Optimum et équilibre - Espace d`authentification univ

Exercice
Dans tout ce qui suit, on considère que le travail est compté positivement
Soit une économie « à la Robinson Crusoe ».
Nous allons examiner en deux temps le problème économique de Robinson :
1. de la façon directe ;
2. de la façon « dédoublement de personnalité ».
Robinson est seul sur son île. La seule ressource initiale à sa disposition est son temps : il en possède 24 heures par
jour. Ce temps, il peut l’utiliser de deux façons : soit il cueille des baies sauvages (c’est un travail), soit il contemple
la mer, rêvasse et se repose (tout ceci est rassemblé sous le terme de « loisir »).
Robinson apprécie deux choses : consommer des baies fraîches et juteuses et avoir des loisirs. Sa fonction d’utilité
s’écrit
1
1
U (x, L) = x 2 (24 − L) 2
où 0 ≤ L ≤ 24 désigne le temps de travail de Robinson et x la quantité de baies consommées.
1. Que représente 24 − L dans cette fonction ? Peut-on écrire cette fonction avec la variable ` pour le loisir ?
2. Montrer que l’utilité marginale du travail est négative.
3. Montrer que l’utilité marginale du travail et de loisir sont identiques au signe près. Cela vous semble-t-il
« intuitivement évident » ?
Indication : tracez une courbe quelconque d’utilité du loisir (croissante... mais de moins en moins croissante). Choisissez une valeur quelconque
du loisir. Représentez la valeur de la dérivée (valeur de la pente), c.-à-d. l’utilité marginale du loisir. Si une fonction est dérivable, elle possède
une dérivée à droite et à gauche... et ces deux dérivées sont égales. Quand vous dérivez à droite, vous augmentez le loisir mais quand vous dérivez
à gauche, vous le diminuez...Vous n’aurez aucun mal à compléter le raisonnement
Par ailleurs Robinson peut récolter des baies en travaillant. Dans le cas de Robinson , il s’agit évidemment d’un
travail et non d’une activité plaisante de loisir. Le lien entre temps consacré à la cueillette et quantité récolté est
donné par la relation
p
0 ≤ L ≤ 24
x= L
1. Comment évolue la productivité marginale de Robinson lorsque le temps de travail augmente ? (Prenons
directement de bonnes habitudes : on parle de la productivité en baies du travail)
2. Des quatre formulations suivantes, lesquelles traduisent ce phénomène :
a – la production obtenue lors de chaque minute de travail supplémentaire est de plus en plus faible ;
b – pour obtenir des suppléments de production identiques, il faut consacrer de plus en plus de temps ;
c – la production est de plus en plus faible lorsque le temps de travail augmente ;
d – chaque heure de travail donne un produit plus faible que l’heure de travail précédente.
On suppose que chaque matin, Robinson se demande quel sera aujourd’hui son temps de travail idéal.
1. Posez mathématiquement le problème d’un Robinson ne souffrant pas d’un dédoublement de personnalité.
2. Quelle est sa solution ?
3. Y-a-t-il des prix et des marchés ? Est-on dans le cadre théorique d’un équilibre général ?
4. Analyser le problème de Robinson dans le diagramme emboîté d’Edgeworth se trouvant à la fin de ce
document. Où se trouve le point d’équilibre ?
On suppose maintenant que Robinson souffre d’un dédoublement de la personnalité : il est chef d’entreprise et
fait des calculs de chef d’entreprise mais il est aussi consommateur et fait des calculs de consommateur. Vous
comprenez que ce dédoublement de la personnalité est un simulacre théorique permettant d’introduire la notion
de marché : il y a deux « échangistes » et deux biens faisant l’objet d’échanges.
Nous allons voir que la solution d’équilibre général est la même que celle que nous venons de calculer.
1. Poser le problème de « Robinson-chef-d’entreprise » sachant qu’il cherche à maximiser le profit de cette
entreprise.
1
2. Déterminer la demande de travail et l’offre de x en fonction du salaire (w) et du prix de x (p).
3. Déterminer la fonction de profit. Quel est son degré d’homogénéité ?
On s’intéresse maintenant à « Robinson-consommateur-travailleur-capitaliste ».
1. Écrire la contrainte budgétaire de Robinson-consommateur.
2. Écrire son problème de maximisation d’utilité.
3. En déduire son offre de travail et sa demande de baies.
On s’intéresse maintenant à l’équilibre économique :
1. Déterminer l’équilibre général de l’économie.
2. Comparer la solution obtenue et celle de la première partie.
Nous allons maintenant nous poser quelques questions sur ces deux modèles.
1. Dans le premier modèle, qui s’approprie l’intégralité de la récolte ? Y-a-t-il une répartition des droits sur la
production sous forme de salaires et de profits ? Existe-t-il — dans la France contemporaine — des entreprises
où la distinction entre chef d’entreprise et travailleur n’est pas faite ?
2. Pourquoi dans le deuxième modèle la notion de salaire et de profit apparaissent ?
3. Quelle serait l’allure de la contrainte budgétaire d’un individu exclusivement capitaliste ? Celle d’un cadre
possédant quelques actions ? Celle d’un salarié ne possédant aucune action ?
5
10.7272
7.72717
9.72717
6.72717
5.72717
4.72717
4
8.72717
3.72717
3
2
1.72717
1
2.72717
0
0
5
10
15
2
20