I- Exemples et définitions:

AGRANDISSEMENT - REDUCTION
I- Exemples et définitions:
Exemple 1:
Figure initiale:
Reproduction:
On a divisé les longueurs de la figure initiale par 3 (ou, ce qui revient au même on les a
multipliées par 1/3)
On dit que la reproduction est à l'échelle 1/3, ou encore que c'est une reproduction de rapport
1/3
La reproduction est plus petite que la figure initiale.
On dit que l'échelle 1/3 est une échelle de réduction
Exemple 2:
Figure initiale:
Reproduction:
On a multiplié les longueurs de la figure initiale par 2
On dit que la reproduction est à l'échelle 2, ou encore que c'est une reproduction de rapport 2
La reproduction est plus grande que la figure initiale.
On dit que l'échelle 2 est une échelle d'agrandissement
II- Calculs sur les longueurs:
1) Calcul de la longueur sur la reproduction:
Exemple 1:
Le Transsibérien (ligne de chemin de fer de Moscou à Vladivostok) a une longueur de 9 290
km.
Calculer la longueur, en cm, du tracé correspondant sur une carte à l'échelle 1/10 000 000
9 290 km = 929 000 000 cm
929 000 000 : 10 000 000 = 92,9 cm
La longueur du tracé du Transsibérien sur une carte au 1/10 000 000 est 92,9 cm
Exemple 2:
On photocopie un document en prenant comme rapport 150%
Quelle est la longueur sur la photocopie d'un trait mesurant 12 cm sur le document d'origine.
1
Le rapport 150% signifie 150/100, ou encore 1,5
On a donc un agrandissement de rapport 1,5
12 x 1,5 = 18
La longueur du trait sur la photocopie est donc de 18 cm
2) Calcul de la longueur réelle:
Exemple:
Une maquette de la fusée Ariane 5, à l'échelle 1/300, a pour hauteur 19,1 cm.
Quelle est la hauteur réelle, en m, de cette fusée?
19,1 x 300 = 5730
5 730 cm = 57,3 m
La hauteur réelle de la fusée Ariane est donc 57,3 m
3) Calcul de l'échelle:
Exemple:
Le plus long paquebot du monde, le Queen Mary 2, a une longueur de 315 m
Une maquette de ce bateau a une longueur de 63 cm.
Quelle est l'échelle de cette maquette?
315 m = 31 500 cm
31 500 : 63 = 500
Le bateau est, dans la réalité, 500 fois plus grand que sur la maquette (ou, inversement, on a
divisé la longueur réelle par 500 pour effectuer la maquette).
L'échelle de cette maquette est donc 1/500
III- Effet d'une échelle sur les aires:
1) Découverte:
Exemple 1:
La figure initiale est un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm
On en fait une reproduction à l'échelle 4
Cette reproduction est donc un rectangle de longueur 20 cm et de largeur 12 cm
L'aire du rectangle initial est 5 x 4 = 20 cm2
L'aire de la reproduction est 20 x 12 = 240 cm2
240 = 20 x 16 = 20 x 42
Dans un agrandissement de rapport 4, l'aire est multipliée par 42
Exemple 2:
La figure initiale est un disque de rayon 18 cm
On en fait une reproduction à l'échelle 1/3
Cette reproduction est donc un disque de rayon 6 cm
L'aire du disque initial est π x 182 = 324 π cm2
L'aire de la reproduction est π x 62 = 36 π cm2
36 π = 324 π : 9 = 324 π x 1/9 = 324 π x (1/3)2
Dans une réduction de rapport 1/3, l'aire de la figure initiale est multipliée par (1/3)2
2) Propriété:
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k2
2
3) Exemple:
Le quatre-mâts Esmeralda, navire-école de la marine chilienne, a une surface de voilure de
2870 m2
Quelle est la surface des voiles, sur une maquette de ce bateau à l'échelle 1/200 ?
2870 m2 = 28 700 000 cm2
Pour avoir la surface des voiles sur la maquette, il faut multiplier cette surface par (1/200)2, ou
encore la diviser par 2002
28 700 000 : 2002 = 28 700 000 : 40 000 = 7 175 cm2
La surface des voiles, sur une maquette de ce bateau à l'échelle 1/200 est 7 175 cm2
IV- Effet d'une échelle sur les volumes:
1) Découverte:
Exemple 1:
Le solide initial est une pyramide de hauteur 12 cm dont la base est un carré de côté 5 cm
On en fait une reproduction à l'échelle 3
Cette reproduction est donc une pyramide de hauteur 36cm dont la base est un carré de côté
15 cm
Le volume de la pyramide initiale est (5 x 5 x 12) : 3 = 100 cm3
Le volume de la reproduction est (15 x 15 x 36) : 3 = 2700 cm3
2700 = 100 x 27 = 100 x 33
Dans un agrandissement de rapport 3, le volume du solide initial est multiplié par 33
Exemple 2:
Le solide initial est un une boule de rayon 15cm
On en fait une reproduction à l'échelle 1/5
Cette reproduction est donc une boule de rayon 3 cm
Le volume de la boule initiale est (4 x π x 153)/3 = 4500 π cm3
Le volume de la reproduction est (4 x π x 33)/3 = 36 π cm2
36 π = 4500 π : 125 = 4500 π x 1/125 = 4500 π x (1/5)3
Dans une réduction de rapport 1/5, le volume du solide initial est multiplié par (1/5)3
2) Propriété:
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k3
3) Exemple:
La cathédrale d'Amiens, a un volume intérieur de 200 000 m3
Quel est le volume intérieur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/500 ?
200 000 m3 = 200 000 000 000 cm3
Pour avoir le volume intérieur de la maquette, il faut multiplier ce volume par (1/500)3, ou
encore la diviser par 5003
200 000 000 000 : 5003 = 200 000 000 000 : 125 000 000 = 1 600 cm3
Le volume intérieur de cette maquette est 1 600 cm3
3
V- Exercices:
Exercice 1:
La cathédrale d'Amiens a une longueur de 145 m. Quelle est la longueur d'une maquette de
cette cathédrale à l'échelle 1/250 ?
Exercice 2:
On a mesuré, sur une carte au 1/5 000 000, la longueur de la frontière entre le Mexique et les
Etats-Unis. le résultat de cette mesure est 62,3 cm. Quelle est la longueur réelle de cette
frontière ?
Exercice 3:
La hauteur du clocher neuf de la cathédrale de Chartres est de 115 m. La hauteur
correspondante sur une maquette de cette cathédrale est 23 cm. Quelle est l'échelle de cette
maquette ?
Exercice 4:
La France a une superficie de 549 000 km2. Quelle est, en cm2, la surface correspondante sur
une carte à l'échelle 1/1 000 000 ?
Exercice 5:
Un camion citerne a une capacité de 20 000 litres. Quelle est la capacité, en litres, de la
citerne de ce camion sur une maquette à l'échelle 1/43 ? (arrondir au cl)
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AGRANDISSEMENT - REDUCTION
CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1:
La cathédrale d'Amiens a une longueur de 145 m. Quelle est la longueur d'une maquette de cette
cathédrale à l'échelle 1/250 ?
145 m = 14 500 cm
14 500 : 250 = 58
La longueur de cette maquette est 58 cm
Exercice 2:
On a mesuré, sur une carte au 1/5 000 000, la longueur de la frontière entre le Mexique et les
Etats-Unis. le résultat de cette mesure est 62,3 cm. Quelle est la longueur réelle de cette
frontière?
62,3 x 5 000 000 = 311 500 000
311 500 000 cm = 3 115 km
La longueur réelle de cette frontière est 3 115 km
Exercice 3:
La hauteur du clocher neuf de la cathédrale de Chartres est de 115 m. la hauteur correspondante
sur une maquette de cette cathédrale est 23 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette?
115 m = 11 500 cm
11 500 : 23 = 500
L'échelle de cette maquette est 1/500
Exercice 4:
La France a une superficie de 549 000 km2. Quelle est, en cm2, la surface correspondante sur une
carte à l'échelle 1/1 000 000 ?
Dans une réduction de rapport (1/1 000 000), les aires sont multipliées par (1/1 000 000) 2, ou
encore sont divisées par 1 000 0002, c'est à dire par 1012
1 km2 = 1010 cm2
549 000 x 1010 / 1012 = 549 000 x 10-2 = 5490
La superficie de la France sur cette carte est 5 490 cm2
Exercice 5:
Un camion citerne a une capacité de 20 000 litres. Quelle est la capacité, en litres, de la citerne
de ce camion sur une maquette à l'échelle 1/43 ? (arrondir au cl)
Dans une réduction de rapport 1/43, les volumes sont multipliés par (1/43)3, ou encore sont
divisées par 433
20 000 : 433 ≈ 0,25 L (résultat arrondi au cl)
La capacité de la citerne sur cette maquette est 0,25 L
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