Fonctions linéaires et proportionnalité

Fonctions linéaires et proportionnalité
Denis Vekemans
1
∗
Du côté disciplinaire
Définition 1
Lorsque f est donnée par f : R → R; x → f (x) = a × x, où a est un réel donné, on dit que f est une
fonction linéaire.
Définition 2
On dit que deux grandeurs A et B sont proportionnelles si on peut passer de l’une des valeurs de A à celle
correspondante de B en multipliant celle de A par un nombre constant appelé coefficient de proportionnalité
pour obtenir celle de B correspondante.
En d’autres termes, quand toute valeur x de A correspond à une valeur f (x) de B telle que f (x) = a×x
où a, un réel donné (une fois pour toute et indépendamment de la valeur de x), est appelé coefficient de
proportionnalité.
Un tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
Une représentation graphique d’une fonction linéaire présente des points qui sont alignés selon une
droite passant par l’origine.
Théorème 1.1
Lorsque f est donnée par f : R → R; x → f (x) = a × x, où a est un réel donné,
1. f (0) = 0 ;
2. f (x) = f (1) × x (retour à l’unité ; f (1) = a est le coefficient de proportionnalité) ;
3. f (x + y) = f (x) + f (y) (propriété additive de la fonction linéaire) ;
4. Soit k un réel, f (k × x) = k × f (x) (propriété multiplicative de la fonction linéaire) ;
f (x)
f (y)
5.
=
= (f (1)) (rapports égaux) ; x × f (y) = y × f (x) (égalité des produits en croix).
x
y
∗
Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1
2
Du côté didactique
Dans les programmes, une compétence à acquérir en fin de CM2 est : "résoudre des problèmes relevant
de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses
moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de trois)".
Qu’est-ce que la règle de trois ? Il s’agit d’un discours raisonné en trois temps qui, le plus souvent
mobilise un retour à l’unité.
Exemple 1. Je peux échanger 7 jetons bleus contre 35 jetons rouges. Combien puis-je avoir de jetons
rouges pour 10 jetons bleus ?
— Résolution type élève par la règle de trois basée sur un retour à l’unité (un bleu vaut ...) :
— 7 bleus valent 35 rouges,
— donc 1 bleu vaut 5 rouges (valeur par exemple par tâtonnement si un bleu vaut 4 rouges, 7 bleus
valent 7 × 4 = 28 rouges, ce n’est pas asssez ; si un bleu vaut 7 rouges, 7 bleus valent 7 × 7 = 49
rouges, c’est trop ; si un bleu vaut 5 rouges, 7 bleus valent 7 × 5 = 35 rouges, c’est gagné),
— et donc 10 bleus valent 10 × 5 = 50 rouges.
— Résolution type élève utilisant le coefficient de proportionnalité.
Pour passer de 7 à 35 (la multiplication lie des grandeurs différentes : "nombre de jetons bleu"
6= "nombre de jetons rouges", il s’agit bien de l’utilisation du coefficient de proportionnalité et
non pas de la propriété multiplicative de linéarité), je dois multiplier par 5 (valeur pouvant, par
exemple, être obtenue depuis la connaisance inverse des tables de multiplications), donc 10 bleus
valent 10 × 5 = 50 rouges.
Le choix des nombres (variable didactique) rend difficile une procédure utilisant les propriétés de
linéarité ... d’où l’exemple 2 ...
Exemple 2. Je peux échanger 20 jetons bleus contre 36 jetons rouges. Combien puis-je avoir de jetons
rouges pour 30 jetons bleus ?
— Résolution type élève par la règle de trois basée sur une utilisation de la propriété multiplicative de linéarité :
— 20 bleus valent 36 rouges,
— donc 5 bleus, ce qui est quatre fois moins que 20 bleus, valent 9 rouges, ce qui est aussi quatre
fois moins que 36 rouges (le rapport de 4 entre 5 et 20 peut être obtenu par une connaissance
inverse des tables de multiplication ; le quotat de 9 résultant d’une division de 36 par 4 aussi),
— et donc 30 bleus, ce qui est six fois plus que 5 bleus, valent 6 × 9 = 54 rouges, ce qui est aussi
six fois plus que 9 rouges (le rapport de 6 entre 5 et 30 peut être obtenu par une connaissance
inverse des tables de multiplication ; le produit de 6 × 9 résulte d’une connaissance directe des
tables de multiplication).
— Résolution type élève utilisant une procédure mixte basée sur les propriété additive et multiplicative de linéarité :
— 30, c’est 20 additionné à la moitié de 20.
2
— 20 bleus valent 36 rouges (énoncé).
— 10 bleus, c’est-à-dire la moitié de 20 bleus valent donc la moitié 36 rouges, c’est-à-dire 18 rouges
(propriété multiplicative de linéarité)
— enfin, 30 bleus, c’est-à-dire 20 + 10 bleus, valent donc 36 + 18 rouges, c’est-à-dire 54 rouges
(propriété additive de linéarité).
Le choix des nombres (variable didactique) a rendu difficile dans l’exercice 2 une procédure utilisant le
coefficient de proportionnalité (celui-ci est décimal : 1, 8) ... d’où l’exemple 1 ...
Quand l’unité est donnée, c’est assez simple ... d’où l’exemple 3 ...
Exemple 3. Le prix en Euros (Grandeur A) et le prix en Francs (Grandeur B) d’un même article sont
proportionnels. Un Euro vaut 6, 559 57 Francs (l’unité "un Euro" est donnée).
Grandeur A : prix en Euros d’un article
1
10
5
16
Grandeur B : prix en Francs du même article 6, 559 57 65, 595 7 32, 797 85 104, 953 12
Exercice 1
[Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse (2004)] Sur une carte routière, un seg-
ment de 10 cm repésente une longueur de 25 km dans la réalité.
Quelle est l’échelle de cette carte ?
Solution 1
Une échelle est un nombre sans unité qui rapporte donc deux longueurs données dans la
même unité. Par exemple, une échelle de 1 : 10 signifie que 1 cm représente 10 cm, que 1 m représente
10 m, que 1 km représente 10 km, ...
Ici, en convertissant les données en décimètres, 10 cm = 1 dm, et 25 km = 25 000 m = 250 000dm.
Le coefficient de proportionnalité (qui est aussi l’échelle) est donc 1 : 250 000.
Exercice 2
On mélange un liquide contenant 40% d’alcool et un liquide contenant 10% d’alcool pour
obtenir un litre de liquide contenant 20% d’alcool. Comment doit-on procéder ?
Solution 2
Soit x le volume d’alcool à 40% exprimé en litres dans le mélange.
Soit y le volume d’alcool à 10% exprimé en litres dans le mélange.
Le mélange a pour volume un litre, et donc x + y = 1.
Le mélange d’un litre contient 20% d’alcool soit 0, 2 ℓ dont 0, 4 × xℓ provenant du volume d’alcool à
40% et dont 0, 1 × yℓ provenant du volume d’alcool à 10%. Ainsi, 0, 4 × x + 0, 1 × y = 0, 2, ce qui équivaut
à 4 × x + y = 2.
La résolution du système à deux équations et deux inconnues donne x =
Exercice 3
1
2
ℓ et y = ℓ.
3
3
Un récipient, de contenance C se remplit à débit constant de cinq litres toutes les deux
minutes.
3
Maintenant, ce récipient n’est pas vide. Mais, dans deux minutes, ce récipient sera déjà rempli au tiers.
Et ce n’est que dans quatorze minutes (depuis maintenant) que ce récipient sera enfin rempli à ras bord.
Quelle est la contenance C de ce récipient, en litres ?
Solution 3
Le récipient se remplit du tiers de son volume à la totalité de son volume en 14 min−2 min =
12 min.
Les deux tiers du récipient sont remplis en 12 minutes.
12
Ainsi, le récipient se remplit en 2 = 18 minutes.
3
Comme il se remplit à débit constant de cinq litres toutes les deux minutes, en 18 minutes,
5×18
2
= 45
litres sont apportés au récipient.
Conclusion : le récipient a une contenance de 45 litres.
Exercice 4
[Nancy-Metz, Strasbourg (1998)] On partage 85 000F entre quatre héritiers. La part du
deuxième est la moitié de la part du premier et le tiers de celle du troisième. Ce dernier a 1 570F de moins
que le quatrième.
1. Calculer la part de chacun (résolution par le procédé de votre choix).
2. Faites une représentation schématique permettant de résoudre le problème sans le recours aux
équations algébriques.
Solution 4
1. Choix d’une résolution algébrique.
Soit x la part du deuxième en francs. Alors,
— la part du premier est 2 × x,
— la part du troisième est 3 × x,
— et la part du quatrième est 3 × x + 157 0 F .
On déduit l’équation suivante qui exprime le total de l’héritage :
2 × x + x + 3 × x + 3 × x + 1570F = 85000F.
La résolution de cette équation donne 9 × x = 83 430 F , puis x = 9 270 F .
En résumé, le premier a 18 540 F , le deuxième a 9 270 F , le troisième a 27 810 F et le quatrième
a 29 380 F .
2. Voici une schématisation du problème très inspirée de la solution algébrique de la question précédente ...
Soit • la part du deuxième en francs. Alors,
— la part du premier est • •,
— la part du troisième est • • •,
4
— et la part du quatrième est • • • + 157 0 F .
85 000F
}|
z
{
• • |{z}
• •
• •} •
• • +{z157 0 F}
|{z}
| {z
|
83 430 F
z
}|
{
• • • • • • • • •
• = 9 270 F
.
En résumé, le premier a 18 540 F , le deuxième a 9 270 F , le troisième a 27 810 F et le quatrième
a 29 380 F .
Exercice 5
[Martinique (2000)] Un héritage estimé à 2 100 000F (deux millions cent mille francs) est
composé d’une maison, d’un terrain et d’une somme d’argent en dépôt dans une banque. La valeur du
terrain représente 80% de celle de la maison. À eux deux, le terrain et la maison représentent une fois et
demie la valeur de la somme d’argent en dépôt à la banque.
Le testament stipule que cet héritage doit être entièrement réparti entre trois personnes A, B et C,
proportionnellement au nombre de parts qui leur sont respectivement attribuées : 28, 24 et 18.
1. Calculer le montant de la somme d’argent, la valeur du terrain et la valeur de la maison.
2. Calculer la valeur de l’héritage de chacun.
3. Proposer une solution de partage au notaire chargé de liquider l’héritage.
Solution 5
1. Calculer le montant de la somme d’argent, la valeur du terrain et la valeur de la maison.
— Soit a le montant de la somme d’argent en francs.
— Soit t la valeur du terrain en francs.
— Soit m la valeur de la maison en francs.
On déduit
—
m + t + a = 2 100 000 F
(cette égalité traduit "un héritage estimé à 2 100 000F est composé d’une maison, d’un terrain
et d’une somme d’argent en dépôt dans une banque"),
—
t = 0, 8 × m
(cette égalité traduit "la valeur du terrain représente 80% de celle de la maison"),
5
—
m + t = 1, 5 × a
(cette égalité traduit "à eux deux, le terrain et la maison représentent une fois et demie la valeur
de la somme d’argent en dépôt à la banque").
La résolution de ce système linéaire à trois équations et trois inconnues donne a = 840 000 F ,
m = 700 000 F et t = 560 000 F .
2. Soient x, y et z les parts de chacun des trois héritiers exprimées en francs.
x
y
z
On a
=
=
et x + y + z = 2 100 000 F .
28
24
18
La résolution de ce système linéaire à trois équations et trois inconnues donne x = 840 000 F ,
y = 720 000 F et z = 540 000 F .
3. Si la somme d’argent peut être morcelée, ce n’est pas le cas de la maison ou du terrain.
Il suffit donc de proposer une situation qui tienne compte de ces contraintes.
Première solution : x = m + 140 000 F , y = t + 160 000 F , et z = 540 000 F .
Deuxième solution : x = t + 280 000 F , y = m + 20 000 F , et z = 540 000 F .
Exercice 6
[Nice (1998)] L’exploitation agricole.
Une exploitation agricole a la moitié de sa superficie consacrée à la pâture, le tiers est couvert de bois,
le dixième est en verger et le vingtième est en culture. La zone bâtie occupe le demi-hectare restant.
1. Quelle est (en hectares) la superficie totale de cette exploitation ?
2. Quelle est (en pourcentage) la part représentée par chacune des zones ? Justifier le calcul.
Solution 6
1 1
1. La proportion surfacique p de l’exploitation agricole occupée par la zone bâtie est p = 1 − − −
2 3
1
1
1
−
= .
10 20
60
1
Ainsi, le soixantième de l’exploitation agricole représente ha. Et, l’exploitation agricole est de
2
1
60 × ha = 30 ha.
2
2. Le tableau suivant est de proportionnalité et les calculs proviennent des procédures connues de la
proportionnalité.
Superficie en hectares Part de l’exploitation agricole Pourcentage
Pâture
15
Bois
10
Verger
3
Culture
3
2
1
2
1
2
1
3
1
10
1
20
1
60
30
1
Zone bâtie
Exploitation agricole
6
50%
33, 33...%
10%
5%
1, 66...%
100%
Exercice 7
Saturne
Saturne est une planète située à une distance au Soleil de 1 427 millions de kilomètres (supposée
constante).
La période de révolution sidérale de Saturne est de 10 759 jours et 6 heures.
1. Quelle est la vitesse angulaire moyenne de Saturne (en degrés par heure) ?
2. Quelle est la vitesse moyenne de Saturne (en kilomètres par heure) ?
Solution 7
Tout d’abord une conversion : 10 759 jours et 6 heures = 10 759 × 24 + 6 heures= 258 222
heures.
Le tableau suivant est de proportionnalité ...
Durée (en heures)
258 222
1
Angle de déplacement (en degrés)
360
B
Distance parcourue (en kilomètres)
A
C
— A = 2 × π × 1 427 000 000 (formule du périmètre d’un cercle).
A = 8 966 × 106 à 106 près, par défaut.
— B=
360
258 222
(car le tableau est de proportionnalité).
B = 0, 001 394 à 10−6 près, par défaut.
— C=
A
258 222
=
2×π×1 427 000 000
258 222
(car le tableau est de proportionnalité).
C = 34 722 à 1 près, par défaut.
Conclusion. La vitesse angulaire de Saturne est proche de 0, 001 394 degrés par heure (i.e. elle semble
ne presque pas bouger depuis le soleil), et sa vitesse est proche de 34 722 kilomètres par heure (i.e. elle se
déplace relativement vite dans le système solaire).
Exercice 8
[Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice (1999)] Dans une ville, lors d’une élection, trois
listes sont en présence : A, B et C. Les résultats en nombre de voix et pourcentage des exprimés figurent
dans le tableau ci-dessous dont trois cases ont été effacées.
Reconstituer les cases manquantes en justifiant les réponses.
Voix obtenues Pourcentages
Liste A
2 362
Liste B
Liste C
25%
5 522
100% − 25% = 75% des votants sont 2 362 + 5 522 = 7 884.
7 884
75%
des votants sont
= 2 628.
Donc, 25% =
3
3
Ensuite, pour remplir le tableau de proportionnalité, on utilise le produit en croix et on obtient
Solution 8
7
2 362 × 25
% =
2 628
centième par 22, 47% des votants,
5 522 × 25
% =
— pour la liste B :
2 628
centième par 52, 53% des votants.
— pour la liste A :
29 525
% = 22, 46...% des votants, que l’on peut arrondir au
1 314
69 025
% = 52, 53...% des votants, que l’on peut arrondir au
1 314
Voix obtenues Pourcentages
Exercice 9
Liste A
2 362
≈ 22, 47%
Liste B
2 628
25%
Liste C
5 522
≈ 52, 53%
[Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice (2000)] Un cycliste parcourt un même trajet à
l’aller et au retour sans s’arrêter. Sa vitesse est de 20 km/h en montée et 40 km/h en descente. L’aller se
compose d’une montée et d’une descente dont la longueur est deux fois plus courte que celle de la montée.
1. Calculer sa vitesse moyenne sur le parcours aller.
2. Calculer sa vitesse moyenne sur le parcours retour.
3. Calculer sa vitesse moyenne sur le parcours aller-retour.
Solution 9
La formule qui donne la vitesse moyenne v (exprimée en kilomètres par heure) d’un parcours
en fonction de la durée t de ce parcours (exprimée en heures) et de la distance parcourue d (exprimée en
kilomètres) est
d
v= .
t
1. Sur le parcours aller.
Soit δ la longueur totale du parcours aller (exprimée en kilomètres).
2×δ
(exprimée en kilomètres) et la distance de
La distance de montée sur le parcours aller est alors
3
δ
descente sur le parcours aller est (exprimée en kilomètres) (car "l’aller se compose d’une montée
3
et d’une descente dont la longueur est deux fois plus courte que celle de la montée").
Soit t1 le temps de montée (exprimé en heures) de l’aller et t2 le temps de descente (exprimé en
δ
2×δ
δ
δ
(exprimé en heures) et t2 = 3
(exprimé en heures).
heures) de l’aller. On a t1 = 3 =
20
30
40 120
δ
δ
La vitesse moyenne vA du parcours aller est donc donnée par vA =
= 24
= δ
δ
t1 + t2
+
30
120
(exprimée en kilomètres par heure).
2. Sur le parcours retour.
La longueur du parcours retour (exprimée en kilomètres) est la même que pour le parcours aller,
soit δ.
La distance de montée sur le parcours retour est alors
8
δ
(exprimée en kilomètres) et la distance
3
2×δ
(exprimée en kilomètres) (car "l’aller se compose d’une
3
montée et d’une descente dont la longueur est deux fois plus courte que celle de la montée").
de descente sur le parcours retour est
Soit t3 le temps de montée (exprimé en heures) du retour et t4 le temps de descente (exprimé en
2×δ
δ
δ
δ
(exprimé en heures) et t4 = 3 =
(exprimé en heures).
heures) du retour. On a t3 = 3 =
20
60
40
60
δ
δ
La vitesse moyenne vB du parcours retour est donc donnée par vB =
= δ
δ = 30
t3 + t4
+ 60
60
(exprimée en kilomètres par heure).
3. Sur le parcours aller-retour.
La longueur totale du parcours aller-retour (exprimée en kilomètres) est 2 × δ.
La vitesse moyenne v du parcours aller-retour est donc donnée par
2×δ
t1 + t2 + t3 + t4
2×δ
= δ
δ
δ
δ
+ 120 + 60
+ 60
30
80
=
≈ 26, 66
3
v =
(exprimée en kilomètres par heure).
Exercice 10
[Guadeloupe, Guyane (2000)] Trois motocyclistes ont pris ensemble le départ d’une course
sur un circuit. Le second, dont la vitesse moyenne était inférieure de 7, 5 km/h à celle du premier et
supérieure de 4, 5 km/h à celle du troisième, est arrivé 6 minutes après le premier et 4 minutes avant le
troisième. Le but de l’exercice est de déterminer la longueur du parcours, la vitesse moyenne de chaque
parcours et le temps mis par chacun pour effectuer le parcours.
1. Compléter le tableau ci-dessous que l’on reproduira sur la copie
Vitesse moyenne Durée de parcours Distance parcourue
Premier coureur
Second coureur
v
t
Troisième coureur
2. En déduire
— la vitesse moyenne de chaque coureur en km/h,
— la durée de parcours de chaque coureur en minutes,
— la distance parcourue.
Solution 10
1. On remplit le tableau d’après les données de l’énoncé
9
v×t
Vitesse moyenne Durée de parcours
(en km/h)
Premier coureur
v + 7, 5
Second coureur
v
Troisième coureur
Distance parcourue
(en h)
t−
(en km)
(v + 7, 5) × (t −
6
60
t
v − 4, 5
t+
6
)
60
v×t
(v − 4, 5) × (t +
4
60
4
)
60
2. Les trois coureurs ont évidemment parcouru la même distance, ce qui mène au système d’équations
(à deux équations et à deux inconnues)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

 (v + 7, 5) × (t − 6 ) = v × t
60
 v × t = (v − 4, 5) × (t + 4 )
60

6
6
✘
✘✘
✘✘
v×
t + 7, 5 × t − v × 60
− 7, 5 × 60
=✘
v×
t
4
4
✘
✘✘
✘✘
v×
t =✘
v×
t − 4, 5 × t + v × 60 − 4, 5 × 60

 7, 5 × t − v × 6 = 7, 5 × 6 = 0, 75 (L )
60
60
1
 −4, 5 × t + v × 4 = 4, 5 × 4 = 0, 3 (L )
2
60
60

 75 × t − v = 7, 5 (L′ ) = 10 × (L )
1
1
 −67, 5 × t + v = 4, 5 (L′ ) = 15 × (L )
2
2

 75 × t − v = 7, 5 (L′ )
1
⇐⇒ 
75 × t − 67, 5 × t = 7, 5 + 4, 5 (L′′2 ) = (L′1 ) + (L′2 )
⇐⇒

 75 × t − v = 7, 5 (L′ )
1
 7, 5 × t = 12 (L′′ )
2

 t = 12 = 1, 6
7,5
⇐⇒ 
v = 75 × 1, 6 − 7, 5 = 112, 5.
En revenant au tableau,
Vitesse moyenne
Durée de parcours
(en km/h)
(en km)
Premier coureur
120
1, 5 h = 1 h 30 min
180
Second coureur
112, 5
1, 6 h = 1 h 36 min
180
108
1, 66 h = 1 h 40 min
180
Troisième coureur
Exercice 11
Distance parcourue
[Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, La Réunion, Nantes, Poitiers (1998)] Dans un scrutin
uninominal à deux tours, le code électoral précise que seuls peuvent accéder au second tour les candidats
qui ont obtenu un nombre de voix au moins égal à 12, 5% du nombre des inscrits. Lors d’une élection, il y
a 6 candidats pour 8 000 inscrits et, au premier tour, 24% d’abstentions et 85 bulletins blancs ou nuls.
1. Se peut-il qu’aucun candidat ne puisse accéder au second tour ?
10
2. Se peut-il que tous les candidats puissent accéder au second tour ?
Solution 11
1. Se peut-il qu’aucun candidat ne puisse accéder au second tour ?
Un raisonnement par l’absurde ... On va supposer qu’aucun candidat ne puisse accéder au second
tour et tenter d’aboutir à une contradiction.
12, 5% du nombre des inscrits représente 8 000 × 12, 5% votes (i.e. 1 000 votes).
24% du nombre des inscrits représente 8 000 × 24% inscrits (i.e. 1 920 inscrits).
Si aucun candidat ne peut accéder au second tour, alors chacun des candidats a au plus 999 voix.
La ville a alors au plus 6 × 999 + 1 920 + 85 inscrits (i.e. 7 999 inscrits).
Ceci est une absurdité, car la ville contenant 8 000 inscrits ne peut contenir au plus 7 999 inscrits.
Par conséquent, il est impossible qu’aucun candidat ne puisse accéder au second tour.
2. Se peut-il que tous les candidats puissent accéder au second tour ?
Un raisonnement par l’absurde ... On va supposer que tous les candidats puissent accéder au second
tour et tenter d’aboutir à une contradiction.
Si tous les candidats peuvent accéder au second tour, alors chacun des candidats a plus de 1 000
voix.
La ville a alors plus de 6 × 1 000 + 1 920 + 85 inscrits (i.e. 8 005 inscrits).
Ceci est une absurdité, car la ville contenant 8 000 inscrits ne peut contenir plus de 8 005 inscrits.
Par conséquent, il est impossible que tous les candidats puissent accéder au second tour.
Exercice 12
[Lyon (2004)]
1. Lors d’un référendum de 2003 en Martiloupe, un camp a obtenu 1 044 voix de plus que l’autre, soit
un résultat de 50, 48% contre 49, 52%.
(a) Calculer, si possible, le nombre de suffrages exprimés.
(b) Calculer, si possible, le nombre d’électeurs inscrits.
2. Dans un bureau de vote de Terre-de-France, il y a eu, en 2003, un tiers de suffrages exprimés de
plus que lors de la consultation de 1992. En 1992, il y a eu 450 suffrages exprimés, dont 62% de
non. Lors du référendum de 2003, les non ne représentaient que 47%. Le nombre de non a-t-il
augmenté ou diminué ?
Solution 12
1. Lors d’un référendum de 2003 en Martiloupe, un camp a obtenu 1 044 voix de plus que l’autre, soit
un résultat de 50, 48% contre 49, 52%.
11
(a) Calculer, si possible, le nombre de suffrages exprimés.
En termes de pourcentages, les 1 044 voix de plus représentent 50, 48% − 49, 52% = 0, 96% de
plus.
Le tableau suivant est de proportionnalité
Nombre de voix Pourcentages de voix
Écart
1 044
0, 96%
Total
A
100%
La valeur de A (le nombre de suffrages exprimés) peut alors se calculer par la quatrième indéterminée
A = 1 044 ×
100
= 108 750.
0, 96
(b) Calculer, si possible, le nombre d’électeurs inscrits.
Les données fournies par l’énoncé ne nous permettent pas de connaître le nombre d’électeurs
inscrits : le nombre d’abstentions et le nombre de bulletins blancs ou nuls sont inconnus.
2. Dans un bureau de vote de Terre-de-France, il y a eu, en 2003, un tiers de suffrages exprimés de
plus que lors de la consultation de 1992.
En 1992, il y a eu 450 suffrages exprimés, dont 62% de non.
Lors du référendum de 2003, les non ne représentaient que 47%.
Le nombre de non a-t-il augmenté ou diminué ?
On synthétise les données dans un tableau ...
Année1992 Année2003
Nombres de suffrages exprimés
Nombres de non
Pourcentages de non
450
B
C
D
62%
47%
Les valeurs B, C et D se calculent de la façon suivante :
— B = 450 + 31 × 450 = 600 (en 2003, un tiers de plus qu’en 1992) ;
— C=
— D=
62
100
47
100
× 450 = 279 (62% des votants) ;
× 600 = 282 (47% des votants).
Le nombre de non a donc augmenté (passage de 279 à 282), même si le pourcentage de non a
baissé (passage de 62% à 47%).
Exercice 13
[Besançon (2000)]
1. Au 10 janvier 2000, le Napoléon (pièce de vingt francs or) cote 330, 60 francs. Calculer sa valeur en
12
marks allemands (au centième) en utilisant le tableau suivant
PARITES ZONE EURO
1 EURO =
1, 95583 mark (Allemagne)
40, 3399 francs bel (Belgique)
166, 386 pesetas (Espagne)
6, 55957 francs (France)
1936, 27 lires italiennes (Italie)
2. Le tableau ci-dessous représente les fluctuations du dollar par rapport à l’euro. La dernière ligne du
tableau représente cette évolution en pourcentage. Reproduire et compléter ce tableau (la présentation des calculs est exigée).
Les valeurs du dollar seront arrondies au dix millième et les pourcentages seront arrondis au centième, par excès ou par défaut, au choix du candidat.
Dates
07/01
10/01
Dollar
0, 9713
Euro
1
1
Evolution en % par rapport à la date
•
+0, 40%
11/01
12/01
13/01
0, 9689 0, 9737
1
14/01
0, 9866
1
1
1
−0, 01% +1, 33%
Solution 13
1. Le Napoléon (pièce de vingt francs or) cote 330, 60 francs, c’est-à-dire
330, 60
euros, ou encore
6, 559 57
330, 60
marks allemands.
6, 559 57
Au centième de mark allemand près, le Napoléon vaut 98, 57 marks allemands.
1, 955 83 ×
2. Fluctuations du dollar par rapport à l’euro.
Les valeurs du dollar seront arrondies au dix millième et les pourcentages seront arrondis au centième.
Dates
07/01
10/01
11/01
12/01
Dollar
0, 9713
x1
Euro
1
1
1
1
Evolution en % par rapport à la date
•
+0, 40%
x2
x3
0, 9689 0, 9737
13/01
14/01
x4
0, 9866
1
1
−0, 01% +1, 33%
x1 est l’arrondi au dix millième de 0, 971 3 × 1, 004 0, c’est-à-dire 0, 975 2.
0, 968 9
− 1, c’est-à-dire −0, 006 5 ou −0, 65%.
x2 est l’arrondi au dix millième de
0, 975 2
0, 973 7
− 1, c’est-à-dire +0, 005 0 ou +0, 50%.
x3 est l’arrondi au dix millième de
0, 968 9
13
x4 est l’arrondi au dix millième de 0, 973 7 × 0, 999 9, c’est-à-dire 0, 973 6.
Vérification pour le 14/1 : l’arrondi au dix millième de 0, 973 6 × 1, 013 3 est 0, 986 5, mais la valeur
approchée par excès au dix millième de 0, 973 6 × 1, 013 3 est bien 0, 986 6, ce qui était permis dans
les choix du candidat et qui était la valeur donnée dans le tableau. L’ensemble des valeurs trouvées
est donc correct.
Exercice 14
Ce pays est habité par trois ethnies différentes : A, B et C.
Avant le trem blem ent de terre
Et hnie C
20%
Et hnie A
50%
Et hnie B
30%
Après le trem blem ent de terre
Et hnie C
30%
Et hnie A
52%
Et hnie B
18%
Un tremblement de terre vient de décimer 7 000 personnes dans ce pays dont 3 220 pour l’ethnie A.
Quelle est la population de ce pays après le tremblement de terre ?
Solution 14
Soit p la population totale avant le tremblement de terre, on remplit alors le tableau de
proportionnalité.
La population totale après le tremblement de terre est alors p − 7 000 (en interprétant "un tremblement
de terre vient de décimer 7 000 personnes dans ce pays").
14
Avant le tremblement de terre
Après le tremblement de terre
effectif
pourcentage
Ethnie A
0, 5 × p
50%
Ethnie B
0, 3 × p
Ethnie C
Population totale
effectif
pourcentage
Ethnie A
0, 52 × (p − 7 000)
52%
30%
Ethnie B
0, 18 × (p − 7 000)
18%
0, 2 × p
20%
Ethnie C
0, 3 × (p − 7 000)
30%
p
100%
Population totale
p − 7 000
100%
D’autre part, en interprétant le fait que l’ethnie A a perdu 3 220 âmes, on a 0, 5×p−0, 52×(p−7 000) =
3 220, puis 0, 52 × 7 000 − 3 220 = 0, 52 × p − 0, 5 × p ou encore 0, 02 × p = 420, et finalement, la population
p avant tremblement de terre est de p =
420
0,02
= 21 000 et la population p − 7 000 après tremblement de
terre est de 21 000 − 7 000 = 14 000.
En reprenant le tableau
Avant le tremblement de terre
Après le tremblement de terre
effectif pourcentage
effectif pourcentage
Ethnie A
10 500
50%
Ethnie A
7 280
52%
Ethnie B
6 300
30%
Ethnie B
2 520
18%
Ethnie C
4 200
20%
Ethnie C
4 200
30%
Population totale 21 000
100%
Population totale 14 000
100%
Exercice 15
Dans l’industrie textile, pour comparer les épaisseurs de différents fils de même nature
(par exemple, il sera toujours ici question de coton), il s’agit d’étudier le rapport entre la longueur et la
masse du fil.
On appelle ainsi "numéro métrique", noté N m, le nombre de mètres de fil obtenus dans un gramme de
fil. Par exemple, N m = 12 correspond à 12 mètres de fil pour 1 gramme.
1. Vrai ou faux, justiffier :
— Affirmation A : "N m = 20 correspond à 20 km de fil pour 1 kg".
— Affirmation B : "Plus le numéro métrique est grand, plus le fil est épais".
2. L’opération de titrage consiste, dans la pratique, à prélever un échantillon de 500 mètres de fil à
l’aide d’un dévidoir puis de le peser.
La pesée donne 62, 5 grammes, quel est le numéro métrique du fil ?
3. On souhaite connaître la longueur restante d’un fil sur une bobine déjà entamée. La connaissance
de la masse d’une bobine vide permet de déduire par pesée la masse du fil restant.
S’il reste sur la bobine 40 g de fil de numéro métrique N m = 50, quelle est la longueur de fil
correspondant ?
4. Un "fil retors" est un fil obtenu à partir de plusieurs fils simples assemblés par torsion (voir illustration).
15
On considère pour simplifier que la torsion n’agit pas sur la longueur : un fil retors de 1 mètre peut
être obtenu par assemblage de deux fils simples de 1 mètre chacun.
(a) Quel est numéro métrique d’un fil obtenu par retordage de deux fils simples de caractéristique
N m = 40 ?
(b) Quel est numéro métrique d’un fil obtenu par retordage de deux fils simples de caractéristiques
N m = 40 pour l’un et N m = 10 pour l’autre ?
(c) Démontrer que le numéro métrique n d’un fil retors constitué de deux fils simples de numéros
métriques respectifs n1 et n2 est :
n=
n1 × n2
.
n1 + n2
Solution 15
1. — Affirmation A : "N m = 20 correspond à 20 km de fil pour 1 kg". Vrai, N m = 20 correspond
à 20 m de fil pour 1 g, soit en multipliant par 1000 à 20 km de fil pour 1 kg.
— Affirmation B : "Plus le numéro métrique est grand, plus le fil est épais". Faux, le numéro
métrique exprime la longueur de fil obtenu pour 1 gramme donc plus le numéro est grand plus
la longueur du fil obtenu pour 1 gramme est grand et donc plus le fil est fin.
2. 500 mètres de fil pèsent 62, 5 grammes donc 1 km de fil pèse 125 g. Et donc 8 km pèsent 1 kg.
On en conclut que N m = 8.
3. N m = 50 (50 mètres par gramme) donc pour 40 g de fil on a 50 × 40 = 2000 mètres.
4. (a) (a) Pour chaque fil simple, N m = 40 mètres par gramme, ce qui correspond à 1 mètre pour
1
g.
40
1
g et donc
Donc 1 mètre du fil retors (composé de deux fils) est deux fois plus lourd, il pèse
20
son numéro métrique vaut 20.
1
(b) Premier fil simple, N m = 40, ce qui correspond à 1 m pour
g.
40
16
Deuxième fil simple, N m = 10, ce qui correspond à 1 m pour
1
g.
10
1
1
1
g+
g = g.
40
10
8
En multipliant par 8, on obtient 8 mètres pour 1 gramme. Son numéro métrique vaut 8.
1
(c) Premier fil simple, N m = n1 , ce qui correspond à 1 m pour
g.
n1
1
g.
Deuxième fil simple, N m = n2 , ce qui correspond à 1 m pour
n2
1
1
n1 + n2
Donc 1 mètre du fil retors pèse
g+
g=
g.
n1
n2
n1 × n2
n1 × n2
n1 × n2
En multipliant par
, on obtient
mètres pour 1 gramme. Son numéro métrique
n1 + n2
n1 + n2
n1 × n2
.
vaut
n1 + n2
Analyse de productions d’élèves [Montpellier (1998)]
Donc 1 mètre du fil retors pèse
Sujet
Solution
Analyse de productions d’élèves [Guyane (2003)]
Sujet
Solution
Analyse de productions d’élèves [Grenoble, Lyon (2000)]
Sujet
Solution
Analyse de productions d’élèves [Rouen (1998)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Amiens (2002)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Aix, Marseille, Montpellier, Nice (1999)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Créteil, Paris, Versailles (1998)]
Sujet
Solution
Volet didactique
Sujet
Solution
17