Nombres premiers

Nombres premiers
Dans cette partie, on appelle nombre tout entier naturel non nul.
1
Dé…nition
Dé…nition 1 Soit p un nombre. On dit que p est un nombre premier si p
de p sont 1; 1; p et p.
On note P l’ensemble des nombres premiers.
2 et si les seuls diviseurs
Exemple 2 Les entiers 2; 3; 5; 7 et 11 sont des nombres premiers. Les entiers 1 et 4 ne le sont pas.
Remarque 3 Si p est un nombre premier alors pour la plupart des nombres q : p est premier avec
q, mais attention 4 est premier avec 15 mais 4 n’est pas un nombre premier (15 non plus).
2
Crible d’Eratosthène
Recherchons tous les nombres premiers plus petits que 100 par exemple.
Le nombre 1 n’est pas un nombre premier. On l’enlève.
Le nombre 2 est premier. Tous les multiples de 2 autres que 2 ne sont pas premiers et sont donc
otés.
Le nombre 3 est premier. On enlève ensuite tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3 (ils
ne sont pas premiers).
Le plus petit nombre restant est 5, qui est donc premier. On enlève tous les multiples de 5
strictement supérieurs à 5.
Cette méthode permet donc de proche en proche d’obtenir les nombres premiers plus petits que
100.
1
2
21
22
41
61
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3
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3
23
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50
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53
73
88
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93
Nombres premiers et divisibilité
Proposition 4 Soit p un nombre, p
2. Il y a équivalence entre :
1. l’entier p est un nombre premier.
2. les seuls entiers non premiers avec p sont les multiples de p.
3. le nombre p est premier avec 1; 2; : : : ; p
1.
18
19
20
38
39
40
60
80
100
Démonstration. On va montrer 1 =) 2 =) 3 =) 1
Supposons que p est un nombre premier. Soit a un entier non premier avec p. Soit d = pgcd(a; p),
on a d 6= 1, or d divise p et d est positif donc d = p. Comme d divise aussi a, on en déduit que p
divise a.
Soit p un nombre tel que les seuls entiers non premiers avec p sont les multiples de p. Soit
k 2 f1; 2; : : : ; p 1g et d = pgcd(k; p). Comme d divise p, on a d = 1 ou d = p. Si d était égal à p
alors p diviserait k et on aurait p k ce qui est exclu. Donc d = 1 donc p et k sont premiers entre
eux.
Supposons que le nombre p est premier avec 1; 2; : : : ; p 1. Soit d un diviseur positif de p. Alors
d p et pgcd(d; p) = d. Si 1 < d < p alors pgcd(d; p) = 1 par hypothèse et l’on aurait d = 1. Donc
d = 1 ou d = p. Donc p est un nombre premier.
Corollaire 5 Soit p un nombre premier. Pour tout a 2 Z, les entiers a et p sont premiers entre eux
si et seulement si p ne divise pas a.
Corollaire 6 Soit p et p0 deux nombres premiers. Alors p et p0 sont premiers entre eux si et seulement si p 6= p0 .
Démonstration. Si pgcd(p; p0 ) = 1 alors p 6= p0 .
Si p 6= p0 alors p0 ne divise pas p (sinon p ne serait pas un nombre premier) et par conséquent
pgcd(p; p0 ) = 1.
Lemme 7 Lemme d’Euclide. Soit a et b deux entiers relatifs et soit p un nombre premier. Si p
divise ab alors p divise a ou p divise b.
Démonstration. Il existe q 2 Z tel que ab = p. Si p ne divise pas a alors alors p est premier
avec a. Donc p divise b (théorème de Gauss).
4
Décomposition en facteurs premiers
Dé…nition 8 Soit a 2 N . Un nombre premier p qui divise a s’appelle un facteur premier de a.
Exemple 9 L’entier 3 est un facteur premier de 12.
Les entiers 1 et 1 n’admettent pas de facteur premier.
Exemple 10 Soit a = 491. On veut savoir si a est premier ou pas. On teste si a est divisible par
2, par 3, par 5, par 7, par 11, par 13, par 17, par 19. Le nombre premier suivant est 23. Comme
232 = 529 > 491, 491 est un nombre premier.
Proposition 11 L’ensemble P des nombres premiers est in…ni.
Démonstration. On sait que P est non vide (il contient les entiers 2, 3, 5, etc). Supposons qu’il
est …ni, de cardinal N , c’est à dire que P = fp1 ; : : : ; pN g. Posons alors a = 1 + p1
pN . Comme
a
2, il admet un facteur premier p donc p 2 P donc il existe m tel que p = pm . Mais alors pm
divise a p1
pN = 1, ce qui est impossible.
Dé…nition 12 Soit a 2 Z . Soit p un nombre premier. L’ensemble fm 2 N; tels que pm j ag admet
un plus grand élément, noté vp (a) et appelé p valuation de a ou indice de multiplicité de p dans a
ou exposant de p dans a.
Exemple 13 12 = 22 3 donc v2 (12) = 2 et v3 (12) = 1.
Si x = 3
5 alors v3 (x) = et v5 (x) = .
Théorème 14 Décomposition en facteurs premiers. Soit a 2 Z tel que jaj
2. Il existe
" 2 f 1; 1g, s 2 N , des nombres premiers 0 < p1 < p2 <
< ps et des entiers naturels non nuls
m1 ; : : : ; ms tels que
1
s
a = " pm
pm
1
s
De plus, cette décomposition est unique et m1 = vp1 (a); : : : ; ms = vps (a).
Démonstration. Unicité de la décomposition. Avec des notations évidentes, supposons que
1
s
a = "pm
pm
= "0 q1n1
qrnr . Si a > 0 alors " = "0 = 1 et si a < 0 alors " = "0 = 1.
1
s
Soit i, 1
i
s. Supposons que pi soit di¤érent de q1 ; : : : ; qr . Alors pi est séparément premier
avec q1 ; : : : ; qr donc séparément premier avec q1n1 ; : : : ; qrnr donc premier avec q1n1
qrnr = p. Mais
ceci est en contradiction avec le fait que pi est un facteur premier de p. On montre ainsi que
fp1 ; : : : ; ps g = fq1 ; : : : ; qr g. On en déduit alors que s = r puis que p1 = q1 ; : : : ; ps = qs .
Existence de la décomposition. Soit a 2. On pose " = 1. Considérons l’ensemble P des facteurs
premiers de a. On sait qu’il est non vide, et qu’il est …ni (tout facteur premier est inférieur à a).
Soit p1 ; : : : ; ps ses éléments, avec p1 < p2
< ps . Pour chacun de ces facteurs, soit Mi = fm 2
m
m
N ; pi jag. Ce sont des ensembles non vides (par dé…nition des pi ) et …nis (pm
a =)
i ja =) pi
m
ln(a)= ln(pi )). Soit mi le plus grand élément de Mi . Comme a est séparément divisible par
1
s
pm
;
:
:
: ; pm
premiers entre eux deux à deux, a est divisible par leur produit. Il existe q 2 N tel
1
s
m1
s
q. Si q 2, q admet un facteur premier qui serait aussi un facteur premier de
que a = p1
pm
s
i +1
divise a, ce qui est impossible par
a. Il existe alors i avec 1 i s tel que q = pi . Mais alors pm
i
dé…nition de mi . Donc q = 1.
Si a
2, on pose " = 1 et on décompose jaj.
Exemple 15 L’entier a = 84 admet pour décomposition en facteurs premiers a = 22
3
7.
Proposition 16 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Alors pour tout nombre premier p,
vp (ab) = vp (a) + vp (b)
L’entier a divise b si et seulement si pour tout nombre premier p, vp (a) vp (b)
Proposition 17 Soit a1 ; : : : ; an des entiers relatifs non nuls. On a :
pgcd (a1 ; : : : ; an ) =
Y
p2P
où
p
= min(vp (a1 ); : : : ; vp (an )) et
p
p
p
et ppcm (a1 ; : : : ; an ) =
Y
p
p
p2P
= max(vp (a1 ); : : : ; vp (an )) pour tout p 2 P.
Proposition 18 Soit a 2 N . Alors a est un carré parfait si et seulement si pour tout p 2 P, vp (a)
est pair.