Mod`ele VAR Structurel

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Mod`ele VAR Structurel
Modèle VAR Structurel∗
Adelphine Kabedi Kabengele†
Jean-Paul K. Tsasa‡
Janvier 02, 2017
LAREQ One Pager, Vol. 11, No. 001, 96–106
Abstract
The purpose of this note is twofold. First, we briefly explain a structural VAR model (S-VAR). Then we
illustrate, step by step, how short- and long-run restrictions can be imposed in a S-VAR model.
Keywords : Structural VAR, restrictions
Résumé
Cette série de papiers montre, étape par étape, comment un modèle VAR structurel (S-VAR) peut être
caractérisé et implémenté sur MatLab. La partie I s’attèle sur sa caractérisation, en illustrant notamment comment les restrictions de court et de long termes peuvent être imposées, et la partie II sur
son implémentation sur MatLab. Ce document peut servir de guide pour les chercheurs, enseignants et
étudiants intéressés à l’estimation des modèles vectoriels. Dans cette série, cette dernière assertion inclue
particulièrement les modèles VAR, mais aussi les modèles RBC et les modèles d’équilibre général dynamique stochastique (DSGE) exprimés sous forme d’espace-état.
Mots-clés : VAR structurel, restrictions
1
Introduction
Dans l’analyse macroéconomique moderne, les modèles VAR sont largement utilisés notamment pour
(i) tester les théories économiques, par exemple quelles sont les implications macroéconomiques du choc
technologique dans un modèle RBC versus dans un modèle DSGE Néo-Keynésien ? (ii) Estimer les effets
causaux, par exemple comment les chocs monétaires affectent le produit global ? (iii) Identifier les sources
des fluctuations, e.g. la volatilité cyclique est-elle l’effet du hasard ou d’un choc de politique ?
Le terme VAR signifie Vecteur Auto-Regressif. En effet, dans un papier publié au début des années
1980, Sims critique les modèles macroéconométriques traditionnels de type Keynésien sur trois points
essentiels : (i) Restriction a priori (Sims, 1980, p. 2) ; (ii) Structure causale arbitraire (Sims, 1980, p. 4) ;
(iii) Traitement inadéquat des anticipations (Sims, 1980, p. 6).
Comme alternative, Sims (1980, p. 15) propose, d’une part, de considérer désormais toutes les variables
comme endogènes “a priori” et, d’autre part, de procéder à la modélisation sans imposer une connaissance
∗
Document rédigé dans le cadre des ateliers LAREQ sur l’estimation économétrique des modèles vectoriels.
Nous remercions Marius Achi et Boboy Y. Togba pour les commentaires et observations portés à la version
préliminaire de cette note.
†
Aspirante-chercheure au LAREQ. E-mail : [email protected] ; [email protected]
‡
Chercheur au LAREQ. E-mail : [email protected]
96
théorique “a priori”. Dans sa stratégie, les seules restrictions sur la structure du modèle sont (i) le choix
des variables à considérer et (ii) le nombre optimal de retards à sélectionner. Il s’agit, ici, du modèle VAR
non restreint, VAR non identifié, ou simplement d’un modèle VAR.
Cooley and LeRoy (1985) notent que les VAR sont des modèles de “formes réduites”, et donc ne sont
que des vecteurs permettant de résumer les propriétés dynamiques des données. Sans référence à une
structure économique spécifique, ces modèles de forme réduite sont difficiles à comprendre. D’où, la
pertinence d’imposer des restrictions sur la structure de ce modèle.
Dans la littérature, de nombreuses études antérieures sur les modèles VAR ont négligé cette exigence et
se sont appuyées sur des hypothèses ad hoc pour l’identification qui n’avaient aucun sens économique.
Ces modèles atypiques ont suscité de vives critiques, stimulant le développement de modèles VAR plus
explicitement structurants à partir de 1986. Par exemple, Sims (1986), Bernanke (1986) et Shapiro and
Watson (1988) estiment qu’au lieu d’identifier les coefficients autorégressifs du VAR, on peut se concentrer
sur l’identification des innovations du système, qui peuvent être interprétées comme des combinaisons
linéaires des chocs exogènes 1 .
Dans ce cas, on parle de modèle VAR structurel (S-VAR) ou de modèle VAR identifié 2 . La signification
d’un modèle structurel en économétrie a été originellement expliquée par Hurwicz (1966). En effet, d’après
l’auteur, un modèle est structurel s’il permet de prédire l’effet des décisions politiques délibérées ou de
tout autre changement, de type connu, survenu dans l’économie ou dans la nature. Pour faire une telle
prédiction, la structure du modèle doit préciser le mécanisme par lequel ces changements affectent les
composantes du modèle, notamment les paramètres, les équations et les variables aléatoires observables
ou non observables.
En général, les modèles S-VAR ont quatre applications principales. Premièrement, ils sont utilisés pour
étudier la réponse des variables du modèle à un choc structurel donné. Deuxièmement, les modèles SVAR permettent de quantifier la contribution moyenne d’un choc structurel donné à la variabilité des
données, en calculant les décompositions de variance d’erreur de prévision. Troisièmement, les modèles
S-VAR sont également utilisés pour fournir des décompositions historiques permettant de mesurer la
contribution cumulative de chaque choc structurel à l’évolution de chaque variable dans le temps 3 . Enfin,
les modèles S-VAR permettent de construire des scénarii de prévision conditionnels à des séquences
hypothétiques de chocs structurels futurs.
Dans la pratique, l’interprétation structurelle d’un modèle VAR nécessite des hypothèses d’identification
supplémentaires qui doivent être motivées en fonction des connaissances institutionnelles, de la théorie
économique ou d’autres contraintes externes sur les réponses du modèle. Dans ce papier, nous allons
expliquer comment les restrictions permettant de mettre en oeuvre ces hypothèses d’identification peuvent
être mises en oeuvre.
Le reste de la note s’organise comme suit. La section 2 introduit le modèle VAR. La section 3 explique
comment les restrictions peuvent être imposées. Finalement, la section section 4 conclut.
2
Modèle
Un modèle VAR traite les séries temporelles vectorielles symétriquement de sorte que chacune d’elles est
expliquée par ses propres valeurs passées et par les valeurs passées des autres variables (Hamilton, 1994;
Lütkepohl, 2005). Précisons, ici, ce qu’on entend par séries temporelles vectorielles.
Soit un espace probabilisé (Ω, F, P r), où Ω est un espace des événements élémentaires ou espace des
observables F une σ-algèbre sur Ω et P r une mesure de probabilité 4 . Un processus stochastique à temps
discret est une fonction à valeur réelle telle que :
y : Z × Ω → R,
(1)
1. Dans les premières applications de Sargent (1978) et Sims (1980), les innovations du VAR étaient orthogonalisées à l’aide d’une décomposition de Cholesky de la matrice de covariance.
2. Voir l’appendice D pour une brève discussion entre le VAR et S-VAR
3. La décomposition historique est essentielle, par exemple, pour comprendre la genèse des récessions.
4. Voir Tsasa (2012).
97
pour chaque instant t ∈ Z, avec y(t, ω) une variable aléatoire et Z un ensemble d’indices (naturel ou
relatif) qui représente le temps. Ensuite, un processus stochastique à temps discret de dimension K est
une fonction à valeur réelle telle que :
y : Z × Ω → Rk ,
(2)
pour chaque instant t ∈ Z, avec y(t, ω) un vecteur aléatoire de dimension k. Une réalisation est une
séquence de vecteurs yt (ω), t ∈ Z, étant donné ω telle que :
y : Z → Rk .
(3)
Étant donné une telle réalisation, le processus stochastique sous-jacent est appelé processus de générateur
des données (voir discussion en Appendice A). Par ailleurs, on peut définir une série temporelle vectorielle
comme une réalisation finie. De ce fait, une représentation VAR avec p peut donc s’écrire comme :
A(L)Yt = εt
(4)
où A(L) est un polynôme de retards, et εt un vecteur d’erreurs (innovations) tel que εt ∼ i.i.d N (0, Σε ).
Après manipulations, il est possible d’exprimer un modèle VAR sous forme d’une représentation moyenne
mobile d’ordre infini, M A(∞). Pour ce faire, il suffit d’inverser le processus (4) ci-dessous 5 . D’où :
Yt = C(L)εt
(5)
Les hypothèses suivantes sous-tendent la représentation VAR telle que formulée dans (4) : (i) la linéarité ;
(ii) la stationnarité (pas de changement de régime ou de rupture structurelle) ; (iii) l’ordre p est fini étant
donné la contrainte imposée par la disponibilité des observations ; (iv) les erreurs de prévision couvrent
l’espace des chocs structurels.
Il est possible de relâcher les hypothèses (i–iii) selon le cas sous étude. Par exemple, l’hypothèse (ii) rend
la représentation (4) vulnérable à la critique de Lucas (1976), L’hypothèse (iv) est essentiellement une
restriction d’ordre économique
3
Restrictions
Le modèle VAR peut être estimé en appliquant les moindres carrés ordinaires, ce qui permet d’obtenir
les résidus et , avec une matrice de variance-covariance Eet et = Σe symétrique et semi-définie positive de
format k × k, avec k(k + 1)/2 paramètres uniques.
Considérons une matrice D telle que :
Dut = et
(6)
où les termes de ut sont orthogonaux, c’est-à-dire Eut uT
t = It , sériellement non corrélés, et peuvent être
interprétées comme des chocs “structurels”. Au regard de la transformation linéaire décrite dans (6),
identifier les chocs structurels ut pré-suppose que la matrice D est inversible. Puisque les termes de ut
sont orthogonaux et que Eut uT
t = It , il suit que :
DDT = Σe ,
(7)
et donc D est une matrice de format k × k avec k 2 paramètres libres. Nous aurons donc besoin n#
restrictions pour procéder à l’identification. Soit :
n# =
k
(k − 1)
2
(8)
De manière générale, les économistes distinguent deux types de restrictions, d’une part, celles de court
terme (Sims, 1980) et, d’autre part, celles de long terme (Blanchard and Quah, 1989) 6 .
5. Voir les détails dans les appendices B et C
6. Voir aussi King et al. (1991) et Gali (1999) qui respectivement imposent des restriction de long terme pour
identifier, d’une part, la neutralité monétaire à long terme et, d’autre part, l’effet permanent du choc technologique
sur la productivité.
98
Restrictions de court terme. Considérons un type spécifique de restrictions de court terme,
consistant à ordonner les variables dans le VAR suivant leur vitesse de réaction en réponse aux différents
chocs. 7 Pour illustrer cette stratégie, nous retenons trois variables économiques dans le vecteur Yt : le
prix pt , la production yt et la monnaie mt . Supposons qu’en appliquant les moindres carrés ordinaires,
chacune de ces variables admet respectivement ep,t , ey,t et em,t comme résidus.
À présent, cherchons à identifier une matrice D qui nous aiderait à trouver les chocs structurels correspondant, respectivement, up,t , uy,t et um,t . Économiquement parlant, up,t correspondrait à un choc sur
les prix, uy,t à un choc d’offre et um,t à un choc monétaire. Considérant l’expression (6), on a que :

 


ep,t
d11 d12 d13
up,t
 ey,t  =  d21 d22 d23   uy,t 
(9)
em,t
d31 d32 d33
um,t
Si l’on considère que le choc monétaire ne peut influer sur la production qu’avec un décalage, cela signifie
la réponse instantanée de la production au choc monétaire est zéro. Par conséquent, l’expression (9)
devient :

 


ep,t
d11 d12 d13
up,t
 ey,t  =  d21 d22 0   uy,t 
(10)
em,t
d31 d32 d33
um,t
À présent, suivant la tradition Keynésienne, supposons que la réponse des prix à tous les autres chocs,
sauf au choc sur le prix, est lente (rigidités nominales), l’expression (9) devient :

 


ep,t
d11 0
0
up,t
 ey,t  =  d21 d22 0   uy,t 
(11)
em,t
d31 d32 d33
um,t
Le nombre de restrictions requises n# , cf. Equation (9), est bien 3. Ainsi, on peut procéder à l’identification. En règle général, cette stratégie implique que la matrice D sera toujours triangulaire 8 . Suivant
Sims (1980, 1981, 1986), on peut toujours estimer D en déterminant D par la décomposition de Cholesky
de Σe .
Price puzzle. Plusieurs papiers dans la littérature ont utilisé le modèle VAR pour identifier les
différents puzzles, dont parmi les plus connus est le puzzle de prix, voir Sims (1996). À l’effet d’illustrer
ce puzzle, nous pouvons considérer le modèle suivant :
Yt = (it , πt )T
(12)
où it est le taux d’intérêt et πt est l’inflation. Après Moindres carrés ordinaires, chacune de ces variables
admet respectivement ei,t et eπ,t comme résidus. Pour identifier la matrice D, une seule restriction est
requise. Sur base de la théorie économique, la restriction imposée est telle que :
ei,t
d11 0
ui,t
=
(13)
eπ,t
d21 d22
uπ,t
où ui,t et uπ,t peuvent être interprétés comme des chocs non anticipés, respectivement, sur le taux
d’intérêt (choc monétaire) et sur le taux d’inflation. En générant les fonction de réponses impulsionnelles,
il s’avérait généralement que la baisse du taux d’intérêt (choc monétaire positif) impliquait une baisse de
l’inflation plutôt qu’une hausse ; c’est-à-dire un résultat contraire à ce que tout économiste pense 9 .
7. Les effets des chocs dans un modèle VAR dépendent de la façon dont les variables sont disposées dans
le vecteur de séries temporelles Yt . En général, le choix d’un ordre différent des variables produit des chocs
différents. Pour tenir compte de cette difficulté, Sims (1981) a recommandé d’essayer différentes orthogonalisations
triangulaires afin de vérifier la robustesse des résultats à l’ordre des variables.
8. En effet, un système de dimension k requiert k(k − 1)/2 restrictions nécessaires pour orthogonaliser les
chocs car il existe k(k − 1)/2 covariances instantanées potentiellement différentes. Cette stratégie suppose que les
chocs peuvent affecter un sous-ensemble de variables directement dans la période courante, tandis qu’un autre
sous-ensemble de variables est affecté avec un décalage temporel. On parle dans ce cas d’identification triangulaire
ou récursive. Voir Sargent (1978) ; Sims (1980).
9. Voir Sims (1996), Balke and Emery (1994) et Giordani (2004) pour plus de détails.
99
Restrictions de long terme. La stratégie d’identification basée sur les restrictions de long terme
a été proposée par Blanchard and Quah (1989). Les auteurs considèrent un VAR avec deux variables, le
PIB (Yt ) et le chômage (ut ). La première est prise en différence première et la deuxième à niveau. Le
modèle s’écrit :
Yt =(∆yt , ut )T
=A1 Yt−1 + · · · + Ap Yt−p
∞
X
=
Cj et−j ,
(14)
j=0
où Cj est une matrice des coefficients. Le modèle admet deux chocs, un choc d’offre (ηs,t ) et un choc de
demande (ηd,t ). D’où :
es,t
d11 d12
ηs,t
=
(15)
ed,t
d21 d22
ηd,t
Combinant les équations (14) et (15), il suit que :
∆yt
ut
=
∞
X
C̃j
j=0
ηs,t−j
ηd,t−j
(16)
où C̃j = Cj D. Ensuite, Blanchard and Quah (1989) supposent que seuls les chocs d’offre peuvent avoir un
effet permanent (long terme) sur la production. En outre, les deux chocs n’ont que des effets temporaires
sur le chômage. C’est notamment cette dernière restriction qui implique que le modèle considère le
chômage comme une variable à niveau. Sans perte de généralité, considérons que :
#
"
(1)
C̃j
(17)
C̃j =
(2)
C̃j
Puisque :
∆yt = yt − yt−1 ⇒ yt =yt−1 + ∆yt
=yt−j +
j−1
X
(18)
δyt−i
i=0
Les réponses impulsionnelles de yt aux chocs [ηs,t−j ηd,t−j ]T sont telles que :
j
∂
∞
X (1)
X (1)
∂yt
=
c̃j
c̃j →
ηs,t−j
i=1
i=1
ηd,t−j
(19)
La restriction considérée dans ce cas est telle que :
∞
X
j11 0
c̃j =
j21 j22
(20)
i=1
où
∞
X
∞
X
c̃j =
i=1
!
Cj
D
(21)
i=1
=C(1)D
=[I2 − A(1)]−1 D
avec :
C(L) =
X
C j Lj
(22)
j
=[I − A(L)]
−1
100
et la régression VAR telle que
∆yt
A(L)∆yt−1
=
+ et
ut
ut−1
(23)
En effet, en estimant l’équation (14) par les moindres carrés, on obtient les estimations pour les coefficients
A1 , . . . Ap , ainsi que la variance Σe des résidus. Dès lors, on peut identifier la matrice D sachant que :

I2 −
p
X
−1
Aj 
j=1
D=
δ11
δ21
0
δ22
(24)
et DDT = Σe .
4
Discussions et Conclusion
Par ailleurs, plusieurs auteurs dans la littérature ont critiqué les restrictions de long terme telles que
présentées ici (Faust, 1997; Cooley and Dwyer, 1998; Chari et al., 2005). En effet, Faust (1997) et Pagan
and Robertson (1998) sont parmi les premiers travaux à critiquer la stratégie d’identification basée sur
des restrictions de long terme. Par exemple, ils estiment que l’effet à long terme est généralement mal
estimé dans les échantillons finis. Pour illustrer la critique de Faust (1997), supposons que nous avons
un processus AR(p). Ce dernier peut être estimé de façon consistante si et seulement si le vrai processus
est effectivement un AR(p). Par contre, si le processus AR(p), avec des coefficients autorégressifs Ã(L),
n’est qu’une approximation du vrai processus AR(∞), avec des coefficients autorégressifs A(L). Il est
possible d’estimer A(L) par Ã(L) en considérant que p → ∞ lentement. Dans ce cas, l’effet de long terme
est A(1)−1 , lequel n’est pas une fonction continue de A(L). Pour contourner ce problème, on peut soit
admettre que le vrai processus est effectivement AR(p), soit redéfinir “le long terme” comme une période
long, mais fini, par exemple 40 trimestres.
Gali (1999) a proposé une approche consistant à imposer des restrictions de long terme sur un VAR afin
d’identifier les effets d’un choc technologique dans un modèle de cycle. Considérant la même approche, Erceg et al. (2005) examinent la fiabilité d’une telle approche à l’aide de simulations Monte Carlo. De façon
plus générale, les auteurs montrent que les conditions dans lesquelles la méthodologie de Gali (1999) fonctionne bien semblent beaucoup plus restrictives, avec des lacunes impliquant notamment une incertitude
d’estimation considérable sur l’impact des chocs technologiques sur les variables macroéconomiques.
Cooley and Dwyer (1998) ont simulé des données en considérant un paramètre autorégressif très persistant
et, ensuite, ont estimé un VAR structurelle avec des restrictions de long terme. Ils ont montré que le
résultat peut être très trompeur, du fait que la présence d’une racine unitaire est source de discontinuité
pour les restrictions de long terme. Dans la même lignée, Chari et al. (2005) ont simulé des données d’un
modèle avec une représentation VAR(∞), afin d’examiner la fiabilité de l’inférence basée sur un modèle
VAR avec des restrictions d’identification à long terme. Ils trouvent que l’estimation d’une S-VAR avec
des restrictions de long terme de ce modèle donne des inférences trompeuses. En réponse à la critique de
Chari et al. (2005) adressée aux modèles S-VAR avec restrictions de long terme, Christiano et al. (2006)
ont montré que le modèle considéré par Chari et al. (2005) n’est pas empiriquement pertinent. En outre,
ils montrent qu’en utilisant un estimateur de type Newey-West pour estimer les réponses à long terme,
le S-VAR performe beaucoup mieux, même avec le modèle de considéré par Chari et al. (2005).
In fine, ce papier a montré, étape par étape, comment les restrictions de court et de long terme peuvent
être imposées dans un modèle S-VAR. Dans la partie II, il sera essentiellement question de montrer, étape
par étape, comment les modèles S-VAR peuvent être implémentés sur MatLab.
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Tsasa, J.P.K., 2012. Un regard plus attentif sur la mesure de probabilité en statistique et économétrie :
Espace probabilisable, mesure de probabilité et espace probabilisé. One Pager Laréq 4, 14–18. URL :
http://www.lareq.com/volume-4.ws.
Appendices
A
Débat sur la modélisation VAR
Cette section résume un débat qui a eu lieu entre Varadarajan V. Chari, Lawrence J. Christiano, Patrick
J. Kehoe, Ellen R. McGrattan, Edward C. Prescott et Christopher A. Sims sur le recours à l’approche
VAR dans les modèles macroéconomiques modernes. Ces débats houleux ressemblent à une vraie bataille.
— Se basant sur Chari, Kehoe and McGrattan (2005, 2008), Lawrence J. Christiano s’est montré
en désaccord avec le point de vue selon lequel la façon appropriée de mener la ligne de recherche
dans laquelle lui-même et ses coauteurs s’étaient engagés (Christiano, Eichenbaum and Vigfusson,
2006), était d’exécuter un VAR sur les données du modèle, puis d’exécuter le même VAR sur les
données de l’économie, et enfin comparer les deux. Il note qu’il était généralement favorable à cette
approche, mais il pensait que ce n’était pas l’approche appropriée pour le problème Chari et al.
(2005, 2008) étudiaient. Dans leur cas, ils essayaient d’évaluer dans quelle mesure un estimateur
VAR est capable d’inférer une caractéristique particulière d’un modèle, à savoir comment les
heures réagissent à un choc de productivité. Il estime que l’approche qu’ils utilisaient était la
méthode appropriée pours les questions en lien avec la théorie d’échantillonnage.
— Toutefois, Christiano admet que les conclusions de l’analyse VAR utilisant les données en différence
première pourraient être très trompeuses. Il a par ailleurs estimé que le fait que les modèles VAR
soient sensibles aux différences premières n’était pas une raison de les rejeter. Il a souligné que
beaucoup d’autres procédures statistiques, telles que les corrélations, sont également sensibles à
la différence première, mais cela n’a pas conduit les économistes à rejeter ces autres procédures.
103
— En outre, Christiano note qu’il était vrai que, dans le contexte des modèles RBC, les VAR que
Chari, Kehoe and McGrattan (2005, 2008) estiment avec des restrictions à long terme ont tendance
à produire des intervalles de confiance très larges. Il a dit que cela était dû au fait que l’incertitude d’échantillonnage est grande dans les données provenant des modèles RBC. En parallèle,
il a souligné que les VAR restent bons en ce sens qu’ils diront correctement au chercheur que
l’incertitude d’échantillonnage est importante et qu’il n’y a pas beaucoup d’informations dans les
données générées par le modèle RBC. Christiano a également souligné que les VAR fonctionnent
très bien avec des restrictions de court terme et que la littérature VAR qui repose sur des restrictions à court terme a eu un impact important sur la façon dont les macroéconomistes pensent les
cycles économiques.
— Par ailleurs Christiano et Christopher Sims se sont tous deux interrogé sur le rejet, par Chari,
Kehoe and McGrattan (2008), des restrictions à court terme comme n’étant pas impliqués par les
modèles d’anticipations rationnelles.
— Christiano a fait remarquer qu’une condition d’équilibre dans un modèle économique impliquerait
des restrictions nulles dans un VAR chaque fois que le VAR comprend plus de variables que le
système d’équilibre.
— De son côté, Christopher A. Sims a fait remarquer que dans un article avec Tao Zha 10 , ils avaient
analysé un modèle DSGE et ont montré qu’une restriction de court terme, du type habituellement
utilisé dans la littérature VAR, était conforme à ce modèle.
— Edward C. Prescott a fait remarquer qu’il existe de nombreux enjeux passionnants et intéressants
en macroéconomie sur des questions de grande importance, comme le fait que l’offre de la maind’½uvre en Europe est déprimée de 30% ; le fait que le Japon a perdu une décennie de croissance
en raison de la faible productivité. À la lumière de ces faits, il a jugé malheureux que la discussion
dans ce débat semblait être sur “combien d’anges peuvent danser sur la tête d’une épingle”.
— Prescott a également fait remarquer que la critique de Lucas (1976) avait enseigné aux économistes
que l’estimation des VAR structurels est incompatible avec la théorie économique dynamique.
— Sur ce dernier point, Sims a répondu à Prescott qu’il pensait qu’il était formidable d’obtenir des
commentaires sur les méthodes statistiques des théoriciens du Real Business Cycle.
— Ensuite, Sims a poursuivi en notant qu’il était toujours mystérieux que les chercheurs s’attendent
à une concordance exacte entre le nombre de chocs structuraux et le nombre de variables qu’ils
ont inclus dans leur VAR. Il a également noté que dans un article avec Zha (Sims and Zha, 2006),
ils avaient montré qu’il n’était pas nécessaire d’avoir une correspondance exacte de ce genre, et
que dans leur modèle, les chocs de politique monétaire étaient bien identifiés même si le système
n’était pas inversible.
— Aussi, Sims s’est demandé pourquoi Chari, Kehoe and McGrattan (2005) avaient transformé
leur critique originalement porté sur Gali and Rabanal (2005) à une critique dans laquelle ils
prétendaient que les modèles S-VARs, en général, n’étaient pas bon ? Sims voulait être sûr qu’ils
n’essaient pas de plaider contre toute inférence fondée sur la probabilité parce qu’à son avis, une
grande partie de la discussion avait cette saveur.
— Sims a suggéré que si Chari, Kehoe and McGrattan (2005) allaient conclure que les S-VAR
n’étaient pas bons en général, ils devraient alors proposer une méthodologie alternative.
— Sur ce point, Varadarajan V. Chari a répondu que dans leur papier sur la Comptabilité des
cycles 11 , ils avaient proposé une procédure alternative et que, par ailleurs, il existe d’autres types
de procédures d’espace-état qui pourraient fournir une alternative à l’approche VAR.
— Chari a cependant noté qu’un inconvénient de toutes ces procédures alternatives, est qu’elles
s’appuyaient un peu plus “lourdement” sur des hypothèses sur la structure de l’économie. Il a
toutefois estimé que l’approche minimaliste incorporée dans les S-VAR ne semblait pas très utile.
— Aussi, Chari a “ironniquement” noté que la procédure S-VAR, telle qu’envisagée par Blanchard
10. Voir Sims and Zha (2006).
11. Cf. Chari, Kehoe and McGrattan (2007).
104
and Quah (1989), et plus tard appliquée par de nombreux autres auteurs, était un “truc totalement
cool.” Cette opinion est basée sur le fait que la littérature S-VAR a eu des résultats robustes, clairs
et confiants qui ont tenu la promesse de permettre aux chercheurs de rejeter certaines catégories de
modèles et de se concentrer sur d’autres classes. Il a ensuite expliqué que tout ce qu’il avait voulu
faire avec Kehoe et McGrattan, c’était de soumettre les S-VAR à un simple test, notamment, voir
si un S-VAR savaient quelle était la réponse des heures à un choc de productivité ? Il a noté que
les exemples présentés dans leur document ne soulèvent pas de questions sur les VAR en général,
mais plutôt ils consistent à évaluer l’utilité des S-VAR. Leurs conclusions étaient qu’en particulier,
lorsque les chocs de demande sont importants, le S-VAR ne fonctionne pas bien.
— Chari a enfin fait remarquer que différents articles dans la littérature S-VAR, analysant la même
question avaient trouvé des résultats très différents basés sur des différences apparemment faibles
dans les variables utilisées.
— En réponse, Martin Eichenbaum note qu’il est en désaccord sur le fait que Chari estime que
les différences dans les données soient faibles. Il a en outre précisé que, lorsque l’échantillon est
restreint à une période d’échantillonnage plus récente où les différences dans les données étaient
en fait faibles, les différences dans les résultats disparaissent.
B
Représentation VAR(1) d’un VAR(p)
Un modèle VAR(p) tel que :
yt = A1 yt−1 + . . . + Ap yt−p + εt
(25)
peut toujours être exprimé sous forme d’espace-état comme un VAR(1) :
Yt = AYt−1 + Et
(26)
où la matrice A est dimension kp × kp :



A1 A2 · · · Ap−1 Ap
yt
 IK 0 · · ·
 yt−1

0
0



A= .
..  , Yt =  ..
..
 ..
 .

.
.
0
0 ···
IK
0
yt−p+1






 , Ut = 


ut
0
..
.
0





(27)
Un VAR(p) est dit stable si et seulement si toutes les valeurs propres de A ont des racines inférieures à
l’unité. Mathématiquement, cela implique que :
det(Ik×p − Az) 6= 0,
(28)
pour |z| ≤ 1. La condition (28) est équivalente à la condition de stabilité :
det(Ik − A1 z − · · · − Ap z p ) 6= 0,
C
(29)
Représentation MA(∞) d’un VAR(p)
Le modèle VAR(p) tel qu’exprimé dans l’équation (25) peut être récrit comme suit :
(I − A1 L − A2 L2 − · · · + Ap Lp )yt = εt
(30)
Pour dériver une représentation MA(∞), il suffit d’inverser le polynôme de retard Ap (L) :
yt = (I + Ψ1 L + Ψ2 L2 + · · · )εt
(31)
où par définition :
(I − A1 L − A2 L2 − . . . − Ap Lp )−1 = (I + Ψ1 L + Ψ2 L2 + · · · )
(32)
De l’équation (32), il suit que
(I−A1 L − A2 L2 − · · · + Ap Lp )(I − Ψ1 L − Ψ2 L2 − · · · + Ψp Lp ) = I
⇒ I + (Ψ1 − A1 )L + (Ψ2 − A1 Ψ1 − A2 )L + · · · = I
105
(33)
De l’équation (33), on peut dériver une forme recursive permettant d’identifier les paramètres du processus
moyenne mobile à partir des coefficients autorégressifs vectoriels :
Ψ1 =A1
Ψ2 =A1 Ψ1 + A2
Ψ3 =A1 Ψ2 + A2 Ψ1 + A2
..
.
Ψi =
i
X
Aj Ψi−j
j=1
où Aj = 0, j > p.
D
VAR réduit versus S-VAR
Cette section explique de manière moins rigoureuse, mais plus intuitive la différence entre le modèle VAR
sous forme réduite et le modèle VAR structurel (S-VAR). Le modèle VAR, ou plus explicitement VAR
non identifié, est utilisé pour prédire et prévoir (DeJong and Dave, 2005; Lütkepohl, 2005). Mais les
économistes sont souvent intéressés à étudier comment l’économie réagit à un choc structurel particulier
ayant une interprétation économique. C’est ici qu’intervient le modèle VAR structurelle (S-VAR).
Sous forme matricielle, un VAR (réduit, non identifié ou non restreint) s’écrit (cf. Équation (4) dans le
texte) :
Yt = AYt−1 + εt
(34)
où Yt−1 est un vecteur contenant toutes les variables décalées, jusqu’à l’ordre p, du vecteur endogène Yt .
Sans perte de généralité, assumons que p = 1, et qu’il n’y a pas des constantes. En régressant chaque
variable sur son décalage et les décalages de toutes les variables, on obtient les résidus et = ε̂t pouvant
être interprétés comme des chocs (ou explicitement chocs de forme réduite) tels que :
var(e) = Σe
(35)
Cependant, dans (35), les chocs sont corrélés, et donc ils ne peuvent être identifiés. Autrement, ces chocs
ne peuvent pas avoir une interprétation économique claire. À présent, postulons que les chocs de forme
réduite sont une transformation linéaire des chocs structurels. Ces derniers sont supposés orthogonaux.
D’où :
et = Dut ,
(36)
var(u) = I
(37)
avec :
Dès lors, si D est “connu”, il serait possible de calculer les réponses impulsionnelles des variables du
modèle à chaque choc structurel. La principale question est donc l’estimation de D. Bien que l’on sache
les estimations Â, la matrice de variance-covariance Σe du modèle sous forme réduite, ainsi que le fait
que var(u) = I, ces informations ne sont toutefois pas suffisantes pour identifier la matrice D.
Nous avons donc besoin d’autres restrictions ou hypothèses pour identifier D. Dans la pratique, ces
restrictions se fondent généralement sur la théorie économique, ce qui permet de donner aux chocs ut une
interprétation économique claire.
Comme nous l’avons vu dans la section 3, une des restrictions le plus simple est d’exiger que la matrice
D soit triangulaire inférieure, de sorte que la première variable ne soit affectée que par le premier choc
structurel, la deuxième par les deux premiers chocs structurels, et ainsi de suite. Cette restriction implique
que la matrice D peut être obtenue par une décomposition de Cholesky de Σe . Dans ce cas, un modèle
VAR structurel peut donc s’écrire comme suit :
D−1 Yt = D−1 AYt−1 + ut
(38)
où Zt ≡ D−1 Yt et C ≡ D−1 A. Maintenant, avec l’expression (38), les chocs structurels entrent directement
dans le modèle. Remarquons qu’ici, les éléments de Yt sont pré-multipliés par la matrice D.
106

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