l`optimum de pareto - Marc Isabelle`s website!

Transcription

Université
UniversitéParis
ParisIX
IXDauphine
Dauphine
DEUG
Gestion
&
Économie
DEUG Gestion & ÉconomieAppliquée
Appliquée
2ème
année
Microéconomie
2ème année - Microéconomie
IIII LL’OPTIMUM
’OPTIMUM DE
DEPARETO
PARETOET
ETLA
LA
TH
ÉORIE DU
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE
DUBIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
L’optimum
L’optimumde
dePareto
Pareto
La
théorie
du
bien-être
La théorie du bien-êtresocial
social
Annexe
1
:
OP
et
utilité
collective
Annexe 1 : OP et utilité collective
Annexe
Annexe22: :Introduction
Introductionau
ausurplus
surplus
p.p.11
p.p.18
18
p.p.32
32
p.p.41
41
Marc
MarcIsabelle
Isabelle
IMRI,
bur.
IMRI, bur.A702
A702
Université
Paris
IX
Université
Paris IXDauphine
Dauphine
al
pl.
du
M
de
Lattre
de
al
pl. du M de Lattre deTassigny
Tassigny
75775
PARIS
cedex
16,
75775 PARIS cedex 16,France
France
<[email protected]>
<[email protected]>
L’OPTIMUM
L’OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO ET
ET LA
LA
THÉORIE
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
L’OPTIMUM DE PARETO
A PROBLÉMATIQUE
• Des préoccupations délaissées par la théorie de l’équilibre général :
L’équilibre général de marché est d’essence décentralisée :
– ce sont les comportements individuels des agents rationnels qui conduisent
l’économie vers l’équilibre,
– il produit de l’information à travers le système de prix d’équilibre,
– cette information suffit aux agents pour formuler leurs décisions individuellement optimales
!
Mais quel jugement porter sur cet équilibre de marché du point de vue de l’économie
dans son ensemble ?
Chaque fois qu’on se donne des ressources primaires dans l’économie, on parvient à
déterminer l’équilibre général correspondant
Mais à chaque vecteur de dotations initiales correspond un équilibre général ; est-il
possible de dire qu’il en existe un meilleur que les autres ?
© Marc ISABELLE 2002
1
L’OPTIMUM
L’OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO ET
ET LA
LA
THÉORIE
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
A PROBLÉMATIQUE
• Importance de l’aspect normatif :
Ce point de vue normatif ( = intérêt général ) non traité par la théorie de l’équilibre
général est important pour plusieurs raisons :
Au niveau théorique
la théorie de l’équilibre général a pour objet d’étude une économie d’échanges
décentralisés sur des marchés ; on souhaite pouvoir disposer d’un moyen d’évaluer
l’efficacité globale d’une telle économie et du «laisser-faire» sous-jacent
Au niveau pratique
si l’intervention de l’État s’avère nécessaire, il paraît indispensable de disposer d’un
instrument de choix des politiques économiques
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DE PARETO
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ET LA
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-ÊTRE SOCIAL
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DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
A PROBLÉMATIQUE
• Les exigences méthodologiques :
Elles limitent sérieusement l’éventail de choix d’un critère mesurant l’intérêt général
Individualisme méthodologique
la fonction individuelle d’utilité doit être l’élément de base de la théorie normative
mais alors
– notion ordinale et pas cardinale,
– pas de comparaison interpersonnelle d’utilité
Il n’est par exemple pas possible de faire la somme des utilités individuelles pour
mesurer le bien-être de la société sans jugement de valeur quant au poids de chaque
individu dans cette société (fonction d’utilité collective)
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DE PARETO
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DU BIEN
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SOCIAL
B LE CRITÈRE DE PARETO
• Définition et portées :
!
Un état réalisable de l’économie F est Pareto-préférable à un autre E si, en passant de
E à F, l’utilité d’au moins un agent augmente sans que celle d’aucun autre ne diminue
Ce critère :
– respecte les exigences méthodologiques : il se sert uniquement des fonctions
individuelles d’utilité des agents, et ne nécessite aucun recours aux
comparaisons interpersonnelles d’utilité,
– permet de comparer, d’un point de vue collectif / social, différents états de
l’économie entre eux,
– permet sur cette base de définir une forme d’optimalité du point de vue de
l’ensemble de l’économie (état Pareto-optimal)
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DE PARETO
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DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Limites :
!
1) Etant basé sur les fonctions individuelles d’utilité, le critère de Pareto n’est
qu’ordinal
2) Pour la même raison, c’est un critère faible, qui ne définit qu’un préordre partiel
sur l’ensemble des états réalisables de l’économie :
– il ne permet pas de comparer tous les états réalisables entre eux ; si en
passant d’un état E à un état F, l’utilité d’un agent augmente et celle d’un autre
diminue (redistribution), alors E et F ne sont pas Pareto-comparables,
– il admet des ex-aequos
3) Il ne définit qu’une forme particulière d’optimalité, et d’autres critères peuvent être
proposées qui ne conduisent pas forcément aux mêmes résultats ; en référence au
critère d’ordre utilisé, on parle ainsi d’état Pareto-préférable ou Pareto-optimal
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DE PARETO
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-ÊTRE SOCIAL
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DU BIEN
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SOCIAL
• Illustration graphique :
On considère une économie de consommation pure avec 2 consommateurs et 2 biens
Pour chaque consommateur, la dotation
initiale correspond à un niveau d’utilité donné ; x A2
la courbe d’indifférence correspondante
détermine la frontière entre :
– améliorer la situation de l’individu,
– détériorer la situation de l’individu
OA
OB
bien 2
Etant données des dotations initiales en E0,
tout état réalisable est représenté par un point
dans la boîte d’Edgeworth et réciproquement
⇒ la boîte est parfaitement spécifiée pour
illustrer le critère de Pareto
x B1
x
E0
U A0
x B2
UB0
x 1A
bien 1
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DE PARETO
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-ÊTRE SOCIAL
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DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Illustration graphique : (suite)
On en déduit le lieu des états réalisables de l’économie qui sont Pareto-préférables à E0
!
bien 2
En effet, dans un tel état, A voit son utilité
augmenter (ou rester inchangée) et B aussi ;
on se situe donc à l’intersection des deux
ensembles décrit précédemment
x B1
En E1, A a vu son utilité augmenter et B aussi
La transformation de l’économie qui permet de
passer de E0 à E1 est dite Pareto-améliorante x 2
A
⇒ E1 est Pareto-préférable à E0
Mais il existe encore des états Paretopréférables à E1 ; quand cela s’arrête-t-il ?
OB
E
x 1
x
E0
U A1
2
0 xB
UA
0
UB1 UB
OA
x 1A
bien 1
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DE PARETO
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-ÊTRE SOCIAL
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DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Illustration graphique : (suite et fin)
xF
Ceci se produit quand les courbes
d’indifférence des agents sont tangentes
!
Il n’est alors plus possible d’augmenter l’utilité
d’un agent sans diminuer celle de l’autre ⇒ on
a atteint un optimum de Pareto F
OB
bien 2
Il est possible de répéter l’opération jusqu’à ce
que l’ensemble des états Pareto-préférables à
l’état considéré soit vide
x B1
x A2
x
UBF
OA
U AF
E0
U A0
x B2
UB0
x 1A
bien 1
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DE PARETO
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DU BIEN
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SOCIAL
C DÉVELOPPEMENTS
• La courbe des contrats :
L’optimum de Pareto F ainsi trouvé n’est pas unique
En fait, on peut s’affranchir de la donnée d’un
état initial pour trouver un optimum de Pareto ;
il suffit de trouver un point où les courbes
d’indifférences soient tangentes (point I)
!
Dans une économie de consommation, la
courbe des contrats C représente l’ensemble
des états Pareto-optimaux dans le système
d’axes (bien 1, bien 2)
bien 2
En partant de E0, on peut en fait construire
une infinité d’états de l’économie qui sont
Pareto-optimaux (entre G et H)
x B1
x A2
C
I
x
G x
OB
H
F x
x
x
E0
U A0
x B2
UB0
OA
x 1A
bien 1
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C DÉVELOPPEMENTS
• C.N.S d’obtention d’un optimum de Pareto :
Un état réalisable de l’économie est un optimum de Pareto quand il n’existe aucun état
qui lui soit Pareto-préférable ; graphiquement, les courbes d’indifférences des
consommateurs sont tangentes, et leurs TMS sont donc égaux
!
Étant données des dotations initiales en biens dans une économie de consommation
pure, deux conditions sont ensembles nécessaires et suffisantes à l’obtention d’un
optimum de Pareto :
– l’état doit être réalisable,
– les TMS entre les deux biens des deux consommateurs doivent être égaux
entre eux
Ces conditions permettent de déterminer, dans un problème, l’équation de la courbe
des contrats
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DE PARETO
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DU BIEN
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C DÉVELOPPEMENTS
• C.N.S : démonstration formalisée
Le problème posé est de maximiser l’utilité d’un consommateur lorsqu’on se fixe celle
de l’autre, l’état recherché devant être en outre réalisable
Mise en équation du problème :
Le programme s’écrit :
le Lagrangien associé s’écrit :
Max q 1A ,q A2 ,q B1 ,q B2 [U A (q 1A ,q A2 )]

q 1A + q B1 = x 1A + x B1


2
2
2
2
s.c.q A + q B = x A + x B

U B (q B1 ,q B2 ) = U 0

L = U A (q 1A ,q A2 ) + λ ⋅ [q 1A + q B1 − x 1A − x B1 ]
les rapports (1)/(2) et (3)/(4) donnent :
+ µ ⋅ [q A2 + q B2 − x A2 − x B2 ]
+ η ⋅ [U B (q B1 ,q B2 ) − U 0 ]
TMS 2A 1 = TMS 2B 1 = λ
de plus, les dotations initiales doivent être respectées
µ
les CPO donnent :
 ∂U A
 ∂q 1 + λ = 0 (1)
 A
 ∂U A + µ = 0 (2 )
 ∂q A2

λ + η ⋅ ∂U B = 0 (3 )
∂q B1


 µ + η ⋅ ∂ U B = 0 (4 )

∂q B2
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C DÉVELOPPEMENTS
• Remarques conclusives :
L’utilisation du critère de Pareto permet donc de prescrire un ensemble d’états
optimaux du point de vue collectif ⇒ il faut s’efforcer d’atteindre l’un d’eux
Remarques :
– a priori, peu importe le moyen utilisé pour atteindre un tel état (marché, dictateur éco),
– la donnée d’un état initial limite l’éventail des optima de Pareto que l’on peut atteindre
par transformations Pareto-améliorantes,
– l’état initial étant choisi, l’optimum atteint dépend des modalités de l’échange,
– un autre optimum peut être atteint avec un autre état initial, un autre mode d’échange
!
On est confronté à l’indétermination Paretienne classique :
– il existe une infinité d’optima de Pareto dans l’économie,
– ces optima diffèrent du point de vue de l’utilité qu’ils procurent à chaque agent,
– mais ils ne sont pas Pareto-comparables entre eux (redistribution)
⇒ avec le critère de Pareto, on est incapable de prescrire un seul état à atteindre
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DU BIEN
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C DÉVELOPPEMENTS
• Cas d’une économie de production pure :
La cadre développé précédemment se transpose à une économie de production pure
avec deux producteurs produisant un bien à l’aide de deux facteurs de production
Un état réalisable de l’économie F est Pareto-préférable à un autre E si, en passant de
E à F, la situation (ici la quantité produite, pas le profit) d’au moins un producteur
s’améliore sans que celle de l’autre ne se détériore
Un optimum de Pareto d’une économie de production pure est un état dans lequel il
n’est pas possible d’augmenter la quantité produite par un producteur sans diminuer
celle produite par l’autre (il n’admet aucun état qui lui soit Pareto-préférable)
!
Étant données des dotations initiales en facteurs dans une économie de production
pure, deux conditions sont ensembles nécessaires et suffisantes à l’obtention d’un
optimum de Pareto :
– l’état doit être réalisable,
– les TMST entre les deux facteurs des deux producteurs doivent être égaux
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• Cas d’une économie de production pure : développements
!
Dans une économie de production, la courbe des contrats représente l’ensemble des
états Pareto-optimaux dans le système d’axes (facteur 1, facteur 2)
Dans le cas où chaque producteur est spécialisé dans un bien, un déplacement le
long de la courbe des contrats :
– maintient l’économie des producteurs dans une situation Pareto-optimale du
point de vue de l’utilisation des facteurs (égalité de leurs TMST),
– revient en outre à produire plus d’un bien aux dépens de l’autre (redistribution
des facteurs)
Il existe donc une relation qui indique la façon dont un bien est remplacé par un autre
lorsqu’on réalloue les facteurs productifs de manière Pareto-optimale entre deux
producteurs spécialisés dans leur produit
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C DÉVELOPPEMENTS
• Courbe et taux de transformation des produits :
!
!
La courbe de transformation des produits
représente l’ensemble des optima de Pareto
d’une économie de production dans le système
d’axes (bien 1, bien 2)
Le taux de transformation des produits dans
un état Pareto-optimal donné indique le nombre
d’unités de bien 2 par lesquelles il faut remplacer,
à la marge, une unité de bien 1 pour rester à un
optimum de Pareto ; c’est la valeur absolue de la
pente de la tangente à T
bien 2
Cette relation permet de construire la courbe de transformation des produits T
T
G
x
F
x TTP2/1
E0x
O
xH
bien 1
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DU BIEN
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C DÉVELOPPEMENTS
• Cas d’une économie complète :
!
Dans une économie complète, quatre conditions sont ensemble nécessaires et
suffisantes pour obtenir un optimum de Pareto :
1)
l’offre doit être égale à la demande pour toutes les marchandises, et les dotations
initiales en ressources primaires doivent être respectées
2)
dans la sphère des consommateurs, le TMS entre deux biens doit être le même
pour tous les consommateurs, et ce pour toute paire de biens
3)
dans la sphère des producteurs, le TMST entre deux facteurs de production doit
être le même pour tous les producteurs, et ce pour toute paire de facteurs
4)
en outre, pour que la sphère des consommateurs soit à l’optimum de Pareto, il faut
que le TMS entre deux biens soit égal au TTP de la sphère productive entre ces
deux mêmes biens, et ce pour toute paire de biens
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
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C DÉVELOPPEMENTS
• Démonstration logique de la quatrième condition :
Par l’absurde :
supposons que la sphère des consommateurs soit à un optimum de Pareto ; pour tous
les consommateurs, le TMS entre les biens 1 et 2 vaut α ; chaque consommateur voit
son utilité inchangée s’il échange à la marge α unités de bien 2 contre une unité de 1
supposons que la sphère des producteurs soit à un optimum de Pareto ; dans cet état,
le TTP entre les biens 1 et 2 vaut β ; la sphère productive reste à un optimum de Pareto
si elle substitue à la marge β unités de bien 2 contre une unité de bien 1
si α < β, les producteurs produisent une unité de bien 1 en moins et β unités de 2 en
plus, et restent ainsi à un optimum de Pareto ; les consommateurs se voient retirer une
unité de 1 mais reçoivent plus d’unités de 2 qu’il n’en faut pour les compenser ⇒ leur
utilité augmente ; absurde puisqu’on était à un optimum de Pareto des consommateurs
Donc TMS = TTP pour un optimum de Pareto des consommateurs ds une éco complète
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
LA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL
A RAPPELS
• Théorie de l’équilibre général et préoccupations normatives :
L’équilibre général de marché est une allocation des ressources qui est optimale du
point de vue individuel ; l’impulsion dans une économie de marché provient de chaque
agent qui maximise sa situation individuelle
On a souhaité introduire un aspect normatif : quel jugement porter sur l’équilibre général
du point de vue collectif / social (i.e. l’économie dans son ensemble) ?
Il a d’abord fallu se doter d’un outil de comparaison des différents états de l’économie
d’un point de vue collectif
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L’OPTIMUM
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
A RAPPELS
• La portée étendue du critère de Pareto :
La critère de Pareto constitue cet outil ; il n’est en rien spécifique à la théorie de
l’équilibre général
En effet, seuls deux outils économiques sont nécessaires à sa définition :
– le concept de fonction individuelle d’utilité,
– la notion d’état réalisable
Il n’impose ainsi aucune contrainte :
– à la structure de l’économie (par exemple, la C.P.P n’est pas nécessaire),
– à son mode de fonctionnement (marché ou planification, mode d’échange, …)
C’est à l’aune de ce critère que l’on se propose à présent de juger l’équilibre général
de marché d’un point de vue collectif ⇒ théorie du bien-être social
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L’OPTIMUM
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
B LES THÉORÈMES DE CORRESPONDANCE
• Le premier théorème de correspondance :
Question : un équilibre général est-il Pareto-optimal ?
!
Réponse : (premier théorème de correspondance)
Tout équilibre général est un optimum de Pareto
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L’OPTIMUM
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
1)
2)
L’équilibre général est représenté par un
point dans la boîte d’Edgeworth ; c’est
donc un état réalisable
bien 2
• Illustration graphique dans une économie d’échange pur :
Les courbes d’indifférence des consomma- 2
q *
teurs sont tangentes entre elles à l’équi- A
libre général ; leurs TMS sont donc égaux
x
−
U B0
UB*
p1
p2
q B1 *
x B1
E.G
x
2
A
q B2 *
x
⇒ l’équilibre général est un optimum de Pareto
OA
OB
q 1A *
x 1A
UA*
U A0
x B2
bien 1
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L’OPTIMUM
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Illustration logique dans une économie d’échange pur :
1)
L’équilibre général est par essence un état réalisable de l’économie (objectif du
tâtonnement du commissaire-priseur)
2)
L’équilibre général est compatible, c’est-à-dire que chaque agent y maximise son
utilité ; donc à l’E.G., chaque agent égalise son TMS au rapport des prix annoncés
par le commissaire-priseur ; ainsi, les TMS des agents sont égaux entre eux
⇒ l’équilibre général est un optimum de Pareto
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L’OPTIMUM
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DE PARETO
PARETO ET
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Démonstration formelle dans une économie d’échange pur :
Par l’absurde :
1
2
1
2
• Soit Y = y A , y A , y B , y B
l’équilibre général d’une économie d’échange pur,
(p1, p2) les prix associés
• Supposons que Y ne soit pas un optimum de Pareto de l’économie décrite ;
alors ∃ Z = z 1A , z A2 , z B1 , zB2 état réalisable tel que Z soit Pareto-préférable à Y
(
)
(
)
Nous avons donc :
• Y et Z réalisables :
• Z Pareto-préférable à Y :
y 1A + y B1 =
 2
y A + y B2 =
U A z A1 , z A2


1
2
UB zB , zB
(
(
x1 = z 1A + zB1
x 2 = z A2 + zB2
) ≥ U (y
) ≥ U (y
A
1
2
A, y A
B
1
2
B, y B
)
)
(
)
(
Pour éviter le cas trivial Z Pareto-égal à Y, on suppose que U B z B1 , z B2 > U B y B1 , y B2
)
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L’OPTIMUM
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DE PARETO
PARETO ET
ET LA
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Démonstration formelle dans une économie d’échange pur :
Y est un équilibre général donc il est compatible ; B y maximise son utilité sous sa
contrainte budgétaire étant donné le vecteur de prix (p1, p2) ; si U B z B1 , z B2 > U B y B1 , y B2
alors en Z, le budget de B est forcément plus élevé quand on considère les mêmes prix:
p1 ⋅ z B1 + p 2 ⋅ z B2 > p1 ⋅ y B1 + p 2 ⋅ y B2
(
(
)
(
)
(
)
)
On a U A z 1A , z A2 ≥ U A y 1A , y A2 donc la même inégalité est vraie au sens large pour A :
p1 ⋅ z 1A + p 2 ⋅ z A2 ≥ p1 ⋅ y 1A + p 2 ⋅ y A2
La somme membre à membre de ces inégalités donne :
p1 ⋅ z 1A + z B1 + p 2 ⋅ z A2 + z B2 > p1 ⋅ y 1A + y B1 + p 2 ⋅ y A2 + y B2
p1 ⋅ x 1 + p 2 ⋅ x 2 > p 1 ⋅ x 1 + p 2 ⋅ x 2
soit
ce qui est absurde
(
)
(
)
(
)
(
)
⇒ Y est donc un optimum de Pareto de l’économie décrite
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L’OPTIMUM
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DE PARETO
PARETO ET
ET LA
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Portées et limites du premier théorème de correspondance :
!
La théorie de l’équilibre général a montré que le mécanisme de marché assurait la
cohérence collective des décisions décentralisées (individuellement optimales) des
agents économiques ; le premier théorème de correspondance de la théorie du bienêtre social montre en plus qu’il assure leur optimalité collective
mais :
– la répartition des richesses à l’équilibre général dépend des dotations initiales qui
sont exogènes,
– l’E.G. est un optimum Paretien parmi d’autres (la courbe des contrats),
– le critère de Pareto est un critère de pure efficacité économique ; l’utilisation d’un
autre critère ou d’un critère complémentaire (justice sociale) peut invalider ses
conclusions normatives ; la société peut préférer un autre fonctionnement de
l’économie que le marché décrit dans l’équilibre général
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L’OPTIMUM
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THÉORIE DU
DU BIEN
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SOCIAL
• Le deuxième théorème de correspondance :
Question : (c’est la contraposée de celle qui a amené le premier théorème de
correspondance)
Un état Pareto-optimal (un point de la courbe de contrats) peut-il être atteint par
une économie de marché décentralisée fonctionnant sur le modèle de l’équilibre
général ?
!
Réponse : (deuxième théorème de correspondance)
Si les courbes d’indifférence des consommateurs sont convexes et si la
répartition initiale des richesses est appropriée, alors on peut associer un
système de prix d’équilibre général à tout optimum de Pareto
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L’OPTIMUM
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DE PARETO
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-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Illustration graphique dans une économie d’échange pur :
2)
3)
On prend un point E de la courbe des
contrats ; c’est un opt. de Pareto donc en E,
les TMS des agents sont égaux, et valent α
On trace la droite d passant par E, de pente
−α
On prend un point E0 quelconque sur d ; si
on place l’économie dans les conditions
initiales représentées par E0 et qu’on la fait
fonctionner sur le modèle de l’équilibre
général, alors elle conduira à l’E.G. en E,
avec un rapport des prix d’équilibre égal à α
bien 2
1)
q B1
d
x B1
−α
C
UB
q A2
x
TMS2/1 E
x
2
A
OA
OB
q B2
x
q 1A
E0
x 1A
UA
x B2
bien 1
27
L’OPTIMUM
L’OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO ET
ET LA
LA
THÉORIE
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Équilibre général, dotations initiales et redistribution :
Si E est un objectif de politique publique, il existe
deux possibilités pour l’atteindre en partant de E1:
1) on laisse le marché conduire à l’E.G. en F ;
on effectue ensuite la transformation redistributrice (hors marché) F⌫ E
2) on commence par la transformation redistributrice E1⌫E0, puis on laisse le marché agir
jusqu’en E
En politique publique, ce n’est pas en agissant
sur les prix qu’on atteint un objectif, mais en se
plaçant dans les conditions initiales appropriées
OB
bien 2
E ne peut pas être atteint par les seules forces du
marché (équilibre général) avec E1 comme
répartition initiale des richesses (exogène)
F
x
C
TMS2/1 x E
x E1
E0x
OA
bien 1
28
L’OPTIMUM
L’OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO ET
ET LA
LA
THÉORIE
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
• Portées et limites du deuxième théorème de correspondance :
Le mécanisme de marché décrit dans la théorie de l’équilibre général permet d’atteindre
n’importe quel état de l’économie collectivement optimal au sens de Pareto
mais :
– la répartition initiale des richesses ne permet généralement pas, sans
redistribution préalable, d’atteindre l’optimum souhaité,
– d’un point de vue théorique, tout autre mécanisme d’allocation des ressources
que l’équilibre général de marché qui permettrait d’atteindre un optimum de
Pareto désiré doit être considéré comme efficace (par exemple, planificateur
central imposant les prix d’optimum)
29
L’OPTIMUM
L’OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO ET
ET LA
LA
THÉORIE
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
C CONCLUSION
• La théorie de l’équilibre général, référence normative :
La cohérence rigoureusement scientifique du critère de Pareto a largement contribué à
son succès en sciences économiques
Les théorèmes de correspondance confèrent à la théorie de l’équilibre général le caractère normatif que revendiquent les néo-classiques au plan économique : une économie
décentralisée de marchés de concurrence pure et parfaite …
1) fonctionne (TEG)
2) et ce de manière collectivement optimale (TBES)
Dès le début du XXe siècle, les institutions économiques ont pris acte de ce résultat ;
les gouvernements et autorités concurrentielles sont intervenus dans l’économie pour
restaurer les conditions de la concurrence pure et parfaite dès qu’elle s’en éloignait trop
30
L’OPTIMUM
L’OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO ET
ET LA
LA
THÉORIE
-ÊTRE SOCIAL
THÉORIE DU
DU BIEN
BIEN-ÊTRE
SOCIAL
C CONCLUSION
• La théorie de l’équilibre général, référence normative :
Mais la concurrence pure et parfaite, sur lesquelles sont fondées la TEG et la TBES,
propose une représentation très pauvre des institutions économiques et sociales ; ces
deux théories se privent ainsi de la dimension d’outil d’intervention politique qu’elles
revendiquent parfois, et conservent leur intérêt essentiellement en tant que cadre de
référence (théorie des prix)
!
Dans le monde réel, dès que l’on s’écarte un peu du cadre de la concurrence pure et
parfaite, les théorèmes de correspondance sont invalidés (cf. monopole, oligopole,
effets externes, biens collectifs purs...) ; il convient d’étendre la problématique
paretienne à tous ces cas
31
ANNEXE
ANNEXE 11 :: OPTIMUM
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
PRÉSENTATION
A RAPPELS
• Le critère de Pareto :
Il satisfait les exigences méthodologiques de la micro-économie :
l’outil analytique élémentaire est la fonction individuelle d’utilité, qui est une notion
ordinale et qui n’autorise pas les comparaisons interpersonnelles
En contrepartie :
– c’est un critère faible ; il ne définit qu’un préordre (il admet les ex-aequo) partiel
(il ne permet pas de comparer tous les états entre eux),
– il conduit à l’indétermination Paretienne classique ; il existe une infinité d’états
optimaux, non comparables entre eux
Question :
Est-il possible de définir d’autres critères de bien-être social, qui soient plus forts
éventuellement au prix d’hypothèses plus restrictives ?
32
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
PRÉSENTATION
B LA FONCTION D’UTILITÉ COLLECTIVE
• Des hypothèses plus restrictives :
La fonction d’utilité collective est définie dans tout état réalisable de l’économie ; c’est
une fonction croissante et convexe des utilités individuelles des agents :
FUC = f (U1,L,U k )
1) Elle est construite à l’aide de fonctions individuelles d’utilité cardinales :
Uk indique la satisfaction absolue, et non plus seulement relative, de l’individu k
dans un état donné de l’économie
2) Elle nécessite un jugement subjectif sur le poids relatif des individus dans l’économie :
dFUC = ∂f ⋅ dU1 + L + ∂f ⋅ dU K
∂U1
∂U K
poids relatif de l’individu 1
33
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
PRÉSENTATION
B LA FONCTION D’UTILITÉ COLLECTIVE
• Le TMS entre les utilités de deux consommateurs :
TMSl / k indique de combien l’utilité du consommateur l doit varier pour compenser (i.e.
FUC = constante) à la marge la variation d’une unité de l’utilité du consommateur k
TMS l k
∂f
∂U k
dU l
=
=
∂f
dU k
∂U l
FUC =cte
34
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
DÉVELOPPEMENTS
A L’OPTIMUM SOCIAL Max(FUC)
• Approche formalisée dans une économie de consommation pure :
On cherche l’état réalisable qui maximise la FUC ; le programme à résoudre est le
suivant (N biens, K consommateurs) :
Max FUC = f U1 q11,L,q1N ,L,U K q K1 ,L,q KN

K

i
i
∀i ∈ {1,L, N }
s.c . ∑ q k = q

k =1
[
( (
)
))]
(
Le Lagrangien associé s’écrit :
K
K
L = f (U 1 (q 11 ,L , q 1N ),L ,U K (q K1 ,L , q KN )) − λ1 ⋅  ∑ q k1 − q 1  − L − λ N ⋅  ∑ q kN − q N 
 k =1

 k =1

Les conditions de premier ordre de maximisation de L donnent :
∀i ∈ {1,L, N }, ∀k ∈ {1,L,K }
∀i ∈ {1,L, N }, ∀k ∈ {1,L,K }
soit
∂f ⋅ ∂U k
∂L = ∂ f ⋅ ∂ U k − λ = 0
=
λ
i
i
∂U k ∂q ki
∂q ki ∂U k ∂q ki
35
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
DÉVELOPPEMENTS
• Lien avec le critère de Pareto :
!
L’état de l’économie correspondant à la FUC maximale est un optimum de Pareto
Démonstration par l’absurde :
Supposons que Max(FUC) ne soit pas un optimum de Pareto ; il existe alors un état qui
lui est Pareto-préférable ; dans cet état, l’utilité d’au moins un agent augmente sans que
celle d’aucun autre ne diminue ; la fonction FUC étant croissante en chaque Ui, elle
augmente elle aussi dans cet état ; ceci est absurde car l’état initial est Max(FUC)
Démonstration à l’aide des CNS :
– Max(FUC) est réalisable par construction
∂U k ∂ U k
2
– pour k fixé dans {1L
, , K } , et ∀ (i , j ) ∈ {1,L, N } :
TMS kj i =
∂q ki ∂q kj
k
l’égalité précédente : TMS j i = λi λ j indépendant de k
pour toute paire de biens, il existe donc un TMS unique pour tous les agents
soit avec
36
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
DÉVELOPPEMENTS
• Illustration graphique :
Le recours à la FUC permet de sélectionner un opt. de Pareto parmi l’∞ de possibles
bien 2
F
x
H
x
C
U
H
A
G
x
UBF
FUC
augmente
x
TMSB/A
Max(FUC)=F
x
U AF
x A2
x
UBG
UB
UBG
G
x
OA
OB
C
iso-FU
x B1
U
bien 1
F
B
UB0
x 1A
0
A
U x2
B
E0
(
FUC U AG ,U BG
U B0
O
E0
xH
x
U
0
A
)
U
F
A
U
H
A
T
UA
37
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
DÉVELOPPEMENTS
• Variation autour de l’optimum social Max(FUC) :
Écrivons la différentielle totale de la FUC :
dFUC = ∂f ⋅ dU1 + L + ∂f ⋅ dU K
∂U 1
∂U K

 ∂U

 ∂U
∂U
∂U
ou encore dFUC = ∂f ⋅  11 ⋅ dq11 + L + N1 ⋅ dq1N  +L+ ∂f ⋅  1K ⋅ dq K1 + L + NK ⋅ dq KN 
∂U 1  ∂q1
∂U K  ∂q K
∂q1
∂q K


FUC = f (U1,L,U K )
donc
A l’optimum Max(FUC), les conditions marginales permettent de réécrire dFUC ;
∂U
on a en effet ∀i ∈ {1,L, N }, ∀k ∈ {1,L,K }, λi = ∂f ⋅ ik
∂U k ∂q k
d’où
dFUC = λ1 ⋅ dq11 +L+dq K1 + L + λN ⋅ dq1N +L+dq KN
(
de plus,
TMS j i = λi λ j
)
(
donc les λi constituent un vecteur de prix d’E.G.
en notant pi = λi le prix du bien i, on obtient finalement :
)
N K
dFUC = ∑ ∑ p i ⋅ dq ki
i =1 k =1
38
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
DÉVELOPPEMENTS
• Variation autour de l’optimum social Max(FUC) : (suite)
!
On obtient ainsi le résultat suivant :
A la marge autour de l’optimum Max(FUC), la variation de la fonction d’utilité
collective est égale à la valeur globale de la variation de consommation, valorisée
aux prix d’équilibre
Ce résultat d’économie appliquée permet de comparer simplement différentes variantes
d’un projet économique, en termes de valeur de la fonction d’utilité collective
39
ANNEXE
OPTIMUM DE
DE PARETO
PARETO
ET
ET UTILITÉ
UTILITÉ COLLECTIVE
COLLECTIVE
CONCLUSION
• Portées et limites de la FUC :
Passer de la problématique Parétienne à la problématique FUC nécessite de
transgresser deux interdits en théorie économique :
– considérer l’utilité comme une mesure cardinale,
– porter un jugement quand à l’importance de chaque individu au regard de la
société
!
La FUC constitue néanmoins un outil d’économie appliquée intéressant car opérationnel
dans la mesure où elle permet de lever l’indétermination Paretienne classique :
elle prescrit un optimum de Pareto et un seul
40
ANNEXE
ANNEXE 22 :: INTRODUCTION
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
PRÉSENTATION
A RAPPELS
• Le critère de Pareto :
Il satisfait les exigences méthodologiques de la micro-économie :
l’outil analytique élémentaire est la fonction individuelle d’utilité, qui est une notion
ordinale et qui n’autorise pas les comparaisons interpersonnelles
En contrepartie :
– c’est un critère faible ; il ne définit qu’un préordre (il admet les ex-aequo) partiel
(il ne permet pas de comparer tous les états entre eux),
– il conduit à l’indétermination Paretienne classique ; il existe une infinité d’états
optimaux, non comparables entre eux
Question :
Est-il possible de définir d’autres critères de bien-être social, qui soient plus forts
éventuellement au prix d’hypothèses plus restrictives ?
41
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
PRÉSENTATION
B DÉFINITION
• L’idée de base :
TMS2/1(E) exprime quelle quantité de monnaie le
consommateur doit céder, à la marge, pour
acquérir une unité supplémentaire de bien 1 en
restant à niveau d’utilité inchangé
!
C’est la mesure monétaire de l’utilité que
l’agent attache à l’acquisition de la q1-ème unité
q2’
x
x
)
,q 2
q1
U(
Rigoureusement, cette valeur exprime le prix
maximal pR(q1) que l’agent est prêt à payer
pour acquérir la q1-ème unité de bien 1, quand
la quantité de monnaie dont il dispose est q2
bien 2
L’idée à l’origine de la notion de surplus peut être illustrée simplement à l’aide des
concepts déjà connus : soit une économie à deux biens 1 et 2, où 2 est la monnaie
q2
E
x
TMS2/1(E)
O
q1
bien 1
42
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
PRÉSENTATION
B DÉFINITION
• Le problème et son contournement :
Le problème vient de ce que la monnaie est un bien comme un autre dans la mesure où
son utilité marginale est décroissante ; ainsi, en toute rigueur, pR(q1) est croissant de q2
Formellement :
dU =
∂U
∂U
∂U
∂U
⋅ dq1 +
⋅ dq 2 ; à niveau d’utilité constant, dU = 0 et donc
⋅ dq1 = −
⋅ dq 2
∂q 1
∂q 2
∂q 1
∂q 2
En supposant que l’utilité marginale de la monnaie est constante et normalisée à 1
 ∂U

= 1 , on obtient : ∂U ⋅ dq1 = − dq 2

∂q1
 ∂q 2

!
Alors la variation d’utilité liée à l’acquisition d’une unité d’un bien est exactement égale,
à la marge, à la quantité maximale de monnaie cédée en échange de cette unité ; c’est
le surplus brut qu’elle procure au consommateur, son prix de réservation pR(q1)
43
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
A LE SURPLUS DU CONSOMMATEUR
• Les deux interprétations de la fonction de demande :
Celle-ci peut être interprétée de deux façons :
– elle traduit le prix maximum qu’un consommateur est prêt à payer pour chaque unité d’un bien
– elle représente une population d’individus ayant
des demandes unitaires, classés selon leurs prix
de réservation décroissants
On définit d’abord deux surplus différentiels :
– surplus diff. brut = prix que le consommateur est
prêt à payer pour la q-ème unité du bien (pR)
– surplus diff. net = surplus diff. brut – prix
effectivement payé pour cette unité (pR – p)
prix
Les analyses en termes de surplus doivent donc être conduites dans le système d’axes
(prix, quantités) ; chez les consommateurs, elles conduisent à la fonction de demande
pR
p
O
D(p)
q
quantité
44
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
A LE SURPLUS DU CONSOMMATEUR
• Définition des surplus :
Dans un état où le consommateur achète q* unités
du bien au même prix p* :
!
Surplus brut :
q*
Σ C = ∫ p (q ) ⋅ dq
SC
0
q*
!
prix
On définit alors les surplus brut et net des consommateurs de façon intégrale
Surplus net : SC = ∫ [p (q ) − p * ] ⋅ dq = Σ C − p * ⋅q *
p*
0
O
D(p)
ΣC
q*
quantité
45
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
B LE SURPLUS DU PRODUCTEUR
• La fonction d’offre :
• Surplus diff. brut = prix p* auquel la q-ème
unité est vendue
• Surplus diff. net = Surplus diff. brut - coût de
cette q-ème unité, soit p* – Cm(q)
coûts
Elle représente l’offre du producteur dans le système d’axes (coûts, quantités) ; c’est
donc sa courbe de coût marginal
Cm
p*
Profit
!
• Surplus brut = recette = p* x q*
• Surplus net :
q*
CT
CT SP = ∫ [p * −C m (q )] ⋅ dq + CF
0
LT
Cm(q)
SPLT
Recette
q*
= ∫ [p * −C m (q )] ⋅ dq = Π ( q * )
0
O
q
q*
quantité
46
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
C LE SURPLUS GLOBAL
• Définition :
!
Le surplus différentiel net global associé à la
production de la q-ème unité vaut :
sG(q) = ( p(q) – p* ) + ( p* – Cm(q) ) = p(q) – Cm(q)
Au point (q*, p*), le surplus net global vaut :
q*
[
]
SG ( q * ) = ∫ p (q ) − Cm (q ) ⋅ dq
0
prix
coûts
Le surplus global est la somme des surplus de chaque catégorie d’agent de l’économie
p(q)
p*
Il est représenté par l’aire hachurée comprise Cm(q)
entre la courbe de demande et la courbe d’offre
Autre appellation :
Bénéfice Social Net
abrégé BSN
O
Cm
SG
D(p)
q*
quantité
47
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
C LE SURPLUS GLOBAL
• Équilibre concurrentiel offre / demande :
!
L’équilibre peut-il s’établir en M = (q, p) ?
– la production d’une unité supplémentaire en M
coûte Cm(q) au producteur
– elle rapporte un surplus p(q) au consommateur
prix
coûts
Offre et demande sont confrontées ; où s’établit l’équilibre concurrentiel (= agents
preneurs de prix) ? On fait une analyse marginale en termes de surplus
p(q)
On a p(q) > Cm(q) donc tout prix d’échange comp
pris entre ces deux valeurs satisfait le producp*
teur et le consommateur ; chaque partie peut faire
des gains en M, qui n’est donc pas un équilibre Cm(q)
Le seul couple (q,p) qui constitue un équilibre est
l’intersection des fonctos d’offre et de demande C
Cm
O
M
C
D(p)
q
q*
quantité
48
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
C LE SURPLUS GLOBAL
• Équilibre concurrentiel et surplus global :
prix
coûts
!
On montre, à l’aide d’une analyse à la marge, que l’équilibre concurrentiel d’un marché
conduit au surplus global maximum ; en (q*, p*) :
– si on produit une unité en moins à la marge, on
a pour cette unité p(q) > Cm(q) ; on perd donc le
surplus positif p(q) – Cm(q), et le surplus global
diminue
– si on produit une unité en plus à la marge, on a
pour cette unité p(q) < Cm(q) ; on engendre donc Cp(q)
m(q)
p*
le surplus négatif p(q) – Cm(q), et le surplus
Cp(q)
m(q)
global diminue
L’équilibre concurrentiel (q*, p*) est donc le maximum de surplus global
O
Cm
D(p)
q-dq q* q+dq
quantité
49
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
C LE SURPLUS GLOBAL
• Équilibre concurrentiel et optimum de Pareto :
!
On montre aussi, toujours à l’aide d’une analyse à la marge, que l’équilibre
concurrentiel d’un marché est un optimum de Pareto ; en (q*, p*) :
prix
coûts
– si on produit une unité en moins à la marge
(p(q) > Cm(q)) alors l’échange au prix p* avec
Cm(q) < p* < p(q) permet à chaque partie d’améliorer son surplus ; revenir en (q*,p*) est donc
Pareto-améliorant
– si on produit une unité en plus à la marge
(p(q) < Cm(q)) alors l’échange au prix p* fait Cp(q)
m(q)
p*
perdre du surplus au producteur (Cm(q) > p*) et
m(q)
au consommateur (p* > p(q)) ; cette transforma- Cp(q)
tion est donc Pareto-détériorante
L’équilibre concurrentiel (q*, p*) est donc un optimum de Pareto
O
Cm
D(p)
q-dq q* q+dq
quantité
50
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
DÉVELOPPEMENTS
C LE SURPLUS GLOBAL
• Corollaire :
!
Sur un marché, l’équilibre concurrentiel (offre = demande avec agents preneurs de
prix) est un optimum de Pareto et le surplus global y est maximum
Le partage du surplus global entre producteurs et consommateurs est réalisé à travers
le prix d’équilibre concurrentiel p*
51
ANNEXE
INTRODUCTION À
À
LA
LA NOTION
NOTION DE
DE SURPLUS
SURPLUS
CONCLUSION
• Portées et limites de la notion de surplus :
Au niveau purement théorique, la notion de surplus est critiquable ; elle repose
entièrement sur l’hypothèse héroïque d’utilité marginale de la monnaie constante
La notion de surplus est néanmoins intéressante pour l’économie appliquée :
– elle définit une autre mesure du bien-être social,
– à l’instar de la F.U.C., elle prescrit un optimum et un seul (l’équilibre concurrentiel),
– au niveau opérationnel, elle permet d’estimer facilement les richesses générées sur
un marché ou par un projet public
52

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