LE NOMBRE D`OR On désigne le nombre d`or par la

LE NOMBRE D’OR
On désigne le nombre d’or par la lettre grecque PHI en hommage au sculpteur grec
Phidias qui a vécu vers 440 avant J.C et qui a décoré le Parthénon à Athènes. Ce
nombre semble avoir marqué l’histoire des bâtisseurs.
En effet, la pyramide de Khéops qui date de 2800 av JC a des dimensions qui mettent
en évidence le nombre d'or.
Au IIIè siècle avant J-C, Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et
moyenne raison" dans le livre VI des Eléments, mais nous reviendrons sur ce partage.
En 1498 Fra Luca Pacioli,
moine féru de mathématiques, écrit « De Divina
Proportione » : la divine proportion.
Au XIXème siècle un philosophe roumain Matila Ghyka trouve ce rapport dans
beaucoup de monuments classiques et introduit le côté mythique du nombre d'or.
Au début du XXème siècle divers ouvrages insistent sur la prééminence du nombre
d'or et établissent définitivement le mythe .
Au cours du XXème siècle Dali et Picasso et Le Corbusier auraient eu recours au
nombre d'or.
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Après cette course au travers des siècles revenons aux pyramides, au Parthénon et à
nos amis grecs.
Il paraît que le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base,
donc la division de la hauteur par la demi-base, est le nombre d'or. Le rapport de la
longueur sur la hauteur du Parthénon, donc la division de la longueur par la hauteur,
serait égal au nombre d'or.
Pourquoi ai-je utilisé tous ces conditionnels ? Eh bien en raison de la nature du
nombre d’or qui est un nombre irrationnel, c’est à dire qu’on en connaît qu’une valeur
approximative. Sa valeur arrêtée aux cent premières décimales est 1,618 033 988
749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705
260 462 189 024 497 072 072 041 et nous conviendrons de retenir 1,618 si vous le
voulez bien.
Mais que disait Euclide ?
D'après lui, un segment est partagé suivant la proportion divine si les rapport x / y (
le grand divisé par le moyen) et y / (x - y) ( le moyen divisé par le petit ) sont égaux.
NB : ne t’affole pas, l’explication vient au paragraphe suivant.
Je vous rappelle qu’Euclide savait résoudre les équations du second degré et avait
théorisé de nombreux autres sujets en ces livres. De sorte que mettre en équation et
trouver sa proportion divine est simple.
Voyons donc sa démonstration qui est assez simple si tu te laisses conduire.
Voici un segment de longueur x partagé en deux : le premier a une longueur de y. Le
second a une valeur de x-y, puisque le premier segment qui est y additionné au
deuxième segment qui est ( x-y) donne (y) + (x-y) soit y + x – y ce qui fait x
Si l’on écrit le grand divisé par le moyen on obtient x / y .
Si l’on écrit le moyen divisé par le petit on écrit y / ( x-y) .
Pour que ces deux rapports soient égaux, car c’est l’égalité entre les proportions qui
donne le nombre d’or, il faut que x / y = y / ( x- y ) .
NB : la proportion est divine quand les rapport x / y (le grand divisé par le moyen) et
y / (x-y) ( le moyen divisé par le petit ) sont égaux.
Ce qui donne en faisant le produit des extrêmes par les moyens l’équation suivante x²
- y² - yx = O . En divisant par y² chacun des trois termes on obtient ( x / y )² - 1 - ( x
/ y ) = 0 , soit ( x / y )² - ( x / y ) - 1 = 0 .
Remplaçons ( x / y ) par X et nous obtenons l’équation X² - X – 1= 0 . Je vous
dispense des calculs suivants, puisque je sens que vous ma faites totalement
confiance. Mais après Euclide j’affirme qu’il existe une seule proportion x / y pour
laquelle l’équation s’annule, ce qui signifie qu’elle seule permet l’égalité des rapports
grand / moyen et moyen / petit . Cette valeur est (1 + 5 ) / 2 . C’est le nombre d’or.
Mais cette perfection pêche par son imperfection car son résultat est approximatif si
nous utilisons notre logique des sens, où nous tentons de visualiser le nombre PHI car
PHI = 1,6180339... . Il entre ainsi dans le club très fermé des nombres magiques
comme pi=3,14159…
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Comment se fait-il donc que l’on puisse prétendre que 1 suivi d’une suite infinie de
décimales soit un nombre bien précis ?
En somme comment passe t-on de l’infini au fini ?
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Eh bien sollicitons le secours de Leonardo Fibonacci qui naît vers 1170 à Pise. Après
avoir diffusé les travaux des mathématiciens grecs et arabes, Fibonacci poursuit ses
propres travaux et son nom reste lié à l’étude d’une suite de nombre qui porte son
nom.
Chaque terme de cette suite est égal à la somme des deux termes qui le précèdent.
Le premier terme est 1 et le second est 1. Le troisième est 2 = 1+1 . Le troisième est
3 = 2+1 . Le quatrième est 5 = 3+2 etc…
De sorte que l’on obtient la suite de nombres successifs suivants : 1,1,2,3, 5, 8, 13,
21, 34,55,89….
Cette suite devenant vite indistincte, il décida de faire le rapport de 2
nombres successifs :
n°2 / n°1 = 1 ; n°3 / n°2 = 2 ; n°4 / n°3 = 3/2= 1.5 ; n°5 / n°4 = 5/3 =
1.666… ;
n°6 / n°5 = 8/5=1.6 pile poil ! ; n°7 / n°6 = 13/8=1.625 ; n°8 / n°7 = 1.615 ;
n°9 / n°8 = 1.619 ; ..…. ; n°11 / n°10 = 1.618 ; ………. , n°20 / n°19 = 1.618 ; …..
On constate ainsi que ces rapports oscillent autour de 1.618 , puis se stabilisent.
On démontre et je vous ferai grâce de la démonstration que le rapport de deux
nombres successifs qui sont des grands nombres est égal à (1 + 5 ) / 2, c’est à dire
le nombre d’or.
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Respirons un peu si vous le voulez bien.
Dans nombre d'or il y a deux mots.
Voyons d'abord le nombre : par delà sa fonction de dénombrement il est considéré,
comme un moyen d’expliquer la marche du monde. En tentant d’expliquer l’univers
par des lois dont les nombres seraient la clé, ils ont acquis au cours de l’histoire un
sens magique et mystique : nombres premiers, nombre Pi, relation du triangle
rectangle, etc..
Mais ce nombre n’existe pas entant que tel. A la question êtes vous maçon nous
répondons mes frères me reconnaissent pour tel. Eh bien le nombre d’or n’existe que
si deux autres nombres le fabriquent, le font naître, lui donnent forme en se mettant
en rapport l’un avec l’autre.
Les créateurs du terme « nombre d’or » ont puisé peu ou prou chez Platon et Euclide
et ont affirmé qu’il existait une esthétique scientifique.
En effet pour Platon le beau se traduit par des figures géométriques, et le dodécaèdre
( solide à 12 faces pentagonales, chaque face yant cinq côtés ) cela ne surprendra pas
certain d’entre nous, symbolise l’univers.
Pour affirmer que le nombre d’or est la clef mathématique de la beauté, Platon se
fonde sur le pentagone, dont les diagonales se coupent selon un partage en moyenne
et extrême raison.
Enfin, pour donner plus de poids à leur thèse les créateurs du nombre d’or la
rapprochent de la doctrine attribuée à Pythagore selon laquelle tout est arrangé par le
nombre.
Passons ensuite à l’or.
Ce métal a un rapport avec l'absolu qui ne relève pas du bas monde. Ainsi il devient
nombre d'or et divine proportion et sert à construire des temples selon des lois
transcendantales. En somme le nombre d'or symbolise la perfection mise en équation.
Il devient l’explication mathématique de la beauté dans l’univers et synonyme
d’harmonie dans le monde des artistes et des philosophes.
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Le nombre d’or continue de fasciner mais il suscite des critiques de la part d’érudits en
art et en histoire de l’art.
Ainsi certains convaincus qu’il n’existe pas de loi mathématique de l’esthétique,
expliquent que les adeptes du nombre d’or ont disséqué, calculé, mesuré les œuvres
d’art pour y déceler le nombre d’or.
Les partisans du nombre d’or s’obstinent à retrouver ce nombre partout : Parthénon,
temple de Louksor, pyramide de Chéops et peintures de la renaissance à nos jours.
Leur opposition est fondée sur le fait qu’une confusion est volontairement entretenue
entre l’inverse du nombre d’or : 0.618 et le rapport 5/8 = 0.625 souvent utilisé en
peinture et en architecture .
Pourquoi l’inverse de nombre d’or ? Eh bien tout simplement si le rapport grand
segment divisé par moyen segment est x / y = (1 + 5 ) / 2 , l’inverse soit moyen
segment divisé par grand segment est égal à 0,618….car pour obtenir l’inverse de PHI
il suffit de lui ôter 1, fameuse magie des nombres de prime abord, mais simple astuce
à la réflexion.
En effet, PHI vérifie l’équation PHI² - PHI – 1 = 0 de sorte que 1 = PHI² - PHI et que
1/PHI = PHI²/PHI – PHI/PHI c’est à dire que 1/PHI = PHI – 1 (donc pour obtenir
l’inverse du nombre d’or il suffit de lui ôter 1)
Qu’en penser ?
Je crois qu’il est dans la nature de l'homme de croire que tout n'est pas visible, que
derrière ce que l'on voit existent des éléments non formulés. Je rappelle par exemple,
le basculement de l’infini vers le fini depuis la valeur décimale de PHI vers la valeur
exacte qui est irrationnelle.
Ainsi même si le monde n'avait aucun sens, l'homme se poserait la question du sens.
Entre l'attitude du matérialiste qui nie tout et celle du croyant qui admet l'explication
toute faite, l'homme cherche des significations à l'intérieur des signes : le mouvement
des planètes, leurs nombres, la périodicité de leurs mouvements, etc…
L' homme soupçonne et tente de deviner le labyrinthe. Mais y a t-il un secret du
monde ?
L’érudit qui jongle avec les mots, les lettres, les chiffres laisse perplexe le Béotien qui
ne tarde pas à tenter lui aussi de pénétrer le mystère.
Que n'a fait-on dire au zodiaque, au cercle, au triangle, aux lettres qu'elles soient
grecques, hébraïques, à la lune, au soleil ?
Pythagore, qui suivi l’école de la sagesse égyptienne en est l’initiateur. Depuis le
nombre est la clé de l’univers. Mais au vu des réalisations pratiques, le nombre d’or
n'est t-il pas l'application d'un principe d'esthétique relevant de la proportion très
appliquée des 5/8 ?
Doit-on , pour autant , rejeter toutes ces théories qui confinent à la poésie, à la réalité
ou à la mystique? Je soumets cette question à votre sagacité.
Pour ma part je crois que nous sommes et restons à la recherche du merveilleux.
Nous gardons une porte entrouverte, celle qui nous permet d'échapper au quotidien et
qui nous permet d'accéder à la poésie, à la création et à l'ailleurs.