Utilisation de la Relaxation Lagrangienne pour

Utilisation de la Relaxation Lagrangienne pour déterminer des
Ensembles Bornants Inférieurs pour le Problème de Voyageur
de Commerce Bi-objectif
Quentin Delmée1 , Kathrin Klamroth2 , Anthony Przybylski1
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IRRCyN UMR CNRS 6597, Université de Nantes, 2 chemin de la Houssinière BP92208, 44322
Nantes Cedex 03
{quentin.delmee,anthony.przybylski}@univ-nantes.fr
Université de Wuppertal, Optimization and Approximation, Department C - Mathematics and
Natural Sciences, Gausstrasse 20, 42119 Wuppertal, Allemagne
[email protected]
Mots-clés : Optimisation combinatoire bi-objectif, ensemble bornant, relaxation lagrangienne, somme pondérée, problème du voyageur de commerce.
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Problématique
Des ensembles bornants de bonne qualité sont un élément fondamental pour les méthodes
énumératives de résolution des problèmes d’optimisation combinatoire multi-objectif. Des méthodes de Branch & Bound bi-objectif ont été récemment appliquées avec succès, en se basant
sur la relaxation convexe. Cet ensemble bornant se détermine rapidement en pratique si la
version mono-objectif du problème se résout en temps polynomial ou pseudo-polynomial, et
permet au passage l’obtention de solutions admissibles. Si la version mono-objectif du problème
est difficile à résoudre, la relaxation continue est une alternative possible mais elle est beaucoup
moins bonne.
D’autres relaxations sont utilisées dans le contexte mono-objectif, pour obtenir un bon compromis entre la qualité de la borne obtenue et son coût temporel. Dans ce travail, nous considérons la relaxation lagrangienne. Cette relaxation est un classique dans le contexte monoobjectif. Cependant elle est beaucoup moins présente dans la littérature multi-objectif. Ehrgott
et Gandibleux [1] ont fait une proposition d’utilisation de la relaxation lagrangienne, appliquée
au problème du voyageur de commerce bi-objectif. Nous revenons sur cette proposition et
proposons des améliorations.
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Relaxation Lagrangienne Multi-Objectif
Ehrgott et Gandibleux [1] ont proposé d’effectuer une somme pondérée des fonctions objectifs et d’appliquer ensuite une relaxation lagrangienne du problème mono-objectif obtenu. La
méthode décrite dans Beasley [2] est utilisée pour mettre à jour les multiplicateurs comme cela
se fait habituellement dans le contexte mono-objectif. Idéalement, une solution admissible, et
donc optimale, est obtenue. Cependant en général, on n’obtient pas une solution admissible
et la borne obtenue est alors restée inexploitée dans le contexte bi-objectif. La raison vient du
terme de pénalité qui est ici défini pour la somme pondérée des fonctions objectifs et non pas
pour chacune des fonctions objectifs.
Nous proposons de définir la relaxation lagrangienne directement pour un problème multiobjectif. Le principe est le même que dans le contexte mono-objectif, nous relâchons un sousensemble de contraintes et nous les faisons apparaître dans un terme de pénalité non pas dans
une mais dans la totalité des fonctions objectifs. Ensuite, rien n’oblige à utiliser les mêmes
valeurs pour les multiplicateurs dans chacune des fonctions objectifs. Nous obtenons finalement
un problème multi-objectif dont la résolution définit un ensemble bornant inférieur.
Toutefois, le problème ainsi obtenu reste un problème d’optimisation combinatoire multiobjectif. Sa résolution exacte est donc naturellement coûteuse. Pour déterminer un ensemble
bornant dans un temps raisonnable, nous considérons donc l’utilisation de la somme pondérée.
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Étude du lien entre la somme pondérée et la relaxation
lagrangienne
Pour chaque poids considéré, la résolution de la somme pondérée nous permet d’obtenir un
hyperplan en tant qu’ensemble bornant. L’ensemble d’hyperplans obtenu définira un ensemble
bornant inférieur. Nous cherchons à fixer les multiplicateurs pour chaque fonction objectif de
manière à obtenir le meilleur ensemble bornant possible. Il y a bien sûr plus de multiplicateurs
à considérer que dans le contexte mono-objectif. Nous montrons qu’en général nous obtenons le
même hyperplan pour une infinité de combinaisons de multiplicateurs différents. Nous utilisons
cette propriété pour restreindre l’évolution des valeurs des multiplicateurs.
Nos expérimentations sur le problème du voyageur de commerce bi-objectif montrent que
l’ensemble bornant obtenu est très proche de la relaxation convexe.
FIG. 1 – Comparaison entre l’ensemble bornant obtenu et la relaxation convexe.
Références
[1] Ehrgott Matthias and Gandibleux Xavier. Bound sets for biobjective combinatorial optimization problems In Computers & Operations Research, volume 34, number 9, pages
2674-2694, Elsevier, 2007.
[2] Beasley JE. Lagrangean relaxation In : Reeves CR, editor. Modern heuristic techniques for
combinatorial problems. London : McGraw-Hill Book Company ; 1993. p. 243-303.