Polynômes du second degré - algorithme pour déterminer les

Première S2
TP Info : Polynômes du second degré
2010-2011
Algorithme pour déterminer les solutions d'une équation du second degré
On se propose d'écrire un algorithme permettant de déterminer des valeurs
approchées des solutions (éventuelles) d'une équation du second degré et
d'implémenter cet algorithme avec AlgoBox ou sur une calculatrice scientifique.
On considère le polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c.
On se propose de résoudre l'équation P(x) = 0
1) Ecriture de l'algorithme
a) Quels sont les paramètres en entrée de l'algorithme ?
b) A l'aide de quelle structure algorithmique, peut-on traiter la discussion sur le
de nombre de solutions de l'équation ?
c) Proposer un algorithme répondant au problème posé.
2) Implémentation sous AlgoBox
a) Implémenter l'algorithme proposé à l'aide d'AlgoBox
b) Le tester pour résoudre les équations suivantes :
• 3x² + 9x - 30 = 0
• x² + 3x - 2 = 0
• 3x² + x + 2 = 0
• 49x² - 14x + 1 =0
Quelle est la différence pour les solutions obtenues pour la première équation
par rapport à celles de la deuxième équation ou la quatrième équation ?
c) Donner les solutions réelles exactes des équations ayant des solutions.
3) Implémentation de l'algorithme sur une calculatrice graphique
a) Implémenter l'algorithme sur une calculatrice programmable.
b) Tester le programme avec les mêmes équations que dans la question 2) b).
4) Comparaison avec un logiciel de calcul formel
Résoudre les équations précédentes à l'aide du logiciel XCas et de la commande
resoudre et expliquer les différences obtenues avec AlgoBox ou la calculatrice.
4) Prolongement possible
Expliquer comment adapter l'algorithme précédent pour déterminer les valeurs
exactes d'une équation de la forme ax² + bx + c = 0 dans le cas où a, b et c sont
des entiers.
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Algorithme pour déterminer les solutions d'une équation du second degré
CORRECTION
1) a) Les paramètres en entrée de l'algorithme sont les trois coefficients a, b et c.
b) Le nombre de solutions de l'équation du second degré dépend du signe du
discriminant.
On détermine le nombre de solutions de l'équation à l'aide d'une structure :
"Si …. alors …. Sinon ….. finSi"
c) Début algorithme équation second degré
Données :
a, b ,c : paramètres
delta : discriminant de l'équation
x1,x2 : les solutions éventuelles de l'équation
Traitement
Lire a,b,c
delta = b*b - 4*a*c
Si delta < 0 alors
afficher "Pas de solution"
sinon
Si delta = 0 alors
x1 prend la valeur -b/2/a
Afficher "une solution double : " + x1
sinon
x1 prend la valeur (-b - racine(delta))/2/a
x2 prend la valeur (-b + racine(delta))/2/a
Afficher "deux solutions distinctes " + x1 + " et " + x2
finsi
finsi
fin algorithme
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Algorithme pour déterminer les solutions d'une équation du second degré
CORRECTION
2) a)
resolution_equation_second_degre
-
08.08.2010
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Algorithme qui résout (en donnant des valeurs approchées des
solutions éventuelles) une équation du second degré de la forme ax²
+ bx + c = 0 où a, b et c sont des coefficients réels.
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VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
c EST_DU_TYPE NOMBRE
delta EST_DU_TYPE NOMBRE
x1 EST_DU_TYPE NOMBRE
x2 EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
LIRE c
delta PREND_LA_VALEUR b*b-4*a*c
SI (delta<0) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER "Pas de solution"
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
SI (delta==0) ALORS
DEBUT_SI
x1 PREND_LA_VALEUR -b/2/a
AFFICHER "Une solution réelle double : "
AFFICHER x1
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
x1 PREND_LA_VALEUR (-b - sqrt(delta))/2/a
x2 PREND_LA_VALEUR (-b + sqrt(delta))/2/a
AFFICHER "Deux solutions réelles : "
AFFICHER x1
AFFICHER " et "
AFFICHER x2
FIN_SINON
FIN_SINON
FIN_ALGORITHME
b)
• 3x² + 9x - 30 = 0
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CORRECTION
• x² + 3x - 2 = 0
• 3x² + x + 2 = 0
• 49x² - 14x + 1 =0
Les solutions données par AlgoBox pour l'équation 1 sont des solutions exactes tandis
que pour les équations 2 et 4 ce sont des valeurs approchées des solutions exactes.
c)
Pour l'équation 2 : x² + 3x - 2 = 0
∆ = 3² - 4×1×(-2) = 17
Les deux solutions réelles sont :
-3 - 17
-3 + 17
≈ -3,56 et
≈ 0,56.
2
2
Pour l'équation 4 : 49x² - 14x + 1 = 0
∆ = (-14)² - 4×49 = 0
Une solution réelle double :
14
1
= ≈ 0,14
2×49 7
4
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CORRECTION
3) Programme pour calculatrices TI* :
:Input A
:Input B
:Input C
:B*B -4*A*C D
:If D < 0
:Then
:Disp "Pas de solution reelle"
:Else
:If D = 0
:Then
:-B/2/A X
:Disp "Une solution reelle double : ",X
:Else
:(-B -
D)/2/A X
:(-B +
D)/2/A Y
:Disp "Deux solutions reelles : ",X,Y
:End
:End
4) Avec Xcas :
XCas fournit les valeurs exactes des solutions.
C'est pour cela que l'on dit que c'est un logiciel de calcul formel.
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CORRECTION
4) Il faudrait implémenter la simplification des racines carrées (par exemple à partir
de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers) ainsi que la
simplification des fractions en fraction irréductible (à partir du calcul du PGCD par
exemple).
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