fichier PDF - Publications de la SMF

Bull. Soc. math. France,
120, 1992, p. 485–506.
L’ENSEMBLE EXCEPTIONNEL DANS
LA CONJECTURE DE SZPIRO
PAR
E. FOUVRY, M. NAIR et G. TENENBAUM (*)
RÉSUMÉ. — Nous montrons que, pour les deux types naturels de mesures associés
à ce problème, la conjecture de Szpiro sur les courbes elliptiques semi-stables est
satisfaite presque partout, avec beaucoup de marge. Dans les deux cas, nous donnons
une majoration effective de la taille de l’ensemble exceptionnel.
ABSTRACT. — We show that, for the two natural measures associated with this
problem, Szpiro’s conjecture on semi-stable elliptic curves is true, with a lot to spare,
almost always. In both cases, we give effective upper bounds for the size of the
exceptional set.
1. Introduction et énoncé des résultats
Soit E une courbe elliptique sur Q, de discriminant minimal ∆E et de
conducteur NE . La conjecture de Szpiro forte, cf. par exemple l’exposé
d’ŒSTERLÉ [Oe], consiste à supposer que, si E est semi-stable, il existe
pour chaque nombre réel ε > 0 une constante C(ε) telle que
(1.1)
|∆E | ≤ C(ε)NE6+ε .
ŒSTERLÉ [Oe] et MASSER [Ma] ont fourni des contre-exemples impliquant
que cet énoncé est quasi-optimal, au sens où l’on ne peut y remplacer ε
par 0, ni même C(ε)NEε par une puissance de log NE .
(*) Texte reçu le 8 février 1991, révisé le 30 janvier 1992.
E. FOUVRY, Mathématiques (Bât. 425), Université de Paris XI-Orsay, 91405 Orsay
Cedex, France.
M. NAIR, Department of Mathematics, University Gardens, Glasgow G12 8QW,
Scotland, Royaume Uni.
G. TENENBAUM, Département de Mathématiques, Université de Nancy 1, BP 239,
54506 Vandœuvre Cedex, France.
Classification AMS : 11 G 05, 11 N 45, 11 N 25.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
c Société mathématique de France
0037–9484/1992/485/$ 5.00
486
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
Même sous sa forme faible, où l’on demande seulement que (1.1) soit
satisfaite pour au moins un ε > 0, la conjecture de Szpiro possède
des conséquences drastiques sur divers problèmes célèbres tels que la
conjecture de Fermat, cf. Frey [Fr], la conjecture abc, le nombre des points
entiers d’une courbe elliptique sur Q, cf. HINDRY-SILVERMAN [H–S], etc. Le
lecteur pourra trouver dans les survols d’ŒSTERLÉ [Oe] et LANG [La] de
plus amples informations concernant les statuts relatifs de ces questions.
Pour chaque courbe E/Q, on a NE ≥ 2 et NE | ∆E . En introduisant
le quotient de Szpiro
(1.2)
βE :=
log |∆E |
≥ 1,
log NE
on voit donc que la conjecture de Szpiro faible équivaut à l’existence d’une
constante absolue K telle que l’on ait
βE ≤ K
(1.3)
pour toute courbe semi-stable sur Q. De plus, comme on peut rendre
|∆E | arbitrairement grand en excluant E d’un nombre fini de classes
d’isomorphismes sur Q, on peut énoncer la conjecture de Szpiro forte sous
la forme équivalente : pour K > 6, il n’y a qu’un nombre fini de classes
d’isomorphismes de courbes elliptiques semi-stables sur Q telles que
βE ≥ K.
(1.4)
Nous nous proposons ici de montrer que la conjecture de Szpiro forte
est vérifiée pour “presque toute” courbe elliptique, semi-stable ou non,
et d’évaluer, en un sens que nous préciserons, la taille de l’ensemble des
courbes exceptionnelles.
Ce programme nécessite un paramétrage de l’ensemble des classes
d’isomorphismes de courbes elliptiques sur Q, que nous décrivons maintenant.
Chaque classe contient une courbe, notée E(a, b), dont l’équation de
Weierstrass est de la forme
y 2 = x3 + ax + b
(1.5)
(a, b ∈ Z)
et dont le discriminant, nécessairement non nul, vaut
∆(a, b) := −16(4a3 + 27b2 ).
(1.6)
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
CONJECTURE DE SZPIRO
487
Ce représentant est unique lorsqu’on impose, par application inductive
d’isomorphismes du type x →
x/u2 , y → y/u3 (u ∈ Z), la condition de
minimalité
p4 | a =⇒ p6 b.
(1.7)
(Ici et dans la suite, la lettre p désigne génériquement un nombre premier.)
On peut alors vérifier, classiquement, que les seuls isomorphismes susceptibles de faire décroı̂tre le discriminant en valeur absolue sont du type
(x, y) → (X, Y ) avec x = u2 X + r, y = u3 Y + u2 sX + t et u ∈ {1, 2, 3, 6},
r, s, t ∈ Q, cf. [Si, p.49]. Comme un tel isomorphisme divise le discriminant
par u12 , on en déduit que
(1.8)
∆E(a,b) = u−12 ∆(a, b)
(u = 1, 2, 3 ou 6).
Soient K ≥ 1, A ≥ 1, B ≥ 1, D ≥ 1. Nous désignons par S0 (D; K) le
nombre des couples (a, b) satisfaisant (1.7) et tels que
(1.9)
0 < ∆(a, b) ≤ D, βE(a,b) ≥ K.
Nous introduisons aussi le nombre S0 (A, B; K) des couples (a, b) satisfaisant (1.7) et
(1.10)
|a| ≤ A, |b| ≤ B,
βE(a,b) ≥ K.
Parallèlement, nous définissons les quantités S1 (D; K), S1 (A, B; K) obtenues en imposant la condition supplémentaire que E(a, b) est semi-stable.
Les rapports
(1.11)
Sj (D; K) ,
Sj (D; 1)
Sj (A, B; K)
Sj (A, B; 1)
(j = 0, 1)
constituent alors, pour K > 1, une mesure asymptotique, lorsque D et
max(A, B) tendent vers +∞, de l’ensemble exceptionnel pour la conjecture de Szpiro. Nous montrerons plus loin l’existence d’une constante
absolue positive c0 telle que l’on ait pour A ≥ 16, B ≥ 16,
S0 (D; 1) ≥ S1 (D; 1) ≥ c0 D5/6 ,
(1.12)
S0 (A, B; 1) ≥ S1 (A, B; 1) ≥ c0 AB.
Ces estimations permettent d’interpréter les énoncés suivants, qui
constituent l’objet principal de ce travail.
THÉORÈME 1. — Soient ε > 0, K ≥ 1. Il existe une constante
c1 = c1 (ε, K) telle que l’on ait pour D ≥ 3
log D 1 + log(c K)
2
+ε
(1.13)
S0 (D; K) ≤ c1 D1/K exp
K
log2 D
avec c2 = 23 409.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
488
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
THÉORÈME 2. — Soit K > 1. On a
1
S0 (A, B; K) = 0.
(1.14)
lim
A,B→+∞ AB
Dans tout l’article nous notons logk la k-ième itérée de la fonction
logarithme.
Les THÉORÈMES 1 et 2 signifient que les exceptions à la conjecture de
Szpiro sont rares. On a ainsi
(1.15)
S1 (D; 6) ≤ S0 (D; 6) ≤ S1 (D; 1)1/5+ o(1)
(D → +∞)
bien que les contre-exemples de Masser et Oesterlé mentionnés plus
haut impliquent que S1 (D; 6) → +∞ (D → +∞). Semblablement, le
THÉORÈME 2 établit que βE(a,b) est “presque partout” voisin de 1.
L’estimation (1.13) n’est vraisemblablement non triviale que pour
K > 6/5, car il est raisonnable de conjecturer que S0 (D; 1) = D5/6+ o(1) .
Une telle évaluation est probablement très délicate et certainement hors
d’atteinte des méthodes développées dans ce travail.
La preuve du THÉORÈME 1 repose sur un résultat profond de DAVEN[D–H] concernant la 3-partie du groupe des classes des
corps quadratiques. Les techniques utilisées consécutivement font partie
de l’arsenal standard de la théorie analytique des nombres.
PORT–HEILBRONN
La démonstration du THÉORÈME 2 nécessite des outils analytiques
plus sophistiqués, comme le grand crible arithmétique et le grand
crible de Gallagher. Nous étendons la méthode développée par HOOLEY,
cf. [Ho, Chap. 4], pour montrer qu’un polynôme cubique irréductible
dans Z[X] prend des valeurs sans facteur carré pour une proportion positive des entiers. La technique du présent article permettrait d’établir la
relation
2
1 (1.16)
lim
(a, b) : |a| ≤ A, |b| ≤ B, µ |a3 + b2 | = 1 = c
A,B→+∞ AB
pour une constante positive convenable c, où µ désigne la fonction
de Möbius. Le seul outil algébrique intervenant dans la preuve du
THÉORÈME 2 est une majoration classique des sommes de Jacobi, cf. [I–R,
p. 103].
Nous achevons cette introduction par la preuve des relations (1.12).
Considérons, pour A ≥ 16, B ≥ 16, l’ensemble H(A, B) des couples (a, b)
satisfaisant à
0 < a ≤ A, 0 < b ≤ B, (a, b) = 16,
(1.17)
3 a, a et b ≡ 16 (mod 64).
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
489
CONJECTURE DE SZPIRO
On a clairement
(1.18)
(a, b) ∈ H
1
1/3 1
, 10 D1/2
10 D
=⇒ 0 < ∆(a, b) ≤ D.
De plus, la relation (1.7) est satisfaite pour tout couple (a, b) de H(A, B)
puisque (a, b) = 16 et 26 b. Nous allons montrer que E(a, b) est semistable pour tout couple (a, b) de H(A, B) et que l’on a, pour une constante
absolue positive convenable c3 ,
H(A, B) ≥ c3 AB.
(1.19)
Cela implique pleinement la validité de (1.12).
En effectuant le changement de variables x = 4X, y = 8Y + 4 dans
l’équation (1.15) pour E(a, b), nous obtenons l’équation de Weierstrass
(1.20)
Y 2 + Y = X3 +
b − 16
a
X+
16
64
dont les invariants c4 et ∆ associés sont (cf. [Si, p. 46])
(1.21)
c4 = −8a, ∆ = −
4a3 + 27b2
·
162
On a (c4 , ∆) = 1. Cela implique que l’équation (1.20) est minimale et
que E est semi-stable [Ta].
Il reste à établir (1.19). Observons pour cela que H(A, B) contient en
particulier tous les couples (a, b) de la forme
a = 16(1 + 12α),
b = 16(1 + 12β),
avec (1 + 12α, 1 + 12β) = 1, 0 ≤ α ≤ A1 := [A/1000], 0 ≤ β ≤ B1 :=
[B/1000]. D’où, en posant M1 = 1 + 12 min(A1 , B1 ),
H(A, B) ≥ A1 B1 −
5≤p≤M1
0≤α≤A
0≤β≤B
1
p | 1+12α p | 1+12β
(1.22)
B
A1
1
+1
+1
≥ A1 B1 −
p
p
5≤p≤M1
≥ A1 B1 1 −
p−2 − (A1 + B1 ) log M1 − M1
p≥5
≥ c5 AB
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
490
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
dès que M1 est assez grand. Assortie à la minoration triviale
H(A, B) ≥ A1 + B1 + 1
obtenue
en
considérant
les
couples
(a,
b)
de
la
forme
16,
16(1
+
12β)
et
16(1 + 12α), 16 , l’estimation (1.22) implique bien (1.19).
Remerciements. — Cet article doit beaucoup à de stimulantes discussions que les auteurs ont eues avec Marc HINDRY et SINNOU David. Nous
tenons à leur exprimer ici notre gratitude.
2. Démonstration du Théorème 1
Désignons par k(n) le noyau d’un entier relatif n, soit
(2.1)
k(n) :=
p.
p|n
Nous posons pour n ∈ Z
(2.2)

 log |n|
β(n) := log k(n)

0
si |n| > 1,
si |n| ≤ 1.
Nous n’utilisons, parmi les propriétés du conducteur NE d’une courbe
elliptique E/Q, que la relation de divisibilité
k(∆E ) | NE .
(2.3)
Ainsi, on a certainement, pour toute courbe E(a, b),
βE(a,b) ≤ β(∆E(a,b) ).
(2.4)
Maintenant, la relation (1.8) implique
k ∆(a, b) ≤ 6k(∆E(a,b) ),
(2.5)
de sorte que l’on peut écrire
S0 (D; K) ≤
(2.6)
0<|n|≤D
k(n)≤6 D1/K
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
R(n)
CONJECTURE DE SZPIRO
491
où R(n) désigne le nombre de représentations de l’entier n sous la forme
n = ∆(a, b).
Posons δ(a, b) = a3 + b2 . On a
(2.7)
−27∆(a, b) = δ(12a, 108b).
Si r(n) dénote le nombre de représentations de n sous la forme n = δ(a, b),
on a donc R(n) ≤ r(−27n) et il suit
(2.8)
S0 (D; K) ≤
r(n).
0<|n|≤27D
k(n)≤18 D1/K
A ce stade, il faut disposer d’une majoration pour r(n). En l’absence
d’une technique produisant spécifiquement des évaluations en moyenne,
nous avons recours à une estimation individuelle. Les résultats classiques
concernant le nombre des points entiers d’une courbe elliptique fourniraient ici des bornes prohibitives, et nous employons un théorème de
EVERTSE–SILVERMAN [E–S] relatif aux équations du type y m = f (x), voir
aussi [Sp]. Nous énonçons le Theorem 1 (a) de [E–S] dans un cas particulier ;
LEMME 1 (EVERTSE–SILVERMAN). — Soient S un ensemble fini de
nombres premiers, RS l’anneau des S-entiers de Q, f (X) un polynôme de
degré d ≥ 2 dont le discriminant est inversible dans RS , L une extension
algébrique de Q de degré ' et contenant au moins deux zéros de f , m un
entier ≥ 3, et κm (L) le m-rang du groupe des classes d’idéaux de L. On a
(2.9)
(x, y) ∈ RS × Q : y m = f (x) ≤ 17(6+|S|)m2|S|+κm (L) .
Nous voulons appliquer ce résultat avec m = 3 et f (x) = x2 − n,
de discriminant 4n. Cela impose de choisir S = {p: p | 2n}, d’où
|S| ≤ 1 + ω(n), avec la notation traditionnelle ω(n) := p | n 1. On choisit
√
ensuite L = Q( n), de sorte que ' = 1 ou 2. La relation (2.9) fournit alors
(2.10)
ω(n)
r(n) ≤ c6 c2
h3 (n)
avec c6 = 1714 × 34 , c2 = 172 × 34 = 23 409, et
(2.11)
h3 (n) := 3κ3 (Q(
√
n))
.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
492
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
L’estimation classique de l’ordre maximal de la fonction ω(n) implique
que l’on a
ω(n) ≤
(2.12)
log D
1
+ o(1)
K
log2 D
(D → +∞)
pour tout entier n apparaissant dans la sommation (2.8). Il suit, pour
ε > 0 et K > 1 fixés,
(2.13)
S0 (D; K) exp
log c
2
K
+ε
log D H3 (27D, 18D1/K ),
log2 D
où l’on a posé
(2.14)
H3 (x, y) :=
h3 (n).
0<|n|≤x
k(n)≤y
Nous allons estimer (2.14). Observons d’abord que chaque entier n
de Z peut se décomposer de manière unique sous la forme n = qm2 t2 ,
avec q ∈ Z, µ(|q|)2 = 1, t ≥ 1, k(t) | q, m ≥ 1, (m, q) = 1. On a alors
(2.15)
k(n) = |q|k(m) et h3 (n) = h3 (q).
En introduisant la quantité
N (ξ, η) := {n ≤ ξ : k(n) ≤ η}
(2.16)
et en reportant dans (2.14), il vient
(2.17)
H3 (x, y) =
0<|q|≤y
2
µ |q| h3 (q)
√
1≤t≤ x/|q|
k(t) | q
1 x, y
N
·
t |q| |q|
A ce stade, nous faisons appel à deux résultats élémentaires prouvés
dans [Te 2, th. II.1.13 et th. III.5.3, respectivement]. Le premier découle
d’une utilisation simple de la “méthode de Rankin” pour les majorations
de sommes arithmétiques, le second est établi par récurrence grâce à la
formule d’Euler-Mac Laurin.
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
493
CONJECTURE DE SZPIRO
LEMME 2. — On a pour ξ ≥ η ≥ 2
(2.18)
N (ξ, η) η log η exp
8 log ξ .
LEMME 3. — Soient a1 , a2 , . . . , ak des nombres réels positifs. Désignons par Nk (z) le nombre des k-uples d’entiers (ν1 , ν2 , . . . , νk ) tels que
k
ν1 ≥ 0, . . . , νk ≥ 0 et i=1 νi ai ≤ z. On a
(2.19)
Nk (z) ≤
k
(z + a1 + · · · + ak )k 1
.
k!
a
i=1 i
Appliquons d’abord (2.18) sous la forme
1 x y y
,
(2.20)
N
exp 3 log x
t |q| |q|
|q|
pour tout couple (t, q) apparaissant dans la sommation de (2.17). Nous
pouvons ensuite faire appel à (2.19) pour estimer le nombre des entiers t
admissibles : il suffit de choisir ai = log pi où p1 , . . . , pk sont les facteurs
premiers distincts de q. On obtient
(log x)k 1
k = ω(|q|) .
(2.21)
1≤
k!
log p
√
p|q
1≤t≤ x/|q|
k(t) | q
On peut encore majorer le membre de droite en étendant le produit aux k
plus petits nombres premiers. De plus, on a certainement
log y
(2.22)
k ≤ 1 + o(1)
(y → +∞)
log2 y
puisque |q| ≤ y. En insérant cette inégalité dans (2.21) et en effectuant le
calcul par la formule de Stirling et le théorème des nombres premiers, on
obtient que l’on a, pour tout ε > 0 et uniformément pour y → +∞, y ≤ x,
e log x log y
(2.23)
log
.
1 ≤ exp 1 + o(1)
log2 y
log y
√
1≤t≤ x/|q|
k(t) | q
Évaluons (2.17) à l’aide de (2.20) et (2.23), puis reportons le résultat
obtenu dans (2.13). Il vient
(2.24)
log D 1 + log(c K)
µ |q| 2 h3 (q)
2
S0 (D; K) exp
+ε
y
K
log2 D
|q|
0<|q|≤y
1/K
. La majoration du THÉORÈME 1 découle
où l’on a posé y := 18 D
alors, par sommation d’Abel, de l’évaluation suivante de DAVENPORT–
HEILBRONN [D–H, Lemma 7] :
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
494
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
LEMME 4 (DAVENPORT–HEILBRONN). — Soit h∗3 (d) le nombre des classes
d’idéaux d’ordre 3 dans le groupe des classes du corps quadratique de
discriminant d. On a
h∗3 (d) X
(X → +∞).
(2.25)
0<|d|≤X
En effet, on a lorsque q est sans facteur carré

1
h3 (q) = h∗3 (4q)
 ∗
h3 (q)
si q = 1,
si q ≡ 2 ou 3 (mod 4),
si q = 1 et q ≡ 1 (mod 4).
On a donc
(2.26)
0<|q|≤y
µ(|q|)2 h3 (q)
≤
|q|
0<|d|≤4y
h∗3 (d)
log y
|d|
grâce à (2.25). Cela complète la preuve du THÉORÈME 1.
Il est à souligner que DAVENPORT et HEILBRONN obtiennent en fait
dans [D–H] un équivalent asymptotique de la somme (2.25). Ce résultat
est notablement plus difficile que la majoration utilisée ici.
3. Démonstration du Théorème 2
Soit K > 1, ε := 13 (K − 1) > 0. Les relations (2.4) et (2.5) impliquent
l’existence d’une constante k0 = k0 (ε) telle que l’on ait
(3.1)
βE(a,b) ≤ (1 + ε)β ∆(a, b)
dès que k ∆(a, b) > k0 (ε). En tenant compte de (2.7), nous pouvons
donc écrire
r(n; A, B) +
r(n; A, B)
(3.2)
S0 (A, B; K) ≤
n∈Z
β(n)>1+ε
n∈Z
k(n)≤k0 (ε)
où r(n; A, B) désigne le nombre de représentations de l’entier n sous la
forme n = δ(a, b) avec |a| ≤ 12A, |b| ≤ 108B.
Nous aurons besoin de six résultats auxiliaires, que nous établissons
maintenant. Les paramètres A, B sont toujours ≥ 1, et nous posons
systématiquement dans la suite
(3.3)
TOME
X := (12A)3 + (108B)2 ,
120 — 1992 —
N
◦
4
Y := A + B,
Z := min(A, B).
495
CONJECTURE DE SZPIRO
LEMME 5. — Pour m ≥ 1, posons
(3.4)
T (m; A, B) :=
r(n; A, B).
n∈Z
n≡0 (mod m)
On a pour toute puissance de nombre premier pν
(3.5)
T (pν ; A, B) AB
A
B
+ [(ν+2)/3] + [(ν+1)/2] + Z.
pν−[ν/6]
p
p
Démonstration. — Décomposons la somme (3.4) en trois sous-sommes
S1 , S2 , S3 , correspondant respectivement aux conditions supplémentaires
(S1 ) : p a;
(S2 ) : pν | a3 ;
(S3 ) : pµ a,
0 < µ < 13 ν.
Si le couple (a, b) est compté dans S1 , alors p ab. Lorsque a est fixé, la
congruence b2 ≡ −a3 (mod pν ) possède au plus quatre solutions — cette
valeur correspondant au cas p = 2, ν ≥ 3, et pouvant être remplacée par
2 si p > 2. On a donc
B
S1 A ν + 1 .
p
Similairement, lorsque b est fixé, p b, la congruence a3 ≡ −b2 (mod pν )
possède au plus trois solutions. On a donc aussi
S1 B
A
pν
+1
et finalement
S1 (3.6)
AB
+ Z.
pν
Pour tout couple (a, b) compté dans S2 , on a pν | a3 , pν | b2 , donc
p[(ν/2)/3] | a, p[(ν+1)/2] | b, et donc
(3.7)
S2 A
p[(ν+2)/3]
+1
B
p[(ν+1)/2]
+1 .
Cette estimation est de l’ordre de grandeur du membre de droite de (3.5)
puisque l’on a pour ν ≥ 1
ν + 2
3
+
ν + 1
2
≥ν−
ν .
6
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
496
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
Considérons maintenant un couple (a, b) compté dans S3 . On a, pour un
certain entier µ tel que 3µ < ν, p3µ a3 et donc p3µ b2 . En particulier,
µ est pair, disons µ = 2m, et l’on peut écrire b = b1 p3m , a = a1 p2m ,
avec p a1 b1 et
a31 + b21 ≡ 0 (mod pν−6m ).
La borne (3.6) fournit alors la majoration suivante pour le nombre des
couples (a1 , b1 )
A
(Ap−2m )(Bp−3m )
, B
+
min
pν−6m
p2m p3m
Z
AB
+ 2m ·
ν−m
p
p
En sommant cette estimation pour 1 ≤ m ≤ 16 (ν − 1) , on obtient
AB
(3.8)
S3 ν−[ν/6] + Z,
p
une borne qui est encore compatible avec (3.5). Cela achève la démonstration du LEMME 5.
LEMME 6. — Pour t ≥ 1, n ∈ Z, posons
(3.9)
nt :=
pν .
p≤t
pν n
On a uniformément pour A ≥ 1, B ≥ 1, t ≥ 2, T ≥ 2,
t log2 X
log t
+Z 2
·
(3.10)
r(n; A, B) AB
log T
log t · log T
n∈Z
nt ≥T
Démonstration. — On a
r(n; A, B) log nt =
T (pν ; A, B) log pν .
n=0
p≤t
ν≥1
pν ≤X
Par (3.5), cette quantité est
AB
ν log p
ν log p
+
A
pν−[ν/6]
p[(ν+2)/3]
p≤t ν≥1
p≤t ν≥1
+B
log X 2
AB log t + Zt
.
log t
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
ν log p
log2 X
+Z
[(ν+1)/2]
log p
p
p≤t ν≥1
p≤t
497
CONJECTURE DE SZPIRO
Cela implique bien (3.10).
LEMME 7 (Grand crible de Gallagher [Ho]). — Soit A ⊆ {n : 1 ≤ n ≤ x}.
Pour chaque puissance de nombre premier q, on suppose que A est confiné
modulo q à ν(q) classes résiduelles. Alors on a
(3.11)
|A| ≤
q∈E
Λ(q)
− log x
Λ(q) − log x
ν(q)
q∈E
où Λ désigne la fonction de von Mangoldt et où E est un ensemble
arbitraire de modules q tels que le dénominateur soit positif.
LEMME 8 (Grand crible arithmétique [Bo]). — Soit
B ⊆ {n : M ≤ n ≤ M + N }
un ensemble d’entiers confiné, pour chaque nombre premier p, à p − w(p)
classes résiduelles modulo p. On pose
(3.12)
g(q) := µ(q)2
p|q
w(p)
p − w(p)
(q ≥ 1).
Alors on a pour tout Q ≥ 1
|B| ≤
(3.13)
avec
(3.14)
L :=
N + Q2
L
g(q).
q≤Q
LEMME 9 (TENENBAUM [Te 1]). — Soient λ1 , λ2 , des constantes réelles
telles que λ1 > 0, 0 < λ2 < 2. Pour toute fonction multiplicative f telle
que
0 ≤ f (pν ) ≤ λ1 λν2
(p ≥ 2, ν ≥ 1),
on a uniformément pour x ≥ 2, t ≥ 2, T ≥ 2,
f (p) − 1 log T
+
f (n) x exp − λ3
(3.15)
log t
p
1≤n≤x
nt ≥T
p≤x
où λ3 est une constante positive ne dépendant que de λ2 .
Le sixième et dernier lemme est une variante d’un résultat de HOOLEY
[Ho, chap. 4].
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
498
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
LEMME 10. — Soit F (z) un polynôme à coefficients entiers, de degré 3.
On note ρ(m) le nombre de solutions de la congruence F (ν) ≡ 0 (mod m).
Alors on a pour x ≥ m ≥ 1
(3.16)
1
√ ρ(m) log p 1+2
x √
m
p
p|m
1≤n≤x
F (n)=m2
où la constante implicite ne dépend que du coefficient directeur de F (z).
Démonstration. — Soient rj (1 ≤ j ≤ ρ(m)) les racines de F modulo m.
Désignons par γ(m) le membre de gauche de (3.16). On a
γ(m) =
(3.17)
γj (m),
1≤j≤ρ(m)
γj (m) :=
avec
1.
1≤n≤x
F (n)=m2
n≡rj (mod m)
Soit c7 une constante positive que nous préciserons plus loin. Nous
considérons l’ensemble P des nombres premiers p satisfaisant à
c7 < p ≤ x,
(P)
p m.
Si l’entier n est compté dans γj (m), alors F (n)/m est un carré, donc en
particulier résidu quadratique modulo p pour tout p de P. Il existe par
conséquent un résidu quadratique ap (mod p) tel que
F (n) ≡ map (mod p).
(3.18)
Cela implique n ≡ ν (mod p) où ν est solution d’une équation de
congruence du type
F (ν) ≡ m'2 (mod p).
(3.19)
Soit S(m, p) le nombre des couple (ν, ') solutions de (3.19) dans
Fp2 . Si ap = 0, alors ap possède deux représentations sous la forme
'2 modulo p. Si ap = 0 et si le coefficient directeur de F n’est pas
divisible par p (ce qui est réalisé dès que c7 excède ce coefficient), il
y a au plus 3 valeurs de ν qui satisfont (3.19). En tout état de cause,
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
CONJECTURE DE SZPIRO
499
on voit
dans γj (m), alors n est confiné à au plus
que, si n est
compté
3 + 12 S(m, p) − 3 = 12 S(m, p) + 3 classes résiduelles modulo p.
Lorsque c7 excède le coefficient directeur de F , l’équation (3.19) est
celle d’une cubique singulière ou d’une courbe elliptique sur Fp . Dans le
premier cas, on sait que que S(m, p) − p vaut 0, 1 ou −1, selon le type
de réduction (cf. [Si, p.240]). Dans le second cas, le théorème de Hasse
(cf. par exemple [Si, th. V.1.1]) implique
√
(3.20)
|S(m, p) − p| ≤ 2 p
(p ∈ P).
Cette inégalité est donc en fait valable sans restriction.
Nous estimons alors chaque γj (m) par le LEMME 7. Pour chaque
puissance de nombre premier q, nous choisissons

si q | m,
1 1
ν(q) :=
S(m, p) + 3 si q = p ∈ P,
2
q
dans tout autre cas.
Etant donné un paramètre P, 1 ≤ P ≤ x, à optimiser, nous prenons dans
le LEMME 3
E = P ∩ [1, P ] ∪ {pν : pν | m}.
Le dénominateur de (3.11) vaut alors
Λ(q)
q∈E
ν(q)
− log x =
Λ(q) + 2
q|m
= log m + 2
c7 <p≤P
pm
c7 <p≤P
pm
log p
− log x
S(m, p) + 3
√ log p 1 + O 1/ p − log x
p
= log(mP 2 x−1 ) + O(1) − 2
log p
≥1
p
p|m
pour le choix
P := c8
log p x
exp
m
p
p|m
où c8 ne dépend que de c7 . Avec cette valeur de P , le numérateur de (3.11)
vaut
x
Λ(q) +
log p − log x ≤
log p − log
P.
m
q|m
c7 <p≤P
pm
p≤P
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
500
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
On obtient donc
γj (m) (3.21)
log p x 1+2
m
p
p|m
où la constante implicite ne dépend que de c7 . Compte tenu de (3.17), on
en déduit (3.16).
Remarque : la conclusion du LEMME 10 persiste lorsque F est un polynôme à coefficients entiers de degré impair. Il suffit d’invoquer le théorème de Weil [We] à la place de celui de Hasse — cf. SCHMIDT [Sch, pp. 10–
13] pour un énoncé précis obtenu par voie élémentaire. En fait, nous
n’utiliserons ici le LEMME 10 que pour le polynôme F (z) = z 3 + b2 . Dans
ce cas, on peut remplacer l’emploi du théorème de Hasse par une majoration classique des sommes de Jacobi — voir par exemple [I–R, chap. 8,
th. 5, p. 103].
Démonstration du théorème 2. — On a
(3.22)
S0 (A, B; K) ≤ Nε (A, B) + Nε (A, B)
où Nε (A, B) et Nε (A, B) désignent respectivement les deux sommes
apparaissant au membre de droite de (3.2).
L’estimation de Nε (A, B) est facile. On a
Nε (A, B) ≤
(3.23)
r(n; A, B) +
|n|≤X 1/4
1
ε X 4 Z +
r(n; A, B)
nk0 (ε) >X 1/4
AB
+ Z log X = o(AB)
log X
(Z → +∞)
où nous avons utilisé la majoration triviale r(n; A, B) Z et le LEMME 6
avec t = k0 (ε), T = X 1/4 .
Soit η un paramètre positif que nous expliciterons plus loin. Nous répartissons les entiers n comptés dans Nε (A, B) en trois classes, correspondant
respectivement aux conditions supplémentaires
(C1)
|n| ≤ X 1/4 ;
(C2)
nt > T := X η ,
(C3)
|n| > X 1/4 ,
2
(t := X η ) ;
nt ≤ X η .
Nous désignons alors par Nj la contribution à Nε (A, B) des entiers n de
la classe (Cj ) (1 ≤ j ≤ 3).
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
501
CONJECTURE DE SZPIRO
Comme précédemment, on a
AB
N1 Z X 1/4 √ = o(AB)
X
(3.24)
(Z → +∞).
Le LEMME 6 implique immédiatement
N2 ηAB +
(3.25)
tZ
= o(AB)
η 5 log X
(Z → +∞)
pourvu que l’on ait
η → 0,
(3.26)
η 5 log X ≥ 1
(Z → ∞).
Nous supposons désormais cette condition réalisée.
Nous allons voir que chaque entier n compté dans Nε est de la forme
n = p2 h,
(3.27)
p > t.
Supposons en effet que p > t ⇒ p2 n. Alors
|n|
|n|1/(1+ε)
≤
nt
|n|
=
≤ X η,
k(n)
k(nt )
d’où |n| ≤ X η(1+ε)/ε , ce qui contredit |n| > X 1/4 pour Z assez grand
compte tenu de (3.26). Il suit
r(n; A, B).
(3.28)
N3 ≤
n∈Z \{0}
n=p2 h, p>t
Soit T1 := Y log Y / log Z. Grâce au LEMME 6, on peut majorer la
contribution à (3.28) des p tels que t < p ≤ T1 . Elle n’excède pas
T (p2 ; A, B) t<p≤T1
AB
Y
+
Z
+
p2
p
t<p≤T1
log T ZT1
AB
1
+ Y log
+
= o(AB)
t
log t
log T1
pour le choix
(3.29)
η :=
1 ,
log2 Z
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
502
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
qui satisfait (3.26).
Pour achever la démonstration du THÉORÈME 2, il reste donc à établir
que l’on a
(3.30)
N3 :=
(Z → +∞).
r(n; A, B) = o(AB)
n∈Z \{0}
n=p2 h, p>T1
Posons Fb (a) = a3 + b2 . Si n = Fb (a) = 0 est de la forme p2 h avec
p > T1 , on a certainement n = '2 m avec ' > T1 , µ(|m|)2 = 1, |m| ≤ XT1−2 .
De plus, l’équation Fb (a) = '2 m n’est soluble, à m fixé, que si b2 , et donc b,
appartient à la suite C(m) des entiers relatifs qui sont résidus cubiques
modulo m. On peut donc écrire
(3.31)
N3 ≤
2
µ |m|
0<|m|≤XT1−2
1.
|b|≤108B |a|≤12A
b∈C(m) Fb (a)=m2
Le LEMME 10 permet de majorer la somme intérieure. On obtient
l’estimation
A
(3.32)
ρb (m)h(m)
m
où ρb (m) est le nombre de racines de Fb modulo m et où h désigne la
fonction fortement multiplicative définie par h(p) = 1+2(log p)/p. Comme
le coefficient directeur de Fb est 1, la constante implicite dans (3.32) est
absolue.
Lorsque b ∈ C(m), disons b2 ≡ −β 3 (mod m), alors Fb (a) ≡ 0 (mod m)
équivaut à a ≡ ξp β (mod p), pour chaque facteur premier p de m, avec
β ≡ 0 (mod p) ⇒ ξp3 ≡ 1 (mod p).
Cette dernière équation possède exactement trois solutions si p ≡ 1(mod 3),
et une seule dans les autres cas. On obtient donc
(3.33)
ρb (m) ≤ 3ω(m1 )
2
b ∈ C(m), µ |m| = 1 ,
où l’on a posé
(3.34)
m1 :=
p|m
p≡1 (mod 3)
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
p.
503
CONJECTURE DE SZPIRO
En reportant (3.33) dans (3.32) puis (3.31), il vient
N3 (3.35)
√
A
µ(m)2
1≤m≤XT1−2
3ω(m1 ) h(m)
√
m
1.
|b|≤108B
b∈C(m)
Le grand crible arithmétique nous permettra d’estimer la somme intérieure. Nous spécialisons, dans le LEMME 8,
w(p) = 0 (p m1 ),
w(p) = 23 (p − 1) (p | m1 ),
(3.36)
√
N = 216B + 1, Q = B.
Il suit
(3.37)
√ −1
1 BL m1 , B
,
|b|≤108B
b∈C(m)
avec
L(m1 , z) :=
g(d),
g(d) :=
d | m1
d≤z
2(p − 1)
·
p+2
p|d
Reportons (3.37) dans (3.35). Il vient
N3 (3.38)
√
AB
1≤m≤XT1−2
µ(m)2 h(m)3ω(m1 )
√
·
√
m L(m1 , B )
Nous décomposons la somme en m sous la forme M1 + M2 où M1
correspond à la condition de sommation supplémentaire
√
3/4 (3.39)
m∗1 :=
.
p> B
B1 := exp log B
p | m1
p≤B1
Lorsque m∗1 >
√
B, on a
√
√
p > B. En minorant L(m1 , B)
p | m, p≤B1
par 1 et en appliquant le LEMME 9 à la fonction multiplicative m →
f (m) = µ(m)2 h(m)3ω(m1 ) , on obtient, uniformément pour M ≥ 2,
f (m) M exp − 12 λ3 (log B)1/4 +
1≤m≤M
√
m∗
1> B
p≤M
p≡1 (mod 3)
M log M exp
−
1
λ (log B)1/4
2 3
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
.
2
p
504
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
On en déduit par sommation d’Abel
√
X
(3.40)
M1 log Y exp − 12 λ3 (log B)1/4 .
T1
Lorsque m est compté dans M2 , on a
√
g(d) =
L(m1 , B) ≥
d | m∗
1
p | m∗
1
3p
=: G(m∗1 ).
p+2
La fonction θ(m) := µ(m)2 h(m)3ω(m1 ) G(m∗1 )−1 est multiplicative. On a
λ(d)
(m ≥ 1)
θ(m) ≤
d|m
où λ est la fonction multiplicative définie par

2 log p


si p ≡ 1 (mod 3),


p


 2
2
1+ 1+
log p
si p ≡ 1 mod 3) et p ≤ B1 ,
λ(p) =

p
p




6 log p

2 +
si p ≡ 1 (mod 3) et p > B1 ,
p
et λ(pν ) = 0 pour ν ≥ 2. On a donc pour M ≥ 2
n≤M
M λ(d)
d
1≤d≤M
M exp
θ(m) ≤
B1 <p≤M
p≡1 (mod 3)
2
p
log M .
M 1+
log B1
Par sommation d’Abel, il suit
√
X log Y
(3.41)
M2 ·
T1 (log B)3/4
√
En remarquant que X T1−1 log Y A log Z, on déduit donc de (3.40)
et (3.41), en reportant dans (3.38), que
log Z
AB
= o(AB).
(3.42)
N3 AB
(log B)3/4
(log Z)1/4
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4
CONJECTURE DE SZPIRO
505
Cela achève la démonstration du THÉORÈME 2.
BIBLIOGRAPHIE
[Bo] BOMBIERI (E.). — Le grand crible dans la théorie analytique des
nombres, Astérisque, t. 18, .
[D-H] DAVENPORT (H.) et HEILBRONN (H.). — On the density of discriminants of cubic fields, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, t. 322, ,
p. 405–420.
[E-S] EVERTSE (J.-H.) and SILVERMAN (J.). — Uniform bounds for the
number of solutions of Y n = f (X), Math. Proc. Cambridge Philos.
Soc., t. 100, , p. 237–248.
[H-S] HINDRY (M.) and SILVERMAN (J.). — The canonical height and integral
points on elliptic curves, Invent. Math., t. 93, , p. 419–450.
[Ho] HOOLEY (C.). — Applications of sieve methods to the theory of
numbers, Cambridge Tracts in Math., t. 70, .
[I-R] IRELAND (K.) and ROSEN (M.). — A classical introduction to Modern
Number Theory, Graduate Texts in Math., t. 84, .
[La] LANG (S.). — Old and new conjectured diophantine inequalities, Bull.
Amer. Math. Soc. (NS), t. 23,1, , p. 37–75.
[Ma] MASSER (D.). — Note on a conjecture of Szpiro, Astérisque, 183, ,
Séminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques, [L. Szpiro éd.], pp.
19–23, Soc. Math. de France.
[Oe] ŒSTERLE (J.). — Nouvelles approches du théorème de Fermat,
Séminaire Bourbaki –, exposé no 694.
[Sch] SCHMIDT (W.). — Equations over finite fields : an elementary
approach, Lecture Notes in Math., t. 536, .
[Si] SILVERMAN (J.H.). — The arithmetic of Elliptic curves, Graduate
Texts in Math., t. 106, .
[Sp] SPRINDZUK (V.G.). — On the number of solutions of the diophantine
equation x3 = y 2 + A, Dokl. Akad. Nauk BSSR, t. 7, , p. 9–11.
[Ta] TATE (J.). — Algorithm for determining the type of a singular fiber
in an elliptic pencil, Modular functions of one variable IV, Lecture
Notes in Math., t. 476, , p. 33–52.
[Te1] TENENBAUM (G.). — Un problème de probabilité conditionnelle en
arithmétique, Acta Arith., t. 49, , p. 165–187.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
506
FOUVRY (E.), NAIR (M.) ET TENENBAUM (G.)
[Te2] TENENBAUM (G.). — Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Publications de l’Institut Elie Cartan no 13,
Département de Mathématiques de l’Université de Nancy I, .
[We] WEIL (A.). — Sur les courbes algébriques et les variétés qui s’en
déduisent, Actualités Sci. Indust., t. 1041, .
TOME
120 — 1992 —
N
◦
4