Composition

Janvier 2013
Epreuve commune de mathématiques en 1èreS
Durée : 3heures
L’usage des calculatrices est autorisé
Exercice 1 (nombres
ombres dérivés et tangentes -4,5 points)
1. a) Vérifier que : x
2 ) (x ? 1)(x @
3
3x
b) Résoudre dans ℝ l’inéquation
AB C AC@
@A
x
≥ 0.
2) ) (x ? 1)@ ((x
2).
2. Dans un repère orthonormé on a tracé les courbes représentatives des fonctions :
F
( ) ) (x2
f dé(inie sur ℝ par f(x)
@
F
3) et g dé(inie sur ℝ-G0H par g((x) ) .
A
a) Calculer les coordonnées des points d’intersection A et B de ces deux courbes.
b) Donner g - ( 1) et calculer f - ( 1) à l’aide de la définition du nombre dérivé.
c) Démontrer que les deux courbes ont une tangente commune en A.
3. Etudier suivant les valeurs de x les positions relatives des deux courbes.
Exercice 2 (géométrie plane--4 points)
ABC est un triangle.
A’ et C’ sont deux points tels que :
A’ est le symétrique de A par rapport à C et C’ celui de C par rapport à A.
Le point K est le milieu du segment IBCJ.
(AB en I et la droite (C3K) coupe (AB) en J.
La droite (A3K) coupe (AB)
On choisit le repère 5A; 8888889
AB,9, 888889
ACK.
1. Déterminer une équation de (A’K) puis de (C’K).
2. a) En déduire les coordonnées de I et de J.
8889et 8889
b) Quel lien existe-t-il
il entre les vecteurs 8889
AJ, JI
IB ?
3. a) Déterminer une équation de la droite Δ parallèle à (BC) et passant par C’.
b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection B’ des droites Δ et (AB).
c) Que peut-on dire du quadrilatère BCB’C’ ?
Exercice 3 (statistique-4 points)
Voici, suivant les activités proposées, les tarifs en euros de deux agences A et B qui
organisent des week-ends de canyoning sur différents sites.
•
•
Agence A :
Agence B :
Tarif en
33
euros
Nombre 1
de sites
Tarif en 27
euros
Nombre 1
de sites
35
40
45
55
60
62
65
80
100
120
130
3
2
1
2
2
1
4
2
1
1
1
34
35
48
50
55
70
90
105 112
1
3
1
4
2
2
1
2
2
1. a) Justifier à l’aide des définitions du cours que pour la série A :
QF ) 40; MQ ) 60; Q ) 65.
b) Calculer les paramètres QF , MQ et Q pour la série B (on pourra ici utiliser la calculatrice).
c) représenter sur un même graphique chacune des séries par un diagramme en boîte.
2. Dire à quelle agence correspond l’information suivante :
a) Trois quarts des tarifs dépassent 35 €.
b) La moitié des tarifs ne dépasse pas 50€.
c) Un quart des tarifs dépasse 65€.
d) La moitié des tarifs est entre 40€ et 65€ .
3. Commenter la dispersion des deux séries à partir de la comparaison des deux
diagrammes.
4. Compléter l’information en calculant pour A et pour B le couple (xX ; σ ) avec des
valeurs décimales approchées à 0,1 près.
Exercice 4 (algorithme et suite-2 points)
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables
i, u, n, p
Entrées
Saisir n, p
Traitement
Pour i allant de n jusqu’à p
u prend la valeur 3 × i 2
Afficher « u » i « ) » u
FinPour
Reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant obtenu pour
e ) f gh i ) jk :
i
«u» i «)» u
7
u7)19
8
………………………….
u8 ) 22 …………………………….
14
15
u14 ) 40 u15 ) 43
2. (um ) est la suite définie pour tout entier naturel n par : um ) n ? 4.
@
En s’inspirant de l’algorithme précédent, écrire un algorithme permettant d’obtenir
les dix termes qui suivent le terme d’indice n, n n’étant pas fixé.
Exercice 5 (suite-2 points)
Le prix d’un article augmente tous les ans de 3%. On note po son prix initial, pF son prix
un an après, pm son prix au bout de n années (n est un entier naturel).
1. Exprimer en fonction de son prix initial, son prix au bout de cinq ans.
2. Exprimer en pourcentage l’augmentation de po à pp .
Exercice 6 (suite- 3,5 points)
1. Vérifier que la suite (wm ) définie pour tout entier naturel n par : wm ) 2m
n’est ni arithmétique ni géométrique.
2n ? 2,
2. a) Prouver que la suite (um ) définie pour tout entier naturel n par : um ) 2n ? 2,
est arithmétique. Calculer la somme uF ? u@ … ? uFo .
b) Prouver que la suite (vm ) définie pour tout entier naturel n par : vm ) 2m ,
est géométrique. Calculer la somme vF ? v@ … ? vFo
stFo
3. Calculer la somme wF ? w@ ? ⋯ ? wFo notée r ws .
stF