Etude d`une suite

Etude d'une suite
1
.
2−u n
1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près,
compléter le tableau suivant :
On considère la suite un définie par u0 = 0 et u n1=
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
un 0
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ?
2) Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression
de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence.
3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.
4) On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.
2 un
On considère la suite vn définie par v n=
.
1−un
a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ?
b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une
expression de un en fonction de n.
Etude d'une suite
1
.
2−u n
1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près,
compléter le tableau suivant :
On considère la suite un définie par u0 = 0 et u n1=
n
0
1
2
un
0
0.5
0.667 0.75
3
4
5
6
7
8
9
0.8
0.833 0.857 0.875 0.889 0.9
10
0.909
Une manière simple de calculer les différents termes d'une suite définie par récurrence consiste
à inscrire u0, à valider par Entrée, puis à inscrire la formule donnant un+1 en remplaçant un par
ANS ou REP (la touche qui donne le résultat du calcul précédent). Chaque appui sur Entrée
donne alors le terme suivant.
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ?
Le tableau de valeur laisse penser que la suite un est croissante et que sa limite est 1.
2) Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression
de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence.
On obtient les résultats u1=1/2, u2=2/3, u3=3/4, u4=4/5. Ceci laisse penser que pour tout entier
n
naturel n, u n=
.
n1
Démontrons cette propriété par récurrence.
- pour n=0, on a u 0=0=
- supposons que u n=
0
, la propriété est vérifiée.
01
n
n1
et démontrons que u n1=
.
n1
n2
Nous pouvons en conclure que pour tout entier naturel n, u n=
n
.
n1
3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.
Pour montrer que la suite un est croissante, calculons un+1 - un :
.
Comme 1, n+1 et n+2 sont strictement positifs, un+1-un>0 et la suite un est croissante.
Note : on aurait aussi pu étudier le sens de variation de la fonction f définie par f  x =
sur [0;+∞[.
x
x1
Pour trouver la limite de un, remarquons que
Le numérateur est égal à 1 et le dénominateur tend vers 1, on en déduit que la limite de un est 1.
4) On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.
2 un
On considère la suite vn définie par v n=
.
1−un
a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ?
En utilisant les résultats de la question 2) on trouve v0=0, v1=2, v2=4, v3=6, v4=8. Cela laisse
penser que la suite vn est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une
expression de un en fonction de n.
Calculons vn+1 - vn .
Tout d'abord,
.
Alors
.
La suite vn est donc bien une suite arithmétique de raison 2. On en déduit que vn=2n.
De
on déduit que vn(1-un)=2un, soit vn=un(vn+2) et donc
Et comme vn=2n,