CI-1 Stewart - Site de la MPSI de Claude Bernard

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S2I
CI-1 : analyse système et vérification de performances des
systèmes linéaires continus et invariants
Support : La plate forme STEWART
Filière :
MPSI
I. Objectifs
I
1. Démarche de l’ingénieur
Système industriel
Ecart 3
Ecart 1
Modèles
Système étudié
Ecart 2
Xcon
Uc
+
θmot
-
+
-
U
Ωmo
θ
2. Objectifs du TP
Analyser la fonction globale d’une plateforme de simulation.
Identifier la structure des chaînes d’information et d’énergie du système
Etablir un modèle à l’aide d’une identification fréquentielle
Valider le modèle identifié à l’aide du logiciel Scilab
Etudier un composant particulier de la chaîne de mesure : le potentiomètre.
II. Travail demandé
Préliminaire : visionner les films sur les différents types de robots.
1. Mise en fonctionnement du système
Mettre l’ordinateur sous tension mais pas la table.
Lancer le programme Stewart. Alors, et alors seulement, vous pouvez
mettre la plate forme Stewart sous tension. Le plateau supérieur se
déplace alors verticalement.
Sélectionner alors le menu Fichier puis Ouvrir et Ouvrir un des fichiers
dans le répertoire C:\Stewart\exemples.
Sélectionner le menu Calcul puis Lancer.
Sélectionner enfin le menu Pilotage puis Action et répétition et enfin
valider par OK.
Cliquer sur Arrêt pour arrêter la simulation.
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2. Analyse fonctionnelle de la plate forme Stewart
a. Applications
Nous avons décidé de nous intéresser à la plate forme 6 axes, avec ses capteurs et sa carte de
commande d’axe. Nous excluons de ce système l’ordinateur ainsi que sa carte d’interface.
Nous considérons que la matière d’œuvre du système est l’ « objet dans la position de
repos » : en consultant le document ressources 2
1) Donner les différents types d’application de la plate forme de Stewart réelle (pas la
maquette).
b. Fonction principale
2) Donner par conséquent la désignation de la Valeur Ajoutée.
3) Définir la matière d’œuvre et la fonction principale du système.
3. Mise en œuvre de la programmation de la plate forme
a. Exemple de programmation
4) Dans l’application STEWART, cliquer sur Fichier et sur nouveau.
Nous allons imposer un mouvement de rotation à la plate-forme supérieure en fixant des
paramètres de déplacement.
Paramètrer le déplacement
<acquisition>
<inverse : qi_acq>
Définition : Qz = 0.52*sin(u)
Qx = 0
Qy = 0
xm = 0
ym = 0
zm = 70 mm
Bornes : u ∈ [ 0, 2π ]
Programmer 150 points.
La positon de la plate-forme supérieure est définie par 6 coordonnées ( Qx, Qy, Qz, xm, ym,
zm). Une des coordonnées dépend d’un paramètre u qui prend 150 valeurs différentes entre 0
et 2π .
Lancer le calcul
<Calcul>
Le logiciel peut maintenant piloter la plate-forme
<pilotage>
<tempo> lui donner la valeur de 100 ms
<action>
<simple>
On observe normalement un mouvement de rotation autour d’un axe vertical.
Recommencer en choisissant <répétition> au lieu de <simple>
La fonction principale de la plate forme 6 axes peut être énoncée par : « Faire suivre à la plate
forme supérieure une loi de mouvement imposée ».
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5) Enoncer plusieurs critères de performances associés à cette fonction. Proposer des
caractéristiques pour chaque critère dans la mesure du possible.
b. Programmation en autonomie
Pour ceci il faut utiliser le document ressource sur l’utilisation du logiciel.
Soit à faire décrire au centre de la plate-forme un cercle de rayon 50 mm dans le plan horizontal
d'altitude zm = 80 mm , la plate-forme ne changeant pas d'orientation.
Accès par : <Acquisition> , <Inverse : qi_act>
Données des qi_Act :
Il s'agit ici de préciser la position de la plate-forme par ses coordonnées cartésiennes en
fonction d'un paramètre u.
6) Renseigner les paramètres suivants :
xm =
ym =
zm =
tous les autres paramètres restant à zéro.
Préciser ensuite le mode d'évolution du paramètre u :
- borne inférieure : 0
(rd)
- borne supérieure : 2*pi (rd)
- nb de points : 180
Cliquer
Les calculs géométriques et d'efforts en statique sont effectués.
Pour effectuer le déplacement physique de la plate-forme , taper <Pilotage>, <Action>
On peut régler le délai d'envoi de deux consignes de position par la commande <Tempo> en
milli-secondes.
La plate-forme doit décrire le mouvement spécifié.
4. Modélisation de l’architecture du système
Consulter le document Ressources. Chacun des axes asservis peut se représenter par une
chaîne fonctionnelle caractérisée par un agencement fonctionnel des constituants.
Nous nous intéressons donc ici à la chaîne fonctionnelle constituée de l’ensemble du vérin et
de la carte de commande d’axe, mais le PC (et par conséquent la carte d’interface analogique
numérique) ne fait pas partie de cette chaîne fonctionnelle.
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Support de Potentiomètre
Potentiomètre
a. Décomposition de la Chaîne d’Energie
7) Compléter l’annexe 1 qui donne un schéma d’architecture partiel de la chaîne
d’énergie d’un axe.
b. Décomposition de la chaîne d’information
8) Compléter l’annexe 2 qui donne un schéma d’architecture partiel de la chaîne
d’information d’un axe.
9)
A l’aide des décompositions précédentes, compléter la légende de l’annexe 3 en
complétant les flèches avec le nom de chaque élément précédent.
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II
III. Etude expérimentale
5. Modélisation de la commande d’axe
a. Modèle de connaissance
La figure ci-dessous présente un schéma fonctionnel simplifié de la commande de l'axe . Ce
schéma fait apparaître deux boucles d'asservissement imbriquées :
Zcons
Aff
ε1
+
K1
Ucons
+
-
Ωmot
Umot
Ωvis
θvis
Z
-
La boucle principale est la boucle d'asservissement en position
La seconde boucle est la boucle d'asservissement de vitesse du moteur et de
l'axe.
10) Associer à chacun des blocs précédents un composant du système en vous aidant
du dossier ressources, et l’inscrire dans la case correspondante.
Un modèle de connaissance du système précédent est alors le suivant :
Z cons ( p)
Aff
U mot ( p)
+
-
K1
+
-
+
-
1
R
K
1
Ωm ( p)
J eq p
K red
Ω vis ( p )
Z( p)
K vis
K
KD
KP
K roue
1) A l’aide du dossier technique, déterminer les valeurs de Kred, Kvis.
2) Justifier que l’inductance du moteur à courant continu puisse être négligée à partir
des valeurs du dossier technique.
b. Modèle de comportement
L’ensemble de ce modèle de connaissance ne peut pas être déterminé directement. Afin de
simplifier l’étude, on propose de se baser sur un modèle de connaissance partiel, basé sur le
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comportement du système. Ainsi, le modèle de comportement proposé par la suite est le
suivant :
Z cons ( p)
+
-
K '1
K'
1 + Tp
Ωm ( p)
K red
Ω vis ( p )
Z( p)
K vis
3) Justifier que ce modèle de comportement est équivalent au modèle de connaissance
précédent.
L’objectif de ce TP est d’identifier entièrement les cœfficients inconnus de ce modèle de
comportement afin de proposer un modèle de simulation correct. La démarche sera alors
découpée en 2 études distinctes :
• Identification de K’ à partir de mesures en temporelles
• Identification de K’1 et T à partir de mesures en fréquentiel
• Validation du modèle de simulation
6. Mise en évidence préliminaire
a. Etude expérimentale de la réponse indicielle avec une consigne de 100
mm
Démarrer le logiciel Axe, présent sur le bureau.
À partir du menu général, sélectionner successivement :
Fichier…Nouveau
Acquisition…Carré
Période : 8s
Amplitude : 100 mm
Nb cycles : 1
Nb points/cycle : 79
Longueur initiale du vérin 350 mm
Valider
Pilotage…Action Valider
L'axe regagne d'abord sa position initiale, attendre l'invite pour lancer le déplacement.
Pilotage…Courbes
Dans Choix, cliquer sur Y = y(x) et sélectionner l'une des courbes de réponse : "Position",
"Vitesse", "Couple"
Cliquer sur Valeurs puis sur les flèches pour déplacer le curseur et obtenir ainsi les valeurs
particulières.
4) Sélectionner la visualisation de la vitesse. La courbe de réponse en vitesse comporte
approximativement quatre phases à partir du début de déplacement : Caractériser
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chacune de ces phases (instant de début, durée, valeur(s)) ; commentez et corrélezles avec la courbe de position.
5) Le système est il asservi en position lors de la troisième phase ? Expliquer l’origine
de ce phénomène.
b. Etude expérimentale de la réponse indicielle avec une consigne de 2 mm
6) Refaire les mêmes acquisitions dans le cas d’une consigne en position de 2 mm.
7) Montrer que l'on obtient cette fois un comportement asservi sur l'ensemble du
fonctionnement
7. Identification de la fonction de transfert du moteur asservi en vitesse
Nous allons exploiter cette saturation du moteur pour identifier le gain de la fonction de transfert
K'
du moteur asservi en vitesse
. En effet, il pourrait aussi être envisagé d’identifier K’ mais
1 + Tp
les mesures ne sont pas suffisamment précises en régime transitoire pour obtenir une précision
suffisante.
8) Réaliser une acquisition avec une consigne de déplacement en échelon de 50 mm.
Nous savons que le moteur sature à une tension de 12 V.
9) Proposer une méthode et identifier la valeur de K’.
8. Identification en fréquentiel de K1
a. Préliminaires
Z( p)
,à
Zcons ( p )
partir du modèle de comportement. Déterminer l’ensemble de ses paramètres
caractéristiques en fonction de K’1 et de T qui restent inconnus à ce stade.
Nous allons maintenant exploiter cette modélisation. Pour cela, nous allons réaliser une
identification en fréquentiel de cette fonction de transfert, et identifier alors les valeurs de K’1 et
de T.
10) Déterminer l’expression analytique de la fonction de transfert globale
b. Relevé pour l’analyse fréquentielle
On peut alors programmer un essai en Sinus : Menu Acquisition et Sinus. Régler les
paramètres suivants :
Amplitude : 5 mm
Nombre de cycles : 5
Nombre de points : 20
Longueur initiale du vérin : 400 mm
Période : 0.5 s
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11) Justifier l’intérêt de ne pas faire une amplitude supérieure à
5 mm.
12) Effectuer un essai (Menu Pilotage puis Action) et visualiser
les courbes de position (menu Pilotage puis Courbes,
Choisir Y=y(x) et tracer les Positions).
L’icône Valeurs
permet de faire apparaître les valeurs à
chaque point de mesure.
∆t
A
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13) Expliquer comment, à partir de la valeur de l’amplitude A de la réponse temporelle du
système Z(t) , il est possible de déterminer le gain (en dB) de la fonction de transfert
du système. Noter la valeur de A en mm dans ce cas précis dans le tableau à remplir
question 10.
14) Expliquer comment il est possible, à partir de la mesure du décalage temporel
∆t entre la consigne Zcons(t) et Z(t), il est possible de déterminer la phase(en °) de la
fonction de transfert. Noter la valeur de ∆t dans ce cas dans le tableau à remplir
question 10.
15) Quelle est la relation entre le période T du signal et la pulsation ω nécessaire pour
tracer le diagramme de Bode ?
16) Relever les valeurs de A et de ∆t pour des signaux dont la période varie entre 0,2 s
et 3 s. Reporter ces valeurs dans le fichier stewart.xls fourni.
Période en s
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1
1.5
2
3
A en mm
∆t en s
17) Justifier les formules mises en place dans le tableur pour construire le diagramme de
Bode.
18) Imprimer le diagramme de Bode qui se construit automatiquement.
c. Exploitation de l’analyse fréquentielle
19) A partir du diagramme de Bode tracé précedemment, justifier que la fonction de
Z( p)
1
Z( p)
transfert
puisse se mettre sous la forme :
=
. En
Zcons ( p )
Zcons ( p ) (1 + τ1p )(1 + τ2 p )
déduire alors les valeurs de τ1 et de τ2 . Identifier alors les paramètres K’1 et de T.
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III
IV. Validation du modèle en boucle ouverte
9. Modélisation du moteur à courant continu
Dans cette partie, vous allez étudier le moteur seul de l'axe de la plate forme Stewart.
Les grandeurs physiques en jeu sont les suivantes :
Vitesse angulaire de l'arbre moteur 5 / bâti 3 : ω m (t ) en rad/s
Tension de commande du moteur : v(t ) en V
Intensité du courant de commande du moteur : i (t ) en A
Force contre-électromotrice (fcem) : e(t ) en V
Couple du couple moteur : cm (t ) en N.m
Couple du couple résistant équivalent ramené sur l'arbre moteur : cr (t )
Résistance totale d'induit : R
Inductance totale d'induit : L
Coefficient de couple du moteur : K c
Coefficient de fcem du moteur : K e
comme c'est souvent le cas, K e = K c , noté K
Moment d'inertie équivalent ramené sur l'arbre moteur : J
Coefficient de frottement fluide : f
Un moteur à courant continu est considéré comme un système dont l’entrée est la tension
de commande de l’induit v(t ) et dont la sortie est la vitesse de rotation de l’arbre moteur
ωm (t ) .
Le moteur de la plate forme Stewart est un moteur Maxon 25 22 936 52 112 000.
Le modèle du moteur à courant continu vous est proposé ci-dessous.
Les équations qui modélisent le fonctionnement du moteur sont les suivantes :
•
Loi d'Ohm dans le circuit d'induit :
•
Équations de l’électromagnétisme dans le moteur :
e(t ) = K .ωm (t )
v(t ) = e(t ) + R.i (t ) + L.
cm (t ) = K .i (t )
di (t )
dt
(1)
( 2)
(3 )
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d ω (t )
• Équation de la dynamique de l'arbre moteur : cm (t ) − cr (t ) = J . m − f ωm (t )
dt
Filière :
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( 4)
10. Etude théorique
On se place avec une perturbation nulle.
1) Rechercher dans les documents constructeurs, la valeurs des caractéristiques
suivantes : R, L, J et K (f sera négligé).
2) Définir la fonction de transfert en boucle fermée.
3) Définir les valeurs numériques des grandeurs caractéristiques de cette fonction de
transfert.
4) Donner l’allure sans calcul de la réponse de cette fonction de transfert à une entrée
échelon.
11.
Construction du schéma-bloc du moteur
Démarrer Scilab et lancer l’application xcos grâce à l’icône
.
Les deux fenêtres suivantes doivent s’ouvrir :
La 1ère présente les blocs prédéfinis par l’application Xcos avec en particulier le
module CPGE dans lequel vous devez retrouver les éléments utiles à une étude des
systèmes linéaires.
La 2nde fenêtre est la fenêtre de travail dans laquelle vous allez construire votre
schéma-bloc.
Vous devez apporter à la souri les différents éléments nécessaire au schéma-bloc :
Entrées :
2 entrées échelon STEP_FONCTION
Opérateurs linéaires :
2 fonctions de transfert CLR
2 gains purs GAINBLK_f
2 sommateurs BIGSOM_f
Sorties :
1 sortie SCOPE
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MPSI
Vous devez avoir un schéma tel que celui-ci :
Remarque : les deux éléments de la boucle de retour sont orientés vers la gauche. Il suffit
d’effectuer un click droit, suivi de Format puis Miroir.
Relier ensuite les blocs pour construire le schéma :
Il faut ensuite définir les fonctions de transfert :
Entrée : il faut définir les variables d’entrée et de perturbation notées v et Cr. Pour
cela, dans le menu simulation, puis Modifier le contexte, définir la valeur de la
variable. Ici on choisira v = 100 pour l’entrée et Cr = 0.
24
Dans cette fenêtre, vous pouvez stocker toutes la variables dont les valeurs peuvent changer.
Il est nécessaire ensuite de définir l’amplitude de l’entrée : instant 0, Valeur initiale 0 et Valeur
finale v.
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MPSI
Sommateur : par défaut les sommateurs sont définis avec deux signes +. Un click droit suivi de
Paramètres du bloc vous permet de définir les signes. Vous choisirez [1 ;-1] pour le premier et [1 ;1] pour le second.
Gain pur : il suffit d’imposer la valeur numérique.
Fonction de transfert : vous devez entrer la fonction de transfert. Attention la variable de
Laplace est notée s et non p.
Mettre les valeurs numériques
correspondant au moteur Maxon 25 22
936 52 112 000
12.
Étude en temporel
Le schéma est maintenant construit. Pour effectuer l’analyse temporelle, il faut apporter un bloc
REP_TEMP dans le menu Analyses.
5) En fonction de la valeur de la pulsation propre non amortie, choisir l’horizon temporel
en cliquant sur l’icône Time.
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Filière :
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MPSI
6) En fonction des constantes de temps, choisir l’horizon temporel en cliquant sur
l’icône Time.
7) Lancer la simulation par l’icône Run .
8) Le résultat vous semble t’il conforme à l’étude théorique précédente ?
13.
Étude en fréquentiel
9) Proposer une réponse fréquentielle du moteur en boucle fermée.
On va maintenant valider la simplification précédente par l’étude fréquentielle de la fonction de
transfert en boucle fermée. Pour cela, il faut ajouter :
2 repères de grandeur physique : GRANDEUR_PHY… dans analyse (ces blocs
permettent de définir les entrée / sortie de l’étude fréquentielle,
Un bloc Bode dans analyse. Sélectionnez ce bloc et définissez les bornes de l’étude
fréquentielle.
Afficher la réponse fréquentielle de la FTBF. Vérifier l’allure du schéma avec la forme de
la FTBF. Sur quelle plage de fréquence, la simplification précédente est-elle
validée ?
10) Afficher la réponse fréquentielle de la FTBF. Vérifier l’allure du schéma avec la forme
de la FTBF. Sur quelle plage de fréquence, la simplification précédente est-elle
validée ?
11) Comparer votre tracé avec celui fourni par Scilab.
14.
Validation du modèle mise en place
12) Comparer le modèle identifié mis en place par l'élève responsable de la partie II avec
le modèle de connaissance que vous venez de développer.
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Filière :
MPSI
IV
V. Etude du potentiomètre
Potentiomètre rectiligne
Potentiomètre rotatif
Ils permettent de mesurer une position absolue. Le principe est celui d'une résistance variable :
le déplacement d'un curseur sur une piste entraîne une variation de résistance proportionnelle
au déplacement.
La piste peut être plastique, c’est à dire réalisée en composé résistif à base de carbone déposé
sur un substrat isolant. La limite de résolution de ce type de potentiomètre dépend de la
granulométrie de la poudre conductrice et peut descendre, pour un potentiomètre linéaire,
jusqu’à 0,1 µm.
r α
θ
R2
R1
Vref
V
Vmes
mes
On y remarque une première chose importante, le potentiomètre possède trois broches. Deux
auxquelles on applique une tension Vref, et la troisième est reliée à un curseur mobile qui donne
la tension variable Vmes (pont diviseur de tension).
ρ : résistivité du matériau
ρ.l
la résistance d’un conducteur s’exprime par R =
l : longueur du conducteur , la
S
S : longueur du conducteur
section de la piste étant constante, sa résistance sera donc proportionnelle à sa longueur.
La tension Vref est appliquée aux bornes de deux résistances en série telles que :
R1 + R2 = R = k.r.θ, la tension Vmes est mesurée aux bornes de R1 = k.r.α. On en déduit
α
Vmes = Vref .
θ
Le capteur potentiométrique est donc un capteur de position.
L’acquisition de l’angle de rotation des roues est réalisée par un potentiomètre rotatif placé
après un réducteur à engrenage.
Objectif : on se propose de reproduire cette acquisition en utilisant une carte Arduino
Page 15
S2I
15.
Filière :
MPSI
L’acquisition d’une grandeur analogique :
Afin de réaliser l’acquisition nous utiliserons une carte Arduino dont le fonctionnement est décrit
dans le document ressource.
a. Branchement du potentiomètre
On branche le potentiomètre sur l’alimentation 5V de la carte, sa sortie étant reliée à l’entrée
analogique A0.
L’acquisition analogique se fait grâce à un CAN (convertisseur analogique numérique) de 10
bits c'est-à-dire que la plage 0V - 5V est convertie en 210 = 1024 nombres numériques.
1) Quelle est la résolution de cette conversion.
b. Couplage avec Scilab/Xcos
Ouvrir Scilab puis le module Xcos
et réaliser le schéma de la page suivante :
Dans le bloc ARDUINO_SETUP préciser le numéro du port de communication,
Dans le bloc TIME_SAMPLE, préciser la durée de la simulation ainsi que la
période d’acquisition,
Dans le bloc Analog_READ_SB, indiquer le numéro de l’entrée analogique
utilisée,
Lancer l’acquisition
et faites tourner le potentiomètre.
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Filière :
MPSI
c. Calage du capteur
2) En utilisant les repères situés à l’arrière du potentiomètre, déterminer la valeur
numérique correspondant à un angle de 180°. Modifier le schéma pour obtenir le
tracé de la position angulaire en degrés.
3) Quelle est l’amplitude du mouvement de l’axe du potentiomètre ? Remarquer que le
potentiomètre monotour ne fait pas un tour complet. Justifier.
d. Post-traitement
4) Modifier à nouveau le schéma pour faire tracer la position de la tige du vérin en
millimètres.
5) Quel est le plus petit déplacement de la tige du vérin mesurable ?
Lors du montage du potentiomètre sur le vérin, quand la tige est en position basse, l’axe du
potentiomètre est décalé de 5° par rapport à sa position en butée à droite.
6) Modifier le schéma de façon à pouvoir corriger cet offset.
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CI-1 : analyse système et vérification de performances des systèmes linéaires continus et invariants
S2I
Filière :
CPGE SUP
VI. Annexes
1. Annexe 1 : chaîne d’énergie
Energie électrique du
secteur 220V Alternatif
Ordres 1 en
provenance de la
Chaîne
d’information
Alimenter
Distribuer
Préactionneur
Transformateur
Amplificateur (hacheur)
Transformer l’énergie
électrique du secteur
en énergie électrique
pour le MCC (courant
continu, 12 V)
Distribuer l’énergie
électrique au moteur
en fonction des ordres
de la PC
Energie électrique :
continue en 12 V
Vérin avec une
longueur initiale
Grandeur
physique 2 à
acquérir vers la
Chaîne
d’Information
Convertir
Actionneur
Grandeur
physique 3 à
acquérir vers la
Chaîne
d’Information
Transmettre
Transmetteur
AGIR
Effecteur
Transmettre
Transmetteur
Energie électrique :
continue en 12 V
mais distribuée
Vérin avec la
longueur souhaitée
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Filière :
CPGE SUP
2. Annexe 2 : chaîne d’information
Acquérir
Module d’entrée
Pas de terme spécifique
Informations en
provenance du PC
Acquérir les données
en provenance de la
carte de sortie de
l’ordinateur
Acquérir
Capteur
Grandeur physique
2 à acquérir en
provenance de la
chaîne d’énergie
Transmettre
Transmetteur
Traiter
Ordres 1 vers la
chaîne
d’Energie
Acquérir
Capteur
Grandeur physique
3 à acquérir en
provenance de la
chaîne d’énergie
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CPGE SUP
3. Annexe 3 : repérage des différentes éléments
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