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SYSTEMES D’EQUATIONS
1. PREMIER EXEMPLE, RESOLUTION PAR SUBSTITUTION
Problème : Jean élève des canards et des lapins. On compte en tout, parmi ses
animaux, 153 têtes et 390 pattes.
a. Peut-il y avoir 90 canards et 63 lapins ?
Nombre de têtes : 90 + 63 = 153.
Nombre de pattes : 90 × 2 + 63 × 4 = 180 + 252 = 432.
Il n’y a pas 90 canards et 63 lapins.
b. Quels sont le nombre de canards et le nombre de lapins ?
Ici, on cherche deux choses, il faut donc deux inconnues :
x désigne le nombre de canards et y le nombre de lapins.
Il y a 153 têtes : x + y = 153
Il y a 390 pattes : 2x+ 4y = 390
 x  y  153
est un système de 2 équations à deux inconnues.

2 x  4 y  390
RESOLUTION PAR SUBSTITUTION
La première équation s’écrit : x = 153 – y.
On remplace x par 153 – y dans l’autre équation :
2(153 – y) + 4y = 390
306 – 2y + 4y = 390
On se ramène à une équation
306 + 2y = 390
à une seule inconnue.
306 + 2y – 306 = 390 – 306
2y
= 84
2y
84
=
2
2
y
= 42
On remplace y par 42 dans la 1ère équation :
x = 153 – 42
x = 111
Le couple (111 ; 42) est la solution du système.
Jean possède 111 canards et 42 lapins.
Attention à l’ordre ! x d’abord, y
ensuite : (111 ; 42) ≠ (42 ; 111)
2. DEUXIEME EXEMPLE, RESOLUTION PAR COMBINAISON
Problème : Chez le fleuriste, un bouquet composé de 4 roses et 7 tulipes coûte 21,20 €,
un bouquet composé de 6 roses et 5 tulipes coûte 23 €. Quel est le prix d’un bouquet de
5 roses et de 6 tulipes ?
Il faut trouver le prix d’une rose et d’une tulipe.
x désigne le prix d’une rose et y le prix d’une tulipe.
Bouquet n°1 : 4x + 7y = 21,20
Bouquet n°2 : 6x + 5y = 23
RESOLUTION PAR COMBINAISON
4 x  7 y  21,20 (1)

( 2)
6 x  5 y  23
On multiplie chaque membre de l’équation (1) par 3 et de l’équation (2) par (– 2) :
12 x  21y  63,60
On s’arrange pour avoir des coefficients opposés


12
x

10
y


46

pour les termes en x (ou les termes en y).
On additionne membre à membre les deux équations :
11y = 17,60
11y
17,60
=
11
11
y = 1,60
On remplace y par 1,60 dans l’équation (1) :
4x + 7 × 1,60 = 21,20
4x + 11,20
= 21,20
4x + 11,20 – 11,20 = 21,20 – 11,20
4x
= 10
4x
10
=
4
4
x
= 2,50
Le couple (2,50 ; 1,60) est la solution du système.
Une rose coûte 2,50 € et une tulipe coûte 1,60 €.
5 × 2,50 + 6 × 1,60 = 12,50 + 9,60 = 22,10
Le troisième bouquet coûte 22,10 €.
Remarque : Dans ce cas précis, on aurait pu constater que :
bouquet n°1 + bouquet n°2 = 2 × bouquet n°3
En effet : 4 roses + 7 tulipes + 6 roses + 5 tulipes = 10 roses + 12 tulipes
= 2 × (5 roses + 6 tulipes)
Le bouquet n°3 coûte donc
bouquet 1  bouquet 2 21,20  23 44,20


 22,10 €
2
2
2