Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 1 Les

Représentation et analyse
des systèmes linéaires
PC 1
Les modèles graphiques
Les modèles graphiques
2
▼ Définition 1 :
Représentation figurée d’un ensemble d’équations différentielles (dans le domaine temporel
ou fréquentiel) constituée par une interconnexion de symboles élémentaires (représentant des
opérations mathématiques de base) telle que le modèle graphique global obéit au modèle
mathématique du système
y
u
...
ẋ(t)
=
Ax(t) + Bu(t)
y(t)
=
Cx(t) + Du(t)
Y (p) = F (p)U (p)
- Les schémas fonctionnels (block diagrams)
- les graphes de fluence (signal-flow graphs)
- les bond graphs (bond graphs)
G7
u
+ −
G1
G2
G3
+
−
G4
+ y
G6 +
G5
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Les schémas fonctionnels
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Amortissement actif du mouvement de nutation d’un satellite artificiel
~y
R
O v
m
θ
~
H
n
Ω
M
N
~z
vm N
RIw
−
+
Ω̇
−
1
s
Ω
Iw
n
Iz
+
+
Iw
Iz
ω̇y 1
s
N2
RIw
ωy
Iz − Ix
Iz
−
−
ω̇z
1
s
ωz
Iz − Ix
Iz
~x
♥ Propriétés 1 :
-
Décomposition d’un système complexe en composants élémentaires
Décrire les interrelations entre composants élémentaires
Indiquer graphiquement de manière réaliste les fluxs de signaux
Information sur la structure interne du système
Très adaptés aux modèles décrits dans le domaine fréquentiel (opérations
algébriques)
- Résolution des équations par simplification graphique
- Décrire graphiquement les relations cause-effet internes à un système complexe
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Les schémas fonctionnels
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PSfrag
- Arcs orientés :
U (p) ou u(t)
- Blocs fonctionnels :
U (p)
F (p) =
K
p+1
Y (p)
u(t)
A(t)
y(t)
- Blocs sommateurs :
c
a
+
a−b+c
+
−
b
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Schémas fonctionnels et modèles externes
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Principe de construction :
1- Ecrire les équations de la physique associées à chaque élément constituant le système
2- Appliquer la transformée de Laplace
3- Calculer la fonction de transfert associée à chaque élément en supposant les conditions
initiales nulles
4- Identifier les relations inter-signaux et les relations signaux-blocs
5- Tracer le schéma fonctionnel
Exemple : circuit électrique
E(p) +
i(t)
−
R
e(t)
1
R
I(p)
I(p)
1
Cp
S(p)
S(p)
C
s(t)
E(p) +
−
S(p)
1
R
I(p)
1
Cp
S(p)
e(t) − s(t) = Ri(t)
Z t
1
s(t) =
i(τ )dτ
C 0
VR (p) = E(p) − S(p) = RI(p)
1
I(p)
S(p) =
Cp
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Moteur électrique à courant continu
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Stator (inducteur)
Pôles inducteurs
F
N
I
S
Loi de Laplace :
L’action d’un champ magnétique sur un
conducteur traversé par un courant i produit une force
B
~ = i.dl
~ ∧B
~
df
F
Rotor (induit)
- Couple élevé, large contrôle en vitesse, portabilité, bonnes caractéristiques
couple-vitesse
- Actionneur : robotique, tête de lecture, servovalves, machines outils
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Modélisation du moteur à courant continu
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(p)
Moteur commandé par le courant inducteur :
La
Rf
+
Vf (p)
−
ia
Equations électriques :
Φ = Kf if (t)
ω, θ
Lf
Ra
f
J
Charge
if
Armature
Modèle physique idéal
dif (t)
Vf = Rf if (t) + Lf
dt
Equation électro − mécanique :
Tm = K1 Φia (t) = K1 Kf if (t)ia (t) = Km if (t)
Equations mécaniques :
Tm = Td + TL
dθ
d2 θ
TL = J 2 + f
dt
dt
Modèle mathématique idéal
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Schéma fonctionnel d’un moteur à courant continu
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Td (p)
−
Vf (p)
1
Rf + Lf p
If (p)
Km
Tm (p)
+
TL (p)
1
f + Jp
ω(p)
Tm (p) = Km If (p)
TL (p) = Tm (p) − Td (p)
TL (p) = (Jp2 + f p)θ(p)
Vf (p) = (Rf + Lf p)If (p)
1
p
θ(p)
Km
Km /f Rf
θ(p)
=
=
Vf (p)
p(Jp + f )(Lf p + Rf )
p(τf p + 1)(τL p + 1)
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Boucle ouverte et boucle fermée
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▼ Définition 2 : F.T. en B.O.
La fonction de transfert en boucle ouverte ou gain de boucle
Chaı̂ne directe
ǫ(p)
E(p) +
est :
Y (p)
= G(p)H(p)
E(p)
Y
G(p)
S(p)
−
A
H(p)
Chaı̂ne de retour
▼ Définition 3 : F.T. en B.F.
La fonction de transfert en boucle fermée est :
S(p)
G(p)
=
E(p)
1 + G(p)H(p)
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Règles d’algèbre
+
E(p)
S(p)
E
S(p)
ǫ(p)
G(p)
S(p)
G(p)
B.O.
=
=
E(p)
1 + G(p)
1 + B.O.
−
+
10
G1
−
S
E
1
G2
+
−
G1
G2
S
G2
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Réduction d’un schéma fonctionnel : exemple
H2
+
E +
G1
H2
G1
−
+
G2
G3
−
E +
S
+
+
−
+
−
G1
−
S
G3
H1
H2
G1
E +
G1G2G3
1 − G1G2 H1 + G2 G3H2
−
+
G2
+
H1
E +
11
G1 G2
1 − G1 G2 H1
E
G3
−
S
G1G2G3
S
S
1 − G1G2 H1 + G2 G3H2 + G1 G2G3
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Schémas fonctionnels et modèle d’état
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- Equations d’état :
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
- Schéma fonctionnel :
ẋ(t)
u(t)
B(t)
+
Z
+
x(t)
y(t)
C(t)
+
+
A(t)
D(t)
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Schéma fonctionnel et modèle d’état LTI : exemple
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Equations d’état :

ẋ1


0
1

 
 ẋ2  =  0

 
ẋ3
−18
y=
h
1
0
0
i
0
−27
0

x1


0

u(t)+

 





1   x2  +  0 
u
−10
x3
1
x3 (t)
Z
x2 (t)
Z
Z
x1 (t) = y(t)
−− −
10
27
18
x
Correcteur LQG :
ν, w
K LQG
ẋK = (A + BKr − Kf C)xK + Kf y
z
G
u
Kf
B
+ +
+
u = Kr xK
y
Z
C
A
LQR
Kr
+
−
Filtre de Kalman
x̂
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