Pricing de CDS et CDO avec risque de contrepartie

Pricing de CDS et CDO avec risque de contrepartie
Projet de Risque de crédit
BELUCHE Pierre-Emmanuel, CERTNER Nicolas, ISAAZ Alexandre, TOUCHAIS Constantin
Contents
Introduction
1 Pricing des CDS avec risque de contrepartie
1.1 Pricing des CDS par une méthode de Monte-Carlo .
1.1.1 Payo d'un CDS sans risque de contrepartie .
1.1.2 Modélisation du défaut . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Calibration des intensités . . . . . . . . . . .
1.1.4 Payo d'un CDS avec risque de contrepartie .
1.1.5 Résultats numériques et interprétation . . . .
1.2 Pricing par formule fermée . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Pricing de CDS sans risque de contrepartie .
1.2.2 Pricing de CDS avec risque de contrepartie .
1.2.3 Calibration du modèle aux spreads de marché
1.2.4 Résultats et commentaires . . . . . . . . . . .
2 Pricing des CDO
1
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2.1 Pricing d'une tranche de CDO par une méthode de Monte-Carlo
2.1.1 Payo d'une tranche avec risque de contrepartie . . . . . .
2.1.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Pricing de CDO avec risque de contrepartie basé: autre méthode
2.2.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Résultats et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
Introduction
Lorsqu'un investisseur est exposé à un risque de défaut d'une entreprise, par exemple par
l'achat d'une obligation, il peut être amené à acheter de la protection via un instrument
nancier (CDS, CDO...). Cette protection lui assure, moyennant paiments périodiques d'un
spread, de récupérer tout ou une partie de son capital en risque dans le cas où l'émetteur
de l'obligation initiale ferait défaut.
Il est cependant possible d'observer un défaut du vendeur de protection. Le cas échéant,
l'acheteur de protection arrête de payer le spread et il cherchera un nouveau vendeur
de protection pour rentrer dans un nouveau CDS ou CDO. Dans ce cas, l'acheteur de
protection aura payé des spreads jusqu'au temps de défaut du vendeur et n'aura jamais
touché de remboursement en cas de défaut de l'émetteur obligataire. Ainsi, l'investisseur
ne devrait pas payer le même spread au vendeur de protection en fonction de la prise en
considération de la possibilité de défaut de ce dernier.
On peut expliciter ce qui précède à l'aide du schéma ci-dessus (nous conserverons ces
notations tout au long de ce rapport): A achète une obligation à C et achète de la protection
auprès de B. Nous nous interessons au calcul du spread que B va recevoir de la part de A.
Dans un premier temps, A calcule ce spread en tenant compte de la probabilité de défaut
de C, de celle de B ainsi que de la corrélation de défaut de ces deux contreparties. Mais
le spread à payer en cas d'achat de protection sur C est côté sur le marché et il vérie une
relation d'arbitrage avec la probabilité de défaut de C. Evidemment, le calcul du spread
avec risque de contrepartie, c'est-à-dire en tenant compte du risque de défaut de B et de
sa corrélation de défaut avec C, ne va pas donner le même résultat que ce qui est côté sur
le marché.
Etant donnés les spreads de CDS côtés et les corrélations de défaut (déduites des tranches
de CDO ou autres...) entre B et C, nous présenterons un modèle de pricing des CDS
et des tranches de CDO synthétiques en tenant compte du risque de contrepartie. Nous
utiliserons essentiellement des formules fermées et la méthode de Monte-Carlo.
1
1
Pricing des CDS avec risque de contrepartie
1.1
Pricing des CDS par une méthode de Monte-Carlo
1.1.1 Payo d'un CDS sans risque de contrepartie
Nous allons simplement rappeler les ux échangés lors de l'achat de protection via un CDS.
On notera s le spread, τ le temps de défaut aléatoire de l'entreprise C, T1 , · · · , TN les dates
auxquelles les ux interviennent, LGD la perte en cas de défaut (Loss Given Default). La
jambe xe (payée par l'acheteur de protection) peut s'écrire:
JF =
X
e−rTi s(Ti − Ti−1 )1|{τ ≥Ti }
i
et la jambe ottante s'écrit:
JV = LGDe−rτ 1|{τ ≥Ti } .
Le fair spread est calculé en égalisant les espérances sous la probabilité risque neutre des
deux jambes an que le Marked-to-Market (MtM) de la position soit initialement nul.
1.1.2 Modélisation du défaut
Soit τ l'instant de défaut, on suppose que τ suit une loi exponentielle de paramètre λ. La
variable aléatoire 1|{τ ≤t} suit donc une loi de Bernoulli de paramètre pt = 1 − e−λt . Dans
un cadre plus général, on peut prendre une
structure par termes pour λ éventuellement
Rt
stochastique, et dans ce cas pt = IE[1−e− 0 λs ds |F0 ]. Dans ce rapport, nous allons supposer
dans ce rapport que les intensités de défaut sont constantes.
Remarquons que nous pouvons écrire:
IP(τ ∈ [Ti , Ti+1 ]) = e−λTi − e−λTi+1 .
Nous nous intéressons maintenant à la simulation des temps de défaut de plusieurs rmes,
en introduisant la corrélation de défaut standard (à savoir la corrélation entre les variables
aléatoires 1|{τ k ≤Ti } où τ k est le temps de défaut de la rme k). On note Γ la matrice de
corrélation de défaut. Pour simuler ces variables qui suivent toutes une loi de Bernoulli et
qui sont corrélées par une copule gaussienne, il sut de simuler un vecteur (U1 , · · · , Un )
de variables aléatoires uniformes sur [0, 1] corrélées (au sens gaussien).
Voici comment nous procéderons:
• simuler n variables aléatoires uniformes indépendantes V = (Vi )i∈[1,n]
• les transformer en gaussiennes G = (Gi )i∈[1,n] par inversion de la fonction de répartition gaussienne N .
√
• calculer Γ par l'algorithme de Cholesky
√
e est un vecteur de gaussiennes corrélées
• le produit ΓG = G
e i ) est le vecteur recherché.
• U = (Ui )i∈[1,n] avec Ui = N (G
Dans le cas où il n'y a que deux défauts à considérer, nous pouvons expliciter l'algorithme
de Cholesky. Avec
2
IE[1|{τ ≤t} 1|{τ2 ≤t} ] − pt1 pt2
ρt12 = p t 1 t
,
p1 p2 (1 − pt1 )(1 − pt2 )
on tire U1 et U2 deux uniformes et
(
e 1 = N −1 (U1 )
G
p
e 2 = ρN −1 (U1 ) + 1 − ρ2 N −1 (U2 )
G
(1)
sont les deux gaussiennes corrélées avec ρ qu'il ne reste plus qu'à retransformer en uniformes
via la fonction de répartition.
Au nal, dans cette section, nous avons vu qu'à partir d'un modèle à intensité, nous sommes
capables de simuler:
∀(i, k), 1|{τ k ∈[Ti ,Ti+1 ]}
à savoir les indicatrices de défaut pour chaque rme k, et avec une matrice corrélation de
défaut Γ donnée.
1.1.3 Calibration des intensités
Comme nous l'avons dit précedemment, les spreads de CDS sont côtés sur le marché. Dans
le cadre d'un modèle à intensité constante, nous allons voir que le pricing de CDS permet
de relier l'intensité de défaut et le spread côté. Reprenons le calcul des deux jambes du
CDS:
JF
X
= IE[
e−rTi s(Ti − Ti−1 )1|{τ ≥Ti }
i
Z
= sIE[
T
e−rt 1|{τ ≥t} dt]
0
1 − e−(λ+r)T
λ+r
= sDV (0, T )
= s
et
JV
= LGDIE[e−rτ 1|{τ ≤TN }
Z T
= LGDIE[
e−rτ λe−λτ dτ ]
0
1 − e−(λ+r)T
= LGDλ
λ+r
= LGDλDV (0, T ).
Le fair spread calculé en égalisant les deux jambes permet de tirer la relation:
λ = sLGD = s(1 − R).
Nous venons de voir comment récupérer les intensités de défaut à partir des cotations de
spread. En pratique, les spreads sont côtés par maturité et nous pouvons donc construire
une intensité constante par morceaux (récupérer la structure par termes de l'intensité).
3
Dans ce cas les résultats précédents ne sont que légèrement modiés. De plus nous supposerons que les corrélations de défaut sont accessibles (par exemple en utilisant les cotations de tranches sur l'ITRAXX).
1.1.4 Payo d'un CDS avec risque de contrepartie
Si nous reprenons le schéma de l'introduction, la question que nous nous posons est la
suivante: si C est une rme coréenne par exemple, vaut-il mieux acheter de la protection
à une banque coréenne ou à une banque européenne à spread égal ?
Nous pouvons émettre l'hypothèse que la corrélation entre B et C devrait faire baisser le
spread du point de vue de B.
En réalité c'est plutôt A qui doit tenir compte de ρ pour son MtM, puisque les spreads
sont plus ou moins xés (en général, les ux sont tels que A subit le marché et n'a que peu
de possibilités de négociation des spreads).
Intuitivement, le fair spread du CDS doit vérier le même type de relation que celle que
l'on obtient sans risque de contrepartie, mais A ne paye le spread que tant que B ne fait
pas défaut et B ne paye la LGD en cas de défaut de C que s'il n'a pas fait défaut avant C.
Nous pouvons écrire la relation d'égalité des deux jambes:
n
X
IE[e−rTi s1|{τB ≥Ti } 1|{τC ≥Ti } ] = LGDIE[e−rτC 1|{τC ≤Ti } 1|{τB <τC } ]
i=1
Par des simulations des variables 1|{τ k ∈[Ti ,Ti+1 ]} , nous allons être capables de calculer les
deux jambes précédentes par une méthode de Monte-Carlo et de calculer le fair spread.
Rappelons que:
1|{τB ≤T1 } = 1|{UB ≤p1 }
B
où
=1−
et où UB est la variables aléatoire uniforme correspondant à la rme
B dans le vecteur de variables uniformes corrélées avec une copule gaussienne.
p1B
e−λB T1
Dans tout ce qui précède, nous avons négligé (par souci de simplicité) le pied de coupon, à
savoir le paiement qui intervient si la rme C fait défaut entre deux dates Ti . Ceci n'aura
pas d'incidence sur les résultats à venir.
Nous allons donc obtenir des spreads diérents de ceux que l'on aurait dans le cas d'un
pricing sans risque de contrepartie.
1.1.5 Résultats numériques et interprétation
Ci-dessous la courbe de calcul des spreads de CDS avec risque de contrepartie en fonction
de la corrélation de défaut de B et C. Les paramètres sont: maturité 3 ans, paiements
annuels, recovery de 35%, taux d'intérêt à 5%, spread de B à 100 bps et spread de C à 500
bps.
On remarque plusieurs choses:
• quelle que soit la corrélation, le spread calculé reste inférieur au spread sans risque
de contrepartie, ce qui était attendu
• le spread est une fonction décroissante de la corrélation, ce qui est moins évident.
4
Figure 1: Spread de CDS en fonction de la corrélation
Expliquons ce deuxième point plus en détail en examinant les cas extrêmes. Dans notre
modèle simplié, on ne connait pas explicitement les temps de défauts, mais on peut
seulement déterminer si le défaut a eu lieu entre deux dates Ti . Par conséquent, lorsque
la corrélation vaut 1, le défaut de B équivaut au défaut de C au même moment et donc
la LGD n'est jamais payée: le spread doit donc être nul. Lorsque la corrélation tend vers
-1, un défaut de C entre 0 et T entraîne le fait que B ne va sûrement pas faire défaut et
pourra donc payer la LGD: ceci devrait faire augmenter le spread.
Par ailleurs, le spread obtenu en prenant probabilité de défaut de B nulle est le même que
le spread sans risque de contrepartie.
5
Ci-dessous la courbe de spread en fonction du spread de B avec une corrélation constante
ρ = 0.2:
Figure 2: Spread de CDS en fonction du spread de B
Cette courbe prend une forme évidente: en eet plus le risque de défaut de B est grand,
moins A est protégé et plus le spread du CDS est petit.
D'un point de vue numérique, comme attendu la convergence est un peu longue puisque
l'on simule des variables de Poisson: ce qui s'explique d'une part, par la sensibilité à la
qualité du générateur de variables uniformes au voisinage de 0, d'autre part, par le caractère
discontinu des indicatrices de défaut.
1.2
Pricing par formule fermée
Considérons trois entités A, B, C. A achète à B une protection sur le défaut potentiel de C.
Un CDS est un contrat liant A à B qui consiste en la chose suivante: A verse des coupons
à intervalles de temps réguliers à B en échange de quoi B s'engage a verser à A tout ou
partie des pertes de A si C fait défaut.
Dans un CDS qui ne prend pas en compte le risque de contrepartie les coupons que verse
A à B sont le taux sans risque de marché plus un spread qui dépend de C et de sa notation
par les agences de crédit (Standars Poors, Fitch Ratings, etc).
Dans un CDS qui prend en compte le risque de contrapartie, le spread dépend en plus du
risque de défaut de B, le vendeur de protection, et donc de la notation de B.
1.2.1 Pricing de CDS sans risque de contrepartie
An de pricer un CDS il nous faut évaluer la probabilité de défaut ou la probabilité de la
contraposée du défaut, ie la survie de C.
6
Pour cela on se placera dans le cadre d'un modèle a intensité, c'est-à-dire qu'on introduit
la variable aléatoire λ, densité de défaut de C.
Soit τ la variable aléatoire représentant l'instant de défaut de C.
La probabilité de survie de C s'écrit:
IP(τ > t) = e−
Rt
0
λs ds
An de simplier l'étude nous considérerons un λ déterministe constant:
IP(τ > t) = e−λT
Un CDS est constitué de deux jambes: la jambe xe, constituée des coupons xes payées
par A à B, et la jambe variable, constituée par le remboursement des pertes de A payée
par B en cas de défaut de C.
Soit r le taux sans risque, s le spread du CDS, Ti les instants de paiement de la jambe xe,
T la maturité du CDS et LGD la Loss Given Default, c'est-à-dire la perte de A si C fait
défaut.
Jambe xe:
X
X
IE(
s(Ti − Ti−1 )e−(r+λ)Ti
e−rTi s(Ti − Ti−1 )1|τ >Ti ) =
i
i
Jambe variable:
IE(LGD1|τ <T ) = LGD(1 − e−λT )
Le spread s à appliquer pour un CDS se trouve en égalisant la jambe xe et la jambe
variable:
X
s(Ti − Ti−1 )e−(r+λ)Ti = LGD(1 − e−λT )
i
Un développement au premier ordre des exponentielles nous donne une valeur approchée
de s:
s = λLGD
1.2.2 Pricing de CDS avec risque de contrepartie
Désormais nous allons également considérer le fait que le vendeur de protection, B, peut
lui aussi faire défaut.
L'intensité de défaut de B peut être plus ou moins corrélée à celle de C. Nous écrirons donc
les intensités de défaut comme la somme d'un terme constant et d'une variable aléatoire
représentant la corrélation:
|
λB
t = b0 + b1 1τC <t
|
λC
t = c0 + c1 1τB <t
La jambe xe du CDS s'écrit désormais:
X
IE(
e−rTi s(Ti − Ti−1 )1|τ B ∧τ C >Ti )
i
7
En eet l'acheteur de protection, A, paie ses coupons xes à B tant que C n'a pas fait
défaut, comme précédemment, et ne paie plus de coupons si B fait défaut. Il paie donc ses
coupons tant que ni B ni C n'ont fait défaut.
La jambe ottante du CDS s'écrit:
IE(e−r(τ
C +δ)
LGD1|τ C <T 1|τ B >τ C +δ )
En eet le paiement de B à A n'a lieu que si C fait défaut avant la maturité du CDS, T,
comme précédemment, et ce paiement ne peut avoir lieu que si B ne fait pas défaut avant
la date de ce paiement, τ C + δ . Si B fait défaut avant C, A aura a subir des couts de
remplacement, c'est-à-dire le cout engendré par la mise en place d'une nouvelle protection
avec une autre contrepartie. Cependant, ce cout n'apparait pas dans le pricing du CDS
car c'est B qui xe s. Il n'a donc pas a prendre en compte ce cout éventuel, supporté par
A.
Pour calculer ces termes il nous faut donc calculer IE(e−rTi 1|τ B ∧τ C >Ti ) et IE(e−r(τ
Pour ce faire, nous introduisons le changement de numéraire suivant:
C +δ)
dIPi
1|τ i >T
=
RT
i
dIP
e− 0 λs ds
Avec i = B ou i = C .
De cette manière, on obtient que sous IPB , λC = c0 et sous IPC , λB = b0 .
Calcul de IE(e−rTi 1|τ B ∧τ C >Ti ):
IE(e−rTi 1|τ B ∧τ C >Ti ) = IE(e−rTi 1|τ B >Ti 1|τ C >Ti )
= e−rTi IEC (1|τ B >Ti exp(−
Z
Ti
(c0 + c1 1|τ B <s )ds)
0
= e−(c0 +r)Ti IEC (1|τ B >Ti )
= e−(c0 +b0 +r)Ti
Posons β = c0 + b0 + r et = Ti+1 − Ti . On a:
n
X
i=1
−(c0 +b0 +r)Ti
e
−βn∆T )
e−β∆T (1−e
=
1 − e−β∆t
Calcul de IE(e−r(τ +δ) 1|τ C <T 1|τ B >τ C +δ ):
Commençons par calculer IP(τ B > t1 , τ C > t2 ). Soit t1 < t2 :
C
IP(τ B > t1 , τ C > t2 ) = IE(1|τ B >t1 1|τ C >t2 )
= IEC (1|τ B >t1 exp(−
Z
t2
(c0 + c1 1|τ B <s )ds)
0
= e−c0 t2 IEC (1|τ B >t1 exp(−c2 (t2 − τ B )1|τ B <t2 )
8
1|τ C <T 1|τ B >τ C +δ ).
Calculons la densité de probabilité p(u) de τ B :
p(u) = −∂u (IP(τ B > u))
= −∂u (IE(e−
= IE(−∂u e
= λe
Ru
0
−λu
λds
))
)
−λu
D'où, comme sous IPC on a λB = b0 :
−c0 t2
e
C
IE (1
|
τ B >t
B
exp(−c1 (t2 − τ )1
1
|
τ B <t
∞
Z
1|u>t1 exp(−c1 (t2 − u)1|u<t2 b0 e−b0 u du
Z t2
Z ∞
−c0 t2
−b0 u−c1 (t2 −u)
= e
(
b0 e
du +
b0 e−b0 u du)
) = e
2
−c0 t2
0
t1
= b0 e−(c0 +c1 )t2
e−(b0 −c1 )t1
t2
−(b
−c
)t2
0
1
e
−
b0 − c1
+ e−(b0 +c0 )t2
De la même manière on obtient, pour t1 > t2 :
IP(τ B > t1 , τ C > t2 ) = c0 e−(b0 +b1 )t1
e−(c0 −b1 )t2 − e−(c0 −b1 )t1
+ e−(b0 +c0 )t1
c0 − b1
En diérenciant par rapport à t1 et t2 , on obtient donc la densité jointe p(t1 , t2 ) de τ B ,
τC:
(
c0 (b0 + b1 )e−(b0 +b1 )t1 −(c0 −b1 )t2 , t2 ≤ t1
b0 (c0 + c1 )e−(c0 +c1 )t2 −(b0 −c1 )t1 , t2 > t1
Grâce a l'expression de cette densité jointe, nous pouvons désormais calculer IE(e−r(τ
IE(e−r(τ
C +δ)
C +δ)
1|τ C <T 1|τ B >τ C +δ ):
c0 e−(b0 +b1 +r)δ (1 − e−(b0 +c0 +r)T )
b0 + c0 + r
c0 e−(b0 +b1 +r)δ (1 − e−βT )
β
1|τ C <T 1|τ B >τ C +δ ) =
=
On dispose donc de formules fermées pour la jambe xe et la jambe variable.
En égalisant les deux on obtient une formule fermée pour le spread s du CDS avec risque
de contrepartie:
s=
c0 e−(b0 +b1 +r)δ (1 − e−β∆T )LGD
β∆T e−β∆T
9
1.2.3 Calibration du modèle aux spreads de marché
An de pouvoir implémenter le pricing du CDS avec risque de contrepartie il nous faut
déterminer les paramètres b0 , b1 , c0 , c1 du modèle. b0 et c0 sont les valeurs respectives de
λB et λC en l'absence de corrélation entre B et C, autrement dit dans le cadre d'un CDS
sans risque de contrepartie.Nous pouvons donc identier b0 et c0 a l'aide de la formule
obtenue pour un CDS sans risque de contrepartie:
b0 =
sB
LGD
c0 =
sC
LGD
De cette manière, on récupère b0 et c0 à partir des spreads respectifs de B et C cotés sur
le marché.
Les paramètres b1 et c1 sont à ajuster selon le niveau de corrélation entre B et C. Il appartient à l'entité qui price le CDS d'évaluer elle-même le niveau de corrélation ρ qu'elle
estime appropriée.
Cependant b1 et c1 ne peuvent être choisis arbitrairement. Une corrélation est toujours
comprise entre −1 et 1, d'où la condition:
−1 ≤ ρ(λB , λC ) ≤ 1
Calculons ρ(λB , λC ):
Covar(λB , λC )
p
p
V ar(λB ) V ar(λC )
ρ(λB , λC ) =
=
b1 c1 (IP(τ B < t, τ C < t) − IP(τ B < t)IP(τ C < t))
p
p
b21 IP(τ C < t)(1 − IP(τ C < t)) c21 IP(τ B < t)(1 − IP(τ B < t))
=
IP(τ B < t, τ C < t) − IP(τ B < t)IP(τ C < t)
p
p
IP(τ C < t)(1 − IP(τ C < t)) IP(τ B < t)(1 − IP(τ B < t))
=
1 − IP(τ B > t) − IP(τ C > t) + IP(τ B > t, τ C > t) − (1 − IP(τ B > t))(1 − IP(τ C > t))
p
p
IP(τ C > t)(1 − IP(τ C > t)) IP(τ B > t)(1 − IP(τ B > t))
On calcule les densités respectives de τ C et τ B (densités marginales):
Densité de τ C :
Z
p(t) =
t
b0 (c0 + c1 )e−(c0 +c1 )t−(b0 −c1 )u du +
Z
0
=
∞
c0 (b0 + b1 )e−(b0 +b1 )u−(c0 −b1 )t du
t
(c0 + c1 )b0 −(c0 +c1 )t
(e
− e−(b0 +c0 )t ) + c0 e−(b0 +c0 )t
b0 − c1
Densité de τ B :
p(t) =
(b0 + b1 )c0 −(b0 +b1 )t
(e
− e−(b0 +c0 )t ) + b0 e−(b0 +c0 )t
c0 − b1
On en déduit les probabilités marginales de survie:
IP(τ B > t) =
c0 e−(b0 +b1 )t − b1 e−(b0 +c0 )t
c0 − b1
10
IP(τ C > t) =
b0 e−(c0 +c1 )t − c1 e−(b0 +c0 )t
b0 − c1
On dispose donc de toutes les expressions nécéssaires pour choisir b1 et c1 de manière a
otenir une corrélation comprise entre 1 et -1.
1.2.4 Résultats et commentaires
De la même manière qu'avec la méthode de Monte-Carlo, nous avons tout d'abord décidé
d'analyser l'impact de la corrélation entre les intensités de défaut de B et C sur le spread
de CDS incluant le risque de contrepartie. Pour ce faire, nous nous sommes placés dans
les même conditions de marché que dans notre premier exemple à savoir une maturité de
3 ans, paiements annuels, recovery de 35%, taux d'intérêt à 5%, spread de B à 100 bps et
spread de C à 500 bps. Voici les résultats obtenus:
Figure 3: Spread de CDS en fonction de la corrélation
Nous retrouvons alors les mêmes conclusions que précédemment. Le spread calculé reste
eectivement inférieur au spread sans risque de contrepartie (prévisible) et de plus, il est
fonction décroissante de la corrélation. Nous remarquons également que nous obtenons des
résultats très proches entre les deux méthodes.
Nous retrouvons alors les mêmes conclusions que précédemment. Le spread calculé reste
eectivement inférieur au spread sans risque de contrepartie (prévisible) et de plus, il est
fonction décroissante de la corrélation. Nous remarquons également que nous obtenons des
valeurs de spread très proches entre les deux méthodes.
De même, nous nous sommes intéressés aussi à l'inuence du spread de B. Nos résultats (cf
Figure 4) sont obtenus avec les même paramètres que ci-dessus et une corrélation constante
de 15%. Là encore, nous obtenons la même sensibilité qu'avec la Méthode de Monte-Carlo:
le spread de CDS est décroissant en fonction du spread de B. En eet, plus le risque de
défaut de B est grand, moins A est protégé et plus le spread est petit. Néanmoins, grâce
aux formules fermées, il n'y a pas de problème de convergence.
11
Figure 4: Spread de CDS en fonction du spread de B
2
2.1
Pricing des CDO
Pricing d'une tranche de CDO par une méthode de Monte-Carlo
2.1.1 Payo d'une tranche avec risque de contrepartie
Le principe de pricing est sensiblement le même que pour le CDS. Plaçons nous dans le cas
où A achète de la protection via une tranche de CDO notée [A, B] (A < B ). Introduisons
la perte totale sur le portefeuille, en supposant le nominal égal à 1 et équiréparti sur les n
noms ainsi que les LGD toutes égales:
L(t) =
n
n
LGD X |
1X
LGDi 1|{τi ≤t} =
1{τi ≤t} .
n
n
i=1
i=1
La perte normalisée sur une tranche s'écrit:
LA,B (t) =
1
1
[(L(t)−A)1|{A≤L(t)≤B} +(B−A)1|{L(t)≥B} ] =
[(L(t)−A)+ −(L(t)−B)+ ]
B−A
B−A
et c'est donc un nombre compris entre 0 et 1.
Ecrivons maintenant les deux jambes correspondantes au payo d'une tranche avec risque
de contrepartie, en négligeant le pied de coupon:
JF = IE[
N
X
e−rTi s(Ti − Ti−1 )(1 − LA,B (Ti ))1|{τB ≥Ti } ]
i=1
et
JV = IE[
N
X
e−rTi (LA,B (Ti ) − LA,B (Ti−1 ))1|{τB ≥Ti } ].
i=1
Concrètement, A achète de la protection à B et doit donc payer le spread multiplié par le
nominal restant sur la tranche tant que B ne fait pas défaut et B doit payer à A la variation
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des pertes sur la tranche tant qu'il ne fait pas défaut. Une fois la calibration des intensités
de défaut réalisée et une fois obtenue la matrice de corrélation de défaut entre les noms
du portefeuille du CDO et B lui-même, nous pouvons simuler comme précédemment les
variables aléatoires 1|{τi ≤t} et 1|{τB ≤t} corrélées entre elles par une copule gaussienne. Ainsi,
nous pouvons calculer les deux jambes précédentes par une méthode de Monte-Carlo et,
en les égalisant, obtenir le fair spread de la tranche considérée.
2.1.2 Résultats numériques
Dans un premier temps, nous avons pricé une tranche equity [0, 10%] pour un CDO de
maturité 3 ans, avec deux noms dans le portefeuille (de nominal 1), de spreads respectifs
300 bps et 600 bps, tous deux ayant une LGD de 65%. Nous avons placé la corrélation
entre les noms (correl intra) à 80%. Nous observons tout d'abord la variation du spread de
la tranche en fonction de la corrélation entre le vendeur de protection et les noms (correl
extra) et pour un spread de 100 bps pour B (vendeur de protection), puis nous donnons
la variation de ce même spread en fonction de la variation du spread de B avec une correl
extra à 0.2:
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Comme attendu les deux courbes sont décroissantes puisqu'on augmente le risque de défaut
de B. La sensibilité à la corrélation extra est bien plus grande que la sensiblité au spread
de B, contrairement à ce que l'échelle peut donner à penser. La sensibilité à la corrélation
est d'autant plus forte que la corrélation est élevée. Les sensibilités à la corrélation sont du
même ordre que pour les CDS. La convergence est évidemment plus lente que pour les CDS
puisque si le nombre de noms et de dates augmentent, le nombre de variables aléatoires à
simuler devient rapidement grand.
Nous avons également pricé une tranche mezzanine [10%, 50%] sur 5 noms avec des paramètres
de l'ordre de ceux utilisés précédemment, pour une corrélation intra de 80% nous observons
les niveaux de spreads en fonction de la correl extra:
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Nous remarquons fort heureusement que le spread est plus petit que pour une tranche
equity, et que la courbe a la même allure que précédemment.
2.2
Pricing de CDO avec risque de contrepartie basé: autre méthode
Dans cette section nous allons exposer une approche diérente pour le pricing de CDO
avec risque de contrepartie qui consiste à "plugger" le modèle décrit en 1.2 pour les CDS
dans un modèle de CDO classique (default correlation model).
2.2.1 Méthode
Considérons un CDO constitué de n tranches, chacune de ces tranches étant corrélée avec
la contrepartie sur la base du modèle utilisé en 1.2. Cherchons à déterminer P (τ i < t), la
probabilité de défaut de la i-ième tranche.
Pour cela, introduisons pour chaque tranche i la variable aléatoire xi :
xi = ai M +
q
1 − a2i Zi
Ou M et les Zi sont des gaussiennes centrées réduites indépendantes.
Le terme ai M
q représente le risque systémique, ie commun a tous les acteurs du marché,
et le terme 1 − a2i Zi représete le risque spécique à la tranche i. ai représente donc la
corrélation entre le risque systémique et le risque spécique.
IP(xi < x|M ) = IP(ai M +
q
1 − a2i Zi < x)
x − ai M
= IP(Zi < q
)
1 − a2i
x − ai M
= N(q
)
1 − a2i
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En posant Fi (x) = IP(xi < x), ie x = Fi−1 (IP(τi < t)), on a IP(xi < x) = IP(τi < t).
Fi est la loi de répartition de la variale aléatoire xi ., c'est-à-dire la loi de répartition d'une
gaussienne centrée réduite.
On a donc:
IP(τi < t|M ) = N (
N −1 (IP(τi < t)) − ai M
q
)
1 − a2i
An de prendre en compte le risque de contrepartie, nous évaluons IP(τi < t) a l'aide du
modèle exposé en 1.2, dans lequel la tranche i prend la place de C.
De cette manière, nous obtenons IP(τi < t|M ), la probabilité de défaut de la tranche i étant
donné un certain niveau de risque systémique M. Calculée ainsi, elle prend bien en compte
d'une part la corrélation de la tranche avec la contrepartie, ie le risque de contrepartie, ainsi
que la corrélation de la tranche avec les autres tranches par le biais du risque systémique.
Pour chaque tranche nous pouvons d'une part ajuster le niveau de corrélation avec la contrepartie via les coecients b1 et c1 de la même manière qu'en 1.2, et d'autre part ajuster
le niveau de corrélation de la tranche avec les autres tranches et avec le marché en général
en ajustant le coecient ai .
Pour calculer le spread de chaque tranche nous utiliserons les formules établies pour un
CDS sans risque de contrepartie:
si = λLGD
Pour λ, nous introduirons une "intensité de défaut conditionelle au risque systémique" de
la manière suivante:
1 − IP(τi < t|M ) = e−λt
si =
−ln(1 − IP(τi < T |M ))
LGD
T
Avec T maturité du contrat.
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2.2.2 Résultats et commentaires
De même que pour le pricing du CDS, nous avons implémenté ces formules fermées sous
VBA. Nous avons tout d'abord observé l'impact de la corrélation entre l'intensité de défaut
de la tranche i et celle de la contrepartie B sur le spread de la tranche incluant le risque de
contrepartie. De même que pour les CDS et que les résultats observés grâce à la Méthode
de Monte-Carlo sur les CDO, le spread est fonction décroissante de la corrélation. De
plus, nous avons ensuite voulu analysé l'inuence du risque de contrepartie sur le spread
selon la tranche considérée. Voici les résultats obtenus pour 9 tranches, de maturité 3ans,
paiements annuels, recovery de 35%, taux d'intérêt à 5%:
Figure 5: Tableau de valeurs
Figure 6: Impact du risque de contrepartie sur chaque tranche (%)
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Tout d'abord, rappelons que dans le modèle abordé, plus le paramètre ai est faible, plus
le risque spécique est important et donc plus la tranche est risquée. Ainsi, par exemple,
la tranche de type "equity" est modélisé par un coecient a1 = 0.1. Or, notre pricer nous
permet d'obtenir à partir de spreads de CDO déjà calculés le risque de contrepartie. Bien
entendu, plus la tranche est risquée, plus le spread associé est important, ce qui justie donc
nos paramètres de départ : décroissance des spreads quand ai augmente. Par conséquent,
an de mieux évaluer le réel impact du risque de contrepartie, il était nécessaire d'observer
l'impact relatif du risque de contrepartie sur chaque tranche. Nous nous apercevons alors
que les tranches les moins risquées (de type AAA) sont les plus aectées par le risque de
défaut de B. En eet, ceci est tout à fait logique: plus la tranche est "senior", plus elle est
exposé au risque systémique et donc au risque de contrepartie. Ainsi, pour la tranche la
plus sûre, le spread incluant le risque de contrepartie est même nul : B fera défaut avant
elle. A l'inverse, une tranche "equity" est beaucoup plus exposée à son propre défaut, dont
la probabilité est élevée, qu'à celui de B et l'impact du risque de contrepartie sera donc
beaucoup plus faibe.
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Conclusion
Nous avons ainsi pricé le risque de contrepartie dans un CDS et dans un CDO de deux
manières diérentes : l'une par Monte Carlo et l'autre, par le biais de formules fermées.
Nous avons alors obtenu des résultats sensiblement identiques et vérié ainsi la cohérences
des modèles. Cette étude nous a ainsi permis de constater le réel impact du risque de
contrepartie sur les spreads, impact parfois important et trop peu souvent considéré dans
les marchés...
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