Raisonnement logique

2nde
I
D. Vavasseur
Raisonnement logique
Les implications dans le raisonnement mathématique
I.1
L’implication - L’équivalence
EXERCICE no 1 (De la logique en français)
Une réunion de cosmonautes du monde entier a lieu à Paris. Les cosmonautes américains portent tous
une chemise rouge.
1. À l’aéroport on voit quelqu’un qui porte une chemise blanche. Est-il cosmonaute américain ?
2. À côté de la personne précédente, on voit quelqu’un qui porte une chemise rouge. Est-il cosmonaute américain ?
3. Le haut-parleur annonce l’arrivée d’un cosmonaute russe. Porte-t-il une chemise rouge ?
4. Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise
rouge ?
Définition 1
La proposition « si A, alors B » est une implication. On dit aussi « A implique B » et on le
note « A ⇒ B ».
A représente l’hypothèse et B la conclusion.
Exemple : si la personne est un cosmonaute américain, alors elle porte une chemise rouge.
Pour démontrer que l’implication « A ⇒ B » est vraie, on suppose que A est vraie et on montre
que B est alors vraie.
La proposition réciproque de « si A, alors B » est « si B, alors A ».
La réciproque d’une implication vraie peut être vraie ou fausse.
Exemple : si la personne porte une chemise rouge, alors c’est un cosmonaute américain
EXERCICE no 2 (Géométrie : fabrique d’implications)
1. Étudier si les affirmations suivantes sont vraies. Justifier vos réponses.
(a) Si K est le milieu de [AB], alors KA = KB.
(b) Si KA = KB, alors K est le milieu de [AB].
(c) Si K est le milieu de [AB], alors KA + KB = AB.
(d) Si KA + KB = AB alors K est le milieu de [AB].
(e) Si K appartient à [AB], alors KA + KB = AB.
(f) Si KA + KB = AB, alors K appartient à [AB].
2. On donne ci-dessous des phrases ou des égalités.
M ′ est l’image de M
′
IM = IM
par la symétrie de centre I
′
I est le milieu de [M M ]
I appartient à [M M ′ ]
Écrire toutes les implications vraies.
-1-
M ′ appartient à (IM )
IM + IM ′ = M M ′
2nde
D. Vavasseur
Raisonnement logique
Définition 2
Si une proposition et sa réciproque sont vraies, on dit qu’elles forment une équivalence.
Par exemple, la proposition « si les côtés d’un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce
quadrilatère est un parallélogramme » et sa réciproque « si un quadrilatère est parallélogramme,
alors ses côtés sont parallèles deux à deux » sont vraies. Elles forment donc une équivalence et on
peut écrire « un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si, ses côtés sont parallèles
deux à deux. »
EXERCICE no 3 (Expression algébrique et notions sur les fonctions)
1. Résoudre l’équation (x − 3)2 = (x + 9)2 .
2. Voici quelques propositions, où A et B sont des nombres réels :
(P 1) : A2 = B 2
(P 2) : A = B
(P 3) : A = −B
(P 4) : (A + B)(A − B) = 0 (P 5) : A = B ou A = −B (P 6) : A = 0 ou B = 0
(a) Quelles sont les implications du type (P 1) ⇒ . . . vraies pour tous A et B réels ?
(b) Parmi les propositions (P 2) à (P 6), identifier celles qui impliquent la proposition (P 1)
(pour tous A et B réels).
(c) Quelles sont les propositions équivalentes (pour tous A et B réels) ?
EXERCICE no 4 (Géométrie vectorielle)
Dans chaque cas, dire si l’implication « H implique H’ » est vraie puis si l’implication « H’ implique
H » est vraie puis donner les propositions équivalentes.
ÐÐ→
1. H : « C est l’image du point A par la translation de vecteur BD »
H’ : « ABCD est un parallélogramme de centre O »
2. H : « ABCD est un parallélogramme de centre O »
H’ : « O est le milieu de [AC] »
Ð→ 3
3. H : « EF ( ) »
4
H’ : « E(0; 2) et F (3; 6) »
4. H : « Les points I, J et K sont alignés »
Ð→ Ð→
H’ : « IJ = IK »
I.2
Conditions nécessaires et suffisantes
EXERCICE no 5 (Inéquations et carrés)
1. On s’intéresse à la condition x2 > 4. On dresse une liste de 5 propositions :
(1) x > 3
(2) x > 1, 9
(3) x < −10
(4) x < −3 ou x > 3
(5) x < −2 ou x > 2.
(a) L’implication (1)⇒ x2 > 4 est-elle vraie ?
(b) Dresser la liste des implications du type ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ x2 > 4 qui sont vraies.
(c) Dresser le liste des implications du type x2 > 4 ⇒ . . . qui sont vraies.
2. Conditions nécessaires - suffisantes :
Ex : x > 3 implique x2 > 4 :
-2-
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D. Vavasseur
Raisonnement logique
(a) On dit que x > 3 est une condition suffisante pour que x2 > 4. Cette condition n’est pas
nécessaire : par exemple x > 2, 5 convient aussi.
Indiquer si chacune des conditions est suffisante pour que x2 > 4 :
x > 100 x > 106
x > 1, 9
x < −2 x < −2 ou x > 2
x < −10 x < −2, 1 x < −3 ou x > 3 x < 0
x < −1
(b) Parmi celles qui sont suffisantes, indiquer celle qui est également nécessaire.
EXERCICE no 6 (Géométrie)
Sur un forum mathématique, P31415 a posé la question suivante : « Pour demain, je dois faire un
exercice où on me demande de démontrer que ABCD est un parallélogramme, je ne sais pas comment
m’y prendre. »
Prof répond : « Connais-tu une condition suffisante pour que ABCD soit un parallélogramme ? »
P31415 : « Non ! »
Ð→ ÐÐ→
M271 : « AB = DC »
X007 : « AB = CD »
Ð→
ÐÐ→
Z97910 : « AB et DC colinéaires »
GNI : « (AB) et (BC) parallèles »
Ð→ Ð→
E=MC2 : « AD = BC »
A000 : « AC = AB + AD »
1. (a) Parmi ces conditions, certaines sont effectivement suffisantes. Lesquelles ?
(b) En proposer d’autres.
2. (a) Parmi les conditions ci-dessus certaines ne sont que nécessaires. Lesquelles ?
(b) En proposer d’autres.
II
Les quantificateurs
II.1
Quantificateurs et égalités - Quantificateurs et implications
EXERCICE no 7
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x2 + 4x − 9
1. Montrer que f (x) = (x + 2)2 − 13.
2. Résoudre f (x) = 4x + 1.
EXERCICE no 8
1. Dans le domaine géométrique :
A et B sont deux points distincts du plan. Dans quel cas (conditions sur le point M ) ces égalités
sont-elles vraies ?
ÐÐ→ ÐÐ→ Ð→
AM + M B = AB
ÐÐ→ ÐÐ→ Ð
→
MA + MB = 0
ÐÐ→ ÐÐ→ Ð
→
AM + M B = 0
2. Dans le domaine algébrique :
Ces égalités et inégalités sont-elles vraies ou fausses ?
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (x + 1)2 = x2 + 1 2x + 3 > 4x − 5
x2 + 1 > 0
x2 ⩾ 0
x2 > −3
-3-
x2 < x + 3
x2 ⩾ x − 2
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D. Vavasseur
Raisonnement logique
Définition 3
On considère les deux égalités suivantes dans lesquelles x est un nombre réel
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (1)
(x + 1)2 = x2 + 1 (2)
L’égalité (1) est connue depuis la 3ème comme une identité remarquable, on peut remarquer que
pour tout réel x l’égalité (1) est vérifiée, dans ce cas on écrit : « pour tout x appartenant à R,
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 »
« Pour tout » est appelé quantificateur universel.
On peut penser que l’égalité (2) est fausse. Et pourtant pour x = 0, elle est vérifiée. Peut-on dire
que l’égalité (2) est vraie ? Non, car pour x = 1, cette égalité n’est pas vérifiée. La phrase est vraie
si on écrit : « il existe un réel x tel que (x + 1)2 = x2 + 1 » .
« Il existe » est appelé quantificateur existentiel.
Remarque
— « il existe » signifie « il existe au moins un » ; « on peut choisir » peut remplacer « il existe »
— « pour tout » se dit aussi « quel que soit » ou « étant donné »
EXERCICE no 9
1. Vrai ou faux ?
(a) Pour tout x ∈ R, il existe y ∈ R tel que y > x.
(b) Pour tout x ∈ R et pour tout y ∈ R, on a y > x.
(c) Pour tout x ∈ R et pour tout y ∈ R, on a y 2 > x.
(d) Pour tout x ∈ R− et pour tout y ∈ R, on a y 2 ⩾ x.
(e) Il existe x ∈ R tel que pour tout y ∈ R on ait y 2 ⩾ x2 .
(f) Pour tout x ∈ R− , on a y 2 ⩾ pour tout y ∈ R.
2. En utilisant la représentation graphique de la fonction ci-dessous, recopier et compléter les
phrases suivantes en utilisant soit « pour tout . . . on a . . . », soit « il existe (au moins) un . . .
tel que . . . ».
2
b
1
-2
b
b
-1
1
2
b
b
-1
(a) . . . réel x . . . f (x) > 0
(b) . . . réel x . . . f (x) < 2
(c) . . . réel x . . . f (x) = 0
(d) . . . x ∈ [1; 2] . . . f (x) ⩾ 0
(e) . . . réel x . . . f (x) = −1
(f) . . . réel x . . . f (x) > −
-4-
3
2
2nde
Raisonnement logique
II.2
D. Vavasseur
La négation d’une propriété avec quantificateurs
EXERCICE no 10
1. Donner la négation des phrases suivantes :
(a) Tous les élèves sont présents.
(b) Sonia a raté au moins un cours cette semaine.
(c) Dorian prend son iPhone ou son iPod.
(d) Pour tout x réel, f (x) > 0.
2. Donner l’évènement contraire des évènements suivants :
(a) Tristan gagne au plus 1500 euros.
(b) Sandrine veut une maison qui est de plain pied et qui fait plus de 160 m2 .
(c) Tous les enfants de Bruno mesurent plus de 1,80 m.
III
III.1
Les ensembles et leurs relations
Ensembles de nombres
Les nombres sont connus depuis l’antiquité, mais il a fallu attendre le XIXe siècle avec des mathématiciens comme Cantor pour établir une classification des nombres :
— N est l’ensemble des entiers naturels (1; 2; 10; 1024; . . . ).
— Z est l’ensemble des entiers relatifs (1; 3; −5; 124; −2048; . . . ).
— D est l’ensemble des nombres décimaux, qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule
1
(0, 5; 12; −0, 458; ; . . . ).
5
a
— Q est l’ensemble des nombres rationnels, qui sont de la forme avec a ∈ Z et b ∈ Z∗
b
1
−3 10
( ; 5, 4; −26; ; ; . . . ).
3
7 4
√
4
— R est l’ensemble des nombres réels ( ; −6; π; 2; 0, 512; . . . ).
3
III.2
Ensembles, sous-ensembles, appartenance, inclusion
Définition 4
Appartenance :
e ∈ E signifie que l’élément e est un élément de E.
e ∉ E signifie que l’élément e n’est pas un élément de E.
Inclusion :
A ⊂ B signifie que tous les éléments de l’ensemble A appartiennent à
l’ensemble B.
A ⊄ B signifie qu’il existe un élément de l’ensemble A qui n’appartient
pas à l’ensemble B.
∈ et ∉ se lisent « appartient à » et « n’appartient pas à ».
⊂ et ⊄ se lisent « est inclus dans » et « n’est pas inclus dans ».
Propriété des ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
-5-
2nde
D. Vavasseur
Raisonnement logique
EXERCICE no 11
1. Citer :
(a) un nombre appartenant à R mais pas à Q ;
(b) un nombre appartenant à Q mais pas à D ;
(c) un nombre appartenant à D mais pas à Z ;
(d) un nombre appartenant à Z mais pas à N ;
2. Compléter les phrases mathématiques avec les symboles ∈ et ∉.
1
1
23
−2 . . . [−2; 1[ ;
4 . . . [−3; 4[ ;
2π . . . ]7; 8[ ;
− . . . [−1; − [ ;
− . . . ] − 5; −4[.
3
6
5
3. Compléter les expressions suivantes à l’aide des symboles ∈ ; ∉ ; ⊂ ; ⊄.
√
1
N . . . Z ; R . . . N ; {−2} . . . R ;
16 . . . N ; π . . . N ;
. . . D ; {−2; 1; 6} . . . ] − 1; +∞[ ;
3
[1; 2] . . . ] − ∞; 5[ ;
[1; 2] . . . ] − ∞; 2[ ;
0 . . . ] − 1; 4[∩[1; +∞[ ;
] − 0, 6; +∞[. . . ] − 1; +∞[.
EXERCICE no 12
Compléter à l’aide des symboles = ; ∈ ; ∉ ; ⊂ ; ⊄.
1. A = {△; ◻; ◯} et B = {◻; ⊡; ◇; △}
◇...A;
{◻; ⊡; ◇; △} . . . A ∩ B ;
{◻; △} . . . A ∩ B ;
◯...A ∩ B ;
{△; ◻; ◯} . . . B ;
{◯} . . . A ∪ B ;
{◻; ⊡; ◇; △} . . . A ∪ B ;
◻...A ∩ B ;
{◻; ⊡; ◇; △; ◯} . . . A ∪ B.
2. A et B sont deux ensembles distincts non vides, tels que A ∩ B ≠ ∅ ; A ⊄ B et B ⊄ A. (On
pourra s’aider d’un schéma.)
A...A ∩ B ;
III.3
A ∩ B ...A ∪ B ;
A ∩ B ...B ∩ A;
A...A ∪ B ;
Intersection, réunion, et/ou, contraire
EXERCICE no 13
1. Compléter les phrases suivantes à l’aide de « et » ou « ou ».
(a) xy = 0 équivaut à x = 0 . . . y = 0.
(b) xy ≠ 0 équivaut à x ≠ 0 . . . y ≠ 0.
x
(c)
= 0 équivaut à x = 0 . . . y ≠ 0.
y
(d) −5, 0 et 5 sont des entiers naturels . . . des entiers relatifs.
(e) (x + 3)(2x − 3) = 0 pour x + 3 = 0 . . . 2x − 3 = 0.
(f) L’intervalle ]7; 10[ contient les réels plus grands que 7 . . . plus petits que 10.
(g) R est l’ensemble des réels tels que x ⩽ 3 . . . x > 0.
(h) 2, 8, 6, 10, 15, 20 sont des entiers pairs . . . supérieurs à 12.
2. Déterminer les intervalles suivants (on pourra s’aider d’une droite graduée) :
(a) les réels supérieurs à 10 ou inférieurs ou égaux à 12 ;
(b) les réels compris entre -5 et 7 ou supérieurs ou égaux à 3 ;
(c) les réels positifs ou nuls et inférieurs ou égaux à 25 ;
(d) les réels supérieurs à 6 ou négatifs ou nuls.
-6-
A ∩ B . . . B.