds
s
))q(1+α)
N
= +∞
pour tout q < +∞. Enfin t1/p |∇w|∗ (t) = t1/p−(N −1)/N /[ln(2 − N1 ln(t/DN ))]1+α qui est
fini au voisinage de 0 pour p ≤ N/(N − 1). Ainsi
|∇w| ∈ Lp,q (Ω),
1<p<
|∇w| ∈ Lp,∞ (Ω),
mais
N
|∇w| 6∈ L N −1 ,q (Ω),
N
,
N −1
1<p ≤
1 < q < +∞,
N
,
N −1
1 < q < +∞.
Donc u et w appartient aux même espaces de Lorentz, qui sont donc insuffisants
pour distinguer les solutions à second membre L1 et δ.
11. Classes de fonctions test pour problèmes
elliptiques à second membre mesure
Afin d’obtenir l’unicité des solutions de problèmes elliptiques à second membre
f ∈ L1 (Ω), les solutions entropiques et renormalisées ont été introduites. Lorsque
f est une mesure, nous montrons qu’il n’y a plus unicité de ces solutions.
11.1 Trois définitions
Pour Ω ouvert borné régulier de RN avec N ≥ 2, on considère le problème
elliptique
(11.1)
u = 0 sur ∂Ω
avec f dans L1 (Ω) où Ω est un ouvert borné de RN et a définit un opérateur elliptique
0
strictement monotone de Leray-Lions [33] agissant de W01,p (Ω) dans W −1,p (Ω) pour
2 − 1/N 2 − 1/N , qu’il existait une solution au sens
(C(Ω))0 , espace de mesures,
T
des distributions u ∈ q < (p−1)N W01,q (Ω). Cependant cette formulation n’assure pas
N −1
l’unicité pour N > 2 : il suffit de considérer le contre-exemple (voir [43] et chapitre
6) adapté à partir de celui de Serrin [46]. Afin de remédier à la non-unicité, des
formulations entropiques et remormalisées ont été proposées (voir [4] pour la première,
et [36, 39] pour la seconde).
Nous allons montrer ici, que les solutions entropiques et renormalisées vérifient
des formulations qui sont des cas particuliers d’une formulation plus générale, plus
abstraite, mais de toute façon inopérante pour les second membres mesures.
Considérons d’abord la formulation entropique due à Bénilan, Boccardo, Gallouët,
Gariepy, Pierre et Vazquez [4] :
Définition : On appelle solution entropique de (11.1), u ∈ L1 (Ω) telle que
Tk (u) ∈ W01,p (Ω) pour tout k > 0 et
Z
Z
1,p
∞
(11.2) ∀ϕ ∈ W0 (Ω) ∩ L (Ω)
a(x, ∇u)∇Tk (u − ϕ) ≤
f Tk (u − ϕ).
Ω
Ω
La formulation renormalisée a été définie par Lions et Murat [36, 39] :
102
Chap. 11
Classes de fonctions test pour problèmes elliptiques. . .
Définition : On appelle solution renormalisée de (11.1), u ∈ L1 (Ω) telle que,
Tk (u) ∈ W01,p (Ω) pour tout k > 0 et
Z
|∇u|p = 0
∀k > 0
lim
h→+∞
h≤|u|≤k+h
et
∀ϕ ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω)
Z
Z
Z
0
(11.3)
S(u) a(x, ∇u)∇ϕ + S (u)ϕ a(x, ∇u)∇u =
f S(u)ϕ
Ω
Ω
Ω
pour toute fonction S régulière à variable réelle et à support compact.
Tk (u − ϕ) et S(u)ϕ sont des éléments particuliers d’une classe de fonctions test
plus générale, qui conduit à la formulation suivante :
Définition : On appelle solution w de (11.1), u telle que
Z
Z
fw
a(x, ∇u)∇w =
Ω
Ω
pour tout w ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) tel que ∇w = 0 sur {x; |u(x)| ≥ m} pour un m ≥ 0.
Comme on peut choisir w = Tk (u−ϕ) ci-dessus, cette dernière formulation conduit
aussi à l’unicité. L’équivalence de ces formulations dit, en quelque sorte, que Tk (u−ϕ)
et S(u)ϕ sont (( denses )) dans les w.
11.2 Équivalence
11.2.1 Solutions entropiques et solutions w
Montrons (d’après [38]) que les solutions entropiques sont solutions w. Soit
w ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) tel qu’il existe m tel que ∇w = 0 sur {x; |u(x)| ≥ m}. Alors
soit ϕ = Tn (u) − w, on a bien ϕ ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) que l’on peut utiliser dans (11.2),
ce qui donne
Z
Z
a(x, ∇u)∇Tk (u − Tn (u) + w) ≤
f Tk (u − Tn (u) + w)
Ω
Ω
et donc
Z
Z
a(x, ∇u)∇(u−Tn (u))+
|u−Tn (u)+w|≤k
Z
a(x, ∇u)∇w ≤
|u−Tn (u)+w|≤k
f Tk (u−Tn (u)+w)
Ω
Nous allons maintenant faire tendre n vers +∞.
Comme u − Tn (u) → 0 presque partout et |Tk (u − Tn (u) + w)| ≤ k alors grâce au
théorème de convergence dominée de Lebesgue
Z
Z
f Tk (u − Tn (u) + w) →
f Tk (w)
Ω
Ω
11.2 Équivalence
103
Le second terme vérifie
Z
Z
a(x, ∇u)∇w =
|u−Tn (u)+w|≤k
a(x, ∇Tm (u))∇w
|u−Tn (u)+w|≤k
car a(x, 0) = 0 et ∇w = 0 pour |u| ≥ m, et u − Tn (u) → 0 donc par convergence
dominée
Z
Z
Z
a(x, ∇Tm (u))∇w →
a(x, ∇Tm (u))∇w =
a(x, ∇Tm (u))∇Tk (w)
|u−Tn (u)+w|≤k
|w|≤k
et si k ≥ kwk∞ on a donc
Z
Ω
Z
a(x, ∇u)∇w →
a(x, ∇Tm (u))∇w
|u−Tn (u)+w|≤k
Ω
R
Reste donc le premier terme |u−Tn (u)+w|≤k a(x, ∇u)∇(u − Tn (u)) mais si |u| ≤ n alors
u − Tn (u) = 0, et si |u| ≥ n alors ∇Tn (u) = 0 donc
Z
Z
a(x, ∇u)∇(u − Tn (u)) =
a(x, ∇u)∇u 1|u|≥n
|u−Tn (u)+w|≤k
|u−Tn (u)+w|≤k
et |u − Tn (u) + w| ≤ k implique |u| ≤ n + k + kwk∞ donc
Z
Z
a(x, ∇u)∇(u − Tn (u)) ≤
a(x, ∇u)∇u1|u|≥n
|u−Tn (u)+w|≤k
|u|≤n+k+kwk∞
et 0 ≤ a(x, ∇u)∇u ≤ C|∇u|p donc
Z
Z
a(x, ∇u)∇(u − Tn (u)) ≤ C
|u−Tn (u)+w|≤k
|∇u|p
n≤|u|≤n+k+kwk∞
or par coercitivité et grâce à (11.2) avec ϕ = Tn (u) et k = n + k + kwk∞
Z
Z
Z
C
C
p
|∇u| ≤
|f | ≤
|f |
α n≤|u|≤n+k+kwk∞
α n≤|u|
n≤|u|≤n+k+kwk∞
et
R
n≤|u|
|f | → 0 pour n → ∞ donc finalement
Z
a(x, ∇u)∇(u − Tn (u)) → 0
|u−Tn (u)+w|≤k
donc
Z
Z
a(x, ∇Tm (u))∇w ≤
(11.4)
Ω
f Tk (w)
Ω
Bien entendu le choix de w = Tk (u−ϕ) dans (11.4) conduit à (11.2) donc l’unicité
des solutions entropiques nous donne celles des solutions de (11.4).
104
Chap. 11
11.2.2 Solutions renormalisées et solutions w
Nous allons maintenant montrer que les solutions renormalisées sont solutions de
(11.4) (voir [39, 16] avec des modifications mineures).
Choisissons ϕ = w et S = Sn dans (11.3), avec Sn régulière telle que 0 ≤ Sn ≤ 1,
S(x) = 0 si |x| ≥ n + 1, S(x) = 1 si |x| ≤ n, et radiale linéaire par morceaux. Alors
Z
Z
Sn (u)a(x, ∇u)∇w +
Ω
Z
0
Sn (u)w a(x, ∇u)∇u ≤
f Sn (u)w
Ω
Ω
Faisons tendre n vers ∞. Comme Sn (x) → 1 presque partout et |f Sn (u)w| ≤ |f w|
par convergence dominée
Z
Z
f Sn (u) w →
fw
Ω
Ω
Le premier terme s’écrit
Z
Z
Sn (u)a(x, ∇Tm (u))∇w
Sn (u)a(x, ∇u)∇w =
Ω
Ω
puisque ∇w = 0 pour |x| ≥ m et a(x, 0) = 0 par coercitivité, donc par convergence
dominée (a(x, ∇Tm (u))∇w ∈ L1 (Ω))
Z
Z
Sn (u)a(x, ∇Tm (u))∇w →
Ω
Z
a(x, ∇Tm (u))∇w =
Ω
a(x, ∇u)∇w
Ω
Reste le second terme
Z
Z
0
Sn (u)w a(x, ∇u)∇u =
w a(x, ∇u)∇u
n≤|u|≤n+1
Ω
et
Z
n≤|u|≤n+1
Z
w a(x, ∇u)∇u ≤ Ckwk∞
n≤|u|≤n+1
or d’après les hypothèses (avec k = 1)
Z
lim
h→+∞
|∇u|p = 0
h≤|u|≤h+1
donc
Z
Sn 0 (u)w a(x, ∇u)∇u → 0
Ω
et finalement
Z
Z
a(x, ∇u)∇w =
Ω
f w.
Ω
|∇u|p
11.3 Non unicité
105
11.3 Non unicité
Nous allons montrer que, bien que contenant plus de fonctions test que les
deux autres formulations, cette troisième formulation ne conduit pas à l’unicité des
solutions quand f est une mesure.
En fait Boccardo, Gallouët et Orsina [14] ont montré qu’il y a unicité si f ne charge
pas les ensembles de capacité nulle, c’est-à dire, en particulier, en dimension N ≥ 3, si
f ne charge pas des objets de dimension 0 ou 1 : les points, les segments. . . Autrement
dit, pour montrer que la solution n’est pas unique on peut choisir f chargeant des
points ou des segments, c’est ce que nous allons faire. En dimension 2, il faudrait
que f ne charge que des points et le contre exemple ci dessous ne marcherait pas
(les limites en +∞ seraient finies), en fait il y a unicité : voir [29]. En dimension 1,
M (Ω) ⊂ H −1 (Ω) il y a donc unicité.
Soit Ω = BRN , pour N ≥ 3 la boule unité de RN . Et soit
A = {−1/2 ≤ x1 ≤ 1/2, x2 = · · · = xn = 0}
Appelons u la solution de Green de
(
−∆u = δA dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
où δA désigne la mesure N − 1 dimensionnelle portée par A, et v celle de
(
−∆v = δ dans Ω
v = 0 sur ∂Ω.
Nous allons montrer que u et v sont aussi solutions w de −∆u = δ et −∆v = δ.
Ainsi u et v ne sont pas solution de la même équation au sens des distributions,
alors qu’elles le sont au sens des solutions w, il n’y a donc pas unicité pour cette
formulation qui est donc insuffisante.
Si on appelle G(x, y) le noyau de Green, c’est-à-dire la solution de l’équation, à
y fixé,
(
−∆G(x, y) = δy x ∈ Ω
G(x, y) = 0 x ∈ ∂Ω
où δy désigne la mesure de Dirac portée par y ∈ Ω, alors
G(x, y) = CN
1
+ H(x, y)
|y − x|N −2
où H est solution (à y fixé) de

 −∆H(x, y) = 0

H(x, y) = −CN
x∈Ω
1
|y − x|N −2
x ∈ ∂Ω.
106
Chap. 11
Or pour x ∈ ∂Ω et y ∈ A, CN /|y − x|N −2 est borné, donc par principe du maximum,
H est borné pour x ∈ Ω et y ∈ A.
On sait que
Z
G(x, y) dδA (y)
u(x) =
Ω
soit
Z u(x) =
Ω
1
CN
+ H(x, y) dδA (y)
|y − x|N −2
aussi considérons
Z
Z 1/2
1
1
B(x) =
CN
dδA (y) =
dy1
N
−2
N −2
|y − x|
Ω
−1/2 |(y1 , 0, . . . , 0) − (x1 , x2 , . . . , xN )|
Z 1/2
1
1
= N −2
N2−2 dy1
ρ
−1/2
(y1 −x1 )2
1 + ρ2
√
avec ρ = x2 2 + · · · + xN 2 . Si l’on note z = (y1 − x1 )/ρ, z1 = (1/2 − x1 )/ρ et
z2 = (−1/2 − x1 )/ρ, on obtient
Z z2
1
1
B(x) = N −3
N −2 dz.
ρ
z1 (1 + z 2 ) 2
Soit f (z) la primitive de 1/(1 + z 2 )
B(x) =
1
ρN −3
N −2
2
nulle en 0, qui est donc impaire, alors
1
1
− x1
+ x1
1
2
2
[f (z1 ) − f (z2 )] = N −3 f
+f
ρ
ρ
ρ
Supposons que x1 ∈ [−1/2, 1/2], alors 0 ≤ (1/2 − x1 )/ρ ≤ 1/ρ et 0 ≤
(1/2 + x1 )/ρ ≤ 1/ρ donc, puisque f est croissante et f (0) = 0,
1
1
− x1
+ x1
2
1
1
1
1
2
2
f
≥ B(x) ≥ N −3 max f
,f
≥ N −3 f
.
N
−3
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
2ρ
Ainsi la minoration et la majoration ne dépendent que de ρ. Or pour N ≥ 3
1
1
lim
f
= +∞
x→0 xN −3
x
donc, comme H est borné pour x ∈ Ω et y ∈ A, pour k donné, il existe ε1 tel que
|u(x)| ≥ k lorsque ρ ≤ ε1 , et pour ε2 donné, il existe h tel que |u(x)| ≤ h lorsque
ρ ≥ ε2 .
Supposons maintenant que x1 6∈ [−1/2, 1/2], on peut prendre, par symétrie,
x1 > 1/2, notons alors x1 = 1/2 + a et z = 1/2 − y1 d’où, par définition de B(x)
et de ρ,
Z 1
Z 1/2
dz
dy1
B(x) =
N −2
N −2 =
2
0 [(z + a)2 + ρ2 ] 2
−1/2 (y − 1 − a)2 + ρ2
1
2
11.3 Non unicité
107
or z ≥ 0 et a ≥ 0, donc z 2 + a2 + ρ2 ≤ (z + a)2 + ρ2 ≤ 2(z 2 + a2 + ρ2 ) aussi
Z 1
Z 1
1
dz
dz
N −2 ≥ B(x) ≥
N −2
N −2
2 2 0 [z 2 + (ρ2 + a2 )] 2
0 [z 2 + (ρ2 + a2 )] 2
p
et si l’on pose t = z/ ρ2 + a2 , on obtient, comme précédemment,
!
!
1
1
1
1
p
p
≥ B(x) ≥ N −2
N −3 f
N −3 f
ρ 2 + a2
ρ2 + a2
(ρ2 + a2 ) 2
2 2 (ρ2 + a2 ) 2
donc pour k donné, il existe ε3 tel que |u(x)| ≥ k lorsque ρ2 + a2 ≤ ε3 , et pour ε4
donné, il existe h tel que |u(x)| ≤ h lorsque ρ2 + a2 ≥ ε4 .
Ainsi, il existe ε0 tel que |u(x)| ≥ k sur {x; x1 ∈ [−1/2, 1/2] et ρ2 ≤ ε0 } ∪ {x; x1 ≥
1/2 et ρ2 + (x1 − 1/2)2 ≤ ε0 } ∪ {x; x1 ≤ −1/2 et ρ2 + (x1 + 1/2)2 ≤ ε0 }. Soit Aε0 cet
ensemble, et soit w tel que ∇w = 0 là où |u| ≥ k, donc ∇w = 0 sur Aε0 . Soit ε00 < ε0
on a bien sûr Aε00 ⊂ Aε0 et même d(Aε00 , Aε0 c ) > 0, on peut donc construire une suite
wn ∈ W01,r (Ω) pour r > N , telle que wn → w dans H01 (Ω), ∇wn = 0 sur Aε00 pour tout
n et wn (0) → w(0).
Comme wn est régulière, ∇wn = 0 sur Aε00 , et wn = const = wn (0) sur Aε00 ⊃ A,
Z
Z
Z
∇u ∇wn =
∇u ∇wn =
wn dδA = wn (0)
Aε00 c
Ω
Ω
et il existe h tel que |u(x)| ≤ h sur Aε00 c (voir ci-dessus avec ε4 = ε00 ), donc Th (u) = u
sur Aε00 c donc
Z
Z
Z
Z
∇Th (u)∇wn =
∇Th (u)∇wn
∇u ∇wn =
∇u ∇wn =
Aε00 c
Aε00 c
Ω
Ω
comme Th (u) ∈ H01 (Ω) et wn → w dans H01 (Ω)
Z
Z
Z
Z
∇u ∇wn =
∇Th (u)∇wn →
∇Th (u)∇w =
∇u ∇w
Ω
Ω
Ω
Ω
lorsque n → +∞ (car |u| ≤ h sur Aε0 c ⊂ Aε00 c ). Or wn (0) → w(0) donc pour tout
w ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) tel que ∇w = 0 lorsque |u| ≥ k
Z
Z
w dδ.
∇u ∇w = w(0) =
Ω
Ω
Ainsi u est solution w de −∆u = δ alors que −∆u = δA au sens des distributions.
Considérons maintenant la solution de
−∆v = δ
bien-sûr
v(x) = G(x, 0) = 1/|x|N −2 + H(x, 0)
108
Chap. 11
donc pour k donné, il existe ε5 tel que |v(x)| ≥ k lorsque |x| ≤ ε5 et pour ε6 donné,
il existe h tel que |v(x)| ≤ h lorsque |x| ≥ ε6 , aussi, comme pour u, on peut montrer
que pour tout w ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) tel que ∇w = 0 lorsque |v| ≥ k
Z
Z
∇v ∇w = w(0) =
w dδ
Ω
Ω
donc v est solution w de −∆v = δ ainsi que −∆v = δ au sens des distributions.
Il y a donc deux solutions différentes pour la même équation, la formulation est
donc insuffisante.
12. Convergence faible des tronqués des solutions
problèmes elliptiques à second membre mesure
Boccardo et Gallouët [11, 12] ont montré que, pour Ω ouvert borné de RN , le problème
elliptique de Dirichlet homogène
u = 0 sur ∂Ω
admet une solution pour f ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 . Cette solution est obtenue par
approximation, c’est-à-dire qu’elle est la limite de (un ), où un est solution de
− div(a(x, un , ∇un )) = fn dans Ω
un = 0 sur ∂Ω
pour fn régulier tendant vers f pour la topologie de la convergence faible ∗ de
M (Ω). Cette méthode utilise des troncatures, en particulier, il est montré que
Tk (u) ∈ W01,p (Ω) et que (Tk (un )) est borné dans W01,p (Ω), cette suite converge donc
faiblement (à une sous-suite près) dans W01,p (Ω). A-t-on la convergence forte ? Lions
et Murat [36, 39] ont montré que pour f ∈ L1 (Ω) et fn → f dans L1 (Ω) (fort), la
réponse est oui. Dans le cas où f est une mesure, Dal Maso, Murat, Orsina et Prignet
(voir [22] et chapitre 13) montrent que la convergence est forte sous l’hypothèse que
les parties positives et négatives de f (pour simplifier) doivent être approchées par
des fonctions, respectivement, positives et négatives. Nous allons montrer ici que sans
cette condition sur (fn ), la convergence peut ne pas être forte.
L’exemple va être construit pour le laplacien, avec f = 0, fn → 0 dans M (Ω)
faible
∗, (un ) et et (Tk (un )) convergeant seulement faiblement, respectivement dans
T
1,q
1
N
N
q < n/(N −1) W0 (Ω) et H0 (Ω), vers 0. Soit Ω = B1 (R ), la boule unité de R , on
considère des solutions radiales en dimension N . Pour ces fonctions, −∆u = f devient
u0
− u + (N − 1)
r
00
=f
avec r = |x| norme euclidienne dans RN . La solution générale sans second membre
est 1/rN −2 et la solution particulière associée à 1 est −r2 /(2N ).
110
Chap. 12
Soient
Convergence faible des tronqués. . .
1
1
1
2N
3N
an = ,
bn =
, cn =
,
n
n
n
1
1
1
4N
5N
6N
dn =
, en =
, fn =
,
n
n
n
si bien que
fn N − en N = en N − dn N = dn N − cn N = cn N − bn N = bn N − an N =
1
.
nN
Et soient hn = nN et gn tels que

hn
sur 0 ≤ r ≤ an ,



0
sur an ≤ r ≤ cn ,
gn =

− hn sur cn ≤ r ≤ en ,



hn
sur en ≤ r ≤ fn .
R
R
ainsi, gn ∈ L∞ (Ω) ⊂ H −1 (Ω), Ω gn = 0, Ω |gn | = 6 DN (si DN = |B1 |) et le support
de gn est inclus dans B61/N /n (RN ) donc pour tout ϕ continu
Z
Z
gn ϕ ≈ ϕ(0) gn = 0.
Ω
Ω
Ainsi gn → 0 dans M (Ω) faible ∗.
Etudions la solution un correspondante : un admet deux (( maxima locaux )) en
0 et dn , et de plus (CN notera une constante positive quelconque qui pourra varier
d’une égalité à l’autre)
• en fn , un (fn ) = 0 et u0n (fn ) = 0
• en 0 et dn , u0n (r) = 0
• entre fn et en et entre a0 et 0, un est de la forme suivante
un =
hn 2
A
r + N −2 + B,
2N
r
entre en et cn
un = −
hn 2
A
r + N −2 + B,
2N
r
entre cn et an
un =
A
rN −2
+ B.
• en en , u(en ) = nN /N [−(1/2 + 6/5(N − 2))e2n + (1/2 + 1/(N − 2))fn2 ] qui est
négatif par convexité de x2 et est de l’ordre de −CN nN −2
• en dn , u(dn ) = nN /N (1/2 + 1/(N − 2))(fn2 − 2e2n + d2n ) qui est négatif par
convexité de x2 et est de l’ordre de −CN nN −2
• en cn , u(cn ) = nN /N [(1/2 + 1/(N − 2))(fn2 − 2e2n + c2n ) + 1/3(N − 2)c2n ] qui est
négatif pour N assez grand et, en particulier, pour N = 4 et est de l’ordre de
−CN nN −2
111
• en bn , u(bn ) = nN /N [(1/2 + 1/(N − 2))(fn2 − 2e2n + c2n ) + 1/2(N − 2)b2n ] qui
est positif pour N assez grand et, en particulier, pour N = 4 et est de l’ordre
de CN nN −2
• en an , u(an ) = nN /N [(1/2 + 1/(N − 2))(fn2 − 2e2n + c2n ) + 1/(N − 2)a2n ] qui est
positif pour N assez grand et, en particulier, pour N = 4 et est de l’ordre de
CN nN −2
• en 0, u(0) = nN /N [(1/2 + 1/(N − 2))(fn2 − 2e2n + c2n ) + (1/(N − 2) + 1)a2n ] qui
est positif pour N assez grand et, en particulier, pour N = 4 et est de l’ordre
de CN nN −2
• pour N assez grand u s’annule donc en in entre bn et cn , dans cette
zone u0n (r) = −1/(N rN −1 ) donc u0n ≈ −CN nN −1 aussi |un | ≤ k entre
in − k/CN nN −1 et in + k/CN nN −1
donc
Z
Z
2
in +k/CnN −1
|∇Tk (un )| ≥ CN
Ω
in
−k/CnN −1
N −2
≈ C >0
(CnN −1 )2 rN −1 dr ≈ Cn2(N −1) iN
n k/n
R
donc Ω |∇Tk (un )|2 ne tend pas vers 0 lorsque n → ∞, et donc Tk (un ) ne converge
pas fortement dans H01 (Ω). Bien-sûr le support de un est inclus dans B61/N /n (RN )
donc un → 0 presque partout.
Ceci est relié à l’unicité des SOLA (c’est-à-dire des limites de (un ), la suite définie
au début de ce chapitre), en effet pour g ∈ L1 (Ω) la méthode employée pour montrer
l’unicité consiste à choisir comme fonction test Tk (un ) ce qui conduit à
Z
Z
gn Tk (un )
∇un ∇Tk (un ) =
Ω
Ω
puis à faire tendre n → ∞ d’où
Z
|∇Tk (u)|2 = 0
Ω
dès que
Z
gn Tk (un ) → 0
Ω
ce qui est bien le cas par convergence dominée si gn → 0 dans L1 (Ω). Ceci montre
notamment que
Z
|∇Tk (un )|2 → 0
Ω
1
dans le cas g ∈ L (Ω).
R Effectivement dans l’exemple que nous venons de construire on peut montrer que
g T (u ) ne tend pas vers 0 (ici gn converge seulement dans M (Ω) faible ∗, aussi
Ω n k n
le théorème de convergence dominée ne permet pas de conclure) :
Z
Z in
Z fn
gn Tk (un ) =
gn Tk (un ) +
gn Tk (un )
Ω
0
in
Z an
Z en
Z fn
= hn
Tk (un ) −
Tk (un ) +
Tk (un )
0
cn
en
112
Chap. 12
Convergence faible des tronqués. . .
mais, entre cn et en , u ≤ −k car u est de l’ordre de −CN nN −2 et entre 0 et an , u ≥ k
car u est de l’ordre de CN nN −2 donc Tk (un ) = −k entre cn et en , et Tk (un ) = k entre
an et 0 aussi
Z an
Z
Z en
Z fn
gn Tk (un ) = hn
k+k
k+
Tk (un )
Ω
or hn
R en
cn
0
1 = 2 CN et 0 ≥ hn
R fn
en
cn
en
Tk (un ) ≥ −k CN donc
Z
gn Tk (un ) ≥ 3 k CN − k CN = 2 k CN
Ω
qui ne tend effectivement pas vers 0 quand n → ∞.
13. Une généralisation des notions de SOLA et de
solutions entropiques et renormalisées
Ce chapitre est une partie d’un article en préparation écrit en collaboration avec G.
Dal Maso, F. Murat et L. Orsina [22].
On considère le problème elliptique suivant
(13.0.1)
− div(a(x, ∇u)) = µ dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
où µ ∈ M (Ω) = (C(Ω))0 , espace de mesures, Ω est un ouvert borné de RN (N ≥ 2)
et a une fonction de Carathéodory satisfaisant des conditions de coercitivité, de
monotonie et de croissance du type de celles de Leray-Lions, définissant un opérateur
sur W01,p (Ω).
L’existence de solutions étant connue [11, 12], on s’intéresse à leur unicité et
lorsque µ ∈ L1 (Ω), plusieurs approches ont été utilisées : les SOLA [23], les solutions
entropiques [4] et les solutions renormalisées [36, 39]. Nous proposons ici de nouvelles
définitions, équivalentes, généralisant ces trois approches lorsque µ ∈ M (Ω).
Le plan de ce chapitre est le suivant : dans la première partie nous donnons
les hypothèses sur a(x, ξ), les quatre définitions d’une solution renormalisée, et nous
énonçons le résultat d’existence d’une solution renormalisée. Dans la deuxième partie,
nous décomposons la mesure µ en µ = µ0 + λ, où µ0 ne charge
pas les ensembles
0
de p-capacité nulle (ce qui équivaut à µ ∈ L1 (Ω) + W −1,p (Ω), voir la troisième
partie et [14]), et où λ est concentrée sur E un sous ensemble de Ω de p-capacité
nulle. Puis nous prenons (µε ) et (λε ) des suites d’approximations régulières (en un
sens que nous précisions) de µ0 et λ, et nous résolvons (13.0.1) avec pour second
membre µε + λε , nous obtenons alors une suite (uε ) de solutions approchées. Dans
les troisièmes et quatrièmes parties, nous étudions le comportement des tronqués des
uε , respectivement dans un voisinage de E et (( loin de )) E. La cinquième partie est
consacrée à la démonstration des résultats principaux de ce chapitre, c’est-à-dire la
convergence forte dans W01,p (Ω) des tronqués des uε , et le fait que toute limite de (uε )
est une solution renormalisée de (13.0.1). Enfin dans la dernière partie nous montrons
l’équivalence des quatre définitions.
114
Chap. 13
Une généralisation des notions de solutions . . .
13.1 Assumptions and statement of results
13.1.1 Assumptions
Let Ω be a bounded, open subset of RN , N ≥ 2 ; no smoothness is assumed on
∂Ω. Let p and p0 be real numbers, with 1 < p ≤ N , and p1 + p10 = 1.
Let a : Ω × RN → RN be a Carathéodory function (that is, a(·, ξ) is measurable
on Ω for every ξ in RN , and a(x, ·) is continuous on RN for almost every x in Ω)
which satisfies the following hypotheses :
a(x, ξ) · ξ ≥ α|ξ|p ,
(13.1.2)
for almost every x in Ω and for every ξ in RN , where α > 0 is given ;
|a(x, ξ)| ≤ β [b(x) + |ξ|]p−1 ,
(13.1.3)
for almost every x in Ω and for every ξ in RN , where β > 0 is given, and b is a non
negative function in Lp (Ω) ;
(a(x, ξ) − a(x, ξ 0 )) · (ξ − ξ 0 ) > 0 ,
(13.1.4)
for almost every x in Ω and for every ξ, ξ 0 in RN , ξ 6= ξ 0 . Observe that (13.1.2), and
the continuity of a with respect to ξ, imply
a(x, 0) = 0 for almost every x in Ω.
(13.1.5)
Thanks to hypotheses (13.1.2), (13.1.3) and (13.1.4), u 7→ −div (a(x, ∇u)) is a
coercive, continuous, bounded and monotone operator from W01,p (Ω) with values in
0
0
its dual space W −1,p (Ω) ; moreover, for every µ in W −1,p (Ω) there exists at least a
solution v of the following problem

 −div (a(x, ∇v)) = µ in Ω,

v=0
on ∂Ω,
in the sense that



v ∈ W01,p (Ω) ,
Z
a(x, ∇v) · ∇ϕ dx = hµ, ϕi ,
∀ϕ ∈ W01,p (Ω)
(13.1.6)
Ω
(see for example [33] and [34]). Here and in the following, we will denote by h·, ·i
0
the duality between W −1,p (Ω) and W01,p (Ω). Furthermore, thanks to (13.1.4), such a
solution is unique.
We define Mb (Ω) as the set of measures with bounded total variation. If p > N ,
0
then Mb (Ω) is contained in W −1,p (Ω), so that both existence and uniqueness of
solutions for (13.0.1) follow from the result quoted above. This explains the restriction
p ≤ N that we have imposed.
13.1 Hypothèses et énoncés des résultats
115
In Section 3, Propositions 13.2.4 and 13.2.5, we will recall a result of [14] that
states that every measure µ in Mb (Ω) can be decomposed as follows :
µ = µ0 + λ+ − λ− = f − div (g) + λ+ − λ− ,
(13.1.7)
where µ0 is a measure in M0 (Ω), which is the set of measures of Mb (Ω) that do
not charge the subsets of Ω of zero p-capacity (see Section 3 for the definition of
p-capacity), and so can be decomposed as f − div (g), with f in L1 (Ω) and g in
0
(Lp (Ω))N (see Proposition 13.2.5), while λ+ and λ− are two non negative measures
in Mb (Ω) which are concentrated on two subsets E + and E − , respectively, of zero
p-capacity.
We define Tk (s) = max(−k, min(k, s)) for s in R, and for k a positive real number
(see (13.1.26) in Subsection 13.1.5).
Definition 13.1.1 Let u be a measurable function defined on Ω which is almost
everywhere finite. Suppose that, for every k > 0, Tk (u) belongs to W01,p (Ω). Then
it has been proved in [4] and [36] that there exists a unique measurable function
v : Ω → RN such that
∇Tk (u) = v χ{|u|≤k}
almost everywhere in Ω, for every k > 0.
We will define ∇u, the gradient of u, as this function v, and use this definition
throughout the paper. We explicitly remark that this gradient is not the gradient in
the usual distributional sense, since it is possible that u does not belong to L1 (Ω),
even though this coincides with the usual distributional gradient if the function u
belongs to W01,1 (Ω) ; see also Example 13.1.4, below.
13.1.2 Definition of renormalized solutions
We are now in a position to define the notion of renormalized solution. Other
equivalent definitions will be given in Section 13.1.3.
Definition 13.1.2 Assume that a satisfies (13.1.2)–(13.1.4), and let µ be a measure
in Mb (Ω), which is decomposed as µ0 +λ+ −λ− as in (13.1.7). A measurable function
u is a renormalized solution of problem (13.0.1) if the following holds :
(a) the function u is almost everywhere finite, and is such that Tk (u) belongs to
W01,p (Ω) for every k > 0 ;
(b) ∇u, defined in Definition 13.1.1 is such that
|∇u|p−1 belongs to Lq (Ω), for every q < NN−1 ;
(13.1.8)
(c) for every function w in W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) such that there exists k > 0 and w+∞
and w−∞ in W 1,r (Ω), with r > N , such that
(
w = w+∞ capp -quasi everywhere on the set {u > k},
(13.1.9)
w = w−∞ capp -quasi everywhere on the set {u < −k},
116
Chap. 13
we have
Z
Z
Z
Z
+∞
+
a(x, ∇u) · ∇w dx =
w dµ0 + w dλ − w−∞ dλ− .
Ω
Ω
Ω
(13.1.10)
Ω
Remark 13.1.3 Every term in (13.1.10) has a meaning. Indeed, the integral on the
left hand side can be splitted as
Z
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇w dx +
a(x, ∇u) · ∇w dx +
a(x, ∇u) · ∇w dx ,
{u < −k}
{|u|≤k}
{u > k}
where all three terms are well defined : actually, since |∇u|p−1 belongs to Lq (Ω) for
every q < NN−1 , hypothesis (13.1.3) implies that a(x, ∇u) belongs to (Lq (Ω))N , for
every q < NN−1 ; on the other hand
Z
Z
−∞
a(x, ∇u) · ∇w dx = a(x, ∇u) · ∇w dx < +∞ ,
{u < −k}
{u < −k}
since w−∞ belongs to W 1,r (Ω) with r > N and a(x, ∇u) belongs to (Lq (Ω))N for every
q < NN−1 = N 0 ; the same thing is true for the term
Z
a(x, ∇u) · ∇w dx .
{u > k}
Finally, for the middle term we have, since a(x, 0) = 0 (see (13.1.5)),
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇w dx = a(x, ∇Tk (u)) · ∇w dx < +∞ ,
{|u|≤k}
Ω
since Tk (u) belongs to W01,p (Ω), which implies by (13.1.3) that a(x, ∇Tk (u)) belongs
0
to (Lp (Ω))N , while w belongs to W01,p (Ω).
As for the right hand side, the term
Z
Z
+∞
+
w dλ − w−∞ dλ−
Ω
Ω
is obviously well defined, since both w+∞ and w−∞ are continuous and bounded on
Ω, while the term
Z
w dµ0
Ω
is well defined since w belongs to W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) and so to L∞ (Ω, dµ0 ) (see
Proposition 13.2.3), and therefore to L1 (Ω, dµ0 ) since µ0 belongs to M0 (Ω).
Example 13.1.4 Observe that we did not assume that the function u belongs to
some space Lr (Ω), but only that u is Lebesgue measurable. Indeed it is possible that
the function u does not belong to L1loc (Ω) : this is the case in the following example.
117
Let Ω = B1 (0) = {x ∈ RN : |x| < 1}, and let ωN be the (N − 1)-dimensional
measure of ∂Ω. Consider the function defined by

1

 u(x) = (|x|−γ − 1) with γ = N −p if 1 N2N
.
+1
Let us show that u is a renormalized solution of the equation

 −div (|∇u|p−2 ∇u) = ωN δ0 in Ω,

u=0
on ∂Ω,
(13.1.12)
where δ0 is the Dirac mass concentrated at the origin. Indeed, Tk (u) belongs to
W01,p (Ω) (and is actually Lipschitz continuous and zero on the boundary of Ω), and,
defining ∇u as in Definition 13.1.1, we have
∇u = −
x
for every 1 < p ≤ N ,
|x|γ+2
which implies that |∇u|p−1 = |x|1−N belongs to Lq (Ω) for every q < NN−1 . Thus, (i) is
satisfied.
For what concerns (c), consider a function w in W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) which belongs
to C 1 in a neighbourhood of the origin (so to meet the requirements of Definition
belongs to L1 (Ω) (see Remark 13.1.3), integrating by
13.1.2). Using the fact that x·∇w
|x|N
parts on B1 (0)\Bε (0), using the fact that div ( |x|xN ) = 0 in the sense of distributions
on RN \{0}, and finally using the continuity of w at the origin, we have
Z
Z
x · ∇w
p−2
|∇u| ∇u · ∇w dx = lim+
dx
N
ε→0
Ω
ZB1 (0)\Bε (0) |x|
x
x
= lim+
w N ·
dσ
ε→0
|x|
∂Bε (0)Z |x|
1
= lim+ N −1
w dσ = ωN w(0)
ε→0 ε
∂Bε (0)
Z
= ωN
w+∞ dδ0 .
Ω
In this example u does not belong to L1 (Ω) if p ≤
distributional gradient of u.
2N
,
N +1
and ∇u is not the
Remark 13.1.5 Note that a renormalized solution u, which is a priori defined only
almost everywhere in Ω, is actually defined capp -quasi everywhere (that is to say,
except on a set of zero p-capacity), since Tk (u) belongs to W01,p (Ω) for every k > 0,
and since the functions of W01,p (Ω) admit a representative which is defined capp -quasi
everywhere (see Section 3).
118
Chap. 13
Remark 13.1.6 Since the choice of test functions in (c) of Definition 13.1.2 is rather
complicated, one may wonder whether the class of admissible test functions is not
empty. This is indeed the case, since for example any function in Cc∞ (Ω) is admissible.
Thus, if u is a renormalized solution of (13.0.1) in the sense of Definition 13.1.2, and
if p > 2 − N1 , then it is also a solution in the sense of distributions.
There are more admissible functions, built after u, such as Tk (u) (choosing
+∞
w
≡ k and w−∞ ≡ −k).
If ϕ belongs to W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), then it is possible to choose in (13.1.10) the
function w = Tk (u − ϕ) ; indeed, this function belongs to W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), and
we can choose w+∞ ≡ k and w−∞ ≡ −k, on the sets {u > k + kϕkL∞ (Ω) } and
{u < −k − kϕkL∞ (Ω) } respectively. Thus, a renormalized solution of (13.0.1) turns
out to be an entropy solution of (13.0.1) in the sense defined in [4]. Hence, if the
measure µ does not charge the sets of zero p-capacity, there exists at most one
renormalized solution of (13.0.1), due to the uniqueness result of [14]. Note however
that the definition of entropy solution with datum a Dirac mass given in [14], Remark
3.4, did not imply that an entropy solution is a distributional solutions. In contrast,
we have seen that a renormalized solution as defined in Definition 13.1.2 is also a
distributional solution, which rules out the counterexample to uniqueness given in
[14], Remark 3.4.
13.1.3 Other definitions
Besides Definition 13.1.2, other definitions of renormalized solutions can be given.
We give here three different formulations of renormalized solution, which will turn
out to be equivalent to Definition 13.1.2 (see Theorem 13.6.1, Section 7).
in Mb (Ω), which is decomposed as µ0 + λ+ − λ− . A measurable function u is a
renormalized solution of (13.0.1) if u satisfies (a) of Definition 13.1.2, and if the
following holds :
(d) For every ϕ in C 0 (Ω) we have
Z
Z
1
lim
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx =
ϕ dλ+ ,
n→+∞ n {n≤u < 2n}
Ω
and
1
lim
n→+∞ n
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx =
{−2n < u≤−n}
(13.1.13)
ϕ dλ− .
(13.1.14)
Ω
(e) For every h in W 1,∞ (R) with compact support in R, and for every ϕ in
W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), we have
Z
Z
Z
0
a(x, ∇u) · ∇u h (u) ϕ dx + a(x, ∇u) · ∇ϕ h(u) dx =
h(u) ϕ dµ0 .
Ω
(13.1.15)
Ω
Ω
119
Remark 13.1.8 Observe that every term in (13.1.15) has a meaning : indeed, in the
right hand side h(u) ϕ belongs to W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω), and is hence in L∞ (Ω, dµ0 ) by
Proposition 13.2.3. On the other hand, since supp (h) ⊆ [−M, M ] for some M > 0,
the left hand side as to be understood as
Z
Z
0
a(x, ∇TM (u)) · ∇TM (u) h (u) ϕ dx + a(x, ∇TM (u)) · ∇ϕ h(u) dx ,
Ω
Ω
where both terms are finite by (13.1.3) since both ϕ and TM (u) belong to W01,p (Ω) ∩
L∞ (Ω).
Remark 13.1.9 Definition 13.1.7 is similar to the0 definition of renormalized solution
given in [36] or [39] if µ belongs to L1 (Ω) + W −1,p (Ω) (that is to say, after the result
of [14] cited in Proposition 13.2.4 below, to M0 (Ω)). Indeed in these papers, the
definition of renormalized solution included (e) as well as
Z
1
a(x, ∇u) · ∇u dx = 0 ,
(13.1.16)
lim
n→+∞ n {n≤|u| < 2n}
which coincides with (13.1.13) and (13.1.14) in the case λ+ = λ− = 0 and ϕ ≡ 1. Here
(13.1.13) and (13.1.14) replace (13.1.16), and specify the behaviour of the energy of
u on the set where u is very large.
Conditions (13.1.13) and (13.1.14) can be removed if we change the class of
admissible test functions.
renormalized solution of (13.0.1) if u satisfies (a) and (b) of Definition 13.1.2, and if
the following holds :
(f) for every h in W 1,∞ (R) such that h0 has compact support in R, and for every
ϕ in W01,r (Ω), with r > N ,
Z
Z
0
a(x, ∇u) · ∇u h (u) ϕ dx + a(x, ∇u) · ∇ϕ h(u) dx
Z
Ω
Z
Z Ω
(13.1.17)
+
−∞
−
+∞
=
h(u) ϕ dµ0 + h
ϕ dλ − h
ϕ dλ .
Ω
+∞
Ω
Ω
−∞
Here h
and h
are the limits of h(s) at +∞ and −∞ respectively (which
exist, since h is constant for |s| large enough).
Remark 13.1.11 As in (13.1.15), every term in (13.1.17) is well defined : this is clear
for the right hand side since h(u) ϕ belongs to L∞ (Ω, dµ0 ) (see Proposition 13.2.3),
and thus to L1 (Ω, dµ0 ). Since supp (h0 ) ⊆ [−M1 , M1 ], for some M1 , the left hand side
has to be understood as
Z
Z
0
a(x, ∇TM1 (u)) · ∇TM1 (u) h (u) ϕ dx + a(x, ∇u) · ∇ϕ h(u) dx ,
Ω
Ω
where both terms are finite : the first one by (13.1.3) since TM1 (u) belongs to W01,p (Ω),
and the second one since a(x, ∇u) belongs to (Lq (Ω))N for every q < NN−1 due to the
hypotheses on |∇u|p−1 and to (13.1.3).
120
Chap. 13
Remark 13.1.12 The conditions (13.1.13) and (13.1.14) that were required to hold
in Definition 13.1.7 are now “embedded” in the formulation (13.1.17) : see Step 3 of
the proof of Theorem 13.1.16 in Section 6, where these conditions will be obtained
from (13.1.17).
Remark 13.1.13 We remark that if the function h in both Definition 13.1.7 and
Definition 13.1.10 is such that h(0) = 0, then the test functions ϕ can be respectively
chosen in W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) and in W 1,r (Ω), with r > N .
renormalized solution of (13.0.1) if u satisfies (a) and (b) of Definition 13.1.2, and if
the following holds :
−
(g) For every k > 0 there exist two non negative measures in M0 (Ω), λ+
k and λk ,
such that
(
supp (λ+
k ) ⊆ {k − δ ≤ u ≤ k + δ} ,
(13.1.18)
−
supp (λk ) ⊆ {−k − δ ≤ u ≤ −k + δ} ,
for every δ > 0, and
+
λ+
k → λ ,
−
λ−
k → λ in the weak∗ topology of measures.
(h) For every k > 0,
Z
Z
a(x, ∇Tk (u)) · ∇ϕ dx =
Ω
{|u|≤k}
Z
ϕ dµ0 +
Ω
ϕ dλ+
k
Z
−
ϕ dλ−
k ,
(13.1.19)
Ω
for every ϕ in W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω).
As usual, every term in (13.1.19) is well defined due to the regularity of Tk (u) and
0
ϕ, and since measures in M0 (Ω) are in W −1,p (Ω) + L1 (Ω) (see Proposition 13.2.5).
Remark 13.1.15 Some comments on these new definitions are in order. Definition
13.1.7 and 13.1.10 state (we refer explicitly to Definition 13.1.10) that the renormalized solution u is in some sense equal to +∞ on the sets charged by λ+ , and to −∞
on the sets charged by λ− ; this is clearly expressed by the presence of the two terms
h+∞ and h−∞ in (13.1.17). Thus, the presence of a measure which is concentrated
on a set of zero p-capacity leads to an unbounded solution that we can suppose to
be unbounded “in a stronger way” than the solutions corresponding to measures in
M0 (Ω) : this fact is very clear if one considers solutions corresponding to a Dirac
mass and to a function in L1 (Ω).
Definition 13.1.14 says something about the equation solved by Tk (u). Indeed,
(13.1.19) can be reformulated (in the sense of distributions, that is, choosing ϕ in
Cc∞ (Ω)) as follows :
−
−div (a(x, ∇Tk (u))) = µ0 {|u| ≤ k} + λ+
k − λk .
121
This formulation explains also the required conditions (13.1.18) and the convergence
−
of λ+
k and λk . Observe that a renormalized solution in the sense of Definition 13.1.14
−
is a solution obtained by approximation (since the sequence µ0 {|u| ≤ k} + λ+
k − λk
converges to µ = µ0 + λ+ − λ− in the weak∗ topology of measures) with the property
that the truncates are strongly convergent (it is indeed easy to see that Th (Tk (u))
converges strongly to Th (u) in W01,p (Ω) as k tends to infinity).
The equivalence of the four definitions will be proved in Section 6.
13.1.4 Existence and strong convergence of truncates
Theorem 13.1.16 Assume that a satisfies (13.1.2)–(13.1.4), and let a µ be a measure
in Mb (Ω). Then there exists at least a renormalized solution of (13.0.1) in the sense
of Definition 13.1.2.
We will obtain the existence result by an approximation process : let µ be a
measure in Mb (Ω), and let it be decomposed as in (13.1.7) (see also Section 13.2) :
µ = µ0 + λ+ − λ− = f − div (g) + λ+ − λ− ,
0
with f in L1 (Ω), g in (Lp (Ω))N , λ+ and λ− non negative measures concentrated on
E + and E − , respectively, with capp (E + , Ω) = capp (E − , Ω) = 0 and E + ∩ E − = Ø
(see Section 3). We will approximate the measure µ by a sequence µε defined as
µε = fε − div (gε ) + (λ+ )ε − (λ− )ε ,
where ε belongs to a sequence of positive numbers that converges to zero, and
(
fε is a sequence of Cc∞ (Ω) functions
(13.1.20)
that converges to f weakly in L1 (Ω) ;
(
gε is a sequence of (Cc∞ (Ω))N functions
(13.1.21)
0
that converges to g strongly in (Lp (Ω))N ;
(
(λ+ )ε is a sequence of non negative Cc∞ (Ω) functions
(13.1.22)
that converges tightly to λ+ ;
(
(λ− )ε is a sequence of non negative Cc∞ (Ω) functions
(13.1.23)
that converges tightly to λ−
(see Definition 13.2.6 for the definition of tight convergence of measures).
Once we have defined the approximation for µ, let uε be the unique solution in
1,p
W0 (Ω) of the following problem

 −div (a(x, ∇uε )) = fε − div (gε ) + (λ+ )ε − (λ− )ε in Ω,
(13.1.24)

u =0
on ∂Ω,
ε
in the sense specified by (13.1.6). We then have the following result, which implies
Theorem 13.1.16.
122
Chap. 13
Theorem 13.1.17 Suppose that a satisfies hypotheses (13.1.2)–(13.1.4), and let uε
be the solution of (13.1.24), where fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε are sequences of functions
that satisfy (13.1.20)–(13.1.23). Then there exists a subsequence of uε , still denoted
by uε , that converges to a renormalized solution u of (13.0.1) in the sense of Definition
13.1.2.
Remark 13.1.18 We explicitly remark that we require that the two sequences (λ+ )ε
and (λ− )ε are sequences of non negative functions. If we do not make this requirement,
the result of Theorem 13.1.17 (as well as that of Theorem 13.1.20) may not hold, see
examples 13.5.2 and 13.5.3 in Section 13.5.
Remark 13.1.19 A measure in Mb (Ω) is not the not most general possible datum
0
for (13.0.1). Indeed, there exist elements in W −1,p (Ω) which are not measures. This
implies that a more general datum is of the kind
µ − div (F ) ,
0
with µ in Mb (Ω) and F in (Lp (Ω))N . However, the new term −div (F ) does not give
any problem in the proof of the results, since it can be treated as the term −div (gε ).
Thus, we will restrict ourselves to the case of a datum µ belonging to Mb (Ω), the
case of a datum µ − div (F ) being analogous.
Let us just explicitly state that every of the present paper holds if µ in Mb (Ω)
is replaced by
0
µ − div (F ) with µ in Mb (Ω) and F in (Lp (Ω))N .
The main tool of the proof of Theorem 13.1.16 will be the following strong
convergence result for the truncates of uε , which is interesting on its own, and specifies
the sense in which uε converges to u.
Theorem 13.1.20 Suppose that a satisfies hypotheses (13.1.2)–(13.1.4), and let uε
be the solution of (13.1.24), where fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε are sequences of functions
that satisfy (13.1.20)–(13.1.23). Then there exists a subsequence of uε , still denoted
by uε , and a measurable function u such that Tk (u) belongs to W01,p (Ω) for every
k > 0, such that
Tk (uε ) → Tk (u) strongly in W01,p (Ω), for every k > 0.
13.1.5 Notation and preliminary results
This subsection contains some notation, the definition of some of the “objects”
that we will use in the proof of the results, and some already known results on the
sequence uε of solutions of (13.1.24).
We will use the following functions of one real variable, which may depend on
one or more non negative real parameters such as k and n :
s+ = max(s, 0) ,
s− = max(−s, 0) .
(13.1.25)
123
Tk (s) = max(−k, min(k, s)) .
k
(13.1.26)
Tk (s)
6
−k
k
s
−k
Hn,k (s) =


0
if s < −n − k,





x+n+k


if −n − k ≤ s < −n,


k

1
if |s| ≤ n,



n+k−x


if n < s ≤ n + k,



k



0
if s > n + k.
(13.1.27)
Hn,k (s)
6
1
Q
Q
−n−k
−n
Q
-
n+k
s
n
hn (s) = Hn,n (s) .
Bn,k (s) = 1 − Hn,k (s) .
(13.1.28)
Bn,k (s)
6
1
Q
Q
Q
−n−k
−n
n
n+k
s
We will also use the function k − Tk (s) (and its companion k + Tk (s)) :
k−Tk (s)
6
2k
@
@
@
@
@
−k
k
s
In the whole present paper we will denote by c a generic constant, which can
vary from line to line, but which depends on N , p, Ω, α, β and b (which appear in
Subsection 2.1), and never on another parameter (such as ε, δ, η, n).
Moreover, if η, δ and ε are positive real numbers, and n belongs to N, we will
denote by ω(η, δ, n, ε) any quantity such that
lim lim
lim
lim |ω(η, δ, n, ε)| = 0 .
η→0+ δ→0+ n→+∞ ε→0+
124
Chap. 13
If the order in which the limits are taken will be different, we will change the order of
appearance of the symbols, from the last limit to be taken, to the first : for example,
ω(η, n, δ, ε) is any quantity whose absolute value converges to zero after taking the
limits on ε, δ, n and η successively. If the quantity we consider does not depend on one
among η, δ, n and ε, we will omit the dependence from the corresponding variable :
as an example, ω(η, ε) is a quantity such that
lim lim |ω(η, ε)| = 0 .
η→0+ ε→0+
Finally, we will denote (for example) by ωη,δ (n, ε) a quantity that depends on η, δ,
n, ε and is such that
lim lim+ |ωη,δ (n, ε)| = 0 ,
n→+∞ ε→0
independently of the values of η and δ. As an example,
η+δ+
1
+ ε = ω(η, δ, n, ε) ,
n
n ε = ωn (ε) .
We recall the following well-known result, whose proof is based on Egorov
theorem.
Lemma 13.1.21 Let Ω be a bounded, open subset of RN ; let ρε be a sequence of
L1 (Ω) functions that converges to ρ weakly in L1 (Ω), and let σε be a sequence of
functions in L∞ (Ω) that is bounded in L∞ (Ω) and converges to σ almost everywhere
in Ω. Then
Z
Z
ρε σε dx =
ρ σ dx + ω(ε) .
Ω
Ω
Let now µε = fε − div (gε ) + (λ+ )ε − (λ− )ε be such that fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε
satisfy hypotheses (13.1.20)–(13.1.23), and let uε be the solution of (13.1.24) in the
sense (13.1.6).
Then the sequence uε has the following properties : there exists a positive constant
c, independent on k, n and ε, such that, for every k > 0, for every n ≥ 0, and for
every ε > 0, we have
Z
1
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) dx ≤ c ,
(13.1.29)
k Ω
Z
1
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) dx ≤ c ,
(13.1.30)
k {n≤uε < n+k}
Z
1
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) dx ≤ c .
(13.1.31)
k {−n−k < uε ≤−n}
From (13.1.29) it follows, by a result in [4] (see also [36]), that
|∇uε |p−1 is bounded in Lq (Ω), for every q < NN−1 .
(13.1.32)
13.2 Approximation des mesures
125
This implies, again by a result in [4] (see also [36]), that there exists a subsequence
of uε , still denoted by uε , and a measurable function u such that uε converges
almost everywhere to u, and Tk (uε ) converges weakly in W01,p (Ω) to Tk (u) for every
k > 0 ; moreover, u is almost everywhere finite, and there exists a positive constant
c, independent on k and n, such that
Z
1
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) dx ≤ c
∀k > 0 ,
k Ω
Z
1
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) dx ≤ c
∀k > 0, ∀n ≥ 0 ,
(13.1.33)
k {n≤u < n+k}
Z
1
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) dx ≤ c
∀k > 0, ∀n ≥ 0 ,
(13.1.34)
k {−n−k < u≤−n}
|∇u|p−1 belongs to Lq (Ω), for every q < NN−1 .
Observe that, in this latter case, ∇u is the “approximate gradient” of u, and not (in
general) its distributional gradient (in (13.1.33) and (13.1.34) it is the distributional
gradient of Tn+k (u)). Furthermore, by a result of [12],
∇uε → ∇u
almost everywhere in Ω.
Thus, by (13.1.3), and by the boundedness of |∇uε |p−1 in Lq (Ω), for every q < NN−1 ,
it follows that
a(x, ∇uε ) → a(x, ∇u)
strongly in (Lq (Ω))N , for every q < NN−1 .
(13.1.35)
13.2 Approximation of measures
In this Section, we give some results about bounded measures on Ω, and define
a fairly general (and suitable for our purposes) way to approximate a measure in
Mb (Ω).
Before giving the results, we recall the definition of p-capacity.
Definition 13.2.1 Let K be a compact subset of Ω. The p-capacity of K with respect
to Ω is defined as :
Z
p
∞
capp (K, Ω) = inf
|∇u| dx : u ∈ Cc (Ω), u ≥ χK ,
Ω
where χK is the characteristic function of K ; we will use the convention that inf Ø =
+∞. The p-capacity of any open subset A of Ω is then defined by :
capp (A, Ω) = sup capp (K, Ω), K compact, K ⊂ A ,
and the p-capacity of any Borelian set B ⊂ Ω by
capp (B, Ω) = inf capp (A, Ω), A open, B ⊂ A .
126
Chap. 13
We remark that, once the p-capacity has been defined as before, then, for every
Borelian subset of Ω,
Z
p
capp (B, Ω) = inf
|∇u| dx ,
Ω
where the infimum is taken over all functions u in W01,p (Ω) such that u = 1 capp -quasi
everywhere on B, and u ≥ 0 capp -quasi everywhere on Ω. In the preceding assertion
we have taken for u its capp -quasi continuous representative.
Definition 13.2.2 We define Mb (Ω) as the set of measures on Ω with bounded total
variation.
We define M0 (Ω) as the set of measures in Mb (Ω) which are absolutely continuous with respect to the p-capacity, that is, µ belongs to M0 (Ω) if and only if
µ(B) = 0 for every Borelian set B such that capp (B, Ω) = 0.
Proposition 13.2.3 Let µ0 be a measure in M0 (Ω), and let v be a function in
W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω). Then v belongs to L∞ (Ω, µ0 ).
Proof. Since v belongs to W01,p (Ω), then v has a capp -quasi continuous representative, which we continue to denote by v. This representative is defined up to a set of
zero p-capacity, so that it is defined µ0 -almost everywhere. Furthermore, since there
exists a non negative constant k such that |v| ≤ k almost everywhere on Ω, we have
that |v| ≤ k capp -quasi everywhere on Ω, and thus µ0 -almost everywhere on Ω. Thus,
v belongs to L∞ (Ω, µ0 ).
We recall that if µ is a measure in Mb (Ω), and E is a borelian subset of Ω, then
the measure µ E is defined by µ E(B) = µ(E ∩ B), for every Borelian subset B
of Ω.
We begin with the following decomposition result.
Proposition 13.2.4 Let µ be a measure in Mb (Ω). Then there exists a unique pair
(µ0 , λ) of measures in Mb (Ω) such that
µ = µ0 + λ ,
with µ0 in M0 (Ω), and λ = µ E, where E is a borelian subset of Ω with
capp (E, Ω) = 0.
Proof. See [27], Lemma 2.1.
If λ is the measure given by the preceding proposition, we decompose it, by Hahn
theorem, as λ = λ+ −λ− , where both λ+ and λ− are non negative measures in Mb (Ω).
Therefore, there exist two subsets of Ω, E + and E − , such that
E+ ∩ E− = Ø ,
E+ ∪ E− = E ,
and
λ+ = λ E + ,
λ− = λ E − .
13.2 Approximation des mesures
127
Thus, we have
capp (E + , Ω) = capp (E − , Ω) = 0 .
Let now δ be a fixed positive number. Due to the regularity of the measures λ+
and λ− , there exist two compact subsets of Ω, Kδ+ and Kδ− , such that
Kδ+ ⊂ E + ,
λ+ (Ω\Kδ+ ) = λ+ (E + \Kδ+ ) ≤ δ ,
Kδ− ⊂ E − ,
λ− (Ω\Kδ− ) = λ− (E − \Kδ− ) ≤ δ .
(13.2.36)
Moreover, since Kδ+ ∩ Kδ− = Ø (because E + ∩ E − = Ø), there exist two open subsets
of Ω, Uδ+ and Uδ− , such that
Kδ+ ⊂ Uδ+ ,
Uδ+ ∩ Uδ− = Ø .
Kδ− ⊂ Uδ− ,
Let us explicitly remark that it may happen that Uδ+ ∩E − 6= Ø, and/or Uδ− ∩E + 6= Ø.
Finally, since capp (E + , Ω) = 0, and capp (E − , Ω) = 0, we have
capp (Kδ+ , Ω) = 0 ,
capp (Kδ− , Ω) = 0 ,
which implies (see for example [30], Lemma 2.9),
capp (Kδ+ , Uδ+ ) = 0 ,
capp (Kδ− , Uδ− ) = 0 .
−
Thus, there exist two functions ψδ+ and ψδ− , and two open sets A+
δ and Aδ , with the
following properties :
Kδ+ ⊂ A+
Kδ− ⊂ A−
(13.2.37)
δ ,
δ ,
ψδ+ ∈ Cc∞ (Uδ+ ) ,
0 ≤ ψδ+ ≤ 1 ,
ψδ+ ≡ 1 on A+
δ ,
Z
Uδ+
|∇ψδ+ |p dx ≤ δ ,
ψδ− ∈ Cc∞ (Uδ− ) ,
(13.2.38)
0 ≤ ψδ− ≤ 1 ,
(13.2.39)
ψδ− ≡ 1 on A−
δ ,
Z
|∇ψδ− |p dx ≤ δ .
(13.2.40)
(13.2.41)
Uδ−
)From now on, we will consider ψδ+ and ψδ− as functions in Cc∞ (Ω), setting ψδ+ ≡ 0
and ψδ− ≡ 0 on, respectively, Ω\Uδ+ and Ω\Uδ− .
In order to deal with µ0 , we recall the following decomposition result.
Proposition 13.2.5 Let µ0 be a measure in Mb (Ω). Then µ0 belongs to M0 (Ω) if
0
and only if it belongs to L1 (Ω) + W −1,p (Ω). Thus, if µ0 belongs to M0 (Ω), there exist
0
f in L1 (Ω), and g in (Lp (Ω))N , such that
µ0 = f − div (g) ,
in the sense of distributions ; moreover one has that
Z
Z
v dµ0 =
f v dx − hg, vi
∀v ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) .
Ω
Ω
(13.2.42)
128
Chap. 13
Proof. See [14], Theorem 2.1.
Note that the decomposition (13.2.42) is not unique (see [14]).
Definition 13.2.6 Let µε be a sequence of measures in Mb (Ω). We say that µε
converges tightly to a measure µ in Mb (Ω) if for every ϕ in C 0 (Ω) we have
Z
Z
lim+
ϕ dµε =
ϕ dµ .
ε→0
Ω
Ω
Let now µ be a measure in Mb (Ω). Thanks to propositions 13.2.4 and 13.2.5, we
can decompose it as
µ = µ0 + λ+ − λ− = f − div (g) + λ+ − λ− .
As already said in Subsection 13.1.4, we will choose the following approximation of
µ:
µε = fε − div (gε ) + (λ+ )ε − (λ− )ε ,
where ε belongs to a sequence of positive numbers that converges to zero, and fε , gε ,
(λ+ )ε and (λ− )ε satisfy (13.1.20)–(13.1.23).
Remark 13.2.7 Such an approximation exists, as it is easily seen by approximating
separately by convolution f , g, λ+ and λ− .
As a consequence of the hypotheses (13.1.20)–(13.1.23) made on the approximations which we consider, we have, for every δ > 0,
Z
Z
Z
−
−
+
+
0≤
ψδ (λ )ε dx =
ψδ dλ + ωδ (ε) =
ψδ− dλ+ + ωδ (ε)
Ω
Uδ−
Ω
≤ λ+ (Uδ− ) + ωδ (ε) ≤ λ+ (Ω\Uδ+ ) + ωδ (ε)
≤ λ+ (Ω\Kδ+ ) + ωδ (ε) ,
and so, recalling (13.2.36),
Z
ψδ− (λ+ )ε dx = ω(δ, ε) ,
Z
ψδ− dλ+ = ω(δ) ,
(13.2.43)
In an analogous way, using again (13.2.36), we have
Z
Z
+
−
ψδ (λ )ε dx = ω(δ, ε) ,
ψδ+ dλ− = ω(δ) .
(13.2.44)
Ω
Ω
Ω
Ω
Let now δ and η be two fixed positive real numbers ; since 1 − ψδ+ ψη+ belongs to
C ∞ (Ω), and is identically zero on Kδ+ ∩ Kη+ , with 0 ≤ 1 − ψδ+ ψη+ ≤ 1, we have, using
13.3 Près de E
129
the tight convergence of (λ+ )ε to λ+ ,
Z
Z
+ +
+
0≤
(1 − ψδ ψη ) (λ )ε dx =
(1 − ψδ+ ψη+ ) dλ+ + ω(ε)
Ω
ZΩ
=
(1 − ψδ+ ψη+ ) dλ+ + ω(ε)
Ω\(Kδ+ ∩Kη+ )
≤ λ+ (Ω\(Kδ+ ∩ Kη+ )) + ω(ε)
≤ λ+ (Ω\Kδ+ )) + λ+ (Ω\Kη+ )) + ω(ε)
≤ δ + η + ω(ε) ,
so that
Z
(1 − ψδ+ ψη+ ) (λ+ )ε dx = ω(η, δ, ε) .
(13.2.45)
Reasoning in the same way, we get
Z
(1 − ψδ− ψη− ) (λ− )ε dx = ω(η, δ, ε) .
(13.2.46)
Ω
Ω
13.3 Near E
In this Section we study the behaviour of the approximate solutions uε near the
set E where the measure λ is concentrated ; here the meaning of “near E” will be
specified through the functions ψδ+ and ψδ− (see the previous Section for the definition
of λ, E, ψδ+ and ψδ− ). We prove that, in some sense, the sequence uε of solutions of
(13.1.24) tends to +∞ on a neighbourhood of E + , and to −∞ on a neighbourhood
of E − ; this will reflect on the behaviour of the gradients of Tk (uε ).
We recall here, for the convenience of the reader, that uε is the unique solution
in W01,p (Ω) of

 −div (a(x, ∇uε )) = fε − div (gε ) + (λ+ )ε − (λ− )ε in Ω,
(13.3.47)

u =0
on ∂Ω,
ε
in the sense (13.1.6). and that fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε satisfy (13.1.20)–(13.1.23). We
will also suppose that we have already extracted a subsequence, still denoted by uε ,
such that (13.1.29)–(13.1.35) hold true.
Our first result is the following.
Lemma 13.3.1 Let fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε be sequences of functions satisfying
(13.1.20)–(13.1.23). Let uε be the solution of (13.3.47), and suppose to have extracted
form uε a subsequence, still denoted by uε , such that (13.1.29)–(13.1.35) hold. Let
η be a positive real number, and let ϕ+ and ϕ− be two non negative functions in
W 1,∞ (Ω) such that
Z
Z
+
0≤
ϕ− dλ ≤ η ,
0≤
ϕ+ dλ− ≤ η .
(13.3.48)
Ω
Ω
130
Chap. 13
We then have
1Z

a(x, ∇uε ) · ∇uε ϕ− dx ≤ ωη (n, ε) + η ,

n
{n≤uε < 2n}
Z



ϕ− (λ− )ε dx ≤ ωη (n, ε) + η ,
(13.3.49)
{uε > 2n}
and
1Z

a(x, ∇uε ) · ∇uε ϕ+ dx ≤ ωη (n, ε) + η ,

n
{−2n < uε ≤−n}
Z



ϕ+ (λ+ )ε dx ≤ ωη (n, ε) + η .
(13.3.50)
{uε < −2n}
Remark 13.3.2 We are going to comment on the results of the previous lemma. We
will discuss only (13.3.49), since the same comments can be made for (13.3.50).
The first inequality of (13.3.49) says, in some sense, that the energy of uε on the
set {n ≤ uε < 2n}, once divided by n, vanishes as ε tends to zero, and then n tends
to infinity, on the set where λ+ is not concentrated. In contrast, note that
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε dx ,
n {n≤uε < 2n}
is bounded with respect to both n and ε (see (13.1.30) with k = n and use the
coercivity (13.1.2)), but does not converge to zero as ε tends to zero and then n tends
to infinity (see (13.5.108), in Section 13.5).
The second part of (13.3.49) describes a similar fact, for what concerns (λ− )ε :
even if we use a test function which is concentrated where (λ− )ε is concentrated
(indeed, no hypotheses are required on the behaviour of ϕ− with respect to λ− ),
the fact that we restrict our attention to the set where uε is larger than 2n yields a
quantity that converges to zero.
Proof of Lemma 13.3.1. Let βn+ (s) = Bn,n (s+ ), where Bn,n is defined in (13.1.28) ;
if we consider the sequence βn+ (uε ), we then have
Z
Z
1
c
+
p
|∇βn (uε )| dx = p
|∇uε |p dx ≤ p−1 ,
(13.3.51)
n {n≤uε < 2n}
n
Ω
by (13.1.30) and the coercivity (13.1.2).
Fix now n and let ε tend to zero. Since βn+ (0) = 0, the sequence βn+ (uε ) is bounded
thus in W01,p (Ω). Furthermore, since uε converges to u almost everywhere, and since
βn+ (s) is continuous and bounded by 1, we have
βn+ (uε ) → βn+ (u) almost everywhere and weakly∗ in L∞ (Ω).
(13.3.52)
This fact, together with (13.3.51), implies
βn+ (uε ) → βn+ (u) weakly in W01,p (Ω).
(13.3.53)
13.3 Près de E
131
Using weak lower semicontinuity in (13.3.51), we have
Z
Z
1
c
+
p
|∇βn (u)| dx =
|∇u|p dx ≤ p−1 .
n {n≤u < 2n}
n
Ω
(13.3.54)
Since βn+ (0) = 0, and since βn+ (s) is bounded by 1, (13.3.54) implies that
βn+ (u) → 0 almost everywhere and weakly∗ in L∞ (Ω),
(13.3.55)
and that
βn+ (u) → 0 weakly in W01,p (Ω).
(13.3.56)
We now choose βn+ (uε ) ϕ− as test function in (13.3.47) (this choice is admissible
since the function belongs to W01,p (Ω)). We obtain
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε ϕ− dx
(A)
n {n≤uε < 2n}
Z
+ a(x, ∇uε ) · ∇ϕ− βn+ (uε ) dx
(B)
Ω
Z
=
fε βn+ (uε ) ϕ− dx
(C)
Ω
− hdiv (gε ), βn+ (uε ) ϕ− i
Z
+ βn+ (uε ) ϕ− (λ+ )ε dx
ZΩ
− βn+ (uε ) ϕ− (λ− )ε dx .
(D)
(E)
(F)
Ω
Recalling that a(x, ∇uε ) converges to a(x, ∇u) strongly in (Lq (Ω))N for every q < NN−1
by (13.1.35), that ϕ− belongs to W 1,∞ (Ω), that (13.3.52) holds, and using (13.3.55),
we obtain
Z
(B) =
a(x, ∇u) · ∇ϕ− βn+ (u) dx + ωn (ε) = ω(n, ε) .
(13.3.57)
Ω
Moreover, using Lemma 13.1.21, (13.3.52), the weak L1 (Ω) convergence of fε to f ,
and (13.3.55), we have
Z
(13.3.58)
(C) =
f βn+ (u) ϕ− dx + ωn (ε) = ω(n, ε) .
Ω
Furthermore,
(D) = −hdiv (g), βn+ (u) ϕ− i + ωn (ε) = ω(n, ε) ,
(13.3.59)
0
due to the strong convergence (13.1.21) of −div (gε ) to −div (g) in W −1,p (Ω) and to
(13.3.53) (for the first limit), and to (13.3.56) (for the second). Finally, since βn+ (uε )
is non negative, and ϕ− is continuous,
Z
Z
+
(E) ≤
ϕ− (λ )ε dx =
ϕ− dλ+ + ω(ε) ≤ η + ω(ε) ,
(13.3.60)
Ω
Ω
132
Chap. 13
where we have used (13.3.48) in the last passage. Thus, observing that
Z
−(F) ≥
ϕ− (λ− )ε dx ,
(13.3.61)
{uε > 2n}
we obtain, putting together (13.3.57)–(13.3.61),
Z
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε ϕ− dx +
ϕ− (λ− )ε dx ≤ ω(n, ε) + η ,
n {n≤uε < 2n}
{uε > 2n}
which is (13.3.49) since both terms are non negative.
Estimate (13.3.50) can be obtained exactly in the same way, using βn− (s) =
Bn,n (s− ), and ϕ+ as test functions, as well as the second part of (13.3.48).
Lemma 13.3.3 Let k be a positive real number. Let fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε
be sequences of functions satisfying (13.1.20)–(13.1.23). Let uε be the solution of
(13.3.47), and suppose to have extracted form uε a subsequence, still denoted by uε ,
such that (13.1.29)–(13.1.35) hold. Let ψδ+ and ψδ− , as well as ψη+ and ψη− , be functions
which satisfy (13.2.38)–(13.2.41). Then the following holds
 Z


a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) ψδ+ ψη+ dx = ω(η, δ, ε) ,

Z Ω
(13.3.62)

+ +
+

(k − Tk (uε )) ψδ ψη (λ )ε dx = ω(η, n, δ, ε) .

{−n≤uε ≤k}
Z




a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) ψδ− ψη− dx = ω(η, δ, ε) ,
Ω
(13.3.63)
Z



(k +
{−k≤uε ≤n}
Tk (uε )) ψδ−
ψη−
−
(λ )ε dx = ω(η, n, δ, ε) .
Remark 13.3.4 As in Remark 13.3.2, some comments are in order. The first result
in (13.3.62) can be seen as a result giving some properties of Tk (uε ) and Tk (u) near the
set E + . Indeed, using the almost everywhere convergence of a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε )
to a(x, ∇Tk (u))·∇Tk (u) and Fatou lemma (since, by the coercivity condition (13.1.2),
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) is non negative), we obtain
Z
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) ψδ+ ψη+ dx = ω(η, δ) ,
Ω
so that, since
ψδ+
+
ψη+ ≡ 1 on A+
δ ∩ Aη , we have
Z
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) dx = ω(η, δ) ,
+
A+
δ ∩Aη
for every k > 0. This means that u is very large near the set E + , so that Tk (u) is
equal to k, and thus its gradient is zero near E + .
The second inequality of (13.3.62) states the same fact in terms of λ+ : the set
where u is smaller than k, has little (and, actually, zero) measure with respect to
λ+ . Since k is arbitrary, this means, grosso modo, that u is λ+ almost everywhere
positively infinite on E + .
The same remarks can be made on (13.3.63).
13.3 Près de E
133
Proof of Lemma 13.3.3. Let k > 0 be fixed, and let n in N be such that n > k.
Let hn (s) = Hn,n (s), where Hn,n is defined in (13.1.27). Reasoning as in the proof of
Lemma 13.3.1 (that is, using again (13.1.30)), and observing that hn (uε ) is bounded
by 1, we get that for n fixed
hn (uε ) → hn (u) almost everywhere and weakly∗ in L∞ (Ω),
hn (uε ) → hn (u) weakly in W 1,p (Ω).
(13.3.64)
(13.3.65)
We choose as test function in (13.3.47)
(k − Tk (uε )) hn (uε ) ψδ+ ψη+ ,
which is admissible since it belongs to W01,p (Ω). We obtain
Z
− a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) hn (uε ) ψδ+ ψη+ dx
Ω Z
+ a(x, ∇uε ) · ∇uε h0n (uε )(k − Tk (uε )) ψδ+ ψη+ dx
ZΩ
+ a(x, ∇uε ) · ∇ψδ+ hn (uε )(k − Tk (uε )) ψη+ dx
ZΩ
+ a(x, ∇uε ) · ∇ψη+ hn (uε )(k − Tk (uε )) ψδ+ dx
Ω
Z
=
fε (k − Tk (uε )) hn (uε ) ψδ+ ψη+ dx
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Ω
− hdiv (gε ), (k − Tk (uε )) hn (uε ) ψδ+ ψη+ i
Z
+ (k − Tk (uε )) hn (uε ) ψδ+ ψη+ (λ+ )ε dx
ZΩ
− (k − Tk (uε )) hn (uε ) ψδ+ ψη+ (λ− )ε dx .
(F)
(G)
(H)
Ω
Since n is larger than k, then k − Tk (uε ) = 2k on the set {−2n < uε ≤ −n}, and
k − Tk (uε ) = 0 on the set {n ≤ uε < 2n}, we have
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε (k − Tk (uε )) ψδ+ ψη+ dx
(B) =
n {−2n
Z < uε ≤−n}
1
−
a(x, ∇uε ) · ∇uε (k − Tk (uε )) ψδ+ ψη+ dx .
n
Z {n≤uε < 2n}
2k
=
a(x, ∇uε ) · ∇uε ψδ+ ψη+ dx ,
n {−2n < uε ≤−n}
and so, since the integrand functions are non negative, and ψδ+ ≤ 1, we have
Z
2k
(B) ≤
a(x, ∇uε ) · ∇uε ψη+ dx .
n {−2n < uε ≤−n}
Thus, by (13.3.50), which we can apply since ϕ+ = ψη+ is such that (13.3.48) holds
thanks to (13.2.44),
(B) = ω(η, n, ε) .
(13.3.66)
134
Chap. 13
Furthermore, since for k fixed k −Tk (uε ) converges to k −Tk (u) in the weak∗ topology
of L∞ (Ω), and since (13.3.64) holds, we have, since supp (hn ) = [−2n, 2n],
Z
a(x, ∇T2n (u)) · ∇ψδ+ hn (u)(k − Tk (u)) ψη+ dx + ωη,n,δ (ε) = ωη,n (δ, ε) ,
(C) =
Ω
(13.3.67)
where the last statement is due to the fact that ψδ+ converges strongly to zero
0
in W01,p (Ω) (see (13.2.41)), that a(x, ∇T2n (u)) hn (u) belongs to (Lp (Ω))N , while
(k − Tk (u)) ψη+ belongs to L∞ (Ω). Similarly, we have
Z
(D) =
a(x, ∇T2n (u)) · ∇ψη+ hn (u)(k − Tk (u)) ψδ+ dx + ωη,n,δ (ε) = ωη,n (δ, ε) .
Ω
(13.3.68)
As for the right hand side, we have, by Lemma 13.1.21,
Z
(E) =
f (k − Tk (u)) hn (u) ψδ+ ψη+ dx + ωη,n,δ (ε) = ωη,n (δ, ε) ,
(13.3.69)
Ω
since fε converges weakly to f in L1 (Ω), since (13.3.64) holds, and since k − Tk (uε )
converges to k − Tk (u) weakly∗ in L∞ (Ω) and almost everywhere ; the second limit
is performed using again the fact that ψδ+ converges to zero in the weak∗ topology of
L∞ (Ω), while the term f (k − Tk (u)) hn (u) ψη+ belongs to L1 (Ω).
We then have
(F) = −hdiv (g), (k − Tk (u)) hn (u) ψδ+ ψη+ i + ωη,n,δ (ε) ,
0
since −div (gε ) converges to −div (g) strongly in W −1,p (Ω), while, as ε tends to zero,
the sequence (k−Tk (uε )) hn (uε ) ψδ+ ψη+ converges to (k−Tk (u)) hn (u) ψδ+ ψη+ weakly in
W01,p (Ω) (this easily follows from the weak convergence of Tk (uε ) to Tk (u) in W01,p (Ω)
and from (13.3.64) and (13.3.65)). Thus, since (k − Tk (u)) hn (u) ψδ+ ψη+ converges
strongly to zero in W01,p (Ω) as δ tends to zero (this is due to (13.2.41)), we have
(F) = ωη,n (δ, ε) .
(13.3.70)
Finally, thanks to (13.2.44),
Z
Z
+
−
ψη (λ )ε dx = 2k
ψη+ dλ− + ωη (ε) ≤ 2kη + ωη (ε) = ω(η, ε) .
− (H) ≤ 2k
Ω
Ω
(13.3.71)
Putting together (13.3.66)–(13.3.71), we have
−(A) + (G) = ω(η, n, δ, ε) .
Since n > k we have
Z
−(A) =
Ω
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) ψδ+ ψη+ dx ,
(13.3.72)
13.4 Loin de E
135
and
Z
(G) ≥
{−n≤uε ≤k}
(k − Tk (uε )) ψδ+ ψη+ (λ+ )ε dx ,
(13.3.72) implies (13.3.62).
The estimate (13.3.63) is obtained in the same way, choosing as test function
(k + Tk (uε )) hn (uε ) ψδ− ψη− ,
and using the corresponding properties of ψδ− , ψη− , (λ+ )ε and (λ− )ε .
13.4 Far from E
This section will be devoted to the proof of the following result.
Lemma 13.4.1 Let k be a positive real number. Let fε , gε , (λ+ )ε and (λ− )ε
be sequences of functions satisfying (13.1.20)–(13.1.23). Let uε be the solution of
(13.3.47), and suppose to have extracted form uε a subsequence, still denoted by uε ,
such that (13.1.29)–(13.1.35) hold. Let ψδ+ and ψδ− , as well as ψη+ and ψη− , be functions
which satisfy (13.2.38)–(13.2.41), and define, for δ > 0 and η > 0
Φδ,η = ψδ+ ψη+ + ψδ− ψη− .
Then we have the following
Z
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) (1 − Φδ,η ) dx
Ω
Z
− a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) (1 − Φδ,η ) dx = ω(η, δ, ε) .
(13.4.73)
(13.4.74)
Ω
Remark 13.4.2 The meaning of (13.4.74) is, roughly speaking, that a(x, ∇Tk (uε )) ·
∇Tk (uε ) strongly converges to a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) in L1 (Ω) if we stay away from
E.
We split the proof into various lemmas. We begin with the following result.
Lemma 13.4.3 Under the hypotheses of Lemma 13.4.1 we have
Z
Ω
Z
− a(x, ∇u) · ∇Φδ,η Tk (u) dx
ZΩ
− f (1 − Φδ,η ) Tk (u) dx
Ω
+ hdiv (g), (1 − Φδ,η ) Tk (u)i = ω(η, δ, ε) .
(13.4.75)
136
Chap. 13
Proof. We choose (1 − Φδ,η ) Tk (uε ) as test function in (13.3.47) (this can be done
since this function belongs to W01,p (Ω)) ; we get
Z
(A)
Ω
Z
(B)
− a(x, ∇uε ) · ∇Φδ,η Tk (uε ) dx
Ω
Z
=
fε (1 − Φδ,η ) Tk (uε ) dx
(C)
Ω
− hdiv (gε ), (1 − Φδ,η ) Tk (uε )i
Z
+ (1 − Φδ,η ) Tk (uε ) (λ+ )ε dx
ZΩ
− (1 − Φδ,η ) Tk (uε ) (λ− )ε dx .
(D)
(E)
(F)
Ω
Since Φδ,η belongs to Cc∞ (Ω), since a(x, ∇uε ) converges to a(x, ∇u) strongly in
(Lq (Ω))N for every q < NN−1 by (13.1.35), and since Tk (uε ) converges weakly∗ in L∞ (Ω)
and almost everywhere to Tk (u), we have
Z
(B) =
a(x, ∇u) · ∇Φδ,η Tk (u) dx + ωη,δ (ε) .
(13.4.76)
Ω
Since for η and δ fixed, (1 − Φδ,η ) Tk (uε ) converges to (1 − Φδ,η ) Tk (u) weakly∗ in
L∞ (Ω) and almost everywhere in Ω, while fε converges weakly to f in L1 (Ω), we get,
by Lemma 13.1.21,
Z
(C) =
f (1 − Φδ,η ) Tk (u) dx + ωη,δ (ε) .
(13.4.77)
Ω
Since for η and δ fixed, (1 − Φδ,η ) Tk (uε ) converges to (1 − Φδ,η ) Tk (u) weakly in
0
W01,p (Ω), and since −div (gε ) converges to −div (g) strongly in W −1,p (Ω), we obtain
(D) = −hdiv (g), (1 − Φδ,η ) Tk (u)i + ωη,δ (ε) .
(13.4.78)
For (E), we have, using the tight convergence of (λ+ )ε to λ+ , the definition
(13.4.73) of Φδ,η , and (13.2.45) and (13.2.43),
Z
Z
+
|(E)| ≤ k
(1 − Φδ,η ) (λ )ε dx = k
(1 − Φδ,η ) dλ+ + ωη,δ (ε)
ZΩ
Z Ω
≤ k
(1 − ψδ+ ψη+ ) dλ+ + k
ψδ− ψη− dλ+ + ωη,δ (ε)
ZΩ
Z Ω
(13.4.79)
−
+
+
+
(1 − ψη ) dλ + k
ψη dλ + ωη (δ, ε)
≤ k
Ω
Ω
= ω(η, δ, ε) .
In the same way, using (13.2.46) and (13.2.44), we obtain
|(F)| = ω(η, δ, ε) .
Putting together (13.4.76)–(13.4.80), we obtain (13.4.75).
(13.4.80)
13.4 Loin de E
137
Lemma 13.4.4 Under the hypotheses of Lemma 13.4.1, we have
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε (1 − Φδ,η ) dx = ω(η, δ, n, ε) .
n {n≤|uε | < 2n}
(13.4.81)
Proof. We split the left hand side of (13.4.81) into the sum of four terms :
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε (1 − ψδ+ ψη+ ) dx ,
n {n≤uε < 2n}
Z
1
−
a(x, ∇uε ) · ∇uε ψδ− ψη− dx ,
n {n≤uε < 2n}
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε (1 − ψδ− ψη− ) dx ,
n {−2n < uε ≤−n}
and
1
−
n
Z
{−2n < uε ≤2n}
a(x, ∇uε ) · ∇uε ψδ+ ψη+ dx .
For every term above we can apply the result of Lemma 13.3.1. Indeed, if we define
ϕ− = 1 − ψδ+ ψη+ , we have, by (13.2.45),
Z
ϕ− dλ+ ≤ δ + η ,
Ω
and so ϕ− satisfies (13.3.48) ; this implies, by (13.3.49), that
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε (1 − ψδ+ ψη+ ) dx ≤ ωη,δ (n, ε) + δ + η = ω(η, δ, n, ε) .
n {n≤uε < 2n}
The same thing clearly holds if we define ϕ+ = 1 − ψδ− ψη− and use (13.2.46), so that
we get
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε (1 − ψδ− ψη− ) dx ≤ ωη, δ(n, ε) + δ + η = ω(η, δ, n, ε) .
n {−2n < uε ≤−n}
Moreover, if we set ϕ− = ψδ− ψη− , we have
Z
Z
−
+
ϕ dλ ≤
ψη− dλ+ ≤ η ,
Ω
Ω
by (13.2.43) ; this implies, again by Lemma 13.3.1, that
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε ψδ− ψη− dx ≤ ωη,δ (n, ε) + η = ω(η, δ, n, ε) .
n {n≤uε < 2n}
The same technique, with ϕ+ = ψδ+ ψη+ , yields
Z
1
a(x, ∇uε ) · ∇uε ψδ+ ψη+ dx ≤ ωη,δ (n, ε) = ω(η, δ, n, ε) .
n {−2n < uε ≤2n}
Putting together the estimates we have obtained on the four terms, we get
(13.4.81).
138
Chap. 13
Lemma 13.4.5 Under the hypotheses of Lemma 13.4.1, we have
Z
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) (1 − Φδ,η ) dx
Ω
Z
− a(x, ∇u) · ∇Φδ,η Tk (u) dx
ZΩ
− f (1 − Φδ,η ) Tk (u) dx
Ω
+ hdiv (g), (1 − Φδ,η ) Tk (u)i = ω(η, δ) .
(13.4.82)
Proof. Let k > 0 be fixed, let n ∈ N be such that n > k, and define hn (s) = Hn,n (s)
as in the proof of Lemma 13.3.3 ; we thus have that hn (uε ) satisfies (13.3.64) and
(13.3.65). Moreover, using the definition of hn and (13.3.64) and (13.3.65) with k = n,
we have
hn (u) → 1 almost everywhere and weakly∗ in L∞ (Ω),
hn (u) → 1 weakly in W 1,p (Ω).
(13.4.83)
(13.4.84)
We choose as test function in (13.3.47)
Tk (u)(1 − Φδ,η ) hn (uε ) ,
which belongs to W01,p (Ω). We obtain
Z
a(x, ∇uε ) · ∇Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (uε ) dx
Ω
Z
− a(x, ∇uε ) · ∇Φδ,η Tk (u) hn (uε ) dx
ZΩ
+ a(x, ∇uε ) · ∇uε Tk (u) (1 − Φδ,η ) h0n (uε ) dx
Ω
Z
fε Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (uε ) dx
=
(A)
(B)
(C)
(D)
Ω
− hdiv (gε ), Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (uε )i
Z
+ Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (uε ) (λ+ )ε dx
ZΩ
− Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (uε ) (λ− )ε dx .
(E)
(F)
(G)
Ω
Since a(x, ∇uε ) hn (uε ) = a(x, ∇T2n (uε )) hn (uε ), the sequence a(x, ∇uε ) hn (uε )
0
converges to a(x, ∇T2n (u)) hn (u) weakly in (Lp (Ω))N as ε tends to zero. Thus, we
have, since n > k,
Z
(A) =
a(x, ∇T2n (u)) · ∇Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (u) dx + ωη,δ,n (ε)
ZΩ
(13.4.85)
=
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) (1 − Φδ,η ) dx + ωη,δ (n, ε) .
Ω
13.5 Démonstration des résultats
139
Moreover, we have
Z
(B) =
a(x, ∇u) · ∇Φδ,η Tk (u) hn (u) dx + ωη,δ,n (ε)
−
ZΩ
=
−
(13.4.86)
a(x, ∇u) · ∇Φδ,η Tk (u) dx + ωη,δ (n, ε) ,
Ω
where the first statement holds since a(x, ∇uε ) converges strongly to a(x, ∇u) in
(Lq (Ω))N , for every q < NN−1 , Φδ,η belongs to Cc∞ (Ω), and hn (uε ) satisfies (13.3.64) ;
the second one is due to (13.4.83). Furthermore, by the result of Lemma 13.4.4,
Z
k
|(C)| ≤
a(x, ∇uε ) · ∇uε (1 − Φδ,η ) dx = ω(η, δ, n, ε) ,
(13.4.87)
n {n≤|uε | < 2n}
As for the right hand side, we have
Z
(D) =
f Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (u) dx + ωη,δ,n (ε)
ZΩ
=
f Tk (u) (1 − Φδ,η ) dx + ωη,δ (n, ε) ,
(13.4.88)
Ω
by (13.3.64), and by the weak convergence of fε to f weakly in L1 (Ω) (we have applied
again Lemma 13.1.21) ; the second statement is due to (13.4.83). Moreover,
(E) =
=
− hdiv (g), Tk (u) (1 − Φδ,η ) hn (u)i + ωη,δ,n (ε)
(13.4.89)
− hdiv (g), Tk (u) (1 − Φδ,η )i + ωη,δ (n, ε) ,
where the first statement holds since −div (gε ) converges to −div (g) strongly in
0
W −1,p (Ω), while hn (uε ) satisfies (13.3.65), while the second one is due to the fact
that hn (u) satisfies (13.4.84). The two remaining terms are estimated as follows using
(13.2.45) and (13.2.43) :
Z
|(F)| ≤ k
(1 − Φδ,η ) (λ+ )ε dx ≤ ω(η, δ, ε) .
(13.4.90)
Ω
Analogously, we get
|(G)| ≤ ω(η, δ, ε) .
(13.4.91)
Putting together (13.4.85)–(13.4.91), we have proved (13.4.82), since the right hand
isde of (13.4.82) does not depend on ε.
Proof of Lemma 13.4.1. It is enough to put together the estimates (13.4.75) and
(13.4.82) in order to obtain (13.4.74).
13.5 Proof of the results
13.5.1 Proof of the strong convergence
We begin this section with the proof of Theorem 13.1.20.
140
Chap. 13
Proof of Theorem 13.1.20. Let η and δ be fixed positive real numbers, and
let Φδ,η = 1 − ψδ+ ψη+ − ψδ− ψη− . Let uε be the sequence of solutions of (13.3.47),
and suppose to have extracted from it a subsequence, still denoted by uε , such that
(13.1.29)–(13.1.35) hold. We have
Z
[a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) − a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u)] dx
(A)
Ω
Z
=
[a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) − a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u)] (1 − Φδ,η ) dx
(B)
Ω
Z
(C)
+ a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) (ψδ+ ψη+ + ψδ− ψη− ) dx
Ω
Z
(D)
− a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) (ψδ+ ψη+ + ψδ− ψη− ) dx .
Ω
Thanks to (13.4.74), proved in Lemma 13.4.1, we have
|(B)| = ω(η, δ, ε) .
(13.5.92)
Thanks to (13.3.62) and (13.3.63) (proved in Lemma 13.3.3), we have
(C) = ω(η, δ, ε) ,
(13.5.93)
while, being a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) in L1 (Ω), and since ψδ+ ψη+ + ψδ− ψη− converges to
zero in the weak∗ topology of L∞ (Ω), we have
−(D) = ω(η, δ) .
(13.5.94)
Thus, by (13.5.92)–(13.5.94), we have
|(A)| = ω(η, δ, ε) ,
which implies
Z
Z
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) dx =
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u) dx + ω(ε) .
Ω
(13.5.95)
Ω
Since a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) is a sequence of non negative functions that converges
almost everywhere to a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u), (13.5.95) implies that
a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) → a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u)
strongly in L1 (Ω).
But then, by (13.1.2), we have
α |∇Tk (uε )|p ≤ a(x, ∇Tk (uε )) · ∇Tk (uε ) ,
so that, since ∇Tk (uε ) converges almost everywhere, a generalized version of the
Lebesgue theorem yields that ∇Tk (uε ) is strongly compact in (Lp (Ω))N ; since its
almost everywhere limit is ∇Tk (u), we obtain that
∇Tk (uε ) → ∇Tk (uε )
and this concludes the proof.
strongly in (Lp (Ω))N ,
141
13.5.2 Importance of sign restriction on (λ+ )ε and (λ− )ε
Remark 13.5.1 We want to remark that if the sequences (λ+ )ε and (λ− )ε are not
made of non negative functions, the result may not be true. This is the case of the
following two examples.
Example 13.5.2 In [20] (see also [17], where this example has been quoted in
relation with strong convergence of truncations) it is considered a sequence uε of
functions in H01 (Ω) that solve the following problem

 −∆uε = µε − λε in Ω,

u =0
on ∂Ω,
ε
where µε and λε are two sequences of non negative elements in H −1 (Ω), which both
converge to the Lebesgue measure on Ω, the first in the weak∗ topology of measures,
and the second weakly in H −1 (Ω) (we are thus outside our framework, since we require
the term in H −1 (Ω) to be strongly convergent). Since 0 ≤ uε ≤ 1, and since uε does
not converge strongly in H01 (Ω), we thus have that T1 (uε ) does not converge strongly
in H01 (Ω), and so the result of Theorem 13.1.20 does not hold.
One may think that the result fails since we are approximating a measure which
is not concentrated on a set of zero capacity, but this is not true, as the following
example shows.
Example 13.5.3 Let N = 4, and let Ω = B1 (0) = {x ∈ R4 : |x| < 1} ; consider the
sequence uε of solutions of

 −∆uε = (λ+ )ε − (λ− )ε in Ω,

u =0
on ∂Ω,
ε
where
(λ+ )ε =
1
(χBε (0) + χB √4 6 ε (0)\B √4 5 ε (0) ) ,
ε4
(λ− )ε =
1
χB √4 (0)\B √4 (0) .
5ε
3ε
ε4
It is easily seen that both (λ+ )ε and (λ− )ε converge in the weak∗ topology of measures
to the Dirac’s delta (times a constant) concentrated in the origin. Since the solution
uε is radial, it can be explicitly calculated ; it is then easy to see that uε ≡ 0 on
4
B1 (0)\B √
6 ε (0), so that uε converges to zero almost everywhere in Ω. Furthermore,
+
since (λ )ε +(λ− )ε is bounded in L1 (Ω), then uε is bounded in W01,q (Ω), for every q < 43
(see [12]). This implies (by Rellich theorem) that uε is strongly convergent in L1 (Ω)
(for example). Since its almost everywhere limit is zero, then uε converges strongly
to zero in L1 (Ω). Let us study the behaviour of T√k (uε ). Using
again the explicit form
√
4
4
of uε , it is easy to see that, for ρ = |x| between 2 ε and 3 ε, we have
1 1
c
uε (ρ) =
− −1 ,
8 ρ2 ε 2
142
Chap. 13
√
where c is a positive constant, independent on ε, such√that uε ( 4 2 ε) is positive (and
actually diverges to +∞ as ε tends to zero), while uε ( 4 3 ε) is negative (and actually
diverges to −∞ as ε tends to zero). Thus,√if k is√fixed, and ε is small enough, the set
4
4
−
{|uε | ≤ k} contains a subset (ρ+
3 ε), where
ε , ρε ) of ( 2 ε,
c
1
= 2 + 8k + 1 ,
+
2
(ρε )
ε
1
c
= 2 − 8k + 1 .
+
2
(ρε )
ε
Thus, if ω4 is the three-dimensional measure of ∂Ω,
Z
2
Z
|∇Tk (uε )| dx ≥ ω4
ρ−
ε
ρ+
ε
Ω
|u0ε (ρ)|2
ω4
ρ dρ =
32
3
1
1
− − 2
+
2
(ρε )
(ρε )
=
ω4 k
,
2
so that Tk (uε ) does not converge to Tk (u) = 0 strongly in H01 (Ω). Hence, the result
of Theorem 13.1.20 does not hold. We remark that we have (again by explicit
calculations) that
1
n
Z
1
|∇uε | dx = 1 + ω(n, ε) =
n
{n≤uε < 2n}
2
Z
|∇uε |2 dx .
{−2n < uε ≤−n}
13.5.3 Proof of existence of renormalized solutions
We give now the proof of Theorem 13.1.16. The proof will be splitted in four
steps. We begin by proving that the function u which is the limit of the subsequence
of uε given by Theorem 13.1.20 satisfies (13.1.15), and then that it is a renormalized
solution in the sense of Definition 13.1.10. The third step is the proof that the limit
function u satisfies (13.1.13) and (13.1.14), so that, together with Step 1, we have
that u is a renormalized solution of (13.0.1) in the sense of Definition 13.1.7 ; we
finally prove that u is a renormalized solution in the sense of Definition 13.1.2.
Step 1 : obtaining (13.1.15). Let h be a function in W 1,∞ (R) such that h has
compact support in R, and let ϕ be a function in W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω). We consider the
sequence of functions h(uε ). If supp (h) ⊆ [−M, M ], we have
|∇h(uε )|p = |∇uε |p |h0 (uε )|p ≤ c |∇TM (uε )|p .
Since TM (uε ) is strongly convergent in (Lp (Ω))N by the result of Theorem 13.1.20,
and since ∇h(uε ) is almost everywhere convergent to ∇h(u) (due to the continuity of
h and the almost everywhere convergence of uε and ∇uε to u and ∇u respectively),
we have that ∇h(uε ) is strongly convergent to ∇h(u) in (Lp (Ω))N by a generalized
version of the Lebesgue theorem. Moreover, since h is bounded, we also have that
h(uε ) is bounded in Lr (Ω) for every r ; since it is almost everywhere convergent, we
have that it is strongly convergent to h(u) in Lp (Ω). Thus, h(uε ) converges to h(u)
strongly in W 1,p (Ω). Furthermore, the boundedness of h, and the almost everywhere
convergence of h(uε ), imply that h(uε ) converges to h(u) in the weak∗ topology of
L∞ (Ω).
We now choose h(uε ) ϕ as test function in (13.3.47). We obtain
Z
a(x, ∇uε ) · ∇h(uε ) ϕ dx
Ω Z
+ a(x, ∇uε ) · ∇ϕ h(uε ) dx
Z Ω
fε h(uε ) ϕ dx
=
143
(A)
(B)
(C)
Ω
− hdiv (gε ), h(uε ) ϕi
Z
+ (λ+ )ε h(uε ) ϕ dx
ZΩ
− (λ− )ε h(uε ) ϕ dx .
(D)
(E)
(F)
Ω
We have, since supp (h) ⊆ [−M, M ],
Z
(A) =
a(x, ∇TM (uε )) · ∇h(uε ) ϕ dx
ZΩ
=
a(x, ∇TM (u)) · ∇h(u) ϕ dx + ω(ε)
ZΩ
=
a(x, ∇u) · ∇u h0 (u) ϕ dx + ω(ε) ,
(13.5.96)
Ω
since we have the strong convergence of ∇h(uε ) and ∇TM (uε ) in (Lp (Ω))N , and since
ϕ belongs to L∞ (Ω). Furthermore
Z
a(x, ∇u) · ∇ϕ h(u) dx + ω(ε) ,
(13.5.97)
(B) =
Ω
since a(x, ∇uε ) h(uε ) = a(x, ∇TM (uε )) h(uε ), and so it is strongly convergent in
0
(Lp (Ω))N to a(x, ∇u) h(u) as ε tends to zero ; the result then follows since ϕ belongs
to W01,p (Ω). As for the right hand side, we have
Z
(C) =
f h(u) ϕ dx + ω(ε) ,
(13.5.98)
Ω
since fε converges weakly in L1 (Ω) to f , while h(uε ) converges to h(u) weakly∗ in
L∞ (Ω) and almost everywhere, and ϕ is in L∞ (Ω) (as usual, this is due to Lemma
13.1.21). We then have
(D) = −hdiv (g), h(u) ϕi + ω(ε) ,
(13.5.99)
since −div (gε ) converges strongly to −div (g) in W −1,p (Ω), while h(uε ) ϕ converges
strongly to h(u) ϕ in W01,p (Ω) as ε tends to zero. It remains to deal with the two
latter terms. Since ϕ belongs to L∞ (Ω), we have
Z
|(E)| ≤ kϕkL∞ (Ω)
(λ+ )ε |h(uε )| dx
Z
Ω
(λ+ )ε (1 − ψδ+ ψη+ ) dx
= kϕkL∞ (Ω) khkL∞ (R)
{|uε |≤M }
Z
+ kϕkL∞ (Ω)
(λ+ )ε |h(uε )| ψδ+ ψη+ dx .
{|uε |≤M }
144
Chap. 13
For the first term, we have
Z
kϕkL∞ (Ω) khkL∞ (R)
{|uε |≤MZ}
≤ kϕkL∞ (Ω) khkL∞ (R)
(λ+ )ε (1 − ψδ+ ψη+ ) dx
(13.5.100)
+
(λ )ε (1 −
ψδ+
ψη+ ) dx
= ω(η, δ, ε) ,
Ω
by (13.2.45). For the second term, we begin remarking that if h belongs to W 1,∞ (R),
and has compact support in R, then there exists a positive real number M1 such that
|h(t)| ≤ M1 − TM1 (t)
∀t ∈ R .
Thus
Z
kϕkL∞ (Ω)
{|uε |≤MZ}
≤ kϕkL∞ (Ω)
(λ+ )ε |h(uε )| ψδ+ ψη+ dx
{|uε |≤M }
(13.5.101)
(λ+ )ε (M1 − TM1 (uε )) ψδ+ ψη+ dx = ω(η, δ, ε) ,
by the second of (13.3.62) (choosing n greater than M ). Thus, by (13.5.100) and
(13.5.101), we have
|(E)| = ω(η, δ, ε) .
(13.5.102)
In the same way,
|(F)| = ω(η, δ, ε) .
(13.5.103)
Putting together (13.5.96)–(13.5.103), we obtain that u is such that
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇(h(u) ϕ) dx =
f h(u) ϕ dx − hdiv (g), h(u) ϕi .
Ω
Ω
for every h in W (R) with compact support in R, and for every ϕ in W01,p (Ω) ∩
L∞ (Ω), and this is exactly (13.1.15) if we represent µ0 as f − div (g).
1,∞
Step 2 : obtaining (13.1.17). Let h be a function in W 1,∞ (R) such that h0 has
compact support in R, and let ϕ be a function in W01,r (Ω) for r > N . Define h+∞ the
limit of h(s) at +∞, and h−∞ the limit of h at −∞. Reasoning as in Step 1, it is
easy to see that the sequence h(uε ) is strongly convergent to h(u) in W 1,p (Ω), and
that it converges to the same function in the weak∗ topology of L∞ (Ω) and almost
everywhere.
If we choose h(uε ) ϕ as test function in (13.3.47), we obtain
Z
a(x, ∇uε ) · ∇uε h0 (uε ) ϕ dx
(A)
Ω Z
(B)
+ a(x, ∇uε ) · ∇ϕ h(uε ) dx
Ω
Z
=
fε h(uε ) ϕ dx
(C)
Ω
− hdiv (gε ), h(uε ) ϕi
Z
+ (λ+ )ε h(uε ) ϕ dx
ZΩ
− (λ− )ε h(uε ) ϕ dx ,
Ω
(D)
(E)
(F)
145
and every term, but (B), (E) and (F), can be treated exactly as in Step 1. We have
Z
a(x, ∇u) · ∇ϕ h(u) dx + ω(ε) ,
(B) =
Ω
Since a(x, ∇uε ) converges strongly to a(x, ∇u) in (Lq (Ω))N , for every q < NN−1 by
(13.1.35), since ϕ is in W01,r (Ω) for r > N , and since h(uε ) is weakly∗ convergent in
L∞ (Ω) to h(u). As for the other terms, we have
Z
(E) =
+
+∞
(λ )ε h
Z
(λ+ )ε (h(uε ) − h+∞ ) ϕ dx .
ϕ dx +
Ω
Ω
Since (λ+ )ε is weakly∗ convergent in the sense of measures to λ+ , and ϕ is continuous,
the first term of the above identity converges to
+∞
Z
h
ϕ dλ+ .
(13.5.104)
Ω
As for the second term, we observe that h(uε )−h+∞ is zero on the set uε > M2 , where
M2 is such that supp (h0 ) ⊆ [−M2 , M2 ], and so
Z
+
+∞
(λ )ε (h(uε ) − h ) ϕ dx
Ω
Z
≤ kϕkL∞ (Ω)
(λ+ )ε |h(uε ) − h+∞ | dx
{uε ≤M2 } Z
≤ 2kϕkL∞ (Ω) khkL∞ (R)
(λ+ )ε (1 − ψδ+ ψη+ ) dx
{uε ≤M2 }
Z
+ kϕkL∞ (Ω)
(λ+ )ε |h(uε ) − h+∞ | ψδ+ ψη+ dx .
(13.5.105)
{uε ≤M2 }
As in Step 1, the first term of the right hand side is such that
Z
2kϕkL∞ (Ω) khkL∞ (R)
{uε ≤M2 }
(λ+ )ε (1 − ψδ+ ψη+ ) dx = ω(η, δ, ε) ,
(13.5.106)
thanks to (13.2.45). Moreover, since there exists a positive real number M3 such that
|h(uε ) − h+∞ | ≤ M3 − TM3 (t)
∀t ∈ R ,
the second term in the right hand side of (13.5.105) can be estimated as follows (we
146
Chap. 13
forget the term kϕkL∞ (Ω) since it is a constant) :
Z
{uε ≤M2Z
}
(λ+ )ε |h(uε ) − h+∞ | ψδ+ ψη+ dx
≤
Z{uε ≤M2 }
(λ+ )ε (M3 − TM3 (uε )) ψδ+ ψη+ dx
(λ+ )ε (M3 − TM3 (uε )) ψδ+ ψη+ dx
=
{−n≤u
Z ε ≤M2 }
+
Z
{uε < −n}
(λ+ )ε (M3 − TM3 (uε )) ψδ+ ψη+ dx
(13.5.107)
(λ+ )ε (M3 − TM3 (uε )) ψη+ dx
≤
{−n≤uε ≤M
Z 2}
(λ+ )ε ψη+ dx
+ 2M3
{uε < −n}
= ω(η, n, ε) .
To obtain the result, we have used (13.3.50) (to deal with the integral on the set
{uε < −n}), and (13.3.62) (to deal with the integral on the set {−n ≤ uε ≤ M2 }).
Using (13.5.106) and (13.5.107) in (13.5.105), we get
Z
+
+∞
(λ )ε (h(uε ) − h ) ϕ dx = ω(ε) .
Ω
This, together with (13.5.104), yields
+∞
Z
ϕ dλ+ + ω(ε) .
(E) = h
Ω
Reasoning in the same way, we get
−∞
Z
(F) = −h
ϕ dλ− + ω(ε) .
Ω
Putting together all the results, we obtain
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇(h(u) ϕ) dx =
f h(u) ϕ dx − hdiv (g), h(u) ϕi
Z
Z
Ω
Ω
+
−∞
+∞
ϕ dλ − h
ϕ dλ− .
+h
Ω
Ω
for every h in W 1,∞ (R) such that h0 has compact support in R, and for every ϕ
in W01,r (Ω) for r > N , which is exactly (13.1.17) if we identify, as usual, µ0 with
f − div (g).
Step 3 : obtaining (13.1.13) and (13.1.14). We will prove a more general
version of both (13.1.13) and (13.1.14). Let αn and βn be sequences of positive real
numbers such that
lim βn = +∞ ,
n→+∞
βn > αn
∀n ∈ N .
Let ϕ be a function in C 1 (Ω). Then
Z
Z
1
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx =
ϕ dλ+ + ω(n) .
βn − αn {αn ≤u < βn }
Ω
147
(13.5.108)
To prove this fact, we choose Bαn ,βn −αn (u+ ) ϕ as test function in (13.1.17), where
Bαn ,βn −αn is as in (13.1.28). Such a function is an admissible test function in (13.1.17)
since the support of the derivative of Bαn ,βn −αn (s+ ) is [αn , βn ], and Bαn ,βn +αn (0) = 0.
We obtain
Z
a(x, ∇u) · ∇ϕ Bαn ,βn −αn (u+ ) dx
(A)
Ω
Z
1
+
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx
(B)
βn − αn {αn ≤u < βn }
Z
=
f ϕ Bαn ,βn −αn (u+ ) dx
(C)
Ω
− hdiv (g), ϕ Bαn ,βn −αn (u+ )i
Z
+ ϕ dλ+ .
(D)
(E)
Ω
It is clear that (13.5.108) will follow from the above identity if we prove that
|(A)| + |(C)| + |(D)| = ω(n) .
This is true, since Bαn ,βn −αn (u+ ) converges to zero in the weak∗ topology of L∞ (Ω)
(and this takes into account |(A)| and |(C)|), and in the weak topology of W01,p (Ω),
since it is bounded in W01,p (Ω) and converges almost everywhere to zero as n tends
to infinity (and this gives the result for |(D)|).
Repeating the same steps as before, we have
Z
Z
1
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx =
ϕ dλ− + ω(n) .
(13.5.109)
βn − αn {−βn < u≤−αn }
Ω
Observe that since
1
a(x, ∇u) · ∇u χ{αn ≤u < βn }
βn − αn
is bounded in L1 (Ω), (13.5.108) holds true for every function ϕ in C 0 (Ω), and this
implies that

1

a(x, ∇u) · ∇u χ{αn ≤u < αn +βn } → λ+
βn − αn
(13.5.110)

in the weak∗ topology of measure.
Analogously,
1
a(x, ∇u) · ∇u χ{−βn < u≤−αn } → λ−
βn − αn

in the weak∗ topology of measure.


(13.5.111)
148
Chap. 13
Step 4 : obtaining (13.1.10). Let w be a function in W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) such that
there exists k > 0 and w+∞ and w−∞ in W 1, r(Ω) for r > N such that
(
w = w+∞ capp -quasi everywhere on the set {u > k},
(13.5.112)
w = w−∞ capp -quasi everywhere on the set {u < −k}.
We choose as test function in (13.1.15) Hn,1 (u) w, where Hn,1 (s) has been defined in
(13.1.27). We remark that this choice is possible since Hn,1 (s) belongs to W 1,∞ (R)
and has compact support in R. We obtain :
Z
a(x, ∇u) · ∇w Hn,1 (u) dx
(A)
Ω
Z
+
a(x, ∇u) · ∇u w dx
(B)
{−n−1 < u≤−n}
Z
−
a(x, ∇u) · ∇u w dx
(C)
{n≤u < n+1}
Z
=
f w Hn,1 (u) dx
(D)
Ω
− hdiv (g), w Hn,1 (u)i .
(E)
Since Hn,1 (u) converges to 1 weakly in W 1,p (Ω) and weakly∗ in L∞ (Ω) as n tends to
infinity, we have
Z
(A) =
a(x, ∇u) · ∇w dx + ω(n) ,
(13.5.113)
Ω
and
Z
f w dx − hdiv (g), wi + ω(n) .
(D) + (E) =
(13.5.114)
Ω
On the other hand we have, if n > k (and this is not a restriction since n will tend to
infinity),
Z
a(x, ∇u) · ∇u w−∞ dx ,
(B) =
{−n−1 < u≤−n}
and
Z
(C) = −
a(x, ∇u) · ∇u w+∞ dx .
{n≤u < n+1}
Hence, using (13.5.108) and (13.5.109) with αn = n and βn = n + 1 for every n in N,
Z
Z
−∞
−
(B) =
w dλ + ω(n)
(C) = − w+∞ dλ+ + ω(n) .
(13.5.115)
Ω
Ω
By (13.5.113), (13.5.114) and (13.5.115), we thus have
Z
Z
Z
Z
+∞
+
a(x, ∇u) · ∇w dx =
f w dx − hdiv (g), wi + w dλ − w−∞ dλ− ,
Ω
Ω
Ω
Ω
that is, (13.1.10) holds true once we identify µ0 with f − div (g). This concludes Step
4 and the proof of the theorem.
13.6 Équivalence entre les définitions
149
13.6 Equivalence between definitions
We begin proving the following theorem.
Theorem 13.6.1 The following statements are equivalent.
(i) u is a renormalized solution of (13.0.1) in the sense of Definition 13.1.2 ;
(ii) u is a renormalized solution of (13.0.1) in the sense of Definition 13.1.7 ;
(iii) u is a renormalized solution of (13.0.1) in the sense of Definition 13.1.10 ;
(iv) u is a renormalized solution of (13.0.1) in the sense of Definition 13.1.14.
Proof. We will prove the following facts :
(i) =⇒ (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (i) .
(i) implies (ii). If u satisfies (i), and h and ϕ are as in Definition 13.1.7, then it is
possible to choose w = h(u) ϕ as test function in (13.1.10), setting w+∞ = w−∞ = 0
and k = M , where M is such that supp (h) ⊆ [−M, M ]. We thus obtain (13.1.15).
In order to prove that (13.1.13) holds true, we choose w = Bn,n (u+ ) ϕ, where Bn,n is
as in (13.1.28), and ϕ belongs to W 1,r (Ω) for r > N . We obtain, since w+∞ = 1 and
w−∞ = 0,
Z
Z
1
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx + a(x, ∇u) · ∇ϕ Bn,n (u+ ) dx
n {n≤u < 2n}Z
Z Ω
=
Bn,n (u+ ) ϕ dµ0 + ϕ dλ+ .
Ω
Ω
Since Bn,n (s+ ) decreases to zero in R, it is easy to see that
Z
a(x, ∇u) · ∇ϕ Bn,n (u+ ) dx = ω(n) ,
Ω
and that
Z
Bn,n (u+ ) ϕ dµ0 = ω(n) ,
Ω
so that
1
n
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx =
{n≤u < 2n}
ϕ dλ+ + ω(n) ,
Ω
which is exactly (13.1.13). Analogous calculations yield (13.1.14).
150
Chap. 13
(ii) implies (iii). If h is as in Definition 13.1.10, let M be such that supp (h0 ) ⊆
[−M, M ]. Let n be greater than M , and define the following function



0
if s < −2n,




s
+
2n


if −2n ≤ s < −n,
h−∞


n

hn (s) =
h(s)
if |s| ≤ n,



2n
−
s


h+∞
if n < s ≤ 2n,



n



0
if s > 2n.
Choosing hn (u) ϕ as test function in (13.1.15), with ϕ in Cc1 (Ω), we get
Z
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇hn (u) ϕ dx + a(x, ∇u) · ∇ϕ hn (u) dx =
hn (u) ϕ dµ0 .
Ω
Ω
Ω
Since hn (s) converges to h(s) as n tends to infinity, is is easy to prove that
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇ϕ hn (u) dx =
a(x, ∇u) · ∇ϕ h(u) dx + ω(n) ,
Ω
and that
Ω
Z
Z
hn (u) ϕ dµ0 =
Ω
h(u) ϕ dµ0 + ω(n) .
Ω
On the other hand, we have
Z
Z
a(x, ∇u) · ∇hn (u) ϕ dx =
a(x, ∇u) · ∇h(u) ϕ dx
Z
h
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx
−
n Z{n≤u < 2n}
h−∞
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx
+
n
{−2n
<
u≤−n}
Z
=
a(x, ∇u) · ∇h(u) ϕ dx
Ω
Z
Z
+∞
+
−∞
−h
ϕ dλ + h
ϕ dλ− + ω(n) .
{|u|≤n}
+∞
Ω
Ω
Ω
Putting together the results, we have that (13.1.17) holds true.
(iii) implies (iv). Fix δ > 0, and choose h(u) = Hk−δ,2δ (u) (the definition of Hk−δ,2δ
has been given in (13.1.27)) and ϕ in W01,r (Ω) for r > N in (13.1.17). We get
Z
1
−
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx
(A)
2δ {k−δ≤u < k+δ}
Z
1
+
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx
(B)
2δ {−k−δ≤u < −k+δ}
Z
+ a(x, ∇u) · ∇ϕ Hk−δ,2δ (u) dx
(C)
Z Ω
=
ϕ Hk−δ,2δ (u) dµ0 .
(D)
Ω
151
Since Hk−δ,2δ (u) converges to χ{|u|≤k} in the weak∗ topology of L∞ (Ω) as δ tends to
0
zero, and since a(x, ∇u) Hk−δ,2δ (u) = a(x, ∇Tk+δ (u)) Hk−δ,2δ (u) belongs to (Lp (Ω))N ,
we thus have
Z
(C) =
a(x, ∇Tk (u)) · ∇ϕ dx + ω(δ) .
(13.6.116)
Ω
Reasoning in the same way, we have
Z
(D) =
ϕ χ{|u|≤k} dµ0 + ω(δ) .
(13.6.117)
Ω
Choosing h(u) = Bk−δ,2δ (u+ ) and ϕ ≡ 1 as test function in (13.1.17), we get
Z
Z
1
a(x, ∇u) · ∇u dx =
Bk−δ,2δ (u+ ) dµ0 + λ+ (Ω) ,
2δ {k−δ≤u < k+δ}
Ω
so that, since Bk−δ,2δ (u+ ) is bounded by 1 µ0 -almost everywhere,
Z
1
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤ c .
2δ {k−δ≤u < k+δ}
This implies that the sequence
ρ+
δ,k =
1
a(x, ∇u) · ∇u χ{k−δ≤u < k+δ}
2δ
is bounded in L1 (Ω). Hence, up to subsequences, it converges in the weak∗ topology
of measures to a measure λ+
k as δ tends to zero. Thus, since ϕ is continuous, we have
Z
(A) = − ϕ dλ+
k + ω(δ) .
Ω
Reasoning as before, we have that
ρ−
δ,k =
1
a(x, ∇u) · ∇u χ{−k−δ≤u < −k+δ}
2δ
is bounded in L1 (Ω). We define λ−
k its limit (up to a subsequence) in the weak∗
topology of measures. Thus
Z
(B) =
ϕ dλ−
k + ω(δ) .
Ω
Putting together the latter two identities, (13.6.116) and (13.6.117), we have, for
every ϕ in W01,r (Ω) for r > N ,
Z
Z
Z
Z
−
+
a(x, ∇Tk (u)) · ∇ϕ dx − ϕ χ{|u|≤k} dµ0 ,
(13.6.118)
ϕ dλk − ϕ dλk =
Ω
Ω
Ω
Ω
which coincides with (13.1.19) if we restrict the class of test functions to W01,r (Ω)
−
for r > N . In order to prove that λ+
k and λk satisfy all the required properties, we
152
Chap. 13
−
begin observing that since ρ+
δ,k and ρδ,k are sequences of non negative functions, then
−
both λ+
k and λk are non negative measures. Furthermore, due to the fact that (for
example) the support of ρ+
δ,k is contained in the set {k − η ≤ u < k + η} if η > δ, then
+
the support of λk is contained in {k − η ≤ u < k + η} for every η > 0, and so (13.1.18)
holds true. Furthermore, (13.6.118) implies that
−
λ+
k − λk = −div (a(x, ∇Tk (u)) + µ0 {|u| ≤ k} ,
−
so that (by the regularity of Tk (u) and µ0 ), we have that λ+
k − λk belongs to
0
W −1,p (Ω) + L1 (Ω), that is, it belongs to M0 (Ω) (see Proposition 13.2.5). This
implies that we can extend the set of admissible test functions from Cc1 (Ω) to
W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω). Let now K be a compact subset of Ω with zero p-capacity. Then
there exists a sequence ϕδ of Cc∞ (Ω) functions such that 0 ≤ ϕδ ≤ 1 on Ω, ϕδ ≡ 1 on
K, and ϕδ converges to zero strongly in W01,p (Ω), almost everywhere and ∗-weakly in
L∞ (Ω). We fix h < k and choose Th (u+ ) ϕδ as test function in (13.6.118). We obtain,
−
recalling the support properties of λ+
k and λk ,
Z
Z
+
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Th (u ) ϕδ dx + a(x, ∇Tk (u)) · ∇ϕδ Th (u+ ) dx
Z
Ω
Z
Ω
+ χ
ϕδ dλ+
=
ϕδ Th (u ) {|u|≤k} dµ0 + h
k .
Ω
Ω
Since λ+
k and ϕδ are positive, we have, recalling that ϕδ ≡ 1 on K,
Z
+
ϕδ dλ+
0 ≤ λk (K) ≤
k .
Ω
On the other hand, by the convergence properties of ϕδ , we have
Z
Z
+
a(x, ∇Tk (u)) · ∇Th (u ) ϕδ dx + a(x, ∇Tk (u)) · ∇ϕδ Th (u+ ) dx
Z
Ω
Ω
+ χ
− ϕδ Th (u ) {|u|≤k} dµ0 = ω(δ) ,
Ω
+
so that λ+
k (K) = 0 for every subset K of zero p-capacity. This implies that λk is
zero on every borelian set of zero p-capacity ; hence, in view of Proposition 13.2.5, it
belongs to M0 (Ω). The same calculations (taking Th (u− ) ϕδ as test function) yield
the same result for λ−
k.
+
Observe that λ+
and
λ−
k
k do not depend on the subsequence extracted from ρδ,k and
ρ−
δ,k respectively, so that the whole sequences are convergent in the weak∗ topology
of measures.
+
+
To prove the weak∗ convergence of λ+
k to λ , we fix k > 0, and choose Bk,k (u ) ϕ
in (13.1.19) written for 2k + 1, with ϕ in W01,r (Ω) for r > N . We obtain
Z
Bk,k (u+ )ϕ dλ+
(A)
2k+1
Ω Z
− Bk,k (u+ )ϕ dλ−
(B)
2k+1
Ω
153
Z
1
=
k
a(x, ∇T2k+1 (u)) · ∇u ϕ dx
(C)
a(x, ∇T2k+1 (u)) · ∇ϕ Bk,k (u+ ) dx
(D)
ϕ Bk,k (u+ ) χ{|u|≤k} dµ0 .
(E)
{k≤u < 2k}
Z
+
ZΩ
−
Ω
Since supp (λ+
2k+1 ) ⊆ {2k ≤ u ≤ 2k + 2} (for example), and since on this set
Bk,k (u) ≡ 1, we have
Z
(A) =
ϕ dλ+
(13.6.119)
2k+1 .
Ω
On the other hand, since supp (λ−
2k+1 ) ⊆ {−2k − 2 ≤ u ≤ −2k}, and since on this set
+
Bk,k (u ) ≡ 0, we have
(B) = 0 .
(13.6.120)
Since Bk,k (u+ ) converges to 0 as k tends to infinity, both almost everywhere and in
the weak∗ topology of L∞ (Ω), and since a(x, ∇Tk (u)) converges to a(x, ∇u) strongly
in (Lq (Ω))N for every q < NN−1 , we have, being ϕ in W01,r (Ω) for r > N ,
(D) = ω(k) .
(13.6.121)
(E) = ω(k) .
(13.6.122)
The same ideas imply that
Finally, we have, by (13.1.13),
Z
Z
1
(C) =
a(x, ∇u) · ∇u ϕ dx =
ϕ dλ+ + ω(k) .
k {k≤u < 2k}
Ω
Putting together this latter fact and (13.6.119)–(13.6.122), we thus have
Z
Z
+
ϕ dλ2k+1 =
ϕ dλ+ + ω(k) ,
Ω
Ω
in W01,r (Ω)
Cc0 (Ω), so
for every ϕ
for r > N . It is clear that we can extend this identity to every
+
function in
that we have proved that λ+
in the weak∗
k converges to λ
topology of measures.
−
Reasoning in the same way, we can prove that λ−
k converges to λ .
(iv) implies (i). We choose w (satisfying the hypotheses of Definition 13.1.2) as
test function in (13.1.19). We have
Z
Z
Z
Z
+
a(x, ∇Tk (u)) · ∇w dx =
w dµ0 + w dλk − w dλ−
k ,
Ω
Ω
Ω
Ω
−∞
+∞
for every k > 0. If w = w
on the set {u > η} and w = w
on the set {u < −η},
we have, for every k > η,
Z
Z
a(x, ∇Tk (u)) · ∇w dx =
a(x, ∇Tk (u)) · ∇w dx
Ω
{|u|≤η}
Z
+
a(x, ∇Tk (u)) · ∇w+∞ dx
Z{u > η}
+
a(x, ∇Tk (u)) · ∇w−∞ dx .
{u < −η}
154
Chap. 13
Passing to the limit on k, which is possible on every term due to the regularity of u
and w, we have
Z
Z
a(x, ∇Tk (u)) · ∇w dx =
a(x, ∇u) · ∇w dx + ω(k) .
Ω
Ω
The second term is fixed, and thus gives no problem ; as for the third (the fourth
being identical), if k > η we have, recalling the support property of λ+
k,
Z
Z
Z
+
+
+∞
w+∞ dλ+ + ω(k) ,
w dλk =
w dλk =
Ω
Ω
Ω
since w+∞ is continuous. Putting together the four terms, we obtain (13.1.10).
Remark 13.6.2 As a consequence of Theorem 13.1.16, there exists at least a
renormalized solution of (13.0.1), and, by Theorem 13.6.1, this solution is a solution
according any one of the four possible definition. In particular, since it is solution in
the sense of Definition 13.1.14, is a solution obtained by approximation.
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Probl`emes elliptiques et paraboliques dans un cadre non variationnel

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