1 Exercice 1 Montrer que la relation inf= définbie dans le cours sur Z

1 EXERCICE 1
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Exercice 1
Montrer que la relation inf= définbie dans le cours sur Z est un ordre
total bien fondé.
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exercice
Pour chacune des relations suivantes dire si elles sont reflexives, irreflexives, symetriques, antisymetriques, transitives...
1. X est le pere de Y : irreflexif, antisym , non transitif
2. X Ascendant de Y :irreflexif, antisym , transitif
3. X est le frere ou la soeur de Y.
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exercice
Voici 2 définitions récursives de N × N → N. A votre avis, terminent
elles ? Tracer l’execution sur des exemples interessants.
So1 (0,y)=y
So1(n,y)= 1+ S01(n-1,y)
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SO2(0,y)=y
SO2(n,y)=SO2(n-1,y+1)
exercice
Voici 1 définition récursive de N × N → N. A votre avis, terminent elles ?
Tracer l’execution sur des exemples interessants.
pg(m,0))=m
pg(0,n))=n
pg(m,n))=pg(m,n-m) si m<n
pg(m,n))=pg(m-n,n) sinon
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2
exercice
Pour montrer que les fonctions des l’exercices précédents terminent, il
faut montrer la decroissance des appels récursifs pour un ordre bien fondé
sur les couples d’entiers. Trouver des ordres bien fondé sur les couples
d’entiers qui fonctionnent pour ces exemples.
Reponse : (a, b) ≤ (c, d) ssi a ≤ b qui pourrait servir sur Soi ne marche
pas car ce n’est pas un ordre (pas antireflexif). Il faut étendre cette définition
(a, b) ≤ (c, d) ssi a < b ∨ a = c ∧ b ≤ d (ordre lexicographique). Montrer
que c’est un bon ordre.
Pour pg ordre lexico ne marche pas. Il faut l’ordre zigzag : (a, b) ≤ (c, d)
ssi a + b < c + d ∨ a + b = c + d ∧ a ≤ c.
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exercice
Voici 4 relations d’ordre sur les couples d’entiers. Lesquels sont partiels,
totaux , bien fondés ?
1. (a, b) ≤ (c, d) ssi a ≤ c ∧ b ≤ d (non total o,1 et 1,0 bien fondé
(minimal o,o)
2. (a, b) ≤ (c, d) ssi (a, b) = (c, d) ∨ a < c ∧ b < d non total :(0,1) et
(0,2). Les minimaux = couples (n,0) et (0,n)
3. Ordre zigzag total . element minimal (0,0)
4. Ordre lexicographique.
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exercice
On programme souvent de façon recursive sur les listes.
Trouver des ordres biens fondés sur les listes d’entiers et des exemples de
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programmes qui peuvent les utiliser.
1. l1 ≤ l2 ssi L1 a moins d’elements que l2 ou bien les 2 listes sont
identiques.
2. l1 ≤ l2 ssi l2 se termine par l1
3. l1 prefixe de l2.
4. l1 suite extraite de l2.