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SYSTEMES D’EQUATIONS 1. PREMIER EXEMPLE, RESOLUTION PAR SUBSTITUTION Problème : Jean élève des canards et des lapins. On compte en tout, parmi ses animaux, 153 têtes et 390 pattes. a. Peut-il y avoir 90 canards et 63 lapins ? Nombre de têtes : 90 + 63 = 153. Nombre de pattes : 90 × 2 + 63 × 4 = 180 + 252 = 432. Il n’y a pas 90 canards et 63 lapins. b. Quels sont le nombre de canards et le nombre de lapins ? Ici, on cherche deux choses, il faut donc deux inconnues : x désigne le nombre de canards et y le nombre de lapins. Il y a 153 têtes : x + y = 153 Il y a 390 pattes : 2x+ 4y = 390 x y 153 est un système de 2 équations à deux inconnues. 2 x 4 y 390 RESOLUTION PAR SUBSTITUTION La première équation s’écrit : x = 153 – y. On remplace x par 153 – y dans l’autre équation : 2(153 – y) + 4y = 390 306 – 2y + 4y = 390 On se ramène à une équation 306 + 2y = 390 à une seule inconnue. 306 + 2y – 306 = 390 – 306 2y = 84 2y 84 = 2 2 y = 42 On remplace y par 42 dans la 1ère équation : x = 153 – 42 x = 111 Le couple (111 ; 42) est la solution du système. Jean possède 111 canards et 42 lapins. Attention à l’ordre ! x d’abord, y ensuite : (111 ; 42) ≠ (42 ; 111) 2. DEUXIEME EXEMPLE, RESOLUTION PAR COMBINAISON Problème : Chez le fleuriste, un bouquet composé de 4 roses et 7 tulipes coûte 21,20 €, un bouquet composé de 6 roses et 5 tulipes coûte 23 €. Quel est le prix d’un bouquet de 5 roses et de 6 tulipes ? Il faut trouver le prix d’une rose et d’une tulipe. x désigne le prix d’une rose et y le prix d’une tulipe. Bouquet n°1 : 4x + 7y = 21,20 Bouquet n°2 : 6x + 5y = 23 RESOLUTION PAR COMBINAISON 4 x 7 y 21,20 (1) ( 2) 6 x 5 y 23 On multiplie chaque membre de l’équation (1) par 3 et de l’équation (2) par (– 2) : 12 x 21y 63,60 On s’arrange pour avoir des coefficients opposés 12 x 10 y 46 pour les termes en x (ou les termes en y). On additionne membre à membre les deux équations : 11y = 17,60 11y 17,60 = 11 11 y = 1,60 On remplace y par 1,60 dans l’équation (1) : 4x + 7 × 1,60 = 21,20 4x + 11,20 = 21,20 4x + 11,20 – 11,20 = 21,20 – 11,20 4x = 10 4x 10 = 4 4 x = 2,50 Le couple (2,50 ; 1,60) est la solution du système. Une rose coûte 2,50 € et une tulipe coûte 1,60 €. 5 × 2,50 + 6 × 1,60 = 12,50 + 9,60 = 22,10 Le troisième bouquet coûte 22,10 €. Remarque : Dans ce cas précis, on aurait pu constater que : bouquet n°1 + bouquet n°2 = 2 × bouquet n°3 En effet : 4 roses + 7 tulipes + 6 roses + 5 tulipes = 10 roses + 12 tulipes = 2 × (5 roses + 6 tulipes) Le bouquet n°3 coûte donc bouquet 1 bouquet 2 21,20 23 44,20 22,10 € 2 2 2