Mécanique - Statique des solides GMP1

Mécanique - Statique des solides
GMP1 - équilibre d’un double-decker
TD statique avec frottement
1. Aucun frottement considéré
Le problème étudié est plan ; on considère donc que le véhicule admet (G, ~x, ~y ) comme plan de symétrie, avec ~x
suivant l’horizontale et ~
y vertical ascendant. Le véhicule est en contact aux points C (regroupant les roues droite, avant et
arrière) et D (regroupant les roues gauche, avant et arrière).
Par conséquent, les actions mécaniques estimées en C et D correspondent dans la réalité aux efforts sur les roues, toutes
~y1
~y
G
C
~x1
D
~x
Figure 1: étude géométrique de l’équilibre d’un double-decker
les deux ramenées dans le plan de symétrie. Si on voulait calculer les efforts sur chaque roue il faudrait d’abord connaître
les efforts en C et D puis travailler dans le plan (G, ~y , ~z ) pour estimer les efforts aux points A et B par exemple sur les
roues gauches (voir figure du sujet).
On repère l’inclinaison de la route à l’aide de l’angle α par rapport à l’axe ~x.
Le double-decker (S) isolé, à l’équilibre statique, est soumis à trois actions mécaniques extérieures :
• action de la pesanteur,
appliquée
par le torseur



 en G, représentée
0 
 mgsinα 0 
 0
=
−mgcosα 0
{Tpes→S } =
−mg 0




0
0 (G,~x
0
0 (G,~x,~y,~z)
y1 ,~
z)
1 ,~
• réaction du sol sur les roues en C, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle avec frottement, de
normale ~y1 )
1


 XC 0 
YC 0
{TrouesC →S } =


0 0 (C,~x ,~y ,~z)
1 1
avec XC < 0 car s’oppose à la tendance au glissement.
• réaction du sol sur les roues en D, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle avec frottement, de
normale ~y1 )


 XD 0 
YD 0
{TrouesD →S } =
avec XD < 0 car s’oppose à la tendance au glissement.


0
0 (D,~x ,~y ,~z)
1
1
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S }(D,~x1 ,~y1 ,~z) + {TrouesC →S }(D,~x1 ,~y1 ,~z) + {TrouesD →S }(D,~x1 ,~y1 ,~z) = 0
Où on choisit le point D comme point de réduction car il joue un rôle particulier que nous allons préciser par la suite.
On transporte les torseurs au point D, soit :
• Pour l’action de pesanteur (on pose h lahauteur
à la route)
 dupoint G par
 rapport

: 

O
−1, 2
mgsinα
0
−−−−−−−→ −−−−−−−→ −−→ ~ 

O  +  h  ∧  −mgcosα  = 
0
MD,pes→S = MG,pes→S + DG∧ P =
O
O
O
mg(1, 2cosα − hsinα)
donc le torseur 
devient

0
 mgsinα

−mgcosα
0
{Tpes→S } =


0
mg(1, 2cosα − hsinα) (D,~x ,~y ,~z)
1
1
• Pour l’action du sol sur les roues en C :

 
 
 

O
−2, 4
XC
0
−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−→ −−→ ~

0
MD,rouesC →S = MC,rouesC →S + DC ∧ RrouesC →S =  O  +  0  ∧  YC  = 
O
O
O
−2, 4YC
donc le torseur devient


0
 XC

YC
0
{TrouesC →S } =


0 −2, 4YC (D,~x ,~y ,~z)
1
1
Le théorème de la résultante en projection sur les axes ~x1 et ~y1 et l’équation de moment au point A suivant ~z donnent :
XD + mgsinα + XC = 0
YD − mgcosα + YC = 0
/~x
/~y
(1)
(2)
mg(1, 2cosα − hsinα) − 2, 4YC = 0
/~z
(3)
Le système d’équations présentent 5 inconnues : les couples (XC , YC ), (XD , YD ) et la position (hauteur) du centre de
gravité h.
Les lois de Coulomb doivent être vérifiées. Bien sûr ici, on suppose qu’il n’y a pas glissement et que le basculement se
produit avant le glissement. Ceci suppose que :
• 0 < −XC < f.YC , la résultante en C est située à l’intérieur du cône de frottement,
• 0 < −XD < f.YD , la résultante en D est située à l’intérieur du cône de frottement.
Ces deux hypothèses seront à vérifier en fin de calculs.
Pour résoudre le problème posé, il faut se placer dans le cas du "début de basculement" : on a alors une résultante des
2
forces nulle en C, soit XC = 0 et YC = 0. Les équations deviennent :
XD + mgsinα = 0
YD − mgcosα = 0
/~x
/~y
(4)
(5)
mg(1, 2cosα − hsinα) = 0
/~z
(6)
L’équation (6) permet d’obtenir la condition sur la hauteur h dans le cas du "basculement naissant" :
1, 2
h=
tanα
Les équations (4) et (5) donnent :
XD = −mgsinα, on vérifie bien, au passage, que XD < 0,
YD = mgcosα.
S’il n’y a pas glissement, on doit vérifier que 0 < −XD < f.YD , ce qui impose
mgsinα < f mgcosα
soit, en utilisant la notation f = tanϕ où ϕ correspond à l’angle de frottement (demi-angle du cône de frottement) :
tanϕ > tanα
La fonction "tangente" étant une fonction strictement croissante, cela impose in fine
ϕ > α l’angle de frottement doit être supérieur à l’angle d’inclinaison de la route, ce qui correspond bien à la définition
de l’angle de frottement si on souhaite un non-glissement !
Quelques remarques concernant ce problème :
1. Il pouvait se résoudre très simplement graphiquement en considérant que les roues en C décollent: dès lors, le
solide est soumis à deux forces (en G et D), donc il y a équilibre seulement si les forces sont égales, opposées et
de même support, en l’occurrence la droite GD. Ceci impose que le point G soit situé à la verticale du point D. Si
\ donc
on considère alors le point H, milieu du segment CD, le triangle HDG est rectangle en H avec α = AGD
1, 2
HD
=
et on retrouve la relation encadrée ci-dessus.
tanα =
GH
h
2. On peut utiliser le "principe" du polygone de sustentation : l’équilibre n’est possible que si la verticale du centre
de gravité croise l’intérieur du polygone constitué ici des quatre points de contact des roues sur le sol (c’est donc
un rectangle). Dans le cas critique du début de basculement, la projection de G sur le sol touche le polygone. C’est
donc quand la verticale de G passe par D et ... on revient à la remarque précédente !
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