Le calcul tensoriel - Emmanuel Plaut

Transcription

Le calcul tensoriel : outil mathématique
pour la physique des milieux continus
par Emmanuel Plaut à Mines Nancy
Version du 13 septembre 2016
Table des matières
Introduction
5
1 Algèbre tensorielle
9
1.1
Espace - Vecteurs - Bases et repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Remarque sur la notation
1.1.2
Convention de sommation sur les indices répétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
vecteur
9
: flèche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices répétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3
Produit scalaire - Première rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4
Formule de changement de base - Notion de représentation . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ex. 1.2 : Vérification de la cohérence de la définition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5
Sur le caractère
1.1.6
Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
direct
des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13
1.2
Définition des tenseurs comme applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1
Représentation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2
Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3
Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4
Application : écriture intrinsèque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ex. 1.3 : De l’intérêt de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5
1.4
Tenseur identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1
Définition et exemple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2
Applications : définition de la transposition, tenseurs (anti)symétriques . . . . . . . . 17
Ex. 1.4 : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5
Les tenseurs comme applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1
Définition des tenseurs comme applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ex. 1.5 : Application de la définition multilinéaire récurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . 18
1.5.2
Définition générale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3
Écriture intrinsèque et représentation - Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilinéaire . . . . . . . . . 20
2
1.5.4
Définition générale du produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ex. 1.7 : Produit contracté de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.8 : Produit contracté d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.9 : Produit contracté de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.10 : Associativité du produit de contraction dans un cas général . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.5
1.6
Définition générale du produit doublement contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Tenseur alterné fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1
Définition du tenseur alterné fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur alterné fondamental pour calcul d’un déterminant . . . . . . 25
1.6.2
Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3
Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisymétriques . . . . . . . . . . . . . 26
Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur alterné fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 26
Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.14 : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.15 : Tenseur antisymétrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7
Exemples en mécanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8
Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Analyse tensorielle
2.1
2.2
2.3
2.4
31
Gradient d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1
Définition intrinsèque en tant que différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2
Calculs en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Cas du gradient d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1
Décomposition en parties symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2
Signification de la partie symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3
Signification de la partie antisymétrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Divergence d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1
Définition intrinsèque à partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2
Intégration des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2
Formule intégrale du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.3
Formule intégrale de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ex. 2.1 : Démonstration de la formule de la divergence dans le cas général . . . . . . . . . . . 40
2.4.4
2.5
2.6
Application : signification physique de l’opérateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 40
Laplacien d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1
Définition intrinsèque à partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2
Exercices visant à établir un formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.2 : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.3 : Compositions d’opérateurs différentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.4 : Divergence d’un gradient transposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.5 : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
Ex. 2.6 : Divergence d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.7 : Divergence de divers produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ex. 2.8 : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ex. 2.9 : Formules de Navier en élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ex. 2.10 : Réécritures du terme non linéaire de l’équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 46
Ex. 2.11 : Dérivée particulaire de la densité d’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7
Calculs en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1
Systèmes à symétrie cylindrique - Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2
Définition des coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3
Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.4
Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7.5
Expressions de la divergence
2.7.6
Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Ex. 2.12 : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . 51
Pb. 2.1 : Aspects mathématiques de l’étude d’un tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . 52
Pb. 2.2 : Aspects mathématiques de l’étude d’un rhéomètre de Couette cylindrique
2.8
2.9
. . . . . 53
Calculs en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1
Définition des coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2
Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.3
Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.4
2.8.5
Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Compléments : potentiels et rotationnels
59
3.1
Existence de potentiel scalaire : théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2
Existence de potentiels vecteurs pour des champs
3.3
irrotationnels
. . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1
Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2
Premier théorème de Cauchy généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3
Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4
Deuxième théorème de Cauchy généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Existence de potentiel vecteur pour un champ à divergence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A Éléments de correction des exercices et problèmes
65
A.1 Corrigés du chapitre 1 - Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices répétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ex. : Vérification de la cohérence de la définition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 65
Ex. : De l’intérêt de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Ex. : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Ex. : Application de la définition multilinéaire récurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . . . 66
Ex. : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilinéaire . . . . . . . . . . . 67
Ex. : Produit contracté de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ex. : Produit contracté d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4
Ex. : Produit contracté de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ex. : Associativité du produit de contraction dans un cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ex. : Utilisation du tenseur alterné fondamental pour calcul d’un déterminant . . . . . . . . . 68
Ex. : Formules portant sur le tenseur alterné fondamental et le vecteur dual . . . . . . . . . . 68
Ex. : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ex. : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Tenseur antisymétrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.2 Corrigés du chapitre 2 - Analyse tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Démonstration de la formule de la divergence dans le cas général . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Compositions d’opérateurs différentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Divergence d’un gradient transposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Divergence d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Formules de Navier en élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ex. : Réécritures du terme non linéaire de l’équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 72
Ex. : Dérivée particulaire de la densité d’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ex. : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . . . 72
Pb. : Aspects mathématiques de l’étude d’un tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Pb. : Aspects mathématiques de l’étude d’un rhéomètre de Couette cylindrique . . . . . . . . 73
Bibliographie
75
Introduction
La physique des milieux continus est une branche de la physique, qui s’est développée au
XIXème siècle puis a connu des sommets au XXème siècle, dans laquelle la matière est considérée
à des échelles suffisamment grandes pour que sa nature discrète, en tant que somme d’électrons,
de protons et neutrons en interactions dans le vide, n’apparaisse pas. Au contraire, la matière
est considérée comme la réunion de milieux continus fluides ou solides, séparés par des interfaces.
De même, le rayonnement est considéré comme consistant en des vibrations continues des champs
électrique et magnétique 1 , et non comme des photons discrets 2 . Les grands domaines de la physique
des milieux continus sont 3
1. la thermomécanique ;
2. l’électromagnétisme ;
3. la relativité.
De ces domaines seuls les deux premiers relèvent des sciences de l’ingénieur 4 , et seul le tout
premier est enseigné de façon approfondie à l’école des Mines de Nancy, en 1ère année, dans les
modules de Mécanique des milieux continus solides et fluides au 1er semestre, Transformation
de la matière et de l’énergie au 2d semestre. Tous ces domaines se sont développés grâce à 5 un
outil mathématique que l’on pourrait désigner comme l’ algèbre 6 et analyse 7 vectorielles
généralisées , mais que l’on appelle plutôt calcul tensoriel 8 .
1. Le lieu de ces vibrations ou ondes est soit le vide, que l’on peut considérer comme le milieu continu le
plus simple possible, soit la matière...
2. Les effets quantiques n’apparaissent pas : la physique des milieux continus relève, en ce sens, de la physique
classique.
3. Les frontières entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modélisation complète des effets piezoélectriques
ou thermoélectriques est à l’interface entre les domaines 1 et 2. De même en relativité (domaine 3) on peut se poser
la question des lois de transformation des champs électromagnétiques (domaine 2) par changement entre deux
référentiels en translation très rapide...
4. Quoiqu’en spatial des effets relativistes soient à prendre en compte...
5. Ou, plutôt, de pair avec , car au XIXème siècle les scientifiques auteurs d’avancée en physique des milieux
continus furent souvent des mathématiciens développant le calcul tensoriel, comme, par exemple, Cauchy et Lagrange.
6. Le mot algèbre vient de l’arabe al-jabr signifiant reconstruction ou connexion . L’algèbre
étudie les relations ( connexions ) entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via différentes opérations ,
somme, produits, etc...
7. Le mot analyse vient du grec analuein signifiant délier . L’analyse décompose et recompose grâce au calcul différentiel et intégral ou calcul infinitésimal . Ainsi la variation de température
Rb
Rb
entre les deux extrémités d’un segment est analysée comme T (b) − T (a) = a dT = a T 0 (x) dx... La même
analyse doit pouvoir être faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ électrique, ce qui introduit la
question de la dérivée d’un champ de vecteurs, etc...
8. Historiquement, entre l’ algèbre et analyse vectorielles généralisées et le calcul tensoriel , il y a eu
quelques étapes ; l’une des plus importantes correspond à l’article de Ricci & Levi-Civita (1900).
6
Introduction
Comme préliminaire au cours de mécanique des milieux continus (Plaut 2016), nous donnons justement ici quelques éléments de calcul tensoriel.
Depuis quelques décennies, le fait que la physique ait besoin, pour se développer, d’outils
mathématiques, a parfois été minimisé, voire nié, par une certaine partie, assez visible , de la
communauté physicienne française. Cette attitude est une réaction, initialement saine, aux excès
de mathématisation dans l’enseignement des sciences, par exemple celui de la mécanique, dans les
années 1960-1970 et plus tard. Il nous semble cependant que cette réaction a souvent été trop loin,
pour mener dans des cas extrêmes à des affirmations déraisonnables comme on peut tout faire
avec la règle de trois 9 . Mathématiser et formaliser à outrance sont sans doute, pour la physique,
aussi nuisibles que de cacher tous les calculs sous des raisonnements soi-disant intuitifs , mais
en fait impossible à développer sans connaı̂tre les fameux calculs cachés . Un certain équilibre
doit être trouvé entre mathématiques et physique, la deuxième n’existant pas sans les premiers,
puisque modéliser c’est décrire des phénomènes en langue mathématique. C’est bien ce qu’ont
expliqué ces deux très grands physiciens :
La philosophie est écrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux
(je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas à connaı̂tre
la langue et les caractères dans lesquels il est écrit.
Or il est écrit en langue mathématique, (...)
sans laquelle il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot,
sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur. Galilée
‘Our experience hitherto justifies us in believing that nature
is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas.
I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions
the concepts and the laws connecting them with each other,
which furnish the key to the understanding of natural phenomena...
Experience may suggest the appropriate mathematical concepts,
but they most certainly cannot be deduced from it.
Experience remains, of course,
the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction.
But the creative principle resides in mathematics.
In a certain sense, therefore,
I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.’
Einstein 10
L’objet des trois chapitres qui suivent est donc une introduction au calcul tensoriel, avec une
approche de mécanicien théoricien assumée, même si elle est imposée par le cours volume
horaire alloué 11 . Les tenseurs en tant qu’objets algébriques sont introduits dans le chapitre 1.
9. Que l’on essaye par exemple de résoudre les problèmes de mécanique 4.3 Dimensionnement d’un tuyau contenant un fluide sous pression et 7.2 Étude d’un rhéomètre de Couette cylindrique de Plaut (2016), en utilisant
exclusivement la règle de trois...
10. Sur cette citation, voir aussi la figure culturelle 2.7 page 45, et sa légende.
11. Il pourrait être intéressant de donner un cours plus mathématique et plus approfondi...
Introduction
7
Les tenseurs en tant que champs 12 sont étudiés ensuite dans les chapitres 2 et 3. La séparation
entre ces deux derniers chapitres est un peu artificielle. Elle vise essentiellement à soulager les
lecteurs pour lesquels l’apprentissage du calcul tensoriel est rude : ils pourront se contenter d’un
survol du chapitre 3. Les autres voudront bien le lire très attentivement.
Par souci de simplicité, on se focalise sur les tenseurs euclidiens. L’existence du produit scalaire permet d’identifier l’espace vectoriel de travail R3 (ou R2 ) à son dual. On commence par les
tenseurs représentés sur des bases orthonormées (directes) et en coordonnées cartésiennes 13 .
Cependant, on donnera des éléments importants sur les champs de tenseurs représentés en coordonnées curvilignes à la fin du chapitre 2. La théorie générale des tenseurs en base quelconque
et en distinguant l’espace de son dual 14 est introduite par exemple dans les annexes I de Salençon (1996) ou A de Forest (2009), et présentée de façon plus exhaustive dans Pernès (2003).
Une présentation plus mathématique de cette théorie, qui n’oublie pas cependant ses applications,
est donnée dans Lichnerowicz (1946); Appel (2005); Garrigues (2007). Deux autres références
intéressantes, mais moins exhaustives, sont les ouvrages de Germain (1986) et Coirier (2001).
Enfin une référence anglo-saxonne pertinente est le traité de Aris (1962).
L’essentiel de votre apprentissage du calcul tensoriel se fera par du travail personnel et lors
des séances 1 et 2 de cours-TD du module de mécanique des milieux continus solides et fluides.
Vous le complèterez ensuite, au fil des séances de ce module, en utilisant le calcul tensoriel à de
nombreuses occasions. Dès la réception de ce polycopié, un travail personnel est indispensable,
selon ce qui est indiqué sur la page web dynamique de ce module,
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc .
Je vous invite à visiter cette page régulièrement, en commençant sans attendre ; elle vous permettra
d’acquérir une vue globale de la structure du module. Cette page web contient une version PDF
de ce document, dans laquelle figure l’annexe A contenant des éléments de correction des exercices
et problème.
Je remercie les collègues qui ont permis l’introduction de ce cours à l’école des Mines de
Nancy, notamment Michel Jauzein. Je remercie aussi les collègues qui m’ont inspiré ou corrigé,
plus particulièrement Didier Bernardin, chercheur au laboratoire d’énergétique et de mécanique
théorique et appliquée (Lemta 15 ), et Rainier Hreiz. Je remercie enfin Rachid Rahouadj pour le
dessin de la figure 1.3.
Nancy, le 13 septembre 2016.
Emmanuel Plaut,
chercheur en mécanique des fluides au Lemta, professeur à l’Université de Lorraine.
12.
lysée
13.
14.
15.
L’objet algébrique se met à dépendre de la position dans l’espace physique, et cette dépendance est
...
Dans ce cas on parle de tenseurs cartésiens .
Ce qui permet d’introduire les notions de covariance et contravariance.
Unité mixte de recherche CNRS - UL.
ana-
Chapitre 1
Algèbre tensorielle
L’introduction aux tenseurs en tant qu’objets algébriques est faite progressivement, en profitant du fait que l’algèbre tensorielle est en premier lieu une reformulation de notions bien connues
comme celles de vecteur 1 , d’application linéaire ou multi-linéaire 2 .
1.1
Espace - Vecteurs - Bases et repères
L’espace physique dans lequel évoluent les objets que le théoricien des milieux continus considère
est l’espace affine euclidien orienté 3 R3 . Dans cet espace, l’observateur réputé immobile qui mesure les mouvements est appelé référentiel et noté R - une définition précise
de la notion de référentiel est donnée dans l’annexe A du cours de mécanique Plaut (2016). Cet
observateur-référentiel utilise en général un repère orthonormé direct R pour repèrer les positions d’objets matériels. Ce repère orthonormé, dit aussi repère cartésien , est défini par la
donnée d’un point origine O immobile (pour R) et de vecteurs fixes (toujours pour R) e1 , e2 , e3
formant une base orthonormée directe que l’on note {ei }. Un vecteur quelconque x est repéré
par ses composantes x1 , x2 , x3 de sorte que
x =
3
X
xi ei .
(1.1)
i=1
Un point quelconque M est repéré de la même manière par ses coordonnées cartésiennes qui
sont les composantes x1 , x2 , x3 du vecteur position OM, telles que
OM =
3
X
xi ei .
(1.2)
i=1
On note parfois le repère sous la forme R = Ox1 x2 x3 .
1. D’ailleurs sur le plan étymologique le terme
tenseur
vient du latin
tensum
qui veut dire
tendu
,
−−→
ce qui pourrait désigner un bipoint AB c’est-à-dire l’archétype d’un vecteur.
2. En deux mots un tenseur peut être vu soit comme l’une, soit comme l’autre, ces deux points de vue différents
ayant chacun leur propre intérêt. Attention aux faits que la reformulation dont il s’agit n’est pas complètement
triviale (ne sous-estimez pas la complexité de l’algèbre tensorielle, il vous faudra fournir un effort pour la maı̂triser),
et que l’analyse tensorielle va largement au delà d’une simple reformulation de l’analyse vectorielle.
3. On reviendra sur le problème de l’orientation de l’espace c’est-à-dire sur la notion de bases directes section 1.1.5.
10
1.1.1
Chapitre 1 Algèbre tensorielle
Remarque sur la notation
vecteur
: flèche vs barre
Vous aurez noté que la traditionnelle flèche utilisée en classes préparatoires pour désigner un
vecteur est devenue une simple barre dans ce document,
−−−→
OM .
OM
(1.3)
L’objectif de ce changement de notation est essentiellement de réduire l’encombrement 4 . En
écriture manuscrite on reviendra en général aux notations avec flèche, faisant le chemin inverse de
celui présenté formule (1.3).
1.1.2
Convention de sommation sur les indices répétés
Une écriture telle que (1.2) est très lourde. Nous savons bien que l’espace physique est de
dimension 3, donc qu’un indice de coordonnées varie de 1 à 3. Pour alléger les notations nous
adoptons dorénavant la convention de sommation sur les indices répétés dite d’Einstein,
qui stipule qu’une formule écrite avec des indices répétés implique une somme sur ces indices,
3
X
xi ei
xi ei .
(1.4)
i=1
On dit qu’un indice répété est un indice muet : de fait on peut lui dire de changer de nom
sans dommage (comme il est muet il ne pourra pas protester !), par exemple on peut décréter que
l’indice i dans (1.4) s’appelle en fait k,
xi ei = xk ek .
(1.5)
Pour éviter toute ambiguité fâcheuse, il est interdit d’employer plus de deux fois le même indice
dans le même produit. Ainsi dans un produit de facteurs, soit un indice apparait deux fois, auquel
cas il est muet et cache une sommation sur 3 valeurs 5 , soit il apparait une seule fois, auquel cas on
parle d’ indice explicite . De façon exceptionnelle on peut avoir besoin d’écrire une formule
avec deux fois le même indice sans qu’il y ait sommation sur celui-ci ; alors on le souligne une fois
sur deux.
Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices répétés
1 Récrivez l’expression
E =
3
X
i=1
ai
3
X
bik ckj
k=1
en utilisant la convention de sommation d’Einstein. De quel(s) indice(s) dépend E ?
2 Désignez dans la formule (1.16) le ou les indices muet(s) et explicite(s). Récrivez cette suite
d’égalités sans la convention de sommation d’Einstein, i.e. en explicitant les sommes cachées.
−−−→
4. Dans certains ouvrages une autre convention est adoptée, OM
OM.
5. Il peut arriver que l’on étudie des problèmes plans pour lesquels l’espace de travail peut être considéré de
dimension 2 ; en effet dans la troisième direction on a invariance donc celle-ci ne joue aucun rôle . Dans ce cas un
indice répété cache une sommation sur 2 valeurs seulement, correspondant aux 2 directions dans le plan de travail.
De manière générale dans la quasi totalité de ce document (à l’exclusion de la section 1.6) on peut remplacer R3 par
R2 sans dommage, à condition bien sûr d’adapter comme on vient de l’expliquer la convention de sommation sur les
indices répétés.
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et repères
1.1.3
11
Produit scalaire - Première rencontre avec le point de contraction
Pour le physicien, capable de mesurer des longueurs et des angles, l’existence d’un produit
scalaire euclidien universel ne fait pas de doute ; il pourrait le définir par la formule
d .
x · y = ||x|| ||y|| cos(x,y)
(1.6)
Le mathématicien pose plutôt, dans sa base orthonormée {ei }, que
x · y = x i yi .
(1.7)
Le point dans cette formule est le point de contraction , qui constitue une opération de
calcul tensoriel que l’on va généraliser. Par définition même du caractère orthonormé de la base
de travail, on a
(
1 si i = j
∀i,j,
ei · ej = δij =
.
(1.8)
0 sinon
Les δij sont les
1.1.4
symboles δ de Kronecker
6.
Formule de changement de base - Notion de représentation
Le choix de la base orthonormée {ei } posé au tout début comprend une part d’arbitraire.
D’un point de vue scientifique, il est donc important de savoir réconcilier les observations faites
dans cette base avec celles que l’on pourrait faire dans une autre base orthonormée {e0i } (tout en
restant dans le même référentiel). Remarquant que, du fait de la propriété (1.8), on peut obtenir
les composantes d’un vecteur x dans ces deux bases par produit scalaire avec les vecteurs de base,
xi = ei · x
et
x0i = e0i · x ,
(1.9)
on obtient
xi = ei · (x0j e0j ) = ei · e0j x0j
⇐⇒
[x] = [P ] · [x0 ]
(1.10)
où [x] désigne le vecteur colonne des composantes de x dans la base {ei }, [x0 ] le vecteur colonne
des composantes de x dans la base {e0i }, [P ] la matrice de passage de composantes
[P ]ij = Pij = ei · e0j .
(1.11)
Le point de contraction dans (1.10) désigne le produit matrice-vecteur classique, i.e.
xi = Pij x0j
.
(1.12)
e0j = Pij ei ,
(1.13)
On a
i.e. la matrice [P ] est constituée de colonnes qui sont les composantes des vecteurs e0j dans la base
{ei }. Pour cette raison on dit aussi que c’est la matrice de présentation des vecteurs e0j dans
la base des ei . Cette matrice [P ] est orthogonale, i.e. sa matrice transposée définie par
[P T ]ij = Pji
6. Du nom du mathématicien allemand du XIXème siècle qui les inventa.
(1.14)
12
est son inverse :
[P T ] = [P ]−1
⇐⇒
[P T ] · [P ] = [P ] · [P T ] = [I] matrice identité.
(1.15)
Ceci se vérifie en partant par exemple de la propriété d’orthonormalité de la base des e0j ,
δij = e0i · e0j = e0i · (Pkj ek ) = (ek · e0i )Pkj = Pki Pkj = [P T ]ik Pkj .
(1.16)
Ainsi [P T ] · [P ] = [I] ; d’après la théorie des matrices, on a en conséquence [P ] · [P T ] = [I] i.e.
δij = Pik Pjk .
(1.17)
De façon géométrique il importe d’anticiper sur la section suivante en remarquant que l’application
linéaire L qui envoie e1 , e2 , e3 sur e01 , e02 , e03 envoie donc
x = xj ej
sur
y = L(x) = xj L(ej ) = xj e0j = Pij xj ei .
(1.18)
La matrice représentative de cette application sur la base {e1 , e2 , e3 } est donc la matrice de passage
[P ] elle-même 7 . Ainsi le fait que [P ] soit orthogonale provient du fait que la transformation L
est orthogonale.
Première remarque importante : sur une question de convention
De nombreux auteurs introduisent, plutôt que la matrice de passage [P ], une matrice de
changement de base
[Q] = [P T ] .
(1.19)
Avec cette définition on remplace par exemple la formule (1.13) par
e0j = Qji ei ,
(1.20)
ce qui présente l’avantage de respecter un ordre des indices très souvent rencontré en calcul
tensoriel : indice(s) explicite(s) à gauche, muets à droite. En revanche on perd l’interprétation
géométrique simple que l’on vient de mentionner.
Deuxième remarque importante : sur l’être et le paraı̂tre
Il faut insister sur le fait que l’objet essentiel est le vecteur lui-même, par exemple un bipoint
x = OM ou AB, et qu’il n’est que représenté par le vecteur colonne de ses composantes
[x] = Vect(x, {ei })
(1.21)
qui dépend du choix de la base 8 en vertu de (1.10). Il convient alors de s’assurer que des objets
comme
x · y = [x] · [y]
sont bien
intrinsèques
, c’est-à-dire ne dépendent pas du choix de la base.
7. En effet, toujours en anticipant sur la section 1.2, on a bien
[y] = Vect L(x), {ei } = [P ] · [x] = [Pij xj ] .
8. D’où la notation avec deux arguments dans la fonction Vect.
1.2 Définition des tenseurs comme applications linéaires
13
Exercice 1.2 Vérification de la cohérence de la définition du produit scalaire
En utilisant la convention de sommation sur les indices répétés et la formule de changement de
base (1.12), vérifiez que la définition (1.7) du produit scalaire conduit à un objet intrinsèque, i.e.
que
xi yi = x0i yi0
(1.22)
quand on change de base.
1.1.5
Sur le caractère
direct
des bases i.e. la notion d’orientation
Une notion importante, qu’il faut poser dès maintenant, est celle de l’ orientation directe des
bases. En physicien on suppose cette notion effectivement universelle et définie par la règle de la
main droite : une base {ei } orthonormée est dite directe si, lorsque j’oriente mon pouce droit
dans la direction de e1 , mon index droit dans la direction de e2 , alors mon majeur droit peut être
naturellement orienté (sans que j’ai besoin de le tordre !) dans la direction de e3 . On constate alors
que n’importe quelle rotation d’une base orthonormée directe définit une nouvelle base orthonormée directe, ce que le mathématicien formalise en remarquant que deux bases orthonormées
directes doivent se déduire l’une de l’autre par une transformation orthogonale directe. Nous
reviendrons sur ce point section 1.6.
1.1.6
Tenseurs d’ordre 0 et 1
Du fait de son caractère intrinsèque prouvé par (1.22), le nombre x · y est un réel qui ne
dépend que de x et y et pas du choix de base : c’est un exemple typique de quantité scalaire ou
tenseur d’ordre 0 . Par contre un vecteur est appelé tenseur d’ordre 1 . Des exemples
physiques de tenseurs d’ordre 0 et 1 sont la température T et un vecteur position OM.
1.2
Définition des tenseurs comme applications linéaires
Partant des deux définitions précédentes, on définit les tenseurs
suivante :
par récurrence
un tenseur d’ordre n ≥ 1, noté Tn , est une application linéaire
qui à tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n − 1 :
Tn : x 7−→ Tn (x) noté aussi Tn · x
.
de la façon
(1.23)
La notation avec le point correspond à une opération de contraction sur laquelle on reviendra
plus tard.
Cette définition s’applique bien dès que n = 1. En effet un vecteur a peut être vu 9 comme
l’application linéaire qui à tout vecteur x fait correspondre le tenseur d’ordre 0 ou scalaire a · x :
a : x 7−→ a(x) = a · x .
(1.24)
9. Le lecteur averti remarque que l’on confond l’espace R3 et son dual. Un point de vue plus fin, qui conduit aux
notions de covariance et contravariance, est proposé par la théorie générale des tenseurs présentée dans les références
bibliographiques citées en introduction.
14
1.3
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications linéaires
D’après la définition (1.23), un tenseur d’ordre 2 est une application linéaire qui à tout vecteur
fait correspondre un tenseur d’ordre 1, c’est-à-dire un vecteur. Il s’agit donc d’un endomorphisme
de l’espace R3 . Pour être cohérent sur le plan des notations on note un tel tenseur non pas L2 mais
L:
L : R3 −→
x
R3
7−→ L(x) = L · x
.
(1.25)
En effet un tenseur d’ordre 0 (un scalaire) étant noté sans barre supérieure, et un tenseur d’ordre 1
(un vecteur) avec une barre supérieure, un tenseur d’ordre 2 mérite bien deux barres supérieures 10 !
1.3.1
Représentation par une matrice
On sait qu’un tel endomorphisme est représenté sur une base orthonormée {ei } par une matrice
[L] = Mat L, {ei }
(1.26)
de composantes
Lij = ei · L · ej ,
(1.27)
[x] = Vect(x, {ei }) ,
(1.28)
Vect L · x, {ei } = [L] · [x] = [Lij xj ] .
(1.29)
de sorte que, si
on a 11
1.3.2
Formule de changement de base
Reprenant les notations de la section 1.1.4, on se pose la question de la matrice représentant L
dans la base {e0i }. Posant, pour x quelconque, y = L · x, on a, d’après les formules (1.10), (1.15)
et (1.29),
[y 0 ] = [P T ] · [y] = [P T ] · [L] · [x] = [P T ] · [L] · [P ] · [x0 ] ,
d’où
[L0 ] = Mat L, {e0i } = [P T ] · [L] · [P ] ,
(1.30)
soit en composantes 12
L0ij = Pki Lkm Pmj
.
(1.31)
10. Cette notation avec un empilement de barres ne pourra cependant pas, pour des raisons d’encombrement, être
utilisé pour des tenseurs d’ordre élevé, d’où la notation générale Tn si n & 4. Mentionnons aussi qu’en écriture
=⇒
→
manuscrite on écrira parfois L au lieu de L, de la même façon que l’on écrira x au lieu de x.
11. Dans (1.29) le point entre [L] et [x] désigne le produit matrice-vecteur classique.
12. En lien avec ce qui a été dit au niveau de l’équation (1.20) : si on utilise la matrice de changement de base
[Q] = [P T ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la formule
L0ij = Qik Qjm Lkm
sans doute plus
simple
en ce qui concerne l’ordonnancement des indices.
1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications linéaires
1.3.3
15
Produit tensoriel de 2 vecteurs
On définit le produit tensoriel de 2 vecteurs comme le tenseur d’ordre 2
a ⊗ b : R3 −→
R3
x 7−→ (a ⊗ b) · x = a (b · x)
.
(1.32)
Dans cette dernière équation a (b · x) signifie le produit du vecteur a par le scalaire b · x ; on
dénote le produit entre un scalaire et un vecteur (ou un tenseur) par un simple espace. On montre
que
(1.33)
Mat(a ⊗ b, {ei }) = [ai bj ] ,
et que l’application qui à a et b associe a ⊗ b est bilinéaire 13 .
1.3.4
Application : écriture intrinsèque d’un tenseur d’ordre 2
L’un des intérêts de l’opération produit tensoriel est de permettre une écriture intrinsèque des
tenseurs d’ordre 2, sous la forme
L = Lij ei ⊗ ej
.
(1.34)
Cette écriture est intrinsèque au sens où elle fait apparaı̂tre les êtres essentiels que sont les vecteurs. Elle montre que l’ensemble des tenseurs ei ⊗ej est une base de l’espace vectoriel des tenseurs
d’ordre 2. Elle permet d’éviter tout risque de mélanges entre bases extrêmement dangereux
lors de l’étude de problèmes où plusieurs bases rentrent en jeu, puisque les vecteurs sont écrits
explicitement 14 . Cette écriture intrinsèque peut justement s’utiliser pour faire des changements de
base de façon très efficace, comme l’illustre l’exercice suivant.
Exercice 1.3 De l’intérêt de la notation produit tensoriel
Dans le plan muni d’un repère R = Oxy, et du système des coordonnées polaires (r,θ) associé,
on note ex et ey les vecteurs de la base orthonormée du repère, er et eθ les vecteurs de la base locale
correspondant à un point M de coordonnées polaires (r,θ) quelconques. On considère le tenseur
L = er ⊗ er .
1 Donnez une interprétation géométrique de L.
2 Explicitez Mat L, {er ,eθ } puis, en utilisant la formule de changement de base (1.30), calculez
Mat L, {ex ,ey } .
3 Exprimez L intrinsèquement dans la base {ex ,ey } en injectant dans L = er ⊗ er l’expression
de er en fonction de ex et ey , puis en développant la formule obtenue grâce à la bilinéarité de
l’opération produit tensoriel.
4 Comparez les résultats, l’efficacité et le
coût calculatoire
de ces deux méthodes.
13. Il s’agit donc bien d’un produit au bon sens du terme.
14. En travaillant avec des matrices et des vecteurs colonnes on a vite fait de faire des calculs insensés, consistant
par exemple à calculer L·x en multipliant la matrice représentant L dans une base par le vecteur colonne représentant
x dans une autre base !
16
1.3.5
Tenseur identité
Une application immédiate des formules (1.27) et (1.34) au tenseur identité
1 : x 7−→ x
(1.35)
donne, comme sa matrice représentative a pour éléments Iij = δij , que
1 = ei ⊗ ei .
1.4
1.4.1
(1.36)
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilinéaires
Définition et exemple
Un point de vue dual de celui de la définition (1.23) consiste à voir un tenseur d’ordre 2
L comme l’application bilinéaire 15
L : R3 × R3 −→
(x,y)
R
7−→ L(x,y) = x · L · y = x · L · y
.
(1.37)
Dans cette équation les deux premières écritures sont des notations équivalentes pour le même
objet 16 , tandis que la troisième fournit une définition calculatoire de cet objet : une fois qu’une
base est choisie on a
L(x,y) = x · L · y = x · L · y
= xi Lij yj .
(1.38)
Une schématisation de cette formule que l’on peut appeler règle du sandwich est présentée
sur la figure 1.1. Un cas particulier remarquable de cette formule s’obtient en utilisant pour x et
y des vecteurs de base ; on en déduit
L(ei ,ej ) = Lij .
(1.39)
Réciproquement, si on connait l’application bilinéaire (x,y) 7−→ x·L·y, on peut définir l’application
linéaire y 7−→ L · y en stipulant que ce dernier vecteur est l’unique vecteur v tel que
∀x,
x·v = x·L·y .
On peut se convaincre que, avec ce point de vue,
a ⊗ b : R3 × R3 −→
R
(x,y)
7−→ (a · x)(b · y)
.
(1.40)
Ce point de vue sera très utilisé lorsque l’on étudiera les déformations de milieux matériels. On
va maintenant exploiter ce point de vue pour (re)définir la notion de transposition, avant de le
généraliser au cas de tenseurs d’ordre quelconque.
15. Ou forme bilinéaire, puisqu’elle est à valeurs réelles. La forme quadratique associée s’obtient en considérant
le cas y = x.
16. La valeur de la fonction L appliquée au couple de variables (x,y) !
1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilinéaires
Sandwich commun :
17
Sandwich tensoriel :
Fig. 1.1 – Illustration de la formule (1.37) pour x · L · y, dite règle du sandwich
L se saisissant des vecteurs x et y forme ainsi un nouvel objet scalaire.
1.4.2
. L’endomorphisme
Applications : définition de la transposition, tenseurs (anti)symétriques
Le point de vue (1.37) permet de définir, étant donné un tenseur quelconque L, le tenseur
transposé LT par
LT
: R3 × R3 −→
(x,y)
7−→
R
LT (x,y)
= L(y,x)
.
(1.41)
En vertu de (1.37) et (1.38) il vient que, si l’on note (M) la matrice représentant LT sur une base,
∀x,y,
LT · y · x = xi Mij yj = yi Lij xj = y · L · x ,
(1.42)
ou encore, en échangeant les rôles de i et j dans l’expression ou apparaı̂t [L],
∀x,y,
xi Mij yj = yj Lji xi = xi Lji yj .
On en déduit que la matrice [M ] représentant LT n’est autre que la transposée de la matrice [L]
représentant L.
On définit les tenseurs symétriques comme ceux qui sont égaux à leur tenseur transposé,
S symétrique
⇐⇒
S = ST ,
(1.43)
et les tenseurs antisymétriques comme ceux qui sont opposés à leur tenseur transposé,
A antisymétrique
⇐⇒
A = −AT .
(1.44)
Exercice 1.4 Transposition d’un produit tensoriel
Montrez de deux manières différentes, l’une utilisant une représentation en base orthonormée,
l’autre intrinsèque, que
(a ⊗ b)T = b ⊗ a .
(1.45)
18
1.5
1.5.1
Les tenseurs comme applications multilinéaires
Définition des tenseurs comme applications multilinéaires
Nous allons voir qu’une façon équivalente à (1.23) de définir les tenseurs est de poser qu’un
tenseur Tn d’ordre n ≥ 1 est une application n-linéaire
Tn : R3 × · · · × R3 −→
R
n
(x1 , · · · , xn ) 7−→ T (x1 , · · · , xn )
.
(1.46)
Par n-linéaire on signifie que Tn est linéaire par rapport à chacun de ses arguments. Comme
elle est à valeurs scalaires, on peut aussi la désigner comme une forme multilinéaire . Pour
ce qui est des tenseurs d’ordre 1 et 2 ce point de vue correspond à celui des sections 1.2 et 1.4.1.
En raisonnant par récurrence, supposons que l’on a été capable de faire le lien entre les définitions
(1.23) et (1.46) pour les tenseurs d’ordre 1 à n − 1 ≥ 1. Considérons maintenant un tenseur Tn
d’ordre n ≥ 2 défini par (1.23). On peut définir Tn (x1 , · · · ,xn ) en remarquant que Tn · xn est un
tenseur d’ordre n − 1, donc que l’on sait définir
(Tn · xn )(x1 , · · · , xn−1 ) .
On pose tout simplement
Tn (x1 , · · · , xn ) = (Tn · xn )(x1 , · · · , xn−1 ) ,
(1.47)
qui est bien un nombre réel dépendant linéairement de chaque variable x1 , · · · ,xn .
Exercice 1.5 Application de la définition multilinéaire récurrente au cas n = 2
Montrez que si n = 2 la définition par récurrence (1.47) est équivalente à celle posée en (1.37).
Réciproquement, soit Tn donné comme une application n-linéaire. En inversant la formule
(1.47), on peut définir Tn · x comme l’unique tenseur L d’ordre n − 1 vérifiant
∀ x1 , · · · , xn−1 ,
Tn (x1 , · · · , xn−1 , x) = L(x1 , · · · , xn−1 ) .
(1.48)
Ce tenseur L dépend bien linéairement de x.
1.5.2
Définition générale du produit tensoriel
L’un des intérêts de la définition (1.46) est de permettre de donner une définition simple du
produit tensoriel de n vecteurs a1 , · · · ,an , en posant que c’est le tenseur d’ordre n
a1 ⊗ · · · ⊗ an : R3 × · · · × R3 −→
R
(x1 , · · · , xn ) 7−→ (a1 ⊗ · · · ⊗ an )(x1 , · · · ,xn ) = (a1 · x1 ) · · · (an · xn )
.
(1.49)
Ceci généralise bien la formule (1.40) dans le cas du produit tensoriel de 2 vecteurs.
1.5 Les tenseurs comme applications multilinéaires
19
Fig. 1.2 – Représentation schématique de nos amis les tenseurs vus comme des applications multi-linéaires.
Les nombres de bras sont les nombres de vecteurs que chaque tenseur peut attraper en vertu de la
définition (1.46), ou encore le nombre d’indices repérant les composantes de chaque tenseur sur une base
donnée en vertu de (1.55). Au dessous de chaque top-modèle figure l’ordre de tensorialité correspondant.
1.5.3
Écriture intrinsèque et représentation - Changement de base
La définition (1.46) et la notation précédente permettent de traiter aisément le problème de
l’écriture et de la représentation des tenseurs. Intéressons-nous par exemple au cas d’un tenseur
T3 d’ordre 3, que l’on notera parfois T. Par trilinéarité, si {ei } est une base donnée dans laquelle
x, y et z ont des composantes xi , yj et zk , on a
T3 (x, y, z) = T3 (xi ei , yj ej , zk ek )
= xi yj zk T3 (ei , ej , ek )
T3 (x, y, z) = Tijk xi yj zk
avec
Tijk = T3 (ei , ej , ek ) .
(1.50)
La notion de produit tensoriel telle qu’elle vient d’être définie permet en conséquence d’écrire que
T3 = Tijk ei ⊗ ej ⊗ ek
,
(1.51)
ce qui généralise au cas des tenseurs d’ordre 3 la formule (1.34) pour les tenseurs d’ordre 2.
Les nombres Tijk représentent le tenseur T3 dans la base {ei }. Ce sont les composantes de
T3 dans cette base. Ils dépendent du choix de cette base. Les formules de changement de base
s’établissent comme suit : si {e0i } est une autre base, caractérisée comme dans la section 1.1.4 par
sa matrice de présentation [P ] d’éléments (1.11), on a
0
Tijk
= T3 (e0i , e0j , e0k ) = T3 (Pli el , Pmj em , Pnk en )
0
Tijk
= Pli Pmj Pnk Tlmn .
(1.52)
(1.53)
20
Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilinéaire
Établissez une formule de changement de base équivalente à (1.53) mais dans le cas où l’on
étudie la représentation d’un tenseur T d’ordre 2, vu comme une application bilinéaire. Vérifiez
que cette formule est équivalente à la formule (1.31).
De fait les formules (1.50), (1.51) et (1.53) se généralisent immédiatement à un tenseur Tn
d’ordre quelconque n, en écrivant n indices, vecteurs de base et coefficients P.. , selon 17
Ti1 i2 ···in = T(ei1 , ei2 , · · · , ein )
(1.54)
T = Ti1 i2 ···in ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein
(1.55)
Ti01 i2 ···in = Pj1 i1 Pj2 i2 · · · Pjn in Tj1 j2 ···jn
.
(1.56)
Revenons une dernière fois sur la remarque faite au niveau de l’équation (1.20) : si on utilise la
matrice de changement de base [Q] = [P T ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la
formule
Ti01 i2 ···in = Qi1 j1 Qi2 j2 · · · Qin jn Tj1 j2 ···jn
(1.57)
sans doute plus simple en ce qui concerne l’ordonnancement des indices. Pour le cas de tenseurs
d’ordre 2 les formules équivalentes à (1.54), (1.55) et (1.56) sont (1.39), (1.34) et (1.31). Ceci nous
amène enfin à énoncer qu’un tenseur d’ordre n est un être représenté sur une base par un
tableau de nombres - qui sont ses composantes - à n indices vérifiant les règles de
transformation par changement de base (1.56). Ce point de vue est parfois adopté pour
introduire les tenseurs. Il est repris sur les figures 1.2 et 1.3.
1.5.4
Définition générale du produit contracté
Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n ≥ 1 et m ≥ 1. Leur produit contracté est le tenseur
Tp = An · Bm
d’ordre p = n − 1 + m − 1 = n + m − 2 défini par 18
Tp (x1 , · · · , xn−1 , y2 , · · · , ym ) = A(x1 , · · · , xn−1 , ei ) B(ei , y2 , · · · , ym ) ,
(1.58)
où l’indice i répété cache une sommation. Il importe de vérifier que ce tenseur est bien un objet
intrinsèque qui ne dépend pas du choix de la base {ei } utilisée. Pour cela considérons une deuxième
base {e0i } ; on a, en utilisant les notations de la section 1.1.4,
A(x1 , · · · , xn−1 , e0i ) B(e0i , y2 , · · · , ym )
= A(x1 , · · · , xn−1 , Pji ej ) B(Pki ek , y2 , · · · , ym )
= Pji Pki A(x1 , · · · , xn−1 , ej ) B(ek , y2 , · · · , ym )
= δjk A(x1 , · · · , xn−1 , ej ) B(ek , y2 , · · · , ym )
17. Dans ce qui suit on omet de rappeler l’exposant n, afin d’éviter toute confusion au niveau de la convention de
sommation d’Einstein.
18. Dans ce qui suit on omet de rappeler les exposants n et m, afin de simplifier les notations et surtout d’éviter
toute confusion au niveau de la convention de sommation d’Einstein.
1.5 Les tenseurs comme applications multilinéaires
21
Fig. 1.3 – Représentation schématique des tenseurs, cette fois-ci par un véritable artiste...
en vertu de la formule (1.17). Ainsi
A(x1 , · · · , xn−1 , e0i ) B(e0i , y2 , · · · , ym ) = A(x1 , · · · , xn−1 , ej ) B(ej , y2 , · · · , ym )
qui montre le caractère tensoriel de la définition (1.58).
Exercice 1.7 Produit contracté de deux vecteurs
Vérifiez que la définition (1.58) appliquée au cas où An est le vecteur a et Bm le vecteur b
redonne bien pour a · b le produit scalaire classique de a et b,
a · b = ai bi .
(1.59)
Exercice 1.8 Produit contracté d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur
Vérifiez que la définition (1.58) appliquée au cas où An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le
vecteur b redonne bien pour L · b l’application de L à b au sens de la définition (1.25), i.e., une
fois une base {ei } choisie pour représenter ces objets,
L · b = Lij bj ei .
(1.60)
Exercice 1.9 Produit contracté de deux tenseurs d’ordre 2
Vérifiez que la définition (1.58) appliquée au cas où An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le
tenseur d’ordre 2 B donne, une fois une base {ei } choisie,
A · B = Aik Bkj ei ⊗ ej .
(1.61)
Vous remarquerez que si l’on adopte le point de vue tenseur comme application linéaire alors
A · B correspond à la composition de l’application linéaire B avec l’application linéaire A, que l’on
pourrait noter aussi A ◦ B, et que, si l’on raisonne en terme de matrices,
Mat A · B,{ei } = Mat A,{ei } · Mat B,{ei } .
(1.62)
22
Ces formules peuvent se résumer avec la règle générale suivante : le produit contracté d’un
tenseur A d’ordre n et d’un tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n + m − 2
dont les composantes sont les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le
dernier indice de A pris égal au premier indice de B,
A · B = Ai1 ···in−1 k Bkj2 ···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejm
.
(1.63)
Muni de cette règle, on peut donner un sens à de nouveaux produits de la forme a · L par exemple,
et montrer par ailleurs que le produit contracté est associatif. Ainsi
∀a, b, L,
a· L·b = a·L ·b .
(1.64)
En effet le scalaire de gauche dans (1.64) vaut
= ai Lij bj
a · L · b = ai L · b
i
et celui de droite a · L · b =
a·L
j
bj = ai Lij bj c’est-à-dire la même chose.
Exercice 1.10 Associativité du produit de contraction dans un cas général
Démontrez, en explicitant ces produits dans une base orthonormée, l’égalité valable pour deux
vecteurs a et b quelconques, et un tenseur T d’ordre n quelconque,
a · (T · b) = (a · T) · b .
1.5.5
(1.65)
Définition générale du produit doublement contracté
Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n ≥ 2 et m ≥ 2. Leur produit doublement contracté
est le tenseur
Tp = An : Bm
d’ordre p = n − 2 + m − 2 = n + m − 4 défini par 19
Tp (x1 , · · · , xn−2 , y3 , · · · , ym ) = A(x1 , · · · , xn−2 , ei , ej ) B(ej , ei , y3 , · · · , ym ) . (1.66)
Vérifions que cette quantité est inchangée si on travaille dans une base {e0i } différente. Considérons
donc
T0 = A(x1 , · · · , xn−2 , e0i , e0j ) B(e0j , e0i , y3 , · · · , ym ) .
Grâce aux formules (1.13), on obtient
T0 = A(x1 , · · · , xn−2 , Pki ek , Plj el ) B(Pqj eq , Pri er , y3 , · · · , ym )
T0 = Pki Pri Plj Pqj A(x1 , · · · , xn−2 , ek , el ) B(eq , er , y3 , · · · , ym ) .
En utilisant le caractère orthogonal de [P ], exprimé par la formule (1.17), on obtient
T0 = δkr δlq A(x1 , · · · , xn−2 , ek , el ) B(eq , er , y3 , · · · , ym )
T0 = A(x1 , · · · , xn−2 , ek , el ) B(el , ek , y3 , · · · , ym ) qui est bien (1.66).
19. La remarque faite dans la note 18 est aussi valable ici.
1.6 Tenseur alterné fondamental et applications
23
Dans le cas où A et B sont deux tenseurs d’ordre 2, on obtient immédiatement que leur produit
doublement contracté est le scalaire
A : B = A(ei ,ej ) B(ej ,ei ) = Aij Bji .
(1.67)
On a la propriété de commutation
A:B = B:A.
(1.68)
En particulier on peut contracter un tenseur d’ordre 2 A avec le tenseur identité (1.35), et on
obtient alors un scalaire que l’on appele aussi la trace de A :
trA = A : 1 = Aii .
(1.69)
Comme ce scalaire ne dépend que de A et pas de la base choisie, on dit que c’est un invariant de A... traditionnellement appelé premier invariant de A...
Remarquez, en lien avec l’exercice 1.9, que, si l’on adopte momentanément le point de vue qu’un
tenseur est une application linéaire,
A : B = tr A · B = tr A ◦ B .
(1.70)
second invariant 20 de A comme
A : AT = tr A · AT = Aij Aij
Ce qui nous permet de définir un
(1.71)
somme des carrés des composantes de A, que l’on peut voir comme une norme euclidienne carré
de A.
Dans le cas où A est un tenseur d’ordre 3 et B un tenseur d’ordre 2, on obtient à partir de (1.66)
que leur produit doublement contracté est le vecteur
A : B = Aijk Bkj ei .
(1.72)
Enfin dans le cas général le produit doublement contracté d’un tenseur A d’ordre n et d’un
tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n + m − 4 dont les composantes sont
les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le dernier indice de A pris égal
au premier indice de B, et une autre sur l’avant dernier indice de A pris égal au deuxième indice
de B,
A : B = Ai1 ···in−2 lk Bklj3 ···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−2 ⊗ ej3 ⊗ · · · ⊗ ejm
1.6
.
(1.73)
Tenseur alterné fondamental et applications
Afin notamment de revisiter les notions de déterminant, produit vectoriel et produit mixte
avec le formalisme concis et puissant du calcul tensoriel, et, aussi, de bien caractériser les endomorphismes antisymétriques, nous introduisons un nouvel objet, sans doute, le premier tenseur
d’ordre 3 que vous allez manipuler...
20. D’autres définitions concurrentes sont possibles, d’où le un ; second évoque pour nous le fait que cet
invariant dépend de façon quadratique de A, alors que le premier invariant dépend de façon linéaire de A.
24
1.6.1
Définition du tenseur alterné fondamental
Définissons le tenseur alterné fondamental par ses composantes ijk dans une base orthonormée directe {ei }. Celles-ci sont nulles si deux indices sont égaux parmi i, j et k ; si les indices
i, j et k sont distincts, alors ijk est la signature de la permutation (1,2,3) 7−→ (i,j,k) :
ijk


 +1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est paire
=
−1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est impaire

 0 si deux indices sont égaux parmi i, j et k
.
(1.74)
Rappelons que les permutations paires de (1,2,3), appelées aussi permutations circulaires de
(1,2,3), sont
(1,2,3) 7−→ (1,2,3) , (1,2,3) 7−→ (2,3,1) , (1,2,3) 7−→ (3,1,2) .
(1.75)
Certains auteurs désignent les ijk comme les symboles d’antisymétrie
ment les ijk sont antisymétriques par échange d’indices :
jik = −ijk ,
kji = −ijk ,
21 ,
ikj = −ijk .
puisqu’effective-
(1.76)
Comme la composition d’une permutation paire σ par une permutation donnée a la même signature
que cette permutation donnée, on peut aussi remarquer que les ijk sont invariants par permutation
circulaire,
σ(i)σ(j)σ(k) = ijk .
(1.77)
Vérifions que est bien un tenseur d’ordre 3. En vertu de (1.53), on doit vérifier que, dans un
changement de base caractérisé par une matrice de passage [P ],
0ijk = Pli Pmj Pnk lmn
(1.78)
coı̈ncide avec ijk donné par (1.74).
Si deux indices parmi i, j et k sont égaux, par exemple si i = j, on peut écrire, en échangeant tout
d’abord les indices l et m, que
0ijk = Pli Pmj Pnk lmn = Pmi Plj Pnk mln = −Pmj Pli Pnk lmn
en utilisant ensuite le fait que i = j et l’antisymétrie de . Comme 0ijk est égal à son opposé, il est
nul, c’est-à-dire égal à ijk .
Si i, j et k sont tous différents, on peut remarquer que
0ijk = lmn Pli Pmj Pnk
n’est autre, d’après la formule de Leibniz vue en classes préparatoires, que le déterminant de
la matrice formée par les ième , j ème et k ème vecteurs colonnes de [P ]. D’après la théorie des
21. D’autres encore désignent les ijk comme les symboles de Levi-Civita , du nom du mathématicien italien
du XIXème siècle qui fut l’un des co-inventeurs du calcul tensoriel (cf. la citation déjà mentionnée en introduction
Ricci & Levi-Civita 1900) et de cette notation ! Enfin certains désignent comme le tenseur d’orientation ,
pour insister sur le fait qu’il n’est un tenseur qu’à condition d’utiliser des bases ayant toutes la même orientation :
l’équation (1.79) montre bien que si on passe d’une base directe à une base indirecte, comme det[P ] = −1, il y a
alors problème. Pour insister sur cette propriété on désigne parfois comme un pseudotenseur .
1.6 Tenseur alterné fondamental et applications
25
déterminants, c’est le déterminant de la matrice [P ] multiplié par la signature de la permutation
faite sur les colonnes, i.e. la permutation (1,2,3) 7−→ (i,j,k) :
0ijk = det[P ] ijk .
(1.79)
Or [P ] est une matrice de rotation (transformation orthogonale directe), donc
det[P ] = 1 .
(1.80)
Ceci implique que dans ce cas aussi 0ijk = ijk .
On remarque pour conclure cette introduction que le déterminant d’un tenseur d’ordre 2 peut
s’écrire
det A = ijk Ai1 Aj2 Ak3 ,
(1.81)
ce qui est plus compact que l’écriture en tableau utilisée en classes préparatoires... Ce scalaire peut
être vu comme le troisième invariant de l’endomorphisme A, troisième au sens où il
dépend de façon cubique de A.
Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterné fondamental pour calcul d’un déterminant
Montrez que si
F = 1+L ,
(1.82)
avec L un tenseur infiniment petit i.e. d’ordre de grandeur L = ||L|| 1, alors 22
det F = 1 + trL + O(L2 ) .
1.6.2
(1.83)
Produits mixte et vectoriel
En utilisant le point de vue qu’un tenseur est une application multilinéaire, est vu comme
l’application
(x, y, z) 7−→ (x, y, z) = ijk xi yj zk
.
(1.84)
Cette application n’est autre que le produit mixte déjà rencontré en classes préparatoires, soit le
déterminant des vecteurs colonnes représentant x, y et z. Rappelons son interprétation géométrique :
• ce produit mixte est nul si et seulement si x, y et z sont liés ;
• dans le cas où x, y et z sont indépendants et forment un trièdre direct, (x, y, z) est le
volume du parallélépipède de côtés x, y et z ;
• dans le cas où x, y et z sont indépendants et forment un trièdre indirect, (x, y, z) est
l’opposé du volume du parallélépipède de côtés x, y et z.
On définit alors le produit vectoriel de deux vecteurs x et y comme le vecteur 23 a qui
définit, au sens de (1.24), l’application linéaire
z 7−→ (x, y, z) .
22. Une application physique de cette formule sera le calcul de la dilatation volumique en petite transformation,
cf. la section 2.1.7 de Plaut (2016).
23. Pour la même raison que celle expliquée dans la note 21, on dit parfois que le produit vectoriel est un pseudovecteur.
26
Par identification avec
z 7−→ a · z ,
i.e., en assurant que
∀ x, y, z ,
(x, y, z) = (x ∧ y) · z ,
(1.85)
on obtient que le produit vectoriel a = x ∧ y est défini en composantes par 24
x ∧ y = ijk xi yj ek = kij xi yj ek = ijk xj yk ei ,
(1.86)
ou en notations tensorielles intrinsèques par
x∧y = :y⊗x .
(1.87)
Rappelons son interprétation géométrique :
• ce produit vectoriel est nul si et seulement si x et y sont colinéaires ;
• sinon, le vecteur x ∧ y est orthogonal au plan formé par x et y, tel que le trièdre formé par
x, y et x ∧ y soit direct ;
• on a dans tous les cas
d
||x ∧ y|| = ||x|| ||y|| | sin(x,y)|
(1.88)
qui est l’aire du parallélogramme construit sur x et y.
1.6.3
Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisymétriques
Si L est un tenseur d’ordre 2, on peut d’après (1.72) définir un vecteur que l’on va appeler
vecteur dual 25 de L par
1
vd L =
:L .
(1.89)
2
Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterné fondamental et le vecteur dual
1 Montrez que
ijk ipq = δjp δkq − δjq δkp .
(1.90)
Commentaire : cette question plus difficile peut être considérée comme facultative : on vous recommande donc d’admettre la formule (1.90) ; les curieux liront sa démonstration dans le corrigé
des exercices.
2 À l’aide de cette formule montrez que
1 T
vd L · =
L −L .
2
(1.91)
24. Pour passer à la toute dernière expression dans (1.86) on a renommé tous les indices muets suivant (i,j,k) 7−→
(j,k,i).
25. On devrait peut-être dire pseudovecteur dual en vertu de la note 21.
1.7 Exemples en mécanique des milieux continus
27
Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel
Montrez, en passant en composantes, que
a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c .
(1.92)
Exercice 1.14 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symétrique
Montrez que
S est symétrique au sens de la définition (1.43)
⇐⇒
vd S = 0 .
(1.93)
En conséquence cette notion de vecteur dual n’est intéressante que pour un tenseur A antisymétrique au sens de la définition (1.44). On peut se convaincre qu’alors
∀x,
A · x = vd A ∧ x .
(1.94)
Cette équation permet d’ interpréter le vecteur dual comme un vecteur rotation , puisqu’un
champ A · x de cette forme coı̈ncide avec le champ de vitesse instantané d’un solide indéformable
(une fois l’origine des x choisie sur l’axe instantané de rotation ; cf. à ce sujet la section 2.2.5 du
cours de mécanique Plaut 2016)
v(x) = ω ∧ x .
Exercice 1.15 Tenseur antisymétrique en fonction de son vecteur dual
Explicitez la formule (1.91) dans le cas où L est un tenseur A antisymétrique, et déduisez en
la formule (1.94).
1.7
Exemples en mécanique des milieux continus
Comme on le verra dans Plaut (2016), en mécanique des milieux continus des exemples de
tenseurs applications linéaires sont
• le tenseur gradient de la transformation F = ∇X Φ, avec Φ(X) le champ de placement
qui définit le mouvement ;
• le tenseur gradient de déplacement ∇X u ;
• le tenseur donnant la partie déformations du déplacement linéarisé = 12 ∇X u + ∇X uT ;
• le tenseur gradient de vitesse ∇x v ;
• le tenseur donnant la partie déformations des vitesses linéarisées D =
• le tenseur des contraintes de Cauchy σ ;
des exemples de tenseurs applications bilinéaires sont
T
• le tenseur des dilatations de Cauchy C = F · F ;
1
2
∇ x v + ∇ x vT ;
28
1
2 (C − 1) ;
∇X u + ∇X uT ;
∇x v + ∇x vT .
• le tenseur des déformations de Green-Lagrange e =
• le tenseur des déformations linéarisé =
• le tenseur des taux de déformations D =
1
2
1
2
La notion de gradient introduite brutalement ici fait partie des concepts fondamentaux de l’analyse
tensorielle ; il est temps de s’y lancer...
1.8
Notes personnelles
1.8 Notes personnelles
29
Chapitre 2
Analyse tensorielle
En physique des milieux continus la notion de gradient d’un champ scalaire mérite d’être
généralisée, puisque, si on s’intéresse par exemple à un fluide, l’analyse 1 de son champ de vecteur
vitesse semble au moins aussi importante que celle de son champ de température 2 . L’objet de ce
chapitre est justement de généraliser, de façon la plus systématique possible, et tant qu’on y est
à des tenseurs d’ordre élevé (voire quelconque), les outils d’analyse des fonctions de plusieurs
variables vus en classes préparatoires. Ces outils d’analyse sont les opérateurs différentiels
gradient, rotationnel, divergence et laplacien, que l’on introduit tout en expliquant leur signification physique, en lien avec leur définition et propriétés. On s’intéresse donc à des champs
de tenseurs c’est-à-dire des applications régulières 3 d’un ouvert Ω de l’espace physique (typiquement le volume d’un milieu matériel) vers l’espace vectoriel des tenseurs d’un certain ordre n.
On utilise la définition des tenseurs comme applications linéaires, donnée par l’équation (1.23).
D’autre part on s’abstient de la notation avec parenthèses pour désigner l’application d’un tenseur
d’ordre n à un vecteur, utilisant exclusivement la notation avec le point de contraction. Ainsi, dans
ce chapitre,
un tenseur d’ordre n, noté Tn , est une application linéaire
qui à tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n − 1 :
Tn : h 7−→ Tn · h
.
(2.1)
Une fois choisi un point origine O dans l’espace, en identifiant les points M de Ω à leur vecteur
position x = OM, on peut poser qu’un champ de tenseur d’ordre n est une fonction
Tn : x ∈ Ω 7−→ Tn (x) .
(2.2)
L’utilisation du point de contraction pour désigner Tn (x) appliqué à h, proposée en (2.1), conduit
à noter cet objet
Tn (x) · h .
Ceci permet d’éviter des notations très lourdes du type Tn (x)(h), et de mettre en évidence la
différence fondamentale qui existe entre x vecteur position dans le champ Ω où est défini Tn
et h vecteur totalement quelconque de R3 auquel peut s’appliquer Tn (x). Physiquement, h sera
souvent une variation infinitésimale dx de x, mais, compte tenu de la linéarité de Tn (x), qu’on
l’applique à des vecteurs infinitésimaux ou non importera mathématiquement peu...
1. Voir au sujet de l’analyse la note 7 au bas de la page 5.
2. De même en électromagnétisme l’analyse des champs électrique et magnétique est indispensable.
3. Pour simplifier on les considère de classe C 2 .
PSfrag replacements
32
Chapitre 2 Analyse tensorielle
dv = ∇v · dx veut dire...
x + dx
dx
x
v(x + dx)
dv
v(x)
Fig. 2.1 – Figure illustrant la définition intrinsèque (2.5) du gradient d’un champ de vecteur v(x). Ce
gradient ∇v - sous-entendu au point x - est l’application linéaire qui à la différence de position dx fait
correspondre la différence de vecteur dv, c’est donc l’application linéaire représentée par la flèche courbe.
Une représentation du champ ∇v · dx est proposée sur le tracé inférieur gauche de la figure 2.2.
2.1
2.1.1
Gradient d’un champ de tenseur
Définition intrinsèque en tant que différentielle
Soit T(x) un champ de tenseur d’ordre n sur Ω ; on omet maintenant le n à côté du T pour
simplifier les notations. L’analyse locale de ce champ autour d’un point x donné de Ω consiste à
considérer les variations ou incréments
δT(x, dx) = T(x + dx) − T(x)
pour dx vecteur variation de position infinitésimal . Supposant le champ T différentiable, nous
pouvons considérer la différentielle de T au point x, application linéaire notée provisoirement
G(x), telle que
(2.3)
δT(x, dx) = T(x + dx) − T(x) = G(x) · dx + o(dx) .
Pour simplifier on note en calcul différentiel
dT = δT linéarisé = G(x) · dx ,
(2.4)
i.e., on identifie la partie linéaire des variations considérées, en négligeant les termes d’ordre
supérieur. L’ égalité en calcul différentiel (2.4) doit donc être vue comme une équivalence valable asymptotiquement quand δT et dx tendent vers 0. Cette égalité montre que l’application
G(x) est une application linéaire qui au vecteur dx fait correspondre le tenseur dT d’ordre n : en
vertu de la définition (2.1), c’est donc un tenseur d’ordre n + 1. Comme G dépend de x, c’est en
fait un champ de tenseur d’ordre n + 1. On le note ∇T et on l’appelle gradient du champ
de tenseur T ; on doit retenir qu’il est défini en calcul différentiel par
∇T : dx 7−→ dT = ∇T · dx .
(2.5)
La figure 2.1 illustre cette définition dans le cas où T est un champ de vecteur v.
Pour comprendre la signification physique de ∇T, il est utile de mentionner le terme utilisé
par de nombreux mathématiciens pour le désigner. Ils appelent le gradient de T l’ application
linéaire tangente à T. En effet, comme la tangente à une courbe est l’approximation linéaire
locale de celle-ci, l’application linéaire tangente à T est l’approximation linéaire locale du champ
T, puisqu’elle permet de calculer les dT en fonction des dx. On illustrera ceci plus précisément
dans le cas d’un champ de vecteurs dans la section 2.2, et sur la figure 2.2.
2.1.2
Calculs en coordonnées cartésiennes
Avec les notations du chapitre précédent, on utilise ici un repère R = Ox1 x2 x3 , les coordonnées
cartésiennes (x1 , x2 , x3 ) associées, et des représentations en composantes, ou, abusivement, coor-
2.1 Gradient d’un champ de tenseur
33
données , des champs tensoriels étudiés 4 . On peut écrire, grâce à la théorie du calcul différentiel,
que
∂T
dxk
(2.6)
dT =
∂xk
où les dérivées partielles de T sont définies par
∂T
T(x + hek ) − T(x)
= lim
.
h→0
∂xk
h
(2.7)
En identifiant les formules (2.5) et (2.6) sachant que dx = dxk ek , on obtient que 5
∀k , ∇T · ek =
∂T
.
∂xk
(2.8)
Si T est un champ scalaire T , son gradient est donc le champ de vecteur défini par
∂T
ek
∂xk
∇T =
.
(2.9)
Par contre, si on a affaire à un champ de tenseur T d’ordre n ≥ 1, on obtient d’après (2.8)
que
∇T =
∂T
⊗ ek
∂xk
.
(2.10)
Ainsi le gradient d’un champ de vecteur v est le champ de tenseur d’ordre 2 défini par
∇v =
∂vi
ei ⊗ ej
∂xj
.
(2.11)
De même le gradient d’un champ de tenseur T d’ordre 2 est le champ de tenseur d’ordre
3 défini par
∇T =
∂Tij
ei ⊗ ej ⊗ ek
∂xk
.
(2.12)
Mentionnons que l’on note parfois les dérivées partielles avec une virgule ou un point virgule 6 . Nous
n’utiliserons pas de telles notations ici, pour ne pas compliquer votre apprentissage. Cependant être
conscient de leur existence pourra s’avérer utile... si jamais vous lisiez un jour les œuvres complètes
d’Einstein (voir à ce sujet la figure culturelle 2.7 page 45), ou moins improbablement des traités
ou articles de mécanique ou électromagnétisme avancés.
4. Cette terminologie calculs en coordonnées cartésiennes et la méthodologie associée seront très utilisées !..
5. Cette identification repose sur le fait que les variations des coordonnées dx1 , dx2 , dx3 sont indépendantes.
Autrement dit l’égalité ∇T · ek dxk = (∂T/∂xk )dxk doit avoir lieu quels que soient dx1 , dx2 , dx3 infiniment petits...
6. I.e.
∂T
∂T
T,xk ou
T,k .
∂xk
∂xk
On y gagne une concision extrême, puisque par exemple avec cette deuxième convention la formule (2.12) devient
∇ T = Tij,k ei ⊗ ej ⊗ ek .
Pour des dérivées partielles secondes on utilise parfois des notations avec une seule virgule et en listant les coordonnées
ou indices de coordonnées par rapport auxquels on dérive,
∂2T
∂x∂y
T,xy
ou
∂2T
∂xi ∂xj
T,ij .
34
2.2
Cas du gradient d’un champ de vecteur
2.2.1
Décomposition en parties symétrique et antisymétrique
Soit v un champ de vecteur. En général le tenseur ∇v, d’ordre 2, n’a aucune raison d’être
ni symétrique ni antisymétrique 7 . Il peut par contre être décomposé en somme d’un tenseur
symétrique D, parfois noté D(v), et antisymétrique ω, parfois noté ω(v), suivant le système
d’équations
∇v = D + ω ,
DT = D ,
En transposant (2.13) on obtient que
(2.13)
ω T = −ω .
(2.14)
∇vT = D − ω .
(2.15)
Par addition et soustraction de (2.13) et (2.15), il vient que la décomposition (2.13) est unique et
définie par
1 1 D =
∇v + ∇vT ,
ω =
∇v − ∇vT .
(2.16)
2
2
Dans ce qui suit on raisonne autour d’un point x donné, afin d’interpréter les contributions de D
et ω (sous entendu au point x) à
δv = v(x + dx) − v(x) ' δv linéarisé = dv = ∇v · dx = D
· dx} + ω
· dx} .
| {z
| {z
dvdéf
(2.17)
dvrot
Les abréviations introduites vont être justifiées. L’interprétation de ∇v en tant qu’ application
linéaire tangente à v peut s’éclairer en méditant les schémas de gauche de la figure 2.2.
2.2.2
Signification de la partie symétrique
D’après le cours de classes préparatoires sur la réduction des endomorphismes, D, endomorphisme symétrique de R3 , peut se diagonaliser sur une base orthonormée {ni }, les valeurs propres
correspondantes λi étant réelles :
D = λ1 n1 ⊗ n1 + λ2 n2 ⊗ n2 + λ3 n3 ⊗ n3 .
Donc
dx = Xi ni
=⇒
dvdéf = D · dx = λ1 X1 n1 + λ2 X2 n2 + λ3 X3 n3 .
(2.18)
(2.19)
En deux dimensions (cas X3 = 0) des champs de ce type sont présentés sur le schéma du milieu
de la figure 2.2 (cas λ1 = 1,1 et λ2 = −1), ou encore sur la figure 2.6. On voit apparaı̂tre des
champs déformants , qui montrent que cette première partie de dv décrit la déformation
locale du champ dv. On peut affirmer phénoménologiquement que λi est le taux d’extension ,
s’il est positif, ou taux de contraction , s’il est négatif, du champ dvdéf dans la direction ni .
2.2.3
Signification de la partie antisymétrique - rotationnel
L’endomorphisme antisymétrique ω n’est pas diagonalisable, mais on peut écrire, d’après (1.94),
que
dvrot = ω · dx = vd ω ∧ dx .
7. Au sens des définitions de la section 1.4.2.
2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur
35
≃
=
+
Fig. 2.2 – Illustration d’un gradient de vecteurs et de la décomposition (2.13) par représentation de champs
dans une partie de R2 centrée sur son origine. En haut à gauche, champ de vecteurs v(x) dépendant non
linéairement de x, mais vérifiant v(0) = 0. Grâce à ces hypothèses de centrage , auxquelles on peut
toujours se ramener par de simples translations, on peut considérer que δv ' v et dx ' x dans la formule
(2.17). En dessous, le champ tangent dv = ∇v(0) · x. Ce champ dépend linéairement de x, et
constitue au voisinage de l’origine une bonne approximation du champ précédent. Au milieu, la partie de
déformation locale de ce champ, D(0) · x. Ici exceptionnellement les vecteurs de la base canonique sont
vecteurs propres de D(0). À droite, la partie de rotation locale de ce champ, ω(0) · x = 21 rot(v)(0) ∧ x.
Ceci nous pousse à définir le vecteur 8 rotationnel de v comme étant
rot(v) = 2 vd ω = 2 vd ∇v = : ∇v
(2.20)
en vertu du fait que ω et ∇v différent seulement d’un tenseur symétrique, dont le vecteur dual
est nul d’après (1.93). Ainsi
1
dvrot = ω · dx = rot(v) ∧ dx .
(2.21)
2
Un exemple de tel champ est représenté sur le schéma de droite figure 2.2. C’est toujours un champ
tournant : on peut interpréter cette partie de dv comme décrivant la rotation locale du
champ dv. De plus on peut affirmer sur le rotationnel d’un champ que sa direction donne celle
de l’axe de la rotation locale de ce champ, sa norme mesure l’intensité de cette rotation. Dans son
ensemble la figure 2.2 illustre toute la formule (2.17) ; il convient de la bien méditer 9 .
8. Pseudovecteur pour les puristes, puisqu’à nouveau le pseudotenseur pointe le bout de son nez.
9. La figure 2.2 est d’une importance capitale. En effet on verra que les lois de comportement des solides et des
fluides utilisent de façon essentielle les décompositions (2.13) et (2.17).
36
En composantes en coordonnées cartésiennes, on a, d’après (1.72), (2.11) et (2.20),
rot(v) = ijk
∂vk
ei ,
∂xj
(2.22)
où l’on reconnait l’expression vue en classes préparatoires et parfois notée
rot(v) = ∇ ∧ v
à l’aide de l’ opérateur nabla
∂
ei .
∂xi
Ces deux dernières formules ne méritent pas qu’on leur attribue un numéro car elles n’ont pas
une signification tensorielle générale ; en particulier on verra dans les sections 2.7 et 2.8 qu’elles
ne survivent pas à l’utilisation de coordonnées cylindriques ou sphériques, contrairement à des
formules intrinsèques tensorielles comme la formule (2.20).
∇ =
2.3
2.3.1
Divergence d’un champ de tenseur
Définition intrinsèque à partir du gradient
Soit T un champ de tenseur d’ordre n ≥ 1. Alors son gradient ∇T est un champ de tenseur
d’ordre n + 1 ≥ 2. On peut donc définir, en tout point x de Ω,
div T = ∇T : 1
(2.23)
qui est d’après la définition du produit doublement contracté donné en section 1.5.5 un tenseur
d’ordre n + 1 + 2 − 4 = n − 1. On nomme le champ correspondant divergence du champ T.
La signification physique de div T se révèle à partir de la formule intégrale de la divergence
(2.39), qui implique cet opérateur, mais nécessite aussi des notions de calcul intégral. Nous y
reviendrons donc à la fin de la section 2.4.
2.3.2
Si T est un champ de vecteur v, on obtient d’après les formules (1.67), (2.11) et (2.23) que
sa divergence est le champ scalaire défini en tout point de Ω par
divv = ∇v : 1 = tr∇v =
∂vi
∂xi
.
(2.24)
C’est bien la notion qui a été introduite en classes préparatoires.
Par contre si T est un champ de tenseur d’ordre n ≥ 2, la formule (2.10) montre que
∂T
div T =
⊗ ek : 1
∂xk
∂T
i1 ···in
ei1 ⊗ · · · ⊗ ein ⊗ ek : ej ⊗ ej
=
∂xk
div T =
∂Ti1 ···in−1 j
ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1
∂xj
.
(2.25)
2.4 Intégration des champs de tenseurs
37
En particulier si T est un champ de tenseur d’ordre 2, il vient que sa divergence est le champ
de vecteur défini en tout point de Ω par
div T =
2.4
∂Tij
ei .
∂xj
(2.26)
Intégration des champs de tenseurs
2.4.1
Définitions
En mécanique des milieux continus il importe, afin de pouvoir faire par exemple des bilans
globaux , de savoir définir les intégrales de champs de tenseurs sur divers sous domaines de R3 .
Pour cela on travaille en composantes, en utilisant un repère orthonormé Ox1 x2 x3 , à partir des
notions d’intégrales 10 d’une fonction à valeurs réelles f (x) :
• Intégrale curviligne le long d’une courbe orientée C, l’élément de longueur étant dl,
Z
IC (f ) =
f dl .
(2.27)
C
La courbe orientée étant définie par le paramétrage t ∈ [0,1] 7−→ x(t), de classe C 1 , on a
dl = ||x0 (t)|| dt i.e. on définit IC par
Z 1
IC (f ) =
f (x(t)) ||x0 (t)|| dt .
(2.28)
0
• Intégrale de surface sur une surface S, l’élément de surface étant d2 S,
ZZ
IS (f ) =
f d2 S .
(2.29)
S
La surface étant paramétrée au moins localement par (u,v) 7−→ x(u,v), on a localement,
d’après la formule (1.88),
∂x
∂x ∂x ∂x d2 S = ||dxu ∧ dxv || = du ∧
dv = ∧
du dv .
∂u
∂v
∂u ∂v
• Intégrale de volume dans un volume Ω, l’élément de volume étant d3 x,
ZZZ
IΩ (f ) =
f d3 x .
(2.30)
(2.31)
Ω
Le volume étant paramétré au moins localement par (u,v,w) 7−→ x(u,v,w), on a localement,
d’après l’interprétation du produit mixte (1.84),
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x d3 x = (dxu , dxv ,dxw ) = du,
dv,
dw = ,
,
du dv dw. (2.32)
∂u
∂v
∂w
∂u ∂v ∂w
Considérons par exemple 11 un champ de tenseur d’ordre 2
T(x) = Tij (x) ei ⊗ ej .
10. Pour une introduction mathématique rigoureuse de ces notions, on pourra consulter Chatterji (1997).
11. Cette démarche peut être utilisée pour définir les intégrales de tenseurs d’ordre quelconque.
(2.33)
38
n
n
S
PSfrag replacements
n
m
∂S
t
n
Fig. 2.3 – Conventions d’orientation à respecter pour le champ de vecteur normale unitaire n(x) à une
surface S de l’espace R3 , et pour l’orientation de son bord ∂S, afin de pouvoir appliquer la formule du
rotationnel (2.35). On peut traduire cette convention d’orientation avec une règle de la main droite : si
j’oriente mon majeur droit le long du vecteur tangent au bord t, et mon pouce droit du côté de S, c’est-à-dire
du vecteur m, alors le vecteur n doit sortir du dos de ma main vers l’extérieur de celle-ci.
On définit en respectant la linéarité des opérations d’intégration l’intégrale curviligne de T le long
de C par 12
Z
IC T = IC (Tij ) ei ⊗ ej notée aussi
T dl ,
(2.34)
C
et de même pour les intégrales de surface et de volume.
2.4.2
Formule intégrale du rotationnel
Nous rappelons la formule d’Ampère-Stokes vue en classes préparatoires, que nous appelons
plutôt formule intégrale du rotationnel . Cette formule concerne un champ de vecteur
v défini (et régulier) sur un ouvert contenant une surface S vérifiant les hypothèses suivantes,
illustrées sur la figure 2.3 :
• S repose sur un bord ∂S qui est la courbe définie par le paramétrage t ∈ [0,1] 7−→ x(t),
de classe C 1 , avec x(0) = x(1) ;
• on peut définir en tout point x de S un vecteur normal unitaire n(x) de sorte que sur S la
fonction x 7→ n(x) est continue ;
• si x = x(t) est sur ∂S, t(x) est le vecteur unitaire tangent à ∂S orienté dans le sens
de parcours de ∂S, c’est-à-dire colinéaire à x0 (t), m(x) est un vecteur tangent à S en x
indépendant de t(x), et pointant dans la direction de S, alors t(x), m(x) et n(x) forment
un trièdre direct.
On peut alors montrer que 13
ZZ
S
2
(rotv) · n d S =
Z
∂S
v · t dl .
(2.35)
D’où l’interprétation du champ rotv : son flux à travers S (terme de gauche) définit la circulation
de v le long de ∂S (terme de droite). Cette formule peut s’étendre au cas de surfaces et bords
un peu moins réguliers, présentant par exemple des arêtes vives, à condition de veiller à ne pas
modifier brutalement l’orientation de n(x), qui doit toujours pointer dans la même direction.
12. Les vecteurs ei constituent une base globale fixe, les tenseurs ei ⊗ ej sont donc indépendants du point et
peuvent être sortis de l’intégrale.
13. Voir par exemple le chapitre 8 de Pernès (2003), qui utilise cependant des notations différentes ; pour une
approche plus mathématique voir Chatterji (1997) ; enfin l’approche pragmatique d’Aris (1962) est intéressante.
Notez que t dl peut être noté dx = x0 (t) dt en utilisant un paramétrage t 7→ x(t) de ∂S.
39
n
n
n
n
∂Ω
n
Ω
n
n
n
n
n
Fig. 2.4 – Convention d’orientation à respecter pour le champ de vecteur normale unitaire sortante
n(x) au bord ∂Ω d’un ouvert Ω de l’espace R3 afin de pouvoir appliquer la formule de la divergence (2.38)
ou (2.39).
2.4.3
Formule intégrale de la divergence
On désigne avec ce terme la formule dite aussi de Stokes-Ostrogradski, et sa généralisation aux
tenseurs d’ordre quelconque. Ces formules concernent des intégrales de volume sur un ouvert borné
Ω, connexe, dont la surface bord (ou frontière), notée ∂Ω, vérifie les hypothèses suivantes : on peut
définir en tout point x de ∂Ω, sauf éventuellement le long de courbes qui sont des arêtes vives,
un vecteur normal unitaire n(x) sortant de Ω (i.e. orienté de Ω vers l’extérieur de Ω), et sur ∂Ω la
fonction x 7→ n(x) est continue par morceaux. Une situation typique est présentée sur la figure 2.4.
La formule intégrale de la divergence pour un champ de vecteur régulier 14 v stipule que 15
ZZZ
3
ZZ
divv d x =
Ω
∂Ω
v · n d2 S
.
(2.36)
Afin d’obtenir la formule intégrale de la divergence pour un champ de tenseur (régulier)
T d’ordre 2, appliquons la formule précédente (2.36) au champ de vecteur ei · T pour i fixé dans
{1,2,3}. On obtient
ZZZ
ZZ ZZ
3
2
div ei · T d x =
ei · T · n d S = ei ·
T · n d2 S
Ω
∂Ω
∂Ω
en faisant usage de la propriété d’associativité (1.64), et en se rappelant que ei est un vecteur fixe
qui peut donc être sorti de l’intégrale. D’autre part on peut montrer facilement que 16
div ei · T = ei · div T .
(2.37)
On a donc, quel que soit i,
ei ·
ZZZ
3
Ω
div T d x = ei ·
ZZ
∂Ω
T · n d2 S .
On en déduit la formule voulue,
ZZZ
3
ZZ
div T d x =
Ω
∂Ω
T · n d2 S
.
(2.38)
14. De classe C 1 au moins sur un ouvert strictement plus grand que l’adhérence de Ω ; rappelons que l’on a supposé
dans ce document tous les champs de classe C 2 .
15. Une démonstration à la physicienne de cette formule peut être lue dans les chapitres 8 de Pernès (2003)
ou 3 de Aris (1962) ; pour une approche plus mathématique on consultera par exemple Chatterji (1997).
16. Le faire, en passant en composantes dans une base orthonormée. Ou alors traiter l’exercice 2.7...
40
Cette formule est en fait valable pour un tenseur T d’ordre n ≥ 1 quelconque,
ZZZ
3
ZZ
div T d x =
∂Ω
Ω
T · n d2 S
.
(2.39)
Certains physiciens appelent (2.39) formule du flux-divergence , car elle dit l’égalité entre
le flux (généralisé) de T à travers ∂Ω (le terme de droite) et l’intégrale de div T dans Ω (le terme
de gauche). Ceci donne de premiers éléments d’interprétation physique de l’opérateur divergence.
Exercice 2.1 Démonstration de la formule de la divergence dans le cas général
Supposez la formule (2.39) vraie pour tout champ tensoriel d’ordre n ≥ 2, et montrez sa validité
pour un tenseur T d’ordre n + 1.
2.4.4
Application : signification physique de l’opérateur divergence
Divergence d’un champ de vecteurs dans l’espace bidimensionnel
Dans un cas plan, au sens de la note de bas de page 5 p. 10, le plan R2 de repère Ox1 x2 est
plongé dans l’espace R3 de repère Ox1 x2 x3 . Un champ de vecteurs v2 régulier sur une partie Ω2
de R2 contenant une surface S est prolongé sur Ω3 = Ω2 × R en posant
∀(x1 ,x2 ,x3 ) ∈ Ω3 ,
v3 (x1 ,x2 ,x3 ) = v2 (x1 ,x2 ) .
Considérons, comme cela est représenté sur la figure 2.5, le volume D = S × [0,1], de forme
cylindrique au sens large. Si n2 est le champ de normale sortante à S, défini dans le plan
Ox1 x2 sur ∂S, on peut l’étendre en un champ n3 défini et régulier sur ∂D en posant
∀(x1 ,x2 ,x3 ) ∈ ∂D ,
si (x1 ,x2 ) ∈ ∂S ,
n3 (x1 ,x2 ,x3 ) = n2 (x1 ,x2 ) ,
n3 (x1 ,x2 ,x3 ) = −e3 ,
si x3 = 0 ,
n3 (x1 ,x2 ,x3 ) = e3 .
si x3 = 1 ,
(2.40)
Appliquons la formule intégrale de la divergence (2.36) au champ v3 sur le domaine D. Il vient
ZZZ
ZZ
divv3 d3 x =
v3 · n3 d2 S
D
∂D
soit, compte tenu des définitions mêmes des champs v3 et n3 ,
ZZ
2
Z
v2 · n2 dl ,
(2.41)
∂(v2 · e1 )
∂(v2 · e2 )
+
.
∂x1
∂x2
(2.42)
divv2 d S =
S
∂S
en posant naturellement
divv2 =
La formule intégrale de la divergence dans le plan (2.41) peut par exemple être appliquée
à une surface D(x,a) disque centré en x, de rayon a infinitésimal. On obtient, quand a tend vers
0, par continuité des champs considérés,
Z
1
divv2 (x) = lim
v2 · n2 dl
(2.43)
a→0+ πa2 C(x,a)
41
x3
n2
O
n2
n3
x2
n3
n3
n2
n3
S
∂S
∂D
n2
n2
D
n3
O
x2
n2
n3
n2
x1
x1
n3
Fig. 2.5 – Gauche : surface S du plan R2 avec son champ de normale sortante n2 ; afin de pouvoir
appliquer la formule intégrale de la divergence dans le plan (2.41) le bord ∂S de S doit être orienté dans le
sens trigonométrique, comme l’indique la flèche sous le symbole S. Droite : volume D = S × [0,1] construit
à partir de S par translations verticales, avec son champ de normale sortante n3 sur son bord latéral, utilisé
pour démontrer à partir de la formule tridimensionnelle (2.36) la formule bidimensionnelle (2.41).
Fig. 2.6 – Dans le plan x1 Ox2 , tracés de champs (2.44). Haut : (λ1 ,λ2 ) = (1,1), (1,− 12 ), ( 12 ,−1), (−1,−1)
de gauche à droite. En vertu de (2.45), on a affaire de gauche à droite à un champ divergent (divv = 2),
faiblement divergent (divv = 12 ), faiblement convergent (divv = − 12 ) puis convergent (divv = −2). Bas :
(λ1 ,λ2 ) = (1, − 1), soit un champ de divergence nulle.
en notant C(x,a) le cercle de centre x et de rayon a. La divergence de v2 en x est donc positive si
le champ v2 a un flux positif à travers des petits cercles entourant x, i.e. si le champ diverge de
x. Au contraire la divergence de v2 en x est négative si le champ v2 a un flux négatif à travers des
petits cercles entourant x, i.e. si le champ converge vers x. Ceci est illustré sur la figure 2.6,
obtenue en traçant des champs dépendants linéairement des coordonnées, de la forme
v = λ1 x1 e1 + λ2 x2 e2 ,
(2.44)
divv = λ1 + λ2 .
(2.45)
pour lesquels on a
On peut noter que, d’après la discussion de la section 2.2.2, ces champs représentent la forme
générique, en deux dimensions, de champs déformants , une fois que l’on a choisi pour base
celle des vecteurs propres de ∇v = D.
42
Divergence d’un champ de vecteurs dans l’espace tridimensionnel
Dans le cas d’un champ de vecteurs v3 défini (et régulier) sur une partie de R3 , on peut faire un
raisonnement similaire en considérant une boule B(x,a) centrée en x, de rayon a infinitésimal. On
obtient, à partir de la formule intégrale de la divergence (2.36), quand a tend vers 0, par continuité
des champs considérés,
ZZ
3
divv3 (x) = lim
v3 · n d2 S
(2.46)
a→0+ 4πa3
S(x,a)
en notant S(x,a) la sphère de centre x et de rayon a. La divergence de v3 en x est donc positive si le
champ v3 a un flux positif à travers des petites sphères entourant x, i.e. si le champ diverge de
x. Au contraire la divergence de v3 en x est négative si le champ v3 a un flux négatif à travers de
petites sphères entourant x, i.e. si le champ converge vers x.
On peut remarquer qu’un champ localement tournant (typiquement celui représenté à droite
de la figure 2.2) tel que sa déformation locale, au sens de la formule (2.17), est nulle, ne diverge ni
ne converge : il doit donc être, d’après l’interprétation physique donnée à l’instant, à divergence
nulle. Mathématiquement, d’après la formule (2.24), si ∇v est décomposé en parties symétrique
D et antisymétrique ω, on a
divv = tr∇v = trD + trω = trD ,
(2.47)
donc avoir une déformation locale nulle équivaut à D = 0 qui entraine bien divv = 0.
La formule (2.47) montre que c’est la partie de déformation locale du champ, définie par D seul,
qui contrôle sa divergence. Comme expliqué au niveau de la section 2.2.2, D peut se diagonaliser
sur une base orthonormée {n1 ,n2 ,n3 }, où
D = λ1 n1 ⊗ n1 + λ2 n2 ⊗ n2 + λ3 n3 ⊗ n3 ,
(2.48)
avec λi le taux d’extension , s’il est positif, ou taux de contraction , s’il est négatif, du
champ dvdéf dans la direction ni . D’après la formule (2.47), on a que la divergence de v est la
somme des valeurs propres de D,
divv = λ1 + λ2 + λ3 ,
i.e. la somme algébrique de ces
taux
(2.49)
.
Divergence d’un champ de tenseurs d’ordre 2 symétriques
Étant donné un champ de tenseurs T d’ordre 2 symétriques, et un vecteur de base orthonormée
ei , il est facile de montrer que 17
ei · div T = div T · ei .
(2.50)
Ceci montre que la ième composante du vecteur div T est la divergence du champ de vecteurs
T · ei , qui doit donc diverger ou converger pour que cette composante ne soit pas nulle.
17. Le faire, en passant en composantes dans une base orthonormée. Ou alors traiter l’exercice 2.7...
2.5 Laplacien d’un champ de tenseur
2.5
2.5.1
43
Laplacien d’un champ de tenseur
Définition intrinsèque à partir du second gradient
Soit T un champ de tenseur d’ordre n ≥ 0. Alors ∇T est un champ de tenseur d’ordre
n + 1 ≥ 1. On peut donc définir en vertu de (2.23) la divergence de ce champ. Ceci définit le
laplacien de T, qui est un champ de tenseur d’ordre n,
∆T = div ∇T = ∇ ∇T : 1 .
(2.51)
Sa signification physique se déduit de celles du gradient et de la divergence. Dans le cas où T est
un champ scalaire T , on note que ∆T (x) > 0 équivaut à ce que le champ ∇T diverge autour de
x, ce qui est une condition nécessaire pour qu’en x le champ T admette un minimum local. Au
contraire ∆T (x) < 0 équivaut à ce que le champ ∇T converge vers x, ce qui est une condition
nécessaire pour qu’en x le champ T admette un maximum local.
2.5.2
Si T est un champ scalaire T , son gradient est le champ de vecteur v donné par
vi =
∂T
,
∂xi
donc en vertu de (2.24) on obtient que ∆T est le champ scalaire donné par
∆T = div v
∆T = div ∇T =
∂2T
∂xi ∂xi
,
(2.52)
ce qui est là encore la notion vue en classes préparatoires. Rappelons au passage que les dérivées
partielles secondes d’une fonction de l’espace f (x) sont définies par
∂ ∂f ∂2f
=
,
(2.53)
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
et que si f est suffisamment régulière, i.e. de classe C 2 , le théorème de Schwarz 18 stipule que
l’ordre des indices n’importe pas. Dans ce cours on supposera tous les champs de classe C 2 , donc
le théorème de Schwarz sera vérifié.
Si T est un champ de vecteur v, son gradient est le champ de tenseur d’ordre 2 donné en vertu
de (2.11) par
∂vi
L =
ei ⊗ ej .
∂xj
D’après (2.26) on a donc que ∆v est le champ de vecteur donné par
∆v = div L
∆v = div ∇v =
∂ 2 vi
ei = ∆vi ei .
∂xj ∂xj
(2.54)
Cette dernière notation est un petit peu abusive puisque l’ opérateur ∆ ne doit normalement
agir que sur un champ scalaire, or vi n’est pas un tel champ au sens tensoriel du terme.
18. Mathématicien allemand de la fin XIXème - début XXème .
44
2.6
Exercices visant à établir un formulaire
Ils se traitent en explicitant les tenseurs et opérateurs en composantes dans un système de
coordonnées cartésiennes (x1 , x2 , x3 ) 19 , et en faisant souvent appel à la formule de Leibniz, qui
stipule que, si f et g sont des fonctions de la position à valeurs réelles,
∂f
∂g
∂(f g)
=
g + f
.
(2.55)
∂xi
∂xi
∂xi
Veuillez utiliser la convention de sommation sur les indices répétés et le tenseur alterné fondamental.
Exercice 2.2 Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur
Soient T un champ scalaire et v un champ de vecteur. Montrez que
div(T v) = T div(v) + (∇T ) · v ,
rot(T v) = T rot(v) + (∇T ) ∧ v .
(2.56)
(2.57)
Exercice 2.3 Compositions d’opérateurs différentiels nulles
Soient T un champ scalaire et v un champ de vecteur. Montrez que
rot(∇T ) = 0 ,
(2.58)
div(rotv) = 0 .
(2.59)
Question physique facultative :
Afin de donner une interprétation physique de (2.58), en lien avec la décomposition des section 2.2 et figure 2.2, montrez que, si ∇∇T était purement antisymétrique avec rot(∇T ) non nul,
cela voudrait dire que, autour d’un tel point, en tournant dans le sens direct autour du rotationnel,
on aurait T qui augmente dans la direction azimutale lorsque l’on fait un tour... au bout d’un tour
T aurait augmenté ce qui serait impossible ! En d’autres termes ∇T est forcément un champ
non tournant ...
Exercice 2.4 Divergence d’un gradient transposé
Soit v un champ de vecteur. Montrez que
h
i
div ∇v T = ∇(divv) .
(2.60)
Exercice 2.5 Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel
Soient u et v deux champs de vecteur. Montrez que
div(u ∧ v) = v · rot(u) − u · rot(v) ,
rot(u ∧ v) = u div(v) − v div(u) +
(2.61)
∇u · v − ∇v · u .
(2.62)
Indication : afin d’établir la deuxième identité, vous aurez besoin d’utiliser la formule (1.90).
Exercice 2.6 Divergence d’un produit tensoriel
Soient u et v deux champs de vecteur. Montrez que
div(u ⊗ v) = u div(v) +
19. I.e., en faisant les
calculs en coordonnées cartésiennes
...
∇u · v .
(2.63)
2.6 Exercices visant à établir un formulaire
45
Fig. 2.7 – Manuscrit d’Einstein présentant des calculs en relativité générale, théorie qui utilise beaucoup
le calcul tensoriel. Cette théorie peut, d’une certaine façon, être considérée comme le prolongement de la
mécanique des milieux continus pour des systèmes de très grandes échelles d’espace, de masse et de vitesse.
C’est en établissant cette théorie, très mathématique, qu’Einstein aboutit aux conclusions citées page 6 ; sur
la genèse de cette citation voir la communication de Norton (2008). De nombreux manuscrits d’Einstein, et
en tout cas celui montré ici, sont disponibles en ligne sur le site ‘Einstein Archives Online’.
Exercice 2.7 Divergence de divers produits
Soient f un champ scalaire, v un champ de vecteur et T un champ de tenseur d’ordre 2.
Montrez que
div f T
= f div T + T · ∇f ,
(2.64)
div T · v
= v · div T T + T : ∇v ,
(2.65)
div v · T
= v · div T + T T : ∇v .
(2.66)
Exercice 2.8 Formule du double rotationnel et application
Soit v un champ de vecteur. Montrez que
rot(rot(v)) = ∇(div(v)) − ∆v ,
(2.67)
∆v = ∇(div(v)) − rot(rot(v)) .
(2.68)
qui équivaut bien sûr à
Déduisez de cela la propriété de commutation
rot(∆v) = ∆(rot(v)) .
(2.69)
46
Exercice 2.9 Formules de Navier en élasticité
En élasticité linéaire le champ de tenseur des contraintes σ(X) est lié au champ de tenseur des
déformations (X) par la loi de Hooke
σ = λ (tr) 1 + 2µ .
(2.70)
D’autre part le champ est lié au champ de vecteurs déplacements u(X) par
1
=
∇u + ∇uT .
2
(2.71)
Montrez que
div σ = (λ + µ)∇div u + µ ∆u = (λ + 2µ)∇div u − µ rot(rot u) .
(2.72)
Indication : établissez d’abord la première expression de div σ en termes de ∇div u et ∆u ;
utilisez ensuite la formule du double rotationnel.
Exercice 2.10 Réécritures du terme non linéaire de l’équation de Navier-Stokes
En mécanique des fluides newtoniens incompressibles, le champ de vitesse v(x) est solution de
divv = 0 .
(2.73)
Montrez que
γ a :=
v2
∇v · v = div(v ⊗ v) = ∇
2
!
+
rotv ∧ v .
(2.74)
Indications :
L’expression avec la divergence, valable seulement en fluide incompressible, découle de l’équation
(2.63). Pour démontrer l’expression faisant intervenir le vecteur vorticité rotv vous travaillerez en
composantes dans une base orthonormée directe, et ferez usage de la formule (1.90) ; vous noterez
que l’égalité entre γ a et cette dernière expression est valable aussi en fluide compressible.
Complément :
En coordonnées cartésiennes seulement, on peut écrire à l’aide de l’ opérateur nabla
introduit page 36,
γa = v · ∇ v .
, déjà
Cette formule ne mérite pas qu’on lui attribue un numéro, car elle n’a pas une signification tensorielle générale qui permettrait son utilisation en coordonnées non cartésiennes. Cependant, cette
écriture est pratique 20 donc souvent utilisée dans la littérature scientifique...
Exercice 2.11 Dérivée particulaire de la densité d’énergie cinétique
On considère un milieu continu dont le mouvement est décrit de façon eulerienne par un champ
de vitesse v(x,t). On montre en cinématique que les dérivées temporelles pertinentes sont les
dérivées particulaires
df
∂f
=
+ v · ∇f pour un champ scalaire f (x,t) ,
dt
∂t
20. On peut
cacher
le tenseur d’ordre 2, donc s’abstenir de double barre ou double flèche...
(2.75)
2.7 Calculs en coordonnées cylindriques
47
db
∂b
=
+ ∇b · v pour un champ vectoriel b(x,t) .
dt
∂t
Montrez que la dérivée particulaire
2.7
2.7.1
(2.76)
dv2
dv
= 2v ·
.
dt
dt
(2.77)
Calculs en coordonnées cylindriques
Systèmes à symétrie cylindrique - Principe de Curie
Certains systèmes simples sont à symétrie cylindrique , i.e. le milieu continu considéré
occupe un domaine de forme cylindrique, et les sollicitations appliquées à ce milieu (dans un
contexte mécanique, les forces volumiques ou surfaciques qui créent le mouvement) sont à symétrie
cylindrique : invariantes par rotations autour d’un axe Oz, et, dans un certain intervalle de valeurs
de z, invariante par des translations de petite amplitude dans la direction z. D’après le principe
de Curie (1894)
lorsque certaines causes produisent certains effets,
les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits
,
les champs produits (dans un contexte mécanique, le champ de déplacement pour un solide,
le champ de vitesse pour un fluide) doivent eux-aussi être à symétrie cylindrique .
Pour de tels systèmes, l’usage de coordonnées cartésiennes est peu pertinent, et il vaut mieux utiliser
des coordonnées cylindriques. Le problème du calcul des opérateurs différentiels en coordonnées
cylindriques se pose alors. L’objet de ce qui suit est d’affronter ce problème, dans le cas général
d’un système peu symétrique, au sens où les champs dépendent des trois coordonnées r, θ et z. Le
cas plus simple de systèmes plus symétriques, au sens où, par exemple, seule une dépendance en r
existe, sera présenté en cours en séance 2, et traité au TD 2 avec le problème 2.1.
2.7.2
Définition des coordonnées cylindriques
On rappelle que la définition du système des coordonnées cylindriques (figure 2.8) nécessite
l’usage d’un repère orthonormé direct Oxyz. Le point M défini par
x = OM = xex + yey + zez
admet (r, θ, z) comme coordonnées cylindriques si
x = r cos θ ,
y = r sin θ
avec
r ≥ 0.
(2.78)
On introduit une base locale orthonormée directe {er , eθ , ez } qui dépend de M et est définie par
les directions de variation de M en fonction des coordonnées 21 ,
er =
eθ =
ez =
∂OM/∂r
= cos θ ex + sin θ ey ,
||∂OM/∂r||
∂OM/∂θ
= − sin θ ex + cos θ ey ,
||∂OM/∂θ||
∂OM/∂z
.
||∂OM/∂z||
(2.79)
(2.80)
(2.81)
21. Ce sont en fait les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées, courbes obtenues en fixant deux
coordonnées et en faisant varier la troisième.
48
On remarque que
x = OM = rer + zez .
(2.82)
L’intérêt des définitions tensorielles intrinsèques données plus haut pour tous les opérateurs (formules 2.5, 2.23, 2.51 et 2.20) est qu’elles vont permettre un calcul direct de ceux-ci dans le système
des coordonnées cylindriques. On va d’abord le montrer pour le gradient d’un champ de tenseur.
Pour cela nous aurons besoin d’expliciter le vecteur variation infinitésimale dx de x donné par
(2.82). Quand (r, θ, z) varient de (dr, dθ, dz), d’après (2.79), (2.80) et (2.81), {er , eθ , ez } varient
de
der = eθ dθ , deθ = −er dθ , dez = 0 .
(2.83)
En conséquence il vient, d’après la formule de Leibniz sous forme différentielle
d(f g) = (df ) g + f dg ,
(2.84)
dx = er dr + r eθ dθ + ez dz .
| {z }
| {z }
| {z }
(2.85)
que
dxr
dxθ
dxz
On a introduit les vecteurs infinitésimaux dxr , dxθ , dxz qui correspondent aux variations respectives du vecteur position sous l’effet de variations des coordonnées r, θ, z. Ceci permet par
exemple d’évaluer l’élément de surface sur un cylindre r = constante, en vertu de la remarque faite
au niveau de l’équation (1.88), comme
dS = ||dxθ ∧ dxz || = r dθ dz ,
ou encore l’élement de volume en coordonnées cylindriques en vertu de la formule (2.32),
(dxr , dxθ , dxz ) = (er dr, r eθ dθ, ez dz) = r dr dθ dz .
(2.86)
Accessoirement les formules (2.83) montrent que
∂er
= 0,
∂r
2.7.3
∂er
= eθ ,
∂θ
∂eθ
= 0,
∂r
∂eθ
= −er .
∂θ
(2.87)
Expressions du gradient
La définition (2.5) peut s’écrire, compte tenu de l’expression différentielle générale de la variation infinitésimale de T en fonction de ses dérivées partielles,
dT =
∂T
∂T
∂T
dr +
dθ +
dz = ∇T · (er dr + r eθ dθ + ez dz) .
∂r
∂θ
∂z
(2.88)
Comme les variations des coordonnées dr, dθ et dz sont indépendantes, on peut identifier les
facteurs de dr, dθ et dz à gauche et à droite de (2.88), d’où les expressions de ∇T appliqué aux
vecteurs de la base locale,
∇T · er =
∂T
1 ∂T
, ∇T · eθ =
,
∂r
r ∂θ
∇T · ez =
∂T
.
∂z
(2.89)
Si T est un champ scalaire T , on sait que son gradient est un champ de vecteur, ∇T = ∇T .
Avec (2.89) on obtient immédiatement
∇T =
∂T
1 ∂T
∂T
er +
eθ +
ez
∂r
r ∂θ
∂z
.
(2.90)
PSfrag replacements
z
49
ez
M
O
eθ
er
y
r
θ
x
Fig. 2.8 – Définition du système des coordonnées cylindriques (r, θ, z).
Si T est un champ de vecteur
v = vr er + vθ eθ + vz ez ,
(2.91)
on sait que son gradient est un champ de tenseur d’ordre 2, que l’on note provisoirement G = ∇v.
On a, d’après (2.89),
G · er = Grr er + Gθr eθ + Gzr ez =
G · eθ = Grθ er + Gθθ eθ + Gzθ ez =
=
G · ez = Grz er + Gθz eθ + Gzz ez =
∂vr
∂v
=
er +
∂r
∂r
1 ∂v
r ∂θ
1 ∂vr
er + vr eθ
r ∂θ
∂v
∂vr
=
er +
∂z
∂z
∂vθ
∂vz
eθ +
ez ,
∂r
∂r
∂vθ
∂vz eθ − vθ er +
ez ,
∂θ
∂θ
∂vθ
∂vz
eθ +
ez ,
∂z
∂z
+
en faisant usage de (2.87). En identifiant les coefficients des vecteurs de la base locale dans chacune
de ces équations, on obtient
∂vr
 ∂r



 ∂v
Mat ∇v, {er ,eθ ,ez } = [G] =  θ
 ∂r


 ∂v
z
∂r

2.7.4
1 ∂vr
− vθ
r ∂θ
1 ∂vθ
+ vr
r ∂θ
1 ∂vz
r ∂θ

∂vr
∂z 



∂vθ 
 .
∂z 


∂vz 
∂z
(2.92)
Expression du rotationnel
Pour ce même champ de vecteur v, avec la même notation G = ∇v pour son gradient, en
vertu de (2.20) et (2.92) on obtient
rot(v) = : G
= (rθz Gzθ + rzθ Gθz ) er + (θrz Gzr + θzr Grz ) eθ + (zθr Grθ + zrθ Gθr ) ez
rot(v) =
1 ∂v
z
r ∂θ
−
∂v
∂vθ ∂vz 1 ∂(rvθ ) ∂vr r
er +
−
eθ +
−
ez
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
.
(2.93)
50
2.7.5
Si v est un champ de vecteur, il vient, d’après (2.24) et (2.92),
divv = tr∇v =
∂vr
vr
1 ∂vθ
∂vz
1 ∂
1 ∂vθ
∂vz
+
+
+
=
(rvr ) +
+
∂r
r
r ∂θ
∂z
r ∂r
r ∂θ
∂z
.
(2.94)
Si T est un champ de tenseur d’ordre 2 symétrique 22 ,
T = Trr er ⊗ er + Tθθ eθ ⊗ eθ + Tzz ez ⊗ ez
+ Trθ (er ⊗ eθ + eθ ⊗ er ) + Trz (er ⊗ ez + ez ⊗ er ) + Tθz (eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ ) , (2.95)
on pourrait penser d’après la définition (2.23)
div T = ∇ T : 1 ,
que pour expliciter div T le calcul (a priori très lourd) de ∇ T est primordial. On peut cependant
éviter ce calcul en injectant dans cette définition l’expression locale analogue à (1.36) du tenseur
identité,
1 = er ⊗ er + eθ ⊗ eθ + ez ⊗ ez ,
(2.96)
et en utilisant le fait 23 que
A : (b ⊗ c) =
A·b ·c .
(2.97)
Il vient ainsi
div T =
div T =
∇ T · er · er + ∇ T · eθ · eθ + ∇ T · ez · ez
∂T
1 ∂T
∂T
· er +
· eθ +
· ez
∂r
r ∂θ
∂z
(2.98)
en utilisant (2.89). Comme les vecteurs de la base locale ne dépendent que de θ, suivant les règles
(2.87), (2.95) donne
∂T
∂r
=
+
∂T
∂θ
=
+
+
∂Trr
∂Tθθ
∂Tzz
er ⊗ er +
eθ ⊗ eθ +
ez ⊗ ez
∂r
∂r
∂r
∂Trz
∂Tθz
∂Trθ
(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er ) +
(er ⊗ ez + ez ⊗ er ) +
(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ ) ,
∂r
∂r
∂r
∂Trr
∂Tθθ
∂Tzz
er ⊗ er +
eθ ⊗ eθ +
ez ⊗ ez
∂θ
∂θ
∂θ
∂Trθ
∂Trz
∂Tθz
(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er ) +
(er ⊗ ez + ez ⊗ er ) +
(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ )
∂θ
∂θ
∂θ
Trr (eθ ⊗ er + er ⊗ eθ ) − Tθθ (er ⊗ eθ + eθ ⊗ er )
+ Trθ (eθ ⊗ eθ − er ⊗ er − er ⊗ er + eθ ⊗ eθ )
∂T
∂z
+ Trz (eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ ) − Tθz (er ⊗ ez + ez ⊗ er ) ,
=
+
∂Trr
∂Tθθ
∂Tzz
er ⊗ er +
eθ ⊗ eθ +
ez ⊗ ez
∂z
∂z
∂z
∂Trθ
∂Trz
∂Tθz
(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er ) +
(er ⊗ ez + ez ⊗ er ) +
(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ ) .
∂z
∂z
∂z
22. Cette hypothèse permettra de simplifier les calculs ; dans le cadre du cours de mécanique des milieux continus
on n’aura pas besoin de la divergence d’un tenseur d’ordre 2 non symétrique.
23. Facile à établir à partir de (1.72).
51
Au final, en utilisant la règle (1.32) pour évaluer les produits de la forme (ei ⊗ ej ) · ek , la formule
(2.98) donne
div T =
+
+
∂Trr
∂Trθ
∂Trz
er +
eθ +
ez
∂r
∂r
∂r
1 ∂Tθθ
∂Trθ
∂Tθz
eθ +
er +
ez + Trr er − Tθθ er + 2Trθ eθ + Trz ez
r ∂θ
∂θ
∂θ
∂Tzz
∂Trz
∂Tθz
ez +
er +
eθ
∂z
∂z
∂z
i.e.
div T =
+
+
∂T
rr
∂r
∂T
rθ
∂r
1 ∂Trθ
∂Trz
Trr − Tθθ +
+
er
r ∂θ
∂z
r
+
+
∂T
rz
∂r
1 ∂Tθθ
∂Tθz
2Trθ +
+
eθ
r ∂θ
∂z
r
+
.
(2.99)
1 ∂Tθz
∂Tzz
Trz +
+
ez
r ∂θ
∂z
r
Il peut parfois être utile de récrire la dernière composante de ce vecteur sous la forme
ez · div T =
2.7.6
1 ∂
1 ∂Tθz
∂Tzz
(rTrz ) +
+
.
r ∂r
r ∂θ
∂z
(2.100)
Expressions du laplacien
Si T est un champ scalaire, on obtient, à partir de (2.51), (2.90) et (2.94),
∆T = div ∇T =
1 ∂2T
∂2T
∂2T
1 ∂T
1 ∂2T
∂2T
1 ∂ ∂T r
+ 2 2 +
=
+
+
+
r ∂r ∂r
r ∂θ
∂z 2
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
∂z 2
. (2.101)
Si v est un champ de vecteur, on peut montrer que son laplacien en coordonnées cylindriques
est donné par
∆v =
∆vr −
2 ∂vθ
vr 2 ∂vr
vθ −
e
+
∆v
+
−
eθ + ∆vz ez
r
θ
r2 ∂θ
r2
r2 ∂θ
r2
,
(2.102)
la notation ∆ étant définie par (2.101). Une démonstration de cette formule est donnée dans Pernès
(2003), cf. sa section 9.19.
Exercice 2.12 Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques
Expliquez pourquoi il serait erroné, pour calculer ce laplacien, d’utiliser la définition
∆v = div ∇v
en remplaçant dans (2.99) le tenseur T par le gradient de v donné par (2.92).
52
Problème 2.1 Aspects mathématiques de l’étude d’un tuyau sous pression
Dans de nombreux systèmes industriels, on doit transporter un fluide à haute pression. C’est
par exemple le cas des centrales nucléaires à eau pressurisée, comme expliqué dans l’énoncé du
problème 4.3 du cours de mécanique. On veut justement ici préparer l’étude de ce problème, qui
sera faite en TD, en traitant la partie mathématique de la modélisation du champ de déplacement
produit par une surpression dans un tuyau. Pour cela, on n’utilisera pas les formules de cette
section, mais on les redémontrera (partiellement, dans un cas plus simple) pour la plupart afin de
mieux les comprendre. Le tuyau est cylindrique ; sa section est une couronne de rayons intérieur
a, extérieur b. On utilise un repère cartésien Oxyz d’axe Oz de révolution du tuyau, et les coordonnées cylindriques associées (r,θ,z). En travaillant, en élasticité linéaire, en différence entre la
configuration de référence où le tuyau est plein d’air à pression atmosphérique patm et la configuration actuelle où le tuyau est plein du liquide pressurisé à p = patm + δp, le champ de forces cause
du mouvement est défini par la densité de forces surfaciques purement radiales
d2 f
= δp er ,
d2 S
forces surfaciques qui s’appliquent sur la surface intérieure du tuyau en r = a. Le champ
fet produit est le champ de déplacement du tuyau,
T =
ef-
u = u(x,t) ,
défini, en hypothèse de petits déplacements, dans toute la couronne r = ||x|| ∈ [a,b].
1 Représentez sur des schémas la situation étudiée. En faisant un inventaire des symétries respectées par le champ T, et en appliquant le principe de Curie, montrez que le champ de déplacement
peut être supposé de la forme
u = U (r) er .
2 Dans la réalité le problème posé est thermomécanique, au sens où le champ de température dans
le tuyau, T (r) par symétrie, est non uniforme. En repartant de sa définition intrinsèque, calculez
le champ ∇T . Vous calculerez dans un premier temps la différentielle dx du vecteur position, en
prenant garde au fait que les vecteurs er et eθ de la base locale dépendent de x.
3 En repartant de sa définition intrinsèque, calculez le champ de tenseurs ∇u. On vous demande
de donner une écriture matricielle et une écriture intrinsèque de ce tenseur.
4 Par un raisonnement simple n’impliquant pas de calcul, donnez la valeur du rotationnel du
champ de déplacement.
5 Calculez la divergence du champ de déplacement.
6 Question subsidiaire facultative : calculez le laplacien du champ de déplacement.
Indications : observez que le problème est
bidimensionnel (r,θ)
, posez
G = ∇u
puis calculez
T = ∇G
en partant de formules du type (2.89) pour identifier les Tijk pour i,j,k ∈ {r,θ}...
53
Problème 2.2
Aspects mathématiques de l’étude d’un rhéomètre de Couette cylindrique
Un rhéomètre de Couette cylindrique, tel celui présenté sur la figure 2.9, est une cavité, comprise
entre un cylindre intérieur pouvant tourner autour de son axe et un cylindre extérieur fixe, remplie
du liquide à étudier. En appliquant un couple au cylindre intérieur, on crée un écoulement dans le
liquide. On va développer ici la partie mathématique de la modélisation de cet écoulement, sans
utiliser les formules de cette section, en les redémontrant (partiellement, dans un cas plus simple)
pour la plupart afin de mieux les comprendre. La partie physique de la modélisation et la résolution
du modèle seront l’objet du problème 7.2 du cours de mécanique.
On utilise naturellement un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) avec Oz l’axe vertical
de symétrie du système, axe de révolution des deux cylindres. On suppose que le système est
suffisamment allongé pour permettre de négliger les effets des frottements au niveau du socle, situé
en z = 0, ou ceux de la surface libre, située autour de z = h. Dans ces conditions le seul champ de
forces cause de l’écoulement est défini par la densité de forces surfaciques purement azimutales
T =
d2 f
= τ eθ ,
d2 S
forces surfaciques qui sont appliquées par le cylindre intérieur tournant sur le liquide, sur toute la
surface de contact entre ceux-ci. Pour fixer les idées on suppose la constante τ strictement positive.
Le champ effet produit est le champ de vitesse de l’écoulement
v = v(x,t) ,
vitesse instantanée des particules liquides passant à l’instant t au point x.
1 En faisant un bilan des symétries respectées par le champ T, et en appliquant le principe de
Curie, montrez que le champ de vitesse peut être supposé de la forme
v = U (r) er + V (r) eθ .
2 On considère un champ scalaire p caractéristique de l’écoulement 24 . On admet qu’il est aussi
très symétrique, i.e. de la forme
p = p(r) .
En repartant de sa définition intrinsèque, calculez le champ ∇p. Vous calculerez dans un premier
temps la différentielle dx du vecteur position, en prenant garde au fait que les vecteurs er et eθ de
la base locale dépendent de x.
3 En repartant de sa définition intrinsèque, calculez le champ de tenseurs ∇v. On vous demande
de donner une écriture matricielle et une écriture intrinsèque de ce tenseur.
4 En exploitant l’une des propriétés physiques fondamentale d’un liquide incompressible, à savoir
que divv = 0, ainsi que les conditions d’imperméabilité des parois, montrez que la fonction U est
forcément nulle. Vous calculerez d’abord divv en repartant de sa définition intrinsèque.
5 Afin de préparer l’écriture du bilan local de quantité de mouvement dans le liquide, et toujours
en revenant aux définitions intrinsèques, établissez à l’aide du calcul tensoriel l’expression de ∆v
(pour le champ de vitesse non général étudié ici).
24. En pratique ce sera le champ de pression motrice pb.
54
Indications : observez que le problème est
bidimensionnel (r,θ)
, posez
G = ∇v
puis calculez
T = ∇G
en partant de formules du type (2.89) pour identifier les Tijk pour i,j,k ∈ {r,θ}...
2.8
Calculs en coordonnées sphériques
Évidemment le même type de calculs peuvent être faits en coordonnées sphériques, où ils seront
néanmoins (encore) plus lourds. En conséquence on se contente ici de donner les résultats de ces
calculs. Le lecteur scrupuleux et courageux pourra consulter Pernès (2003), et en particulier sa
section 9.20, pour trouver des éléments sur le détail de ces calculs.
2.8.1
Définition des coordonnées sphériques
Le système des coordonnées sphériques défini sur la figure 2.10 s’utilise pour des systèmes
où une géométrie de référence est à symétrie sphérique , i.e. invariante par toutes les rotations
d’axe passant par O. On privilégie un axe Oz d’un repère orthonormé direct Oxyz et on dit que
M défini par
x = OM = xex + yey + zez
admet (r, θ, ϕ) comme coordonnées sphériques si
x = r sin θ cos ϕ ,
y = r sin θ sin ϕ ,
z = r cos θ .
(2.103)
Ici encore on introduit une base locale orthonormée directe à partir des directions de variation
de M,
er =
eθ =
eϕ =
∂OM/∂r
= sin θ (cos ϕ ex + sin ϕ ey ) + cos θ ez ,
||∂OM/∂r||
∂OM/∂θ
= cos θ (cos ϕ ex + sin ϕ ey ) − sin θ ez ,
||∂OM/∂θ||
∂OM/∂ϕ
= − sin ϕ ex + cos ϕ ey .
||∂OM/∂ϕ||
(2.104)
(2.105)
(2.106)
On peut remarquer que
x = rer
(2.107)
et calculer les variations des vecteurs de la base locale,
der = eθ dθ + eϕ sin θ dϕ ,
(2.108)
deθ = −er dθ + eϕ cos θ dϕ ,
(2.109)
deϕ = −(er sin θ + eθ cos θ) dϕ .
(2.110)
dx = er dr + r eθ dθ + r eϕ sin θ dϕ ,
| {z }
| {z }
|
{z
}
(2.111)
On en déduit que
dxr
dxθ
dxϕ
2.8 Calculs en coordonnées sphériques
55
Fig. 2.9 – Photographie d’une expérience de Couette cylindrique au Lemta menée dans l’équipe
de Salaheddine Skali-Lami par Ghania Benbelkacem. En haut on distingue le moteur électrique, de l’axe
duquel est solidaire le cylindre intérieur du système (de rayon extérieur = a). Entre celui-ci et le cylindre
extérieur fixe (de rayon intérieur = b) se trouve le liquide à étudier, dont on distingue la surface libre.
Le cylindre extérieur est fixé dans une cuve parallélépipédique. Toutes ces pièces solides sont en plexiglass
afin de permettre des visualisations. La cuve est en général remplie d’eau (pour les besoins de la photo ce
remplissage n’a pas été effectué jusqu’en haut), afin notamment d’assurer une régulation thermique.
PSfrag replacements
z
er
θ
O
M
eϕ
r
eθ
y
ϕ
x
Fig. 2.10 – Définition du système des coordonnées sphériques (r, θ, ϕ).
56
avec des notations similaires à celles de l’équation (2.85). Ceci permet par exemple d’évaluer
l’élément de volume naturel en coordonnées sphériques,
(dxr , dxθ , dxϕ ) = (er dr, r eθ dθ, r eϕ sin θ dϕ) = r2 sin θ dr dθ dϕ .
2.8.2
(2.112)
Expressions du gradient
On établit que le gradient d’un champ scalaire T est donné par
∇T =
∂T
1 ∂T
1 ∂T
er +
eθ +
eϕ .
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(2.113)
Pour un champ de vecteur
v = vr er + vθ eθ + vϕ eϕ ,
(2.114)
on peut montrer que
∂vr
 ∂r



 ∂vθ
Mat ∇v, {er ,eθ ,eϕ } = 
 ∂r



 ∂vϕ
∂r

2.8.3
1 ∂vr
− vθ
r ∂θ
1 ∂vr
− vϕ sin θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂vθ
+ vr
r ∂θ
1 ∂vθ
− vϕ cos θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂vϕ
r ∂θ
1 ∂vϕ
+ vr sin θ + vθ cos θ
r sin θ ∂ϕ






 . (2.115)





Expression du rotationnel
On peut montrer que le rotationnel d’un champ de vecteur v est donné par
rot(v) =
∂(rvϕ ) 1 ∂(vϕ sin θ) ∂vθ 1 1 ∂vr
1 ∂(rvθ ) ∂vr −
er +
−
eθ +
−
eϕ .
r sin θ
∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
(2.116)
2.8.4
Si v est un champ de vecteur, on montre que
divv =
1 ∂(r2 vr )
1 ∂(vθ sin θ)
1 ∂vϕ
+
+
2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
.
(2.117)
Dans le cas d’un champ de tenseur d’ordre 2 symétriques
T = Trr er ⊗ er + Tθθ eθ ⊗ eθ + Tϕϕ eϕ ⊗ eϕ
+ Trθ (er ⊗ eθ + eθ ⊗ er ) + Trϕ (er ⊗ eϕ + eϕ ⊗ er ) + Tθϕ (eθ ⊗ eϕ + eϕ ⊗ eθ )(2.118)
2.9 Notes personnelles
57
on montre que
∂Trr
1 ∂Trθ
1 ∂Trϕ 1
+
+
+ (2Trr − Tθθ − Tϕϕ + Trθ cotanθ) er
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
∂Tθr
1 ∂Tθθ
1 ∂Tθϕ 1 +
+
+
(Tθθ − Tϕϕ )cotanθ + 3Trθ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
div T =
+
+
eθ
.
∂Tϕr
1 ∂Tϕθ
1 ∂Tϕϕ 1
+
+
+ (3Trϕ + 2Tθϕ cotanθ) eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
(2.119)
2.8.5
Expressions du laplacien
Si T est un champ scalaire, on montre que
∆T
avec
∆r T
= ∆r T +
=
1 ∂2T
1
∂T
1
∂2T
+
(cotanθ)
+
r2 ∂θ2
r2
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
.
(2.120)
1 ∂ 2 ∂T 1 ∂ 2 (rT )
2 ∂T
∂2T
r
=
=
+
r2 ∂r
∂r
r ∂r2
r ∂r
∂r2
Si v est un champ de vecteur, on montre que
2
1 ∂
1 ∂vϕ ∆v =
∆vr − 2 vr +
(vθ sin θ) +
er
r
sin θ ∂θ
sin θ ∂ϕ
+
cos θ ∂vϕ 2 ∂vr
vθ
−
∆vθ + 2
−
eθ
r ∂θ
2 sin2 θ sin2 θ ∂ϕ
+
∆vϕ +
2.9
Notes personnelles
vϕ ∂vθ
2 ∂vr
+
(cotanθ)
−
r2 sin θ ∂ϕ
∂ϕ
2 sin θ
.
eϕ
(2.121)
58
Chapitre 3
Compléments d’analyse tensorielle :
potentiels et rotationnels
La problématique de ce chapitre est celle des conditions nécessaires et suffisantes d’existence
de potentiels scalaires ou vecteurs pour des champs de vecteurs ou de tenseurs. Il s’agit de
répondre à des questions telles que :
1. étant donné un champ de vecteurs v(x) sur Ω ouvert de R3 , à quelle condition existe t’il
un champ scalaire φ tel que
∀x ∈ Ω, v(x) = ∇x φ ?
2. étant donné un champ de tenseurs A(x) sur Ω ouvert de R3 , à quelle condition existe t’il
un champ de vecteurs v tel que
∀x ∈ Ω, A(x) = ∇x v ?
Dans le premier cas on dit que φ est un potentiel scalaire pour v, et dans le second cas que v
est un potentiel vecteur pour A. La solution de la première question est sans doute connue
du lecteur, qui se souvient que le rotationnel du champ de vecteurs v est un outil utile pour
cette solution ; on va le rappeler dans la section 3.1. Pour pouvoir répondre à la deuxième question,
et à une question analogue posée par la mécanique des milieux continus, on va devoir introduire
le rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 A. Cela sera fait dans la section 3.2.
La section 3.2 s’inspire grandement de l’une des annexes de Bernardin (2008). Je le remercie encore
pour m’avoir permis de la reproduire ici, en la reformatant à ma manière.
Enfin, dans la section 3.3, on donnera des éléments de réponse à une troisième question :
3. étant donné un champ de vecteurs v(x) sur Ω ouvert de R3 , à quelle condition existe t’il
un champ potentiel vecteur a(x) tel que
∀x ∈ Ω,
3.1
v(x) = rota(x) ?
Existence de potentiel scalaire : théorème de Cauchy
Ce théorème répond à la question 1 ci-dessus. Il est valable dans un ouvert simplement
connexe Ω tel que tout circuit γ de Ω peut se déformer continûment en un point. Une définition
plus précise de cette notion est donnée par Plaut (2006) dans un cadre bidimensionnel restreint,
60
Chapitre 3 Compléments : potentiels et rotationnels
tandis que Appel (2005); Chatterji (1997) sont des références d’autorité pour le cas général, par
exemple, tridimensionnel. On peut retenir qu’un ouvert simplement connexe est un ouvert sans
trou , dans lequel, si γ est un circuit quelconque de Ω, on peut définir une surface intérieure de
γ (dont γ est le bord) qui soit entièrement contenue dans Ω. Un ouvert non simplement connexe
est dit multiplement connexe .
On a, si v est un champ régulier, de classe C 1 , sur Ω simplement connexe,
∃φ ∈ C 2 (Ω → R) tel que v = ∇φ
⇐⇒
rotv = 0 .
(3.1)
Ce théorème est par exemple démontré, avec des méthodes assez élémentaires , dans la section
8.16 de Pernès (2003). Une démonstration beaucoup plus sophistiquée, faisant appel à la théorie
des formes différentielles , est donnée dans Appel (2005).
En se gardant d’utiliser ces notions, donnons les grandes lignes d’une démonstration élémentaire . Le sens =⇒ a été traité dans l’exercice 2.3 ; on peut noter que dans ce sens la simple
connexité de Ω n’est pas nécessaire 1 . Dans le sens ⇐= on construit le potentiel φ en intégrant v
le long d’un chemin connectant un point particulier origine à un point courant M, en posant donc,
si α est un tel chemin, que 2
Z
φ(M ) =
α
v · dx .
On a alors bien, localement, ∇φ = v, mais il faut surtout vérifier que φ(M ) ne dépend pas du
choix du chemin α. Considérant deux chemins α et β, on doit montrer que le circuit γ composé de
α dans son sens mis bout à bout avec β dans le sens opposé vérifie
Z
v · dx = 0 .
γ
Ceci s’obtient avec la formule intégrale du rotationnel (2.35), que l’on a le droit d’appliquer puisque,
du fait de la simple connexité de Ω, l’intérieur de γ est une surface entièrement contenue dans Ω,
domaine de régularité de v.
3.2
3.2.1
Existence de potentiels vecteurs pour des champs
irrotationnels : théorèmes de Cauchy généralisés
Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2
Soit A(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω. On définit le rotationnel de A comme le
champ sur Ω des applications linéaires vérifiant 3
∀y ∈ R3 , rotx A · y = rotx AT · y .
(3.2)
En coordonnées cartésiennes, on obtient, si [R] et [A] désignent les matrices représentant rot A
et A,
∀i,
Rij yj = ijk
∂Ajk
∂
(Alk yl ) = ilk
yj
∂xj
∂xl
1. Cette remarque est valable pour les théorèmes de Cauchy généralisés de la section 3.2.
2. Ce que l’on note ici dx est le tdl de la section 2.4, avec t le vecteur unitaire tangent au chemin, dl l’élément
de longueur le long du chemin.
3. Par la suite on omettra la plupart du temps les indices x, qui rappellent dans la définition (3.2) qui est la
variable d’espace parcourant Ω.
3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs
donc
irrotationnels
61
∂Ajk
.
(3.3)
∂xl
vecteur colonne de [R] a pour composantes celles du rotationnel du j ème vecteur ligne
Rij = ilk
Ainsi le j ème
de [A].
3.2.2
Premier théorème de Cauchy généralisé
Soit A(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω, de classe C 1 sur Ω. Si Ω est simplement
connexe, on a
∃v ∈ C 2 (Ω → R3 ) tel que A = ∇v ⇐⇒ rot A = 0 .
(3.4)
Dans le sens ⇒ , si A = ∇v, alors pour tout vecteur fixe y on a
AT · y = ∇vT · y = ∇(v · y) .
En conséquence
rot A · y = 0
quelque soit y, donc
rot A = 0 .
Dans le sens ⇐=, on remarque que rot A = 0 implique, pour les vecteurs ei d’une base orthonormée,
rot AT · ei = 0 .
Donc, en vertu du théorème de Cauchy, il existe trois champs scalaires vi tels que
∀i,
AT · ei = ∇vi .
Notons v = vi ei . Il vient
∀i,
AT · ei = ∇vT · ei ,
donc
AT = ∇vT
3.2.3
⇐⇒
A = ∇v .
Lemmes
On laisse au lecteur courageux le soin de montrer les lemmes suivants.
1 Pour u ∈ C 2 (Ω → R3 ), montrez que
∇ rotu
= rot ∇uT .
2 Dans les mêmes conditions, en notant
1 D u =
∇u + ∇uT ,
2
déduisez de (3.5) que
1
rot D u
=
∇ rotu .
2
3 Si maintenant u ∈ C 3 (Ω → R3 ), montrez que
rot rot D u
= 0.
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
62
3.2.4
Deuxième théorème de Cauchy généralisé
Soit E(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω, de classe C 2 sur Ω. Si Ω est simplement
connexe, on a
∃v ∈ C 3 (Ω → R3 ) tel que E = D(v)
⇐⇒
rot rot E = 0 .
(3.9)
Dans le sens ⇒le résultat découle immédiatement du lemme (3.8). Réciproquement soit E tel
que rot rot E
= 0. D’après le premier théorème de Cauchy généralisé (3.4), il existe u dans
C 2 (Ω → R3 ) tel que
rot E = ∇u .
En revenant à la définition de rot E , il vient, puisque E est symétrique,
∀y ∈ R3 , rot E · y = ∇u · y = rot(u ∧ y) + y divu .
En prenant la divergence de cette équation on obtient
∀y ∈ R3 ,
0 = div(ydivu) = y · ∇(divu) .
Il en résulte que ∇(divu) est nul donc que divu est une certaine constante C. On a alors
∀y ∈ R3 , rot E · y − (u − 12 Cx) ∧ y = 0 .
En prenant successivement pour y chaque vecteur ei d’une base orthonormée, on obtient par le
théorème de Cauchy (3.1) l’existence de champs vi tels que
∀i, E · ei − (u − 12 Cx) ∧ ei = ∇vi .
Posant v = vi ei , il vient
∀y ∈ R3 ,
E · y − (u − 12 Cx) ∧ y = ∇vT · y .
Introduisant l’application antisymétrique
Ω : y 7−→ (u − 12 Cx) ∧ y ,
on a
E − Ω = ∇vT .
En ajoutant à cette équation sa transposée on obtient bien
2E = 2D(v) .
En coordonnées cartésiennes, la condition d’existence du potentiel v au sens de (3.9), dite aussi
condition de compatibilité géométrique , s’écrit, si [e] est la matrice représentative de E,
3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ à divergence nulle
63
sous la forme des équations suivantes :
∂ 2 e23
∂X2 ∂X3
∂ 2 e31
2
∂X3 ∂X1
∂ 2 e12
2
∂X1 ∂X2
∂ 2 e32
+
∂X3 ∂X1
∂ 2 e13
+
∂X1 ∂X2
∂ 2 e21
+
∂X2 ∂X3
=
2
∂ 2 e13
∂X2 ∂X3
∂ 2 e21
∂X3 ∂X1
∂ 2 e32
∂X1 ∂X2
=
=
=
=
=
∂ 2 e33
∂X2 ∂X2
∂ 2 e11
∂X3 ∂X3
∂ 2 e22
∂X1 ∂X1
∂ 2 e12
∂X3 ∂X3
∂ 2 e23
∂X1 ∂X1
∂ 2 e31
∂X2 ∂X2
+
+
+
+
+
+
∂ 2 e22
∂X3 ∂X3
∂ 2 e33
∂X1 ∂X1
∂ 2 e11
∂X2 ∂X2
∂ 2 e33
∂X2 ∂X1
∂ 2 e11
∂X3 ∂X2
∂ 2 e22
∂X1 ∂X3
,
(3.10a)
,
(3.10b)
,
(3.10c)
,
(3.10d)
,
(3.10e)
.
(3.10f )
La démonstration de ce résultat est laissée au lecteur courageux. On verra des applications de cette
condition dans la méthode des contraintes exposée dans la section 4.4 de Plaut (2016).
Par rapport aux présentations de ces conditions de compatibilité données par exemple dans les
sections II.6 de Salençon (1996), 3.4 de Le Tallec (2009), ou 2.3 de Forest (2009), le fait de pouvoir
proposer une version intrinsèque de ces conditions,
rot rot E = 0 ,
nous semble conceptuellement intéressant, puisqu’il permet en principe d’écrire ces conditions dans
n’importe quel système de coordonnées.
3.3
Existence de potentiel vecteur
pour un champ à divergence nulle
Dans l’exercice 2.3, on a vu qu’un champ de rotationnel est à divergence nulle : si a(x) est de
classe C 2 sur Ω, alors
div(rota) = 0 .
(3.11)
Montrons que la réciproque est vraie, à une condition topologique sur Ω près, à savoir, que Ω soit
un ouvert étoilé, ce qui sera précisé ci-dessous. Ainsi, si v est un champ régulier, de classe C 1 , sur
Ω,
∃a ∈ C 2 (Ω → R3 ) tel que v = rota
⇐⇒
divv = 0 .
(3.12)
La condition d’ouvert étoilé stipule l’existence d’un point particulier de Ω, que l’on peut
appeler O et choisir comme origine d’un repère cartésien Ox1 x2 x3 , tel que
∀M ∈ Ω ,
le segment OM est contenu dans Ω ,
(3.13)
ou encore, en notant x = OM le vecteur position,
∀x ∈ Ω , {tx, ∀t ∈ [0,1]} ⊂ Ω .
(3.14)
Pour démontrer l’implication dans le sens ⇐=, on construit le potentiel vecteur a à partir de la
formule intégrale
Z 1
a(x) =
v(tx) ∧ tx dt ,
0
64
soit, en composantes,
Z
ak (x) = kpq
1
vp (tx) txq dt .
0
On en déduit que
∂ak
∂xj
∂ak
∂xj
Z
1
= kpq
0
Z
= kpq
0
1
∂vp (tx) 2
t xq dt + kpq
∂xj
Z
∂vp (tx) 2
t xq dt + kpj
∂xj
Z
1
vp (tx) tδqj dt
0
1
vp (tx) t dt .
0
En conséquence
∂ak
wi = rota i = ijk
∂xj
Z
1
= ijk kpq
0
∂vp (tx) 2
t xq dt + ijk kpj
∂xj
Z
1
vp (tx) t dt
0
Z 1
∂vp (tx) 2
t xq dt + kij kpj
vp (tx) t dt
∂xj
0
0
Z 1
Z 1
∂vp (tx) 2
= (δip δjq − δiq δjp )
t xq dt + (δip δjj − δij δjp )
vp (tx) t dt
∂xj
0
0
Z
1
= kij kpq
wi =
rota i
en faisant usage de la formule (1.90). Ainsi
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
∂vj (tx) 2
∂vi (tx) 2
wi =
vi (tx) t dt −
vi (tx) t dt
t xj dt −
t xi dt + 3
∂xj
∂xj
0
0
0
0
#
Z 1"
∂vi (tx) 2
=
t xj + 2vi (tx) t dt
∂xj
0
Z 1
d 2
=
[t vi (tx)] dt
0 dt
= [t2 vi (tx)]1t=0
wi = vi (x) ,
CQFD.
On admet ici que l’équivalence (3.12) s’étend au cas d’un ouvert contractile, qui peut se déformer
continûment en un point. Une esquisse de la démonstration de ce théorème sophistiqué, dû essentiellement à Poincaré, est donnée dans Appel (2005).
Un contre-exemple instructif est donné dans la section 6.6.4 de Chatterji (1997), qui considère, dans
l’ouvert non contractile R3 privé de son origine O, Ω = R3 − {O}, le champ défini en coordonnées
sphériques (r,θ,ϕ) par
er
v = 2 .
r
On recommande en exercice de vérifier que
divv = 0
mais que, pour autant, il n’existe pas de champ a régulier sur Ω qui vérifierait
v = rota .
Pour cela, on considérera une sphère S centrée sur l’origine, qui peut être vue comme reposant sur
un bord ∂S réduit à un point, et on évaluera de deux manières
ZZ
v · n d2 S ,
S
avec, bien entendu, n la normale unitaire sortant de S, i.e., n = er ...
Annexe A
Éléments de correction des exercices
et problèmes
Ces éléments de correction sont plus ou moins précis, selon le niveau de difficulté des exercices
et problèmes, et aussi le fait qu’ils seront abordés ou non en TD. Lire un énoncé puis son corrigé
est totalement inutile voire contre-productif. La seule bonne façon de profiter de ces corrigés
est de chercher d’abord à résoudre l’exercice ou problème par soi-même, puis ensuite seulement
de consulter les corrigés... pour vous débloquer ou mieux vérifier que votre solution est correcte...
Pour éviter d’être tenté, je vous recommande de ne pas imprimer ces corrigés, mais de les consulter
seulement sous leur forme électronique. Je vous souhaite bon courage !..
A.1
Corrigés du chapitre 1 - Algèbre tensorielle
Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices répétés
1 E = ai bik ckj . Comme j est le seul indice explicite dans cette formule, E est une fonction de j.
2 Dans la formule (1.16) les indices i et j sont explicites tandis que k est un indice muet. Sans la
convention d’Einstein, cette formule s’écrirait
δij
= e0i · e0j
=
=
δij
=
3
X
k=1
3
X
k=1
3
X
k=1
e0i · (Pkj ek )
(ek · e0i )Pkj
Pki Pkj =
3
X
[P T ]ik Pkj .
k=1
Exercice 1.2 Vérification de la cohérence de la définition du produit scalaire
xi yi = Pij x0j Pik yk0 = Pij Pik x0j yk0 = δjk x0j yk0
en vertu de (1.16).
66
Annexe A Éléments de correction des exercices et problèmes
Exercice 1.3 De l’intérêt de la notation produit tensoriel
1 Interpréter un tenseur d’ordre 2, puisque sa nature est d’être une application linéaire, c’est
interpréter la relation entre v et L · v...
L réalise la projection orthogonale sur le vecteur er .
2 Notons
[L ] = Mat L,{er ,eθ } =
0
"
#
1 0
,
0 0
il s’agit de calculer
[L] = Mat L,{ex ,ey } .
Avec la matrice de présentation
"
#
"
#
ex · er ex · eθ
cos θ − sin θ
[P ] =
=
,
ey · er ey · eθ
sin θ cos θ
on a
[L0 ] = [P ]T · [L] · [P ]
2
⇐⇒
[L] = [P ] · [L0 ] · [P ]T
"
#
cos2 θ
sin θ cos θ
[L] =
.
sin θ cos θ
sin2 θ
L = (cos θ ex + sin θ ey ) ⊗ (cos θ ex + sin θ ey )
L = cos2 θ ex ⊗ ex + sin θ cos θ(ex ⊗ ey + ey ⊗ ex ) + sin2 θ ey ⊗ ey .
3 Évidemment on trouve les mêmes résultats avec ces deux méthodes. La deuxième (nouvelle par
rapport aux acquis des classes préparatoires) est clairement plus efficace et moins coûteuse.
Exercice 1.4 Transposition d’un produit tensoriel
En composantes
Mat (a ⊗ b)T , {ei } = [ai bj ]T = [bi aj ] = Mat(b ⊗ a, {ei }] .
Intrinsèquement
(a ⊗ b)T (x,y) = (a ⊗ b)(y,x) = (a · y)(b · x) = (b · x)(a · y) = (b ⊗ a)(x,y) .
Exercice 1.5 Application de la définition multilinéaire récurrente au cas n = 2
Si n = 2 la définition multilinéaire récurrente (1.47) donne
T2 (x1 ,x2 ) = (T2 · x2 )(x1 )
où T2 · x2 est un vecteur. D’après la définition (1.24) d’un vecteur comme tenseur d’ordre 1, on a
donc
T2 (x1 ,x2 ) = (T2 · x2 ) · x1
qui est identique à la définition directe (1.37) d’un tenseur d’ordre 2 comme application bilinéaire.
A.1 Corrigés du chapitre 1 - Algèbre tensorielle
67
Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilinéaire
On peut écrire d’après les définitions du cours que
Tij0 = T(e0i , e0j ) = T(Pki ek , Pmj em ) = Pki Pmj T(ek , em ) = Pki Pmj Tkm
qui correspond bien à (1.31).
Exercice 1.7 Produit contracté de deux vecteurs
Dans le cas où An et Bm sont les tenseurs d’ordre 1 a et b on a n = m = 1 donc leur produit
An ·Bm = a·b est un tenseur d’ordre p = 1+1−2 = 0 c’est-à-dire un scalaire. D’après la définition
(1.58) ce scalaire est défini par
a · b = a(ei ) b(ei ) = (a · ei ) (b · ei ) = ai bi ,
ce qui est bien la définition du produit scalaire.
Exercice 1.8 Produit contracté d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur
Dans le cas où An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le tenseur d’ordre 1 b, le produit An · Bm =
L · b est un tenseur d’ordre p = 2 + 1 − 2 = 1 c’est-à-dire un vecteur. D’après la définition (1.58)
ce vecteur est défini comme l’application linéaire qui, à tout x, fait correspondre le scalaire
L · b (x) = L(x,ei ) b(ei ) = x · L · ei
(b · ei ) = x · L · ei
bi = x · L · b ;
dans le membre d’extrême droite L · b désigne le vecteur introduit au niveau de la définition
première (1.25). D’après la règle (1.24) on peut donc bien identifier L · b au sens de la définition
(1.58) avec L · b au sens de la définition (1.25).
Exercice 1.9 Produit contracté de deux tenseurs d’ordre 2
Si An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le tenseur d’ordre 2 B, le produit An · Bm = A · B est
un tenseur d’ordre p = 2 + 2 − 2 = 2, défini selon (1.58) comme l’application bilinéaire qui à x et
y fait correspondre le scalaire
A · B (x,y) = A(x,ek ) B(ek ,y) = xi Aik Bkj yj
d’après (1.38). En utilisant (1.40) on obtient que
A · B (x,y) = Aik Bkj (ei ⊗ ej )(x,y)
qui établit l’équation (1.61).
Exercice 1.10 Associativité du produit de contraction dans un cas général
D’après la règle (1.63), on a
T · b = Ti1 ···in−1 k bk ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1
et
a · T = ai Tii2 ···in ei2 ⊗ · · · ⊗ ein .
En réappliquant cette règle de contraction, on obtient
a · (T · b) = ai Tii2 ···in−1 k bk ei2 ⊗ · · · ⊗ ein−1 = (a · T) · b .
68
Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterné fondamental pour calcul d’un déterminant
det F = ijk (δi1 + Li1 )(δj2 + Lj2 )(δk3 + Lk3 )
= 123 + i23 Li1 + 1j3 Lj2 + 12k Lk3 + O ||L||2
det F = 1 + L11 + L22 + L33 + O ||L||2 .
Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterné fondamental et le vecteur dual
1 Soient quatre indices j, k, p et q, pris dans {1,2,3} ; on veut montrer que la somme
f (j,k,p,q) := ijk ipq = δjp δkq − δjq δkp .
(A.1)
Si p = q, alors ipq = 0 donc f (j,k,p,q) = 0 ; comme il en est de même de δjp δkq − δjq δkp =
δjp δkp − δjp δkp , l’égalité (A.1) est acquise dans ce cas.
Si p 6= q, considérons le premier sous-cas où (p,q) 6= (j,k) et (p,q) 6= (k,j). Alors, comme il n’y
a que trois valeurs d’indices possibles, forcément j est égal à k. Donc ijk = 0 et f (j,k,p,q) = 0 ;
comme il en est de même de δjp δkq − δjq δkp = δjp δjq − δjq δjp , l’égalité (A.1) est acquise dans ce
sous-cas.
Deux autres sous-cas sont possibles.
Le premier est celui où (p,q) = (j,k). Alors f (j,k,p,q) = ipq ipq qui se réduit à la contribution
correspondant à i 6= p et q. Comme ipq vaut alors ±1, on a dans ce sous-cas f (j,k,p,q) = 1 ce qui
est bien la valeur de δjp δkq − δjq δkp .
Le second sous-cas est celui où (p,q) = (k,j). Alors f (j,k,p,q) = iqp ipq qui se réduit à la contribution correspondant à i 6= p et q. Comme ipq vaut alors ±1, et iqp = −ipq , on a dans ce sous-cas
f (j,k,p,q) = −1 ce qui est bien la valeur de δjp δkq − δjq δkp .
2 Soit L un tenseur quelconque. Notons v son vecteur dual vd L , et formons le tenseur
M = v· .
On a en représentation sur une base
Mjk = vi ijk =
1
1
ipq Lqp ijk = ijk ipq Lqp .
2
2
D’après la formule (1.90), on obtient bien
Mjk =
1
1
(δjp δkq − δjq δkp ) Lqp =
(Lkj − Ljk ) .
2
2
Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel
a ∧ (b ∧ c) = ijk aj (kpq bp cq )ei = kij kpq aj bp cq ei
par permutation circulaire d’indices. En utilisant la formule (1.90) il vient
a ∧ (b ∧ c) = (aj bi cj − aj bj ci )ei = (a · c)b − (a · b)c .
A.2 Corrigés du chapitre 2 - Analyse tensorielle
69
Exercice 1.14 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symétrique
Soit S un tenseur symétrique. Considérons la composante i du vecteur dual v = vd S :
1
1
1
1
ijk Skj = ikj Sjk = ijk Skj = − ijk Skj = −vi ...
2
2
2
2
Réciproquement soit un tenseur quelconque S tel que vd S = 0. Utilisez la formule (1.91)...
vi =
Exercice 1.15 Tenseur antisymétrique en fonction de son vecteur dual
Si L est un tenseur A antisymétrique, en notant v le vecteur vd A la formule (1.91) donne
1 v· =
− A − A = −A ,
2
soit en indices
vj jik = −Aik .
(A.2)
Considérons donc pour x quelconque le vecteur
v ∧ x = ijk vj xk ei
d’après (1.86). Par antisymétrie de il vient
v ∧ x = −jik vj xk ei ,
formule dans laquelle on peut injecter l’identité (A.2). Il vient
v ∧ x = Aik xk ei = A · x .
A.2
Corrigés du chapitre 2 - Analyse tensorielle
Exercice 2.1 Démonstration de la formule de la divergence dans le cas général
Il suffit d’adapter la démonstration faite pour passer du cas des tenseurs d’ordre 1 à celui de
tenseurs d’ordre 2.
Si T est un champ de tenseurs d’ordre n + 1, ei est l’un des vecteurs de la base canonique de
3
R , alors ei · T est un champ de tenseurs d’ordre n. On peut donc lui appliquer la formule (2.39),
qui s’écrit
ZZZ
ZZ
ZZ
div(ei · T) d3 x =
(ei · T) · n d2 S = ei ·
T · n d2 S
(A.3)
Ω
∂Ω
∂Ω
en vertu de la propriété d’associativité (1.65), et du fait que le vecteur ei ne dépend pas de la
position.
Comme
ei · T = Tii2 ···in+1 ei2 ⊗ · · · ⊗ ein+1 ,
d’après la formule (2.25) on a
div(ei · T) =
∂Tii2 ···in j
∂Ti1 i2 ···in j
ei2 ⊗ · · · ⊗ ein = ei · divT = ei ·
ei1 ⊗ · · · ⊗ ein .
∂xj
∂xj
En conséquence l’égalité (A.3) peut se récrire
ZZZ
ZZ
3
ei ·
divT d x = ei ·
Ω
∂Ω
T · n d2 S .
Ceci étant quelquesoit le vecteur de base ei choisi, la formule (2.39) à l’ordre n + 1 est bien établie.
70
Exercice 2.2 Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur
∂(T vi )
∂vi
∂T
= T
+
vi = ...
∂xi
∂xi
∂xi
∂(T vk )
∂vk
∂T
rot(T v) = ijk
ei = T ijk
ei + ijk
vk ei = ...
∂xj
∂xj
∂xj
div(T v) =
Exercice 2.3 Compositions d’opérateurs différentiels nulles
rot(∇T ) = ijk
∂(∇T )k
∂2T
∂2T
∂2T
ei = ijk
ei = ikj
ei = −ijk
ei = 0
∂xj
∂xj ∂xk
∂xk ∂xj
∂xj ∂xk
Réponse à la question physique facultative :
Utilisons un repère cartésien Oxyz avec Oz dans la direction de rot(∇T ) supposé non nul en
O,
rot(∇T )O = 2αez
avec
α>0,
alors que D(∇T ) est lui supposé nul en O. Ainsi, pour un petit vecteur x,
∇(∇T )O · x = ω(∇T )O · x = αez ∧ x
prototype de champ tournant. Dans le plan Oxy, utilisons des coordonnées polaires (r,θ), et
considérons le chemin circulaire défini par x(θ) = r(ex cos θ +ey sin θ) = rer (θ) avec r infinitésimal,
er (θ) le vecteur radial local des coordonnées polaires. Le long de ce chemin
Z 2π
Z 2π
T (x(2π)) − T (x(0)) =
∇T · dx(θ) =
∇T · rdθeθ (θ)
0
0
avec eθ (θ) le vecteur azimutal local des coordonnées polaires. Ainsi
Z 2π
Z 2π h
i
T (x(2π)) − T (x(0)) '
(∇T )O · rdθeθ +
∇(∇T )O · x(θ) · rdθeθ
0
0
Z 2π
T (x(2π)) − T (x(0)) '
αreθ · rdθeθ = αr2 2π 6= 0
0
ce qui est impossible !
Cette situation (impossible) est représentée ici, en supposant pour simplifier ∇TO = 0, en représentant
le champ ∇T sur le chemin considéré, ∇T ' αreθ , et en se souvenant que ∇T pointe vers les
valeurs élevées de T :
+
1
0
0
1
O
−
Fin de l’exercice 2.3 :
div(rotv) =
∂(rotv)i
∂ 2 vk
= ijk
= −div(rotv) = 0 .
∂xi
∂xi ∂xj
71
Exercice 2.4 Divergence d’un gradient transposé
Notons [G] la matrice représentant ∇v dans la base canonique. On a
div
h
i
∂(GT )ij
∂Gji
∂ ∂vj ∂ ∂vj ∇v T =
ei =
ei =
ei =
ei
∂xj
∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
d’après un théorème connu...
Exercice 2.5 Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel
div(u ∧ v) = ijk
∂(uj vk )
∂uj
∂uj
∂vk
∂vk
= ijk
vk + ijk uj
= vk kij
− uj jik
= ...
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
rot(u ∧ v) = ijk
∂u
∂(kpq up vq )
∂vq p
vq + up
ei = kij kpq
ei ;
∂xj
∂xj
∂xj
utilisez ensuite la formule (1.90)...
Exercice 2.6 Divergence d’un produit tensoriel
div(u ⊗ v) =
∂u
∂(ui vj )
∂vj i
ei =
ei = ...
vj + ui
∂xj
∂xj
∂xj
Exercice 2.7 Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur
∂(f Tij )
∂Tij
div f T =
ei = f
ei
∂xj
∂xj
∂ T·v
∂(Tij vj )
i
div T · v =
=
=
∂xi
∂xi
∂ v·T
∂(vj Tji )
i
div v · T =
=
=
∂xi
∂xi
+
vj
∂f
Tij ei = ...
∂xj
∂Tij
∂vj
+ Tij
= ...
∂xi
∂xi
∂vj
∂Tji
Tji + vj
= ...
∂xi
∂xi
Exercice 2.8 Formule du double rotationnel et application
rot(rot(v)) = ijk
∂vq ∂ 2 vq
∂ kpq
ei = kij kpq
ei = ...
∂xj
∂xp
∂xj ∂xp
Donc
∆v = ∇(div(v)) − rot(rot(v)) .
En conséquence
∆(rot(v)) = − rot(rot(rot(v)))
et
rot(∆v) = − rot(rot(rot(v))) .
72
Exercice 2.9 Formules de Navier en élasticité
Pour alléger les notations, on note x et non X la variable d’espace, car ∇X ' ∇x . Ainsi
∂u
∂uj ∂uk
i
+
σij = λ
δij + µ
∂xk
∂xj
∂xi
donc
∂ 2 uj
∂ 2 uk
∂ 2 ui
+ µ
+ µ
∂xi ∂xk
∂xj ∂xj
∂xj ∂xi
2
2
∂ uj
∂ 2 uj
∂ ui
= λ
+ µ
+ µ
= ...
∂xi ∂xj
∂xj ∂xj
∂xi ∂xj
(div σ)i = λ
Exercice 2.10 Réécritures du terme non linéaire de l’équation de Navier-Stokes
"
v2
∇
2
!
#
+
rotv ∧ v
= vj
i
∂vq
∂vj
+ ijk jpq
vk
∂xi
∂xp
∂vj
∂vq
+ jki jpq
vk
∂xi
∂xp
∂vj
∂vq
= vj
+ (δkp δiq − δkq δip )
vk = ...
∂xi
∂xp
= vj
Exercice 2.11 Dérivée particulaire de la densité d’énergie cinétique
dv2
dt
∂(vi vi )
∂
+ vj
(vi vi )
∂t
∂xj
∂vi
∂vi
= 2vi
+ 2vj vi
∂t
∂xj
h
i
∂v
= 2v ·
+ 2v · ∇v · v = ...
∂t
=
Exercice 2.12 Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques
Le calcul qui a abouti à la formule (2.99) du cours pour la divergence d’un tenseur d’ordre 2
n’est valable que si ce tenseur est symétrique, or il n’y a aucune raison pour que le gradient d’un
champ de vecteurs soit symétrique.
Problème 2.1 Aspects mathématiques de l’étude d’un tuyau sous pression
1 Exploitez successivement les symétries suivantes :
• invariance de T par translations temporelles t 7→ t + δt ;
• invariance de T par translations dans la direction axiale z 7→ z + δz ;
• invariance de T par un miroir par rapport à un plan contenant l’axe Oz ;
• invariance de T par un miroir par rapport à un plan perpendiculaire à l’axe Oz ;
• invariance de T par les rotations d’axe Oz et d’angle δθ.
2 Posez G = ∇T et identifiez
73
dT = T 0 (r)dr = G · dx
quelles que soient les variations dr, dθ et dz.
3 Posez G = ∇u et identifiez
du = G · dx...
4 Symétrie.
5 Trace.
6 Par exemple à partir de
T · er = Tijr ei ⊗ ej
∂G
=
= U 00 er ⊗ er +
∂r
montrez que
Trrr = U 00 ;
U0
U
− 2 ;
r
r
Tθθr =
!
U0
U
− 2 eθ ⊗ eθ ,
r
r
Tθrr = Trθr = 0 .
Au bilan
1
U
T = U er ⊗ er ⊗ er +
U0 −
r
r
!
00
(er ⊗ eθ ⊗ eθ + eθ ⊗ er ⊗ eθ + eθ ⊗ eθ ⊗ er ) .
En conséquence
∆u = Tijj ei = (Trrr + Trθθ )er + (Tθrr + Tθθθ )eθ =
!
U0
U
U +
− 2 er .
r
r
00
Problème 2.2
Aspects mathématiques de l’étude d’un rhéomètre de Couette cylindrique
1 Exploitez successivement les symétries suivantes :
• invariance de T par translations temporelles t 7→ t + δt ;
• invariance de T par translations dans la direction axiale z 7→ z + δz ;
• invariance de T par le miroir ez 7→ −ez , à position fixée ;
• invariance de T par les rotations d’axe Oz et d’angle δθ, agissant sur la position et les
champs de vecteur.
2 Posez G = ∇p et identifiez
dp = p0 (r)dr = G · dx
quelles que soient les variations dr, dθ et dz.
3 Posez G = ∇v et identifiez
dv = G · dx...
4 Aboutissez à une équation différentielle ordinaire d’ordre 1 sur U (r), à résoudre avec la bonne
condition initiale ou limite selon le point de vue.
74
5 Par exemple à partir de
T · er = Tijr ei ⊗ ej
∂G
=
= V 00 eθ ⊗ er +
∂r
!
V0
V
−
er ⊗ eθ ,
r2
r
montrez que
Trrr = Tθθr = 0 ;
Tθrr = V 00 ;
Trθr =
V0
V
−
.
2
r
r
Au bilan
1
T =
r
!
V
0
− V (er ⊗ er ⊗ eθ + er ⊗ eθ ⊗ er − eθ ⊗ eθ ⊗ eθ ) + V 00 eθ ⊗ er ⊗ er .
r
En conséquence
∆v = Tijj ei = (Trrr + Trθθ )er + (Tθrr + Tθθθ )eθ =
!
V0
V
V +
− 2 eθ .
r
r
00
Bibliographie
Appel, W. 2005 Mathématiques pour la physique et les physiciens ! H & K Éditions.
Aris, R. 1962 Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall.
Bernardin, D. 2008 Rhéologie des fluides simples. Cours du Master 2 recherche de mécanique-énergétique
de Nancy.
Chatterji, S. D. 1997 Cours d’Analyse 1 - Analyse vectorielle. Lausanne : Presses polytechniques et
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Coirier, J. 2001 Mécanique des milieux continus. Dunod.
Curie, P. 1894 Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d’un champ électrique et d’un
champ magnétique. J. Phys. Theor. Appl. 1, 393–415, http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00239814/fr.
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Garrigues, J. 2007 Fondements de la mécanique des milieux continus. Lavoisier.
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Plaut,
E.
2006
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Cours
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/publisp.
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Ricci, M. M. G. & Levi-Civita, T. 1900 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.
Math. Annalen 54, 125–201, Lorraine Clic.
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Le calcul tensoriel - Emmanuel Plaut

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