CALCUL DU FLOT OPTIQUE PAR PROGRAMMATION

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CALCUL DU FLOT OPTIQUE PAR PROGRAMMATION
6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2
CALCUL DU FLOT OPTIQUE PAR PROGRAMMATION DYNAMIQUE :
APPLICATION A LA VELOCIME TRIE PAR IMAGE DE PARTICULES
G. M. Quenot1 , J. Pakleza1 & T.A. Kowalewski2
1
LIMSI-CNRS, BP 133, F-91403 Orsay Cedex, France
2
Polish Academy of Sciences, IPPT PAN, PL 00-049 Warszawa
Resume
Une technique de calcul du ot optique basee sur
l'utilisation de la programmation dynamique a ete appliquee a la Velocimetrie par Image de Particules conduisant a une amelioration signicative de la precision
et de la resolution spatiale du champ de vitesses. La
technique est decrite et des resultats sont presentes
pour des sequences synthetiques calibrees et pour
des sequences reelles issues d'une experience sur la
congelation d'un liquide. La precision moyenne est
meilleure que 0.5 pixel/image pour des sequences de
deux images et meilleure que 0.2 pixel/image pour des
sequences de quatre images m^eme avec un niveau de
bruit de 10 % et un taux d'apparition et de disparition
de particules de 10 %.
1 - Introduction
La velocimetrie par Images de Particules (VIP)
s'est revelee recemment ^etre une methode tres ecace
pour l'analyse des structures d'ecoulement bidimensionnelles dans les uides 1]. Elle permet la mesure
directe des vitesses dans une section plane d'un uide,
par l'observation du mouvement de particules transportees. Dans sa version numerique, maintenant la
plus repandue, des sequences d'images numeriques
sont acquises puis analysees, classiquement par des
methodes d'inter-correlation 2] 3]. Ces methodes
sont assez ecaces mais elles sont neanmoins limitees
par trois problemes principaux 4] :
L'absence de coherence du champ de vitesses
obtenu (les vecteurs vitesses sont recherches independament dans chaque fen^etre de correlation),
Le choix le la taille de la fen^etre de correlation (si
elle est grande, la resolution spatiale du champ de
vitesses est faible si elle est petite, la sensibilite
au bruit et a l'ambigute de la texture est elevee),
L'utilisation de blocs rigides comme elements de
base pour la recherche de la correlation, qui ne
convient pas dans les zones a forts gradients de
vitesses.
L'utilisation d'une technique de calcul du ot optique a ete consideree ici an de resoudre ces problemes.
Le calcul du ot optique consiste a extraire un
champ de vitesses apparentes a partir d'une sequence
d'images en faisant l'hypothese que l'intensite (ou la
couleur) est conservee au cours du deplacement. Initialement, cette technique a ete developpee an de
poursuivre des objets se deplacant dans des scenes
reelles. Elle peut ^etre rapprochee de la technique de
velocimetrie par correlation d'images introduite par
Tokumaru et Dimotakis 5].
De nombreuses techniques ont ete proposees pour
le calcul du ot optique. Dans une presentation et
une etude de performances comparees, Barron, Fleet
et Beauchemin 6] les classent en quatre categories :
dierentielles, basees sur la correlation, basees sur
l'energie et basees sur la phase. Elles ne sont
pas toutes egalement adaptees pour le probleme
de la VIP. Beaucoup d'entre elles necessitent de
longues sequences qui ne sont pas faciles a obtenir
experimentalement et/ou ne fonctionnent pas bien
sur la texture des images de particules (en particulier les methodes multi-resolution). Nous avons
retenu une technique de Calcul du Flot Optique
basee sur l'utilisation de la programmation dynamique
7]. Comparativement aux autres approches de calcul du ot optique ou a la VIP classique basee sur la
correlation, elle presente les avantages suivants :
Elle peut fonctionner sur des sequences de longueur quelconque (deux images ou plus),
Elle eectue une mise en correspondance globale
en propageant des contraintes de continuite et de
regularite. Ceci aide a trouver une reponse correcte dans les regions ambigues ou avec une faible
densite de particules,
La correlation locale est recherchee iterativement
sur des regions dont la forme est modiee par le
ot et non pas sur des blocs rigides. Ceci ameliore
grandement la precision dans les regions a fort
gradient de vitesses,
Elle fournit un champ dense et continu (un
vecteur vitesse pour chaque pixel d'image),
F.2.1
6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2
Sonogramme 0
Sonogramme 1
fréquence
temps
Figure 1: Alignement temporel de sonogrammes
La propagation dynamique necessite un ordre sur les
elements a aligner, c'est pourquoi il n'est pas possible
2.2 - Alignement des bandes
i1
L'alignement des bandes s'eectue par un algorithme derive d'un algorithme de programmation dynamique utilise pour la reconnaissance de mots isoles
8]. Il a ete legerement modie pour permettre le
glissement relatif des extremites des bandes.
I
La methode de calcul du ot optique utilisee ici constitue une amelioration des methodes simple d'intercorrelation. Elle a ete developpee pour resoudre les
trois problemes principaux lies a ces methodes evoques
ci-dessus.
Le principe est, d'une part, d'introduire des contraintes de continuite et de regularite sur le champ de
vitesses et, d'autre part, d'utiliser un processus multiresolution 7] (la multi-resolution porte ici sur la taille
des zones de recherche pour la correlation et non pas,
comme cela se fait classiquement, sur la taille des images qui, elle, reste maximale). Plut^ot que de rechercher localement et independament les correlations sur
des fen^etres, on recherche des approximations successives d'un champ de vitesses continu et regulier entre
deux images qui minimise globalement la distance de
Minkowski L1 ou L2 entre elles.
La recherche directe d'un champ bidimmensionnel de vitesses a deux composantes avec propagation de contraintes de continuite et de regularite semble impossible en temps polynomial. Toutefois, il
existe une technique permettant un calcul en temps
polynomial dans le cas d'un champ monodimensionnel de vitesses a une composante. Celle-ci, connue
sous le nom de programmation dynamique, a ete
utilisee avec succes en reconnaissance automatique de
la parole pour l'alignement temporel de sonogrammes
(representation bidimensionnelles temps frequence
d'enonces vocaux) 8]. Dans ce contexte, les donnees
a aligner sont bidimensionnelles mais l'ensemble des
vecteurs d'alignement (equivalents de la vitesse) est
monodimensionnel (tous les elements ayant la m^eme
coordonnee de temps ont le m^eme vecteur d'alignement) et chaque vecteur a une seule composante (l'alignement se fait suivant l'axe temporel uniquement).
Les elements consideres pour l'alignement par la programmation dynamique sont les segments de sonogramme correspondant a une m^eme coordonnee temporelle (Figure 1).
ligne d’arrivée
bande s de l’image 1
2.1 - Principe
ligne de départ
0
2 - Calcul du ot optique
de la generaliser au cas de l'alignement avec propagation de contraintes sur deux dimensions (il est par
contre possible de la generaliser au cas de l'alignement
avec des vecteurs a deux composantes si l'ensemble de
ces vecteurs et, par voie de consequence, la propagation des contraintes restent monodimensionnels mais
cela ne sera pas utilise ici).
La methode proposee ici consiste a rechercher par
programmation dynamique la correlation entre des
bandes d'images deformables analogues a des sonogrammes au lieu de la rechercher sur des carres
rigides. La propagation de contraintes, m^eme si elle
est seulement monodimensionnelle, augmente notablement la robustesse (une propagation est eectuee par
ailleurs indirectement dans la direction perpendiculaire par l'intermediaire d'un processus de lissage). Le
resultat de l'alignement des bandes est utilise pour
corriger iterativement le champ des vecteurs vitesse.
La continuite et la regularite imposees au niveau de
l'alignement des bandes se retrouvent au niveau du
champ de vitesses global.
m
j
Elle peut fonctionner sur des images multi-bandes
(couleur).
i0
j
0
bande s de l’image 0
I
Figure 2: Recherche de l'alignement optimal
Un alignement se traduit par un \chemin" dans une
matrice \produit" des deux bandes (Figure 2). On
considere l'ensemble des chemins reguliers et continus joignant une ligne de depart et une ligne d'arrivee
dans cette matrice. La continuite se traduit par
le fait que chacune des deux coordonnees de deux
points consecutifs ne doivent pas dierer de plus
de une unite. La regularite se traduit par le fait
que chaque coordonnee doit ^etre croissante (mais pas
forcement strictement) lorsqu'on suit le chemin de
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6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2
la ligne de depart vers la ligne d'arrivee. On peut
ajouter des contraintes supplementaires comme le fait
que le chemin reste a une distance bornee m de la
diagonale ou que sa pente soit bornee (en interdisant par exemple deux ou trois deplacements horizontaux ou verticaux consecutifs). L'alignement optimal est deni comme le chemin regulier et continu
qui minimise la somme des \disparites locales" sur
l'ensemble de ses points (ponderee suivant le poids
des segments precedents et suivants, de telle sorte que
tous les chemins aient la m^eme \longueur").
Considerons deux images im0(i j ) et im1(i j ) avec
0 i I et 0 j J (ce ne sont pas forcement les
images initiales si l'on cherche ici une correction d'un
champ de vitesses deja degrossi, les images sont les
images intitiales pre-alignees en utilisant ce champ)
et deux bandes a aligner denies dans ces images par
une position centrale js et une largeur w. La disparite
locale se denit par une distance entre segments de
bandes :
eux s'il n'est pas unique). Le chemin est nalement
extrapole par continuite avant la ligne de depart et
apres la ligne d'arrivee.
Il reste encore a construire la correction du champ
de vitesses a partir de l'alignement trouve. Nous avons
ici plusieurs options suivant que nous souhaitions
obtenir le champ de vitesses relativement a la premiere
image (indice 0), a la deuxieme image (indice 1) ou
a une image intermediaire (indice ). Dans le premier cas, nous souhaitons obtenir une fonction v0
denie par : i1 = i0 + v0 (i0 ) dans le deuxieme cas,
nous souhaitons obtenir une fonction v1 denie par :
i0 = i1 ; v1 (i1 ) et dans le troisieme cas (general),
nous souhaitons obtenir une fonction v denie par :
i0 = i ; v (i ) et i1 = i + (1 ; )v (i ) (en supposant le mouvement de chaque pixel rectiligne et uniforme entre les deux images). Ces fonctions peuvent
facilement ^etre calculees par interpolation a partir de
l'alignement trouve. Les valeurs des corrections de
vitesses peuvent ^etre non entieres. Pour que la construction iterative du champ de vitesses soit consisj =jX
s +w=2
p
d(i0 i1) =
(j ;js ): j im0(i0 j );im1(i1 j ) j tante, il faut que les images im0 et im1 pre-alignees
soient construites a partir des images initiales imo0
j =js ;w=2
et imo1 et du champ de vitesses (vx vy ) de la facon
la fonction etant une \courbe en cloche" dont le but suivante :
est de reduire \l'eet de fen^etre" associe aux bords des im0(i j ) = imo0(i ; v (i j ) j ; v (i j ))
x
y
bandes (par exemple : (p) = 1 + cos(2p=w)).
im1(i j ) = imo1(i + (1 ; )vx(i j ) j + (1 ; )vy (i j ))
Nous denissons une \disparite cumulee" D(i0 i1)
pour les points (i0 i1) situes entre la ligne de depart et (les deux premiers cas se retrouvent simplement en
la ligne d'arrivee et a une distance bornee m de la dia- prenant = 0 ou = 1). Les valeurs de , vx (i j ) et
gonale par : le minimum, sur tous les chemins continus vy (i j ) ne sont en general pas entieres. Dans ce cas, les
et reguliers joignant la ligne de depart au point (i0 i1), valeurs de im0 et im1 sont obtenues par interpolation
de la somme ponderee des disparites locales. Gr^ace bilineaire a partir des images imo0 et imo1.
a l'expression discrete des proprietes de continuite et
de croissance des chemins consideres, le chemin qui 2.3 - Iterations orthogonales
minimise la disparite cumulee jusqu'au point (i0 i1)
est necessairement le prolongement d'un des chemins
L'algorithme est initialise avec un champ de vitesses
qui minimise la disparite cumulee jusqu'a l'un des trois nul ou avec une prediction initiale de celui-ci si une
point (i0;1 i1), (i0 i1;1) ou (i0;1 i1;1). De plus la telle prediction est disponible (mouvement moyen esdisparite cumulee suit une relation de recurrence. Par time par exemple). Le champ de vitesses est ensuite
exemple : D(i0 i1) =
ane par des iteration d'alignements correctifs. A
8 D(i0 i1 ; 1) + (d(i0 i1 ; 1) + d(i0 i1))=2
chaque iteration, on commence par calculer les images
<
min : D(i0 ; 1 i1 ; 1) + d(i0 ; 1 i1 ; 1) + d(i0 i1) pre-alignees im0 et im1 a partir des images initiales
imo0 et imo1 et du champ de vitesses (vx vy ) initial
D(i0 ; 1 i1) + (d(i0 ; 1 i1) + d(i0 i1))=2
ou estime a partir des iterations precedentes.
La fonction D peut alors ^etre calculee par recurrenCeci se fait en choisissant un parametre qui denit
ce dans la region ou elle est denie avec les conditions
l'indice de l'image dans laquelle on souhaite obtenir
aux limites suivantes:
le champ de vitesses nal (premiere, seconde ou inD(i0 i1) = 0 si i0 + i1 = m (ligne de depart).
termediaire).
Il y a, en realite, un champ de vitesses
D(i0 i1) = 1 si j i0 ; i1 j> m ou i0 + i1 < m
unique mais ce qui est mesure ici est en fait un champ
Le minimum de la fonction D sur la ligne d'arrivee de deplacements. Celui-ci est egalement unique mais
denie par i0 + i1 = 2I ; m fournit la position de sa representation sous la forme d'un ensemble discret
l'extremite n du chemin optimal. On peut alors cons- de valeurs numeriques depend, elle, du fait que chaque
truire le chemin optimal complet par retour arriere vecteur est determine par rapport a son point de
jusqu'a la ligne de depart en suivant, pour chaque depart, son point d'arrivee ou un point intermediaire.
point rencontre, le membre de l'equation de recurrence Le parametre est choisi au depart et doit rester conqui a eectivement minimise celle-ci (ou l'un d'entre stant pendant tout le calcul.
F.2.3
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Figure 3: Decoupage des images en bandes
Les images pre-alignees sont sensuite decoupees
de maniere identique en bandes paralleles et semirecouvrantes (Figure 3) suivant une direction horizontale ou verticale. Chaque bande d'une image est
alors alignee de maniere optimale avec la bande correspondante de l'autre image en utilisant la programmation dynamique comme explique dans la section
precedente. L'alignement des bandes se fait dans la
direction du decoupage choisie.
On construit une correction du champ de vitesses
pour chaque pixel d'image (intermediaire dans le cas
general) de la facon suivante : s'il est situe sur la ligne
centrale d'une des bandes, on utilise la la correction
v trouvee pour sa position sur cette bande s'il est
situe entre deux lignes centrales de bandes voisines,
on interpole les valeurs correspondantes s'il est situe
a l'exterieur des lignes centrales, on choisit la valeur
trouvee pour sa position sur la bande la plus proche.
La correction du champ de vitesses est ensuite ajoutee
a la composante de ce champ qui est parallele a la
direction de decoupage des bandes. La composante
corrigee est enn lissee par une convolution avec une
courbe en cloche dont la largeur du support est de
l'ordre de deux a trois fois la largeur de la bande. Ceci
produit implicitement une propagation de contraintes
entre les bandes voisines (dans la direction ou elles ne
sont pas forcees explicitement par la programmation
dynamique) et renforce les proprietes de continuite et
de regularite du champ de vitesses.
bande 1
bande 2
bande 3
itération 2
itération 3
itération 5
itération 6
itération 7
Bien que les alignements de bandes soient eectues
avec une resolution egale a un pixel, l'algorithme, tel
que decrit jusqu'ici, produit deja, par eet de moyennage lie a ses procedures de lissage et d'interpolation,
un champ de vitesses avec une resolution inferieure
au pixel. Une amelioration supplementaire est encore
possible en eectuant un alignement des bandes avec
une resolution elle-m^eme inferieure au pixel 9]. Ceci
s'obtient simplement, sans rien changer a l'algorithme
de programmation dynamique, excepte que l'ensemble
des points utilises pour les calculs est comprime contre
la diagonale (Figure 5, a comparer avec la Figure 2).
L'eet principal est que ces points n'ont plus des coordonnees entieres et donc que cela necessite une interpolation au moment du calcul des disparites locales.
itération 4
I
itération 1
2.4 - Alignement avec une resolution sous-pixel
i1
bande 3
ligne d’arrivée
bande s de l’image 1
bande 1
bande 2
iteration se fait typiquement avec des bandes larges
d'environ une demi-image. On r
peduit la largeur des
bandes d'une facteur d'environ 2 a chaque double
iteration borizontale - verticale jusqu'a une largeur de
quelques pixels. La largeur de la fen^etre de recherche
m decroit egalement avec la largeur et l'espacement
des bandes.
Ce processus multi-resolution ore un double avantage : d'une part, il resoud le probleme de la taille
de la fen^etre de correlation evoque plus haut (compromis resolution spatiale - sensibilite au bruit et a
l'ambigute de la texture), d'autre part, il resoud le
probleme du decalage initial entre les bandes dans
la direction perpendiculaire au decoupage (en effet : l'alignement se fait uniquement dans le sens du
decoupage, un decalage dans la direction perpendiculaire perturbe donc l'alignement gr^ace a la robustesse
de la programmation dynamique, ceci n'est pas g^enant
si la bande est large par rapport au decalage attendu
le processus pyramidal, avec l'alternance des directions d'alignement, permet de rester en permanence
dans ce cas).
ligne de départ
0
Figure 4: Reduction de la largeur et l'espacement des
bandes au cours des iterations orthogonales
i0
j
Les iterations sont nalement eectuees alternativement avec des decoupages horizontaux et verticaux et en reduisant a chaque etape la largeur et
l'espacement des bandes (Figure 4). La correction
du champ de deplacements se fait donc alternativement sur les composantes horizontales et verticales et
avec une resolution de plus en plus ne. La premiere
j
0
bande s de l’image 0
I
Figure 5: Alignement avec une resolution sous-pixel
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Dans l'algorithme decrit jusqu'ici, l'espacement des
bandes, la largeur des bandes et la largeur de
p la
fen^etre de recherche sont reduits d'un facteur 2 a
chaque double iteration tandis que la distance des
points a la diagonale reste constante. Une dizaine
d'iterations supplementaires sont ensuite ajoutees au
cours desquelles l'espacement des bandes, la largeur
des bandes et la largeur de la fen^etre de recherche
restent cette fois constantes (a leur valeur minimale)
tandis que la distancepdes points a la diagonale est
reduite d'un facteur 2 a chaque double iteration.
Ces iterations sous-pixel augmentent sensiblement la
precision du champ de vitesses extrait.
2.5 - Utilisation de sequences de longueur arbitraire
La methode peut facilement ^etre etendue pour travailler avec des sequences d'images de longueur arbitraire 9]. Dans ce cas, on fait l'hypothese (ou
l'approximation) que le mouvement de chaque point
est rectiligne et uniforme. Considerons N images
imo(n i j ) avec 0 n < N . On peut construire N
images im(n i j ) pre-alignees dans l'image d'indice
arbitraire par rapport a un champ de vitesses
(vx vy ). En generalisant les formules utilisees plus
haut, on obtient : im(n i j ) =
imo(n i + (n ; )vx (i j ) j + (n ; )vy (i j ))
On cherche alors, de la m^eme facon que precedement,
la correction du champ de vitesse qui ameliore au
mieux l'alignement de ces images. On utilise pour cela
le m^eme algorithme de programmation dynamique
pour aligner les bandes de la premiere image avec les
bandes de la derniere image mais en requerant, en
plus, que les bandes intermediaires soient egalement
alignees (Figure 6).
bande
s
de l’image 0
bande
s
de l’image 1
bande
s
de l’image 2
Figure 6: Alignement de plus de deux bandes
Les disparites locales se calculent en utilisnat les
segments de toutes les bandes. Les segments intermediaires ont une coordonnee intermediaire entre celle des deux segments ext^emes qui peut ^etre
non entiere. Une interpolation est alors necessaire
pour obtenir ces segments (comme dans le cas de
la recherche d'alignements avec une resolution souspixel). La disparite locale se calcule de la m^eme facon
excepte que la distance pixel a pixel :
d(p0 p1 ) =j p0 ; p1 jp
est generalisee par une \distance multi-pixel":
d(p0 : : : pN;1 ) =
ou :
X j pn
N;2
n=0
+1
; pn jp
d(p0 : : : pN;1 ) = ((0 max
p ) ; (0 min
p ))p
n<N n
n<N n
Tout le reste de l'algorithme est inchange y compris
l'addition d'iterations eectuant un alignement avec
une resolution sous-pixel.
2.6 - Extension aux images multi-bandes
Comme il est base sur la correlation, l'algorithme
peut egalement ^etre utilise pour des images multibandes. Les images multi-bandes sont constituees
de plusieurs bandes contenant chacune une image
monochrome (une bande rouge, une bande verte et
une bande bleue pour les images en couleur par exemple). Les distances pixel a pixel (ou les distance multipixel sont modiees simplement en faisant la somme
des distances pixel a pixel (ou multi-pixel) sur toutes
les bandes. Tout le reste de l'algorithme est inchange.
3 - Calibration sur des sequences synthetiques
La methode presentee ici a ete calibree sur des sequences d'images synthetiques 10]. Ces sequences ont
ete generees a partir en appliquant l'eet d'un champ
de vitesses connu et suppose representatif (provenant
de la simulation numerique de l'ecoulement d'un uide autour de deux cylindre) sur une image constituee
d'une texture representative des images de particules.
10 sequences dierentes, constituees chacune de 4 images, ont ete synthetisees correspondant a des conditions contr^olees de bruit et de taux d'apparition et
disparition de particules (qui simule les particules entrant ou sortant de la zone eclairee a cause d'un mouvement dans la troisieme dimension). Ces sequences
sont disponibles (ainsi qu'un protocole de test) sur le
serveur ftp du LIMSI pour permettre des evaluations
comparatives a l'adresse : ftp://ftp.limsi.fr/pub/quenot/opflow/testdata/piv.
La precision moyenne est meilleure que 0.5 pixel/image en utilisant seulement deux images et meilleure
que 0.2 pixel/image en utilisant les quatre images
m^eme avec un niveau de bruit (aleatoire additif) de
10 % et un taux d'apparition et de disparition de particules de 10 %. Cette precision moyenne est a comparer avec le deplacement moyen entre deux images
consecutives qui est de 7.5 pixel/image.
4 - Resultats sur des sequences reelles
Les Figures 7 et 8 montrent les champs de vitesses
obtenus en utilisant des sequences de deux ou quatre
F.2.5
6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2
images de particules. Ces sequences ont ete prises a
l'IPPT-PAN an d'observer les mouvements de convection induits par les dierences de temperature et de
densite au cours de la congelation d'un liquide (eau)
provoquee par un refroidissement asymetrique. Le volume etudie ici est cubique (38 mm de c^ote) et seul
un plan (environ 2 mm d'epaisseur) de celui-ci est
eclaire. Le liquide est ensemence avec des particules
microscopiques diusant la lumiere an de rendre observable les mouvements du uide.
La gure 7 montre que le champ est extrait est effectivement continu, regulier et de haute resolution
spatiale. La gure 8 montre l'amelioration signicative apportee par l'utilisation de sequences de plus
de deux images. Les vitesses sont representees suivant une echellle non lineaire : les vitesses faibles sont
ampliees par rapport aux vitesses importantes de
facon a ce que l'on puisse voir plus clairement sur une
m^eme gure l'ensemble des mouvements. L'echellle
non lineaire est obtenue par une simple transformation en puissance (avec un exposant inferieur a 1) sur
le module du vecteur, l'angle de celui-ci restant inchange.
Les temps de calcul sont non negligeables : sur des
images de 496 496 pixels comme celles utilisees ici,
et avec un processeur Pentium II operant sous Linux,
ils sont de l'ordre de 10 minutes pour des sequences
de deux images et de 100 minutes pour des sequences
de quatre images.
5 - Conclusion
La technique de calcul du ot optique basee sur
l'utilisation de la programmation dynamique a ete appliquee avec succes a la Velocimetrie par Image de
Particules conduisant a une amelioration signicative
de la precision et de la resolution spatiale du champ
de vitesses. Des resultats ont ete obtenus pour des
sequences synthetiques calibrees et pour des sequences
reelles issues d'une experience sur la congelation d'un
liquide. La precision moyenne est meilleure que 0.5
pixel/image pour des sequences de deux images et
meilleure que 0.2 pixel/image pour des sequences de
quatre images m^eme avec un niveau de bruit de 10 %
et un taux d'apparition et de disparition de particules
de 10 %. Plusieurs ameliorations sont encore possible,
en particulier la generalisation a la VIP en 3D.
3] J. Westerweel, Digital Particle Image Velocimetry
- Theory and Application, Delft University Press,
1993.
4] H.T. Huang, H.E. Fiedler and J.J. Wang Limitation and improvement of PIV. Part I: Limitation
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particle image patterns. Exp Fluids 15:168-174,
1993
5] P.T. Tokumaru and P.E. Dimotakis, Image correlation velocimetry. Exp. Fluids 19:1-15, 1995.
6] J.L. Barron, D.J. Fleet and S.S. Beauchemin, Performance of Optical Flow Techniques, International Journal of Computer Vision, Vol. 12, No
1, pp. 43-77, 1994.
7] G.M. Quenot The \Orthogonal Algorithm" for
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San-Francisco, CA, March 23-26, 1992.
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10] G.M. Quenot, Jaroslaw Pakleza and Tomasz A.
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F.2.6
6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2
Figure 7: Congelation dans une cavite refroidie par le cote gauche. Resultats pour une sequence de 2 images
(496 496). Une des images de la sequence (en haut a gauche) Champ de vitesses extrait (sous-echantillonne
12 fois dans les deux directions, echelle non lineaire, en haut a droite) Zooms 4 du champ de vitesses (sousechantillonne 4 fois dans les deux directions, echelles non lineaires, en bas a gauche et a droite). La vitesse
maximale correspond a un deplacement d'environ 20 pixels entre les deux images.
F.2.7
6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2
Figure 8: Congelation dans une cavite refroidie par le dessus. Resultats pour une sequence de 4 images (496
496). Une des images de la sequence (en haut a gauche)
superposition de 15 images (en haut a droite)
Champ
de vitesses extrait (sous-echantillonne 12 fois dans les deux directions, echelle non lineaire) a partir de 2 images
(en bas a gauche) et a partir de 4 images (en bas a droite). La vitesse au centre de l'image correspond a un
deplacement d'environ 20 pixels entre deux images consecutives.
F.2.8

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