Les fonctionnelles de Minkowski

Transcription

Séminaire sur les milieux poreux (Paris V)
Les fonctionnelles de Minkowski
Isabelle Blasquez
Pierre Fournier
J.-F. Poiraudeau ([email protected])
LICN/IUT, Université de Limoges
1er décembre 2006
Plan de l’exposé
• Les ensembles convexes
• Quatre mesures géométriques
• Ensembles parallèles. La formule de Steiner
• Calcul des fonctionnelles dans le cas discret
• Diagramme de Blaschke
• Fonctionnelle : nombre mesuré sur un ensemble X ∈ P (Rn )
et qui le décrit. On le nomme aussi mesure ou paramètre
suivant le contexte.
• Fonctionnelle : nombre mesuré sur un ensemble X ∈ P (Rn )
et qui le décrit. On le nomme aussi mesure ou paramètre
suivant le contexte.
• Hermann Minkowski (1864-1909). Il est surtout connu pour
son interprétation géométrique de la relativité restreinte. C’est
un des fondateurs de la géométrie convexe. Il est aussi le
fondateur de la géométrie des nombres.
La hiérarchie en 3D
des 4 fonctionnelles de Minkowski
1
Volume
d3
À la recherche de la fonctionnelle méconnue...
1
Volume
2
Aire
d3
d2
d3
1
Volume
2
Aire
d2
4
Indicateur d’Euler
d0
1
Volume
2
Aire
3
??
4
Indicateur d’Euler
d3
d2
d1
d0
Les ensembles convexes
• Un ensemble est convexe si étant donné deux points, il
contient le segment qui les joint
• De manière plus précise. Un sous-ensemble D d’un espace
affine réel est appelé convexe si λx + (1 − λ)y ∈ D quels que
soient x, y ∈ D et λ ∈ [0, 1], c’est-à-dire si tout le segment
[x, y ] est toujours contenu dans D.
• De manière plus précise. Un sous-ensemble D d’un espace
affine réel est appelé convexe si λx + (1 − λ)y ∈ D quels que
soient x, y ∈ D et λ ∈ [0, 1], c’est-à-dire si tout le segment
[x, y ] est toujours contenu dans D.
• La convexité est une propriété affine, puisqu’elle n’utilise que
la notion de segment.
Exemples de convexes et de non-convexes
• Les convexes de la droite réelle sont exactement les
intervalles : ouverts, fermés, semi-ouverts.
• Les convexes de base sont les demi-espaces. Dans l’espace,
considérons un plan quelconque, il partage l’espace en deux
parties : chacune de ces parties est convexe.
• Les convexes de base sont les demi-espaces. Dans l’espace,
considérons un plan quelconque, il partage l’espace en deux
parties : chacune de ces parties est convexe.
•
Opérations sur les convexes
• L’intersection de deux convexes est encore un convexe
• Une intersection quelconque, finie ou infinie (dénombrable ou
non) de convexes est convexe
• Au contraire la réunion de deux convexes n’est en général
jamais convexe.
• Au contraire la réunion de deux convexes n’est en général
jamais convexe.
• L’enveloppe convexe d’un sous-ensemble A quelconque sera le
plus petit convexe contenant A ; noté Conv(A). C’est
l’intersection de tous les convexes contenant A.
• Prendre l’enveloppe convexe en 2D améliore le quotient
(Longueur2 /Aire), car l’aire augmente et le périmètre diminue.
• En 3D, ceci est faux. L’aire et le volume peuvent augmenter
simultanément
simultanément
• Enveloppe convexe de points
simultanément
• Enveloppe convexe de points
• Notion de polygone de sustentation évidemment connu depuis
longtemps
Somme de Minkowski
• Soit Kn l’espace des convexes compacts On appelle anneau
convexe R la classe des réunions finies de convexes compacts
de Rd .
Somme de Minkowski
• Soit Kn l’espace des convexes compacts On appelle anneau
convexe R la classe des réunions finies de convexes compacts
de Rd .
• L’addition de Minkowski est une opération sur Kn :
A ⊕ B = {x ∈ Rd , x = a + b, a ∈ A, b ∈ B}
A
B⊕A
B
A⊕B
Propriétés des convexes
• Quelque soit le convexe fermé K et le point x de sa frontière,
il existe toujours un plan (respectivement une droite) H qui
contient x et qui contient tout K dans l’un de ses
demi-espaces (respectivement demi-plans). On dit que H est
un plan (respectivement une droite) d’appui de K en x
• L’existence de ses éléments d’appui permet de montrer
facilement que tout convexe est l’intersection des
demi-espaces qui le contiennent.
• Tout convexe compact de R3 (respectivement de R2 ) a la
même topologie qu’une boule (respectivement un disque)
• Tout convexe compact de R3 (respectivement de R2 ) a la
même topologie qu’une boule (respectivement un disque)
• Deux cas extrêmes de convexes : les polyèdres (respectivement
polygones) et les boules (respectivement disques)
Les fonctions symétriques élémentaires de 3
variables
• e 3 = x1 x2 x3
• e 2 = x1 x2 + x 1 x3 + x2 x3
• e 1 = x1 + x2 + x3
• e0 = 1
Quatre mesures géométriques
Nous abordons maintenant la définition des mesures d’un point de
vue abstrait. Commençons par caractériser une mesure à l’aide de
deux axiomes
• Axiome 1. µ(∅) = 0
Quatre mesures géométriques
Nous abordons maintenant la définition des mesures d’un point de
vue abstrait. Commençons par caractériser une mesure à l’aide de
deux axiomes
• Axiome 1. µ(∅) = 0
• Axiome 2. Si A et B sont deux ensembles mesurables, alors
µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
la mesure de deux ensembles doit être la somme des mesures
moins la mesure de l’intersection. En particulier si l’on a deux
ensembles disjoints A et B, µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B). Cette
propriété d’additivité est le moyen de ramener le calcul pour
des ensembles compliqués à des opérations de mesure sur des
ensembles simples.
Le volume d’un solide A satisfait les axiomes 1 et 2, mais ces deux
axiomes ne suffisent pas à caractériser le volume parmi toutes les
mesures possibles.
Quels axiomes doit-on ajouter ?
mesures possibles.
• Axiome 3. Le volume d’un ensemble A est indépendant de la
position de A. Si un ensemble A dans Rd peut être déplacé
rigidement sur un ensemble B, alors A et B ont le même
volume.
mesures possibles.
• Axiome 3. Le volume d’un ensemble A est indépendant de la
position de A. Si un ensemble A dans Rd peut être déplacé
rigidement sur un ensemble B, alors A et B ont le même
volume.
• Finalement nous devons normaliser en fixant le volume d’un
parallélépipède rectangle P dont les côtés, de longueur
x1 , x2 , x3 , sont orthogonaux entre eux et parallèles aux axes en
posant
Axiome 4.
µ3 (P) = x1 x2 x3
Les quatre axiomes déterminent de manière unique le volume de
solides dans R3 si l’on ajoute des conditions de continuité.
• En utilisant la propriété d’additivité, on peut étendre cette
définition à des objets plus généraux.
• Le volume n’est cependant pas la seule mesure invariante en
dimension 3
dimension 3
• Que se passe-t-il si nous conservons les trois premiers axiomes,
mais si nous modifions seulement le quatrième.
dimension 3
• Observons la formule de normalisation du parallélépipède.
Cette formule est la fonction symétrique e3 . Remplaçons e3
par e2 .
dimension 3
par e2 .
• Axiome 4’
µ2 (P) = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1
On obtient la moitié de l’aire du parallélépipède rectangle de
longueur des côtés x1 , x2 , x3 .
dimension 3
par e2 .
• Axiome 4’
µ2 (P) = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1
On obtient la moitié de l’aire du parallélépipède rectangle de
longueur des côtés x1 , x2 , x3 .
• Modifions de nouveau l’axiome 4 en utilisant maintenant la
fonction symétrique e1 .
• Axiome 4’
µ1 (P) = x1 + x2 + x3
La fonction symétrique e1 de degré 1 joue le rôle de e3 et e2
dans les définitions précédentes.
• Axiome 4’
µ1 (P) = x1 + x2 + x3
• µ1 (P) mesure le quart de la somme des longueurs des arêtes
délimitant le parallélépipède.
• Axiome 4’
µ1 (P) = x1 + x2 + x3
• µ1 (P) mesure le quart de la somme des longueurs des arêtes
délimitant le parallélépipède.
• De nouveau, cette mesure est invariante par rotation ou
translation puisque les longueurs sont invariantes dans les
transformations précédentes.
• Cette définition a-t-elle un sens lorsque l’on considère l’union
de deux parallélépipèdes P1 et P2 partageant une face en
commun. Dans ce cas particulier, l’union de P1 et P2 est
convexe.
=
∪
convexe.
=
• µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
∪
convexe.
=
• µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
• µ1 (P1 ∪ P2 ) = a1 + b1 + c1 + a2
∪
convexe.
=
∪
• µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
• µ1 (P1 ∪ P2 ) = a1 + b1 + c1 + a2
• µ1 (P1 ) = a1 + b1 + c1 , µ1 (P2 ) = a1 + b1 + c2
µ1 (P1 ∩ P2 ) = a1 + b1 puisque (P1 ∩ P2 ) est un
parallélépipède plat ; donc un rectangle.
convexe.
=
∪
• µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
• µ1 (P1 ∪ P2 ) = a1 + b1 + c1 + a2
• µ1 (P1 ) = a1 + b1 + c1 , µ1 (P2 ) = a1 + b1 + c2
µ1 (P1 ∩ P2 ) = a1 + b1 puisque (P1 ∩ P2 ) est un
parallélépipède plat ; donc un rectangle.
• Finalement µ1 (A) + µ1 (B) − µ1 (A ∩ B) =
a1 + b1 + c1 + a1 + b1 + c2 − (a1 + a2 ) = a1 + b1 + c1 + a2
Interprétation de µ1
• Cette mesure est relativement peu utilisée dans les sciences et
techniques par rapport aux mesures de volume et d’aire.
• Elle est pourtant utilisée dans des activités de la vie courante.
Par exemple, dans les bureaux de poste, un colis est accepté si
la somme de ses dimensions (longueur, largeur et hauteur) est
inférieure à une limite conventionnelle (souvent 150 cm).
• Cette mesure est appelé largeur moyenne.
• Cette mesure est appelé largeur moyenne.
• Cette mesure généralise la notion d’intégrale de la courbure
moyenne à des objets présentant des arêtes et des sommets
singuliers comme les polyèdres .
La quatrième mesure µ0
• Nous continuons à remplacer l’axiome 4 par un autre axiome.
Prenons la fonction symétrique d’ordre 0 de l’ensemble des 3
variables, elle est toujours égale à 1.
Axiome 4”’. µ0 (P) = 1
si P est un ensemble compact, convexe et non vide
La quatrième mesure µ0
• Nous continuons à remplacer l’axiome 4 par un autre axiome.
Prenons la fonction symétrique d’ordre 0 de l’ensemble des 3
variables, elle est toujours égale à 1.
Axiome 4”’. µ0 (P) = 1
si P est un ensemble compact, convexe et non vide
• On montre que cette mesure est la caractéristique
d’Euler-Poincaré. En dimension 3 pour un solide, elle est égale
à 1 moins le nombre de tunnels plus le nombre de cavités.
Propriétes des mesures
Les quatre mesures précédentes (volume, aire, largeur moyenne et
indicateur d’Euler) sont appelées fonctionnelles de Minkowski. Elles
ont les propriétés suivantes sur la classe des convexes compacts :
• Croissance
• Croissance
• Continuité
• Croissance
• Continuité
• Homogénéité de degré d − k
• Croissance
• Continuité
• Invariance par rapport aux déplacements : translations et
rotations
• Croissance
• Continuité
• Invariance par rapport aux déplacements : translations et
rotations
• Additivité
L’anneau convexe
• Hadwiger a montré que toute mesure ϕ sur C(R3 ) est une
combinaison linéaire des 4 fonctionnelles de Minkowski.
L’anneau convexe
• Le résultat précédent peut-être généralisé à une classe d’objets
plus importante : la classe de tous les sous-ensembles A de R3
qui peuvent être exprimés comme des unions finies
d’ensembles compacts et convexes (R(R3 )).
L’anneau convexe
• Le résultat précédent peut-être généralisé à une classe d’objets
plus importante : la classe de tous les sous-ensembles A de R3
qui peuvent être exprimés comme des unions finies
d’ensembles compacts et convexes (R(R3 )).
• Si µ est additive sur C(R3 ) et invariante par rapport aux
déplacements sur R(R3 ) et croissante sur les convexes, le
théorème reste valide.
Ensemble dilaté
Considérons une boı̂te parallélépipédique que nous cherchons à
isoler soigneusement de l’extérieur avec une couche d’égale
épaisseur e. On commence à coller 6 parallélépipèdes d’épaisseur e
correspondant à chacune des 6 faces de l’objet, puis des baguettes
”Quart de rond” de rayon e sur chacune des 12 arêtes, enfin 8
huitièmes de sphère de rayon e sur chacun des sommets. On a
ainsi ajouté des solides à chacun des objets constituant la boı̂te :
aux faces, aux arêtes et aux sommets.
Ensemble dilaté. Définition formelle
Si l’on prend comme cas particulier dans la somme de Minkowski
pour l’un des deux ensembles une boule de centre l’origine et de
rayon r , on obtient l’ensemble dilaté de K :
Kr = K ⊕ B n (r ) = {x ∈ Rd , d(K , x) ≤ r }
On parle aussi de voisinage d’ordre r de K ou d’ensemble parallèle
à K .
c
c
b
T
a
⊕
2r
=
b
T
r
B(2) (r)
a
Ensemble dilaté. Définition formelle
Prenons l’exemple d’un carré.
⊕
C
2r
B(2) (r)
=
C
r
a
a
Le nouvel ensemble obtenu dans un plan est un carré arrondi, qui
est l’union : du carré originel, de quatre rectangles de longueurs de
côtés a et r et finalement de quatre quartiers d’un disque de rayon
r.
L’aire est a2 + 4ar + πr 2 .
Cette formule suggère qu’il y a une relation entre l’aire de
l’ensemble originel et son ensemble parallèle à une distance r .
Il est facile de remarquer que l’aire du carré arrondi peut être
réécrit comme
U(Rr ) = U(R)r 0 + P(R)r 1 + πr 2
(1)
Où P(R) est la longueur de la frontière (périmètre) du carré R.
Les fonctions U(R) et P(R) sont indépendantes de la taille de la
boule B 2 (r ).
Nous pouvons détecter les termes de l’équation (1) qui dominent
lorsque r est modifié. On peut aussi remarquer que l’on a
1
termes en r 0 : régions denses (régions occupant de l’espace),
2
termes en r 1 : parties qui augmentent le long des côtés,
3
termes en r 2 : extrémités de lignes, points de courbure élevée,
discontinuités dans la tangente
Dilatation d’un cube
Prenons un cube dont la longueur du côté est a
π
4π
Vr (Q) = a3 + 6a2 r + 12a r 2 + 8 r 3
2
24
(2)
Les r −termes sont les contributions provenant
1
des six prismes rectangulaires sur les faces de Q,
2
des douze secteurs cylindriques sur les arêtes,
des huit secteurs sphériques localisés aux sommets.
4π 3
Vr (Q) = V (Q) + S(Q)r + 2πB(Q)r 2 +
r
3
où S(Q) est l’aire et B(Q) est la largeur moyenne.
H(Q) = 2πB(Q) est appelée intégrale de la largeur moyenne.
Le polynôme en r est appelé polynôme de Steiner.
3
(3)
Dérivation de l’aire à partir du volume
De manière plus générale le volume de Q détermine la surface de
Q convexe
Vr (Q) − V (Q)
(4)
S(Q) = limr →0
r
1
Sr (Q) − S(Q)
H(Q) = limr →0
(5)
2
r
Hr (Q) − H(Q)
(6)
C (Q) = limr →0
r
C (Q) est la courbure totale. Elle vaut 4π pour tout convexe.
4
Cas de la sphère. V = πr 3 , V 0 = S = 4πr 2 ,
3
1 0
S = H = 4πr = 2π(2r )
2
On montre que dans le cas de polyèdres de n arêtes de longueurs
respectives li et d’angles dièdres αi , la largeur moyenne est égale à
B=
n
1 X
li αi
4π
i=1
Discrétisation d’un cube
≡
∪
•
∪
∪
Discrétisation d’un cube
≡
∪
∪
∪
•
• 1 cube : 1 intérieur, 6 faces ouvertes, 12 arêtes ouvertes, 8
sommets ouverts.
Ces ensembles sont convexes.
• Dans un image 3D binaire chaque voxel est un ensemble
convexe. Donc de telles images peuvent être considérées
comme un élément de l’anneau convexe.
La clé du calcul des fonctionnelles de Minkowski est
l’additivité de la caractéristique d’Euler-Poincaré χ.
• Dans un image 3D binaire chaque voxel est un ensemble
convexe. Donc de telles images peuvent être considérées
comme un élément de l’anneau convexe.
La clé du calcul des fonctionnelles de Minkowski est
l’additivité de la caractéristique d’Euler-Poincaré χ.
• Soit n0 : le nombre de sommets ouverts, n1 : le nombre
d’arêtes ouvertes, n2 : le nombre de faces ouvertes , et n3 : le
nombre de cubes ouverts. Alors
1
2
3
4
V = n3
S = −6n3 + 2n2
2B = 3n3 − 2n2 + n1
χ = −n3 + n2 − n1 + n0
Dans la pratique le calcul des fonctionnelles de Minkowski
d’une image 3D consiste simplement à décompter le nombre
de sommets, d’arêtes, de faces et de cubes.
Le cube plein
• Le décompte
n3 = 27, n2 = 108, n1 = 144, n0 = 64
Le cube plein
• Le décompte
n3 = 27, n2 = 108, n1 = 144, n0 = 64
• Les fonctionnelles de Minkowski
V = 27, S = 54, 2B = 9, χ = 1
Le cube plein avec une cavité
• Le décompte
n3 = 26, n2 = 108, n1 = 144, n0 = 64
Le cube plein avec une cavité
• Le décompte
n3 = 26, n2 = 108, n1 = 144, n0 = 64
• Les fonctionnelles de Minkowski
V = 26, S = 60, 2B = 6, χ = 2
Le cube épointé
• Le décompte
n3 = 26, n2 = 105, n1 = 141, n0 = 63
Le cube épointé
• Le décompte
n3 = 26, n2 = 105, n1 = 141, n0 = 63
• Les fonctionnelles
V = 26, S = 54, 2B = 9, χ = 1
Le cube avec un tunnel
• Le décompte
n3 = 24, n2 = 104, n1 = 144, n0 = 64
Le cube avec un tunnel
• Le décompte
n3 = 24, n2 = 104, n1 = 144, n0 = 64
V = 24, S = 64, 2B = 8, χ = 0
Le cube avec deux tunnels
• Le décompte
n3 = 22, n2 = 100, n1 = 144, n0 = 64
Le cube avec deux tunnels
• Le décompte
n3 = 22, n2 = 100, n1 = 144, n0 = 64
V = 22, S = 68, 2B = 10, χ = −2
Le cube avec 10 tunnels
• Le décompte
n3 = 900, n2 = 3190, n1 = 3630, n0 = 1331
Le cube avec 10 tunnels
• Le décompte
n3 = 900, n2 = 3190, n1 = 3630, n0 = 1331
V = 900, S = 980, 2B = −50, χ = −9
Diagramme de Blaschke
1
0.75
0.5
0.25
0
0.25
0.5
0.75
8
π2
Application de Blaschke
K3 = { Corps convexes } −→ [0, 1] × [0, 1]
4πS 48π 2 V
K(V, S, B) 7−→ (x, y) =
,
B2
B3
1
Diagramme de Blaschke pour des polyèdres
1
Sphère
Dodecahèdre
0,75
Icosahèdre
Cube
Octahèdre
0,5
Tetrahèdre
0,25
Disque
Fil
0
0
0,25
0,5
0,75
1
Diagramme de Blaschke pour des solides discretisés
1
0,75
CUBE ARRONDI
SPHERE
ELLIPSOIDE
0,5
T
CROIX
CUBE 45
T FIN
COMPOSITION
H
0,25
H FIN
CATENOIDE
PLAQUES
FILAMENTS
0
0
0,25
0,5
0,75
1
Références bibliographiques
• Integral Geometry Morphological Image Analysis. K.
Michielsen, H De Raedt. Physics Reports. 347 (2001) 461-538.
Références bibliographiques
• Integral Geometry Morphological Image Analysis. K.
Michielsen, H De Raedt. Physics Reports. 347 (2001) 461-538.
• Integral geometry and statistical physics. K. R. Mecke.
International Journal of Modern Physics B 12 (1998) 861-899.
Conclusion
• Caractérisation de formes à l’aide de 4 descripteurs
morphologiques (3 géométriques, 1 topologique) issus d’une
théorie mathématique bien définie, la géométrie intégrale.
Conclusion
• Méthode pouvant s’appliquer à des formes complexes.
Conclusion
• Contraste important entre la ”sophistication” des notions
mathématiques sous-jacentes et la facilité de mise en oeuvre.
Conclusion
• Contraste important entre la ”sophistication” des notions
mathématiques sous-jacentes et la facilité de mise en oeuvre.
• Limites ....

Les fonctionnelles de Minkowski

Transcription

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