Limites de suites - Mathématiques Première S

Limites de suites
I. Généralités sur les limites de suites
1. Suite convergente
On considère qu’une suite admet une limite l, ou converge vers l, lorsque :
tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
En termes plus formels :
Quelque soient a, b tels que l ∈ ]a, b[ , il existe un rang N tel que pour tout indice n, on ait :
n > N ⇒ un ∈ ]a, b[
Interprétation graphique :
a
l
b
0
n
1
A partir d’un certain rang, tous les points de la suite sont à l’intérieur de la « bande »
délimitée par a et b.
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Limites de suites
Exemples :
1
n²
1
lim
=0
n →+∞ n ²
La suite converge vers 0.
un =
un = 1 + (0,1)n
n
1
 1
un − 1 = (0,1) =   = n = 10− n
 10  10
La suite de terme un − 1 converge vers 0 donc la suite de terme un converge vers 1.
n
2. Suites de référence de limite nulle
Les suites de terme général
1 1 1
1
, 2 , 3 ,…,
, q n avec 0 < q < 1 sont des suites qui
n n n
n
convergent vers 0.
Exemples :
n
1
1
lim   = 0 car 0 < < 1
n →+∞ 7
7
 
1
=0
n →+∞ n8
lim
3. Suites de limite infinie
Certaines suites ont une limite infinie.
Soit la suite de terme général un .
S’il existe un rang N à partir duquel un est supérieur à n’importe quel nombre positif, alors
lim un = +∞
n →+∞
Exemples :
Soit la suite de terme général un = 4 n .
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Limites de suites
lim un = +∞
n →+∞
Soit la suite de terme général un = n3 .
lim un = +∞
n →+∞
n , q n avec q > 1 tendent vers +∞ .
Les suites de terme général n , n 2 , n3 ,
4. Suites divergentes
Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.
Donc une suite est divergente si :
- Elle a une limite infinie : −∞ ou +∞
- Elle n’a pas de limite.
Exemples :
un = n3 − 6 , on a lim un = +∞ donc la suite est divergente.
n →+∞
un = (−1) n : on a u0 = 1 , u1 = −1 , u2 = −1 , u3 = −1 … donc la suite est divergente.
II. Calcul de limites de suites
1. Cas où la suite est donnée sous la forme un = g (n)
Soit une suite de terme général un = g (n) .
Si lim g ( x) = l , alors lim un = l
x →+∞
n →+∞
Exemple :
Soit la suite de terme général un =
On pose g ( x) =
3x + 1
.
x+4
3n + 1
.
n+4
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Limites de suites
Calculons la limite de g ( x) quand x → +∞ :
3x + 1
1
3+
3x + 1
x
lim g ( x) = lim
= lim x = lim
x →+∞
x →+∞ x + 4
x →+∞ x + 4
x →+∞
4
1+
x
x
Comme lim
x →+∞
1
4
3
= lim = 0 , on a lim g ( x) = = 3
x
→+∞
x
→+∞
x
x
1
Donc lim un = 3 . La suite converge vers 3.
n →+∞
2. Théorèmes des gendarmes
Théorème des gendarmes pour une limite finie :
Soient (un ) , (vn ) et ( wn ) trois suites telles que à partir d’un certain rang, on ait :
un ≤ vn ≤ wn
Si (un ) et ( wn ) convergent vers l ( l ∈ ℝ ), alors (vn ) converge aussi vers l.
Démonstration :
Soit une suite (vn ) .
On suppose qu'il existe deux suites (un ) et ( wn ) telles que :
− à partir d’un certain rang, on ait un ≤ vn ≤ wn
− (un ) et ( wn ) convergent vers l.
Puisque (un ) converge vers l, tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de
(un ) à partir d'un certain rang. De même ( wn ) converge vers l, donc tout intervalle ouvert
contenant l contient tous les termes de ( wn ) à partir d'un certain rang.
Comme à partir d’un certain rang, on a un ≤ vn ≤ wn , vn , on peut en déduire que tout
intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de (vn ) à partir de d’un certain rang.
Donc (vn ) converge aussi vers l.
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Limites de suites
Théorème des gendarmes pour une limite infinie :
Soient (un ) et (vn ) deux suites.
- Si, à partir d’un certain rang, on a : un ≥ vn et (vn ) tend vers +∞ , alors la suite (un ) tend
également vers +∞ .
- Si, à partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et (vn ) tend vers −∞ , alors la suite (un ) tend
également vers −∞ .
3. Opérations sur les limites de suites
Les théorèmes sont les mêmes que pour les opérations sur les limites de fonctions :
Limite d’une somme de suites
Si lim un = l et
n →+∞
lim vn = l ' alors :
n →+∞
lim (un + vn ) = l + l '
n →+∞
Limite du produit par un nombre
Si lim un = l alors lim k × un = k × l ( k ∈ ℝ )
n →+∞
n →+∞
Limite d’un produit de suites
Si lim un = l et
n →+∞
lim vn = l ' alors :
n →+∞
lim (un × vn ) = l × l '
n →+∞
Limite d’un quotient de suites
Si lim un = l et
n →+∞
lim vn = l ' alors :
n →+∞
u  l
lim  n  =
n →+∞ v
 n  l'
4. Cas particulier des limites de suites géométriques
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Limites de suites
Soit une suite géométrique de terme général un = q n .
Conditions sur q
Limite
Exemple
q ≤ −1
q n n’a pas de limite
(−1,1)n n’a pas de limite
−1 < q < 1
lim q n = 0
1
lim   = 0
n→+∞ 2
 
n →+∞
n
lim q n = 1 ( un est constante)
q =1
lim 1n = 1
n →+∞
lim q n = +∞
q >1
n →+∞
n→+∞
lim (1, 0001) n = +∞
n→+∞
5. Exemples de limite de somme des termes consécutifs d’une suite
géométrique
Exemple 1 :
S = 1+
1 1 1 1
1
+ + + + ... + n + ... , somme des termes consécutifs de la suite géométrique de
2 4 8 16
2
n
1
terme général un =  
2
1 1 1 1
1
On pose S n = 1 + + + + + ... + n avec n ∈ ℕ
2 4 8 16
2
On a S = lim S n
n →+∞
n +1
1
1−  
2
Or S n =  
1
1−
2
  1 n +1 
Donc S n = 2 1 −   
 2 


1
lim S n = 2 car lim S n =  
n →+∞
n →+∞
2
n +1
= 0 donc S = 2
Exemple 2 :
1
1
1
1
S = 1+ +
+
+ ... + n + ... ,
10 100 1000
10
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Limites de suites
Sn = 1 +
1
1
1
1
+
+
+ ... + n
10 100 1000
10
n +1
 1
1−  
10
n +1
10
Sn =   =
1 − ( 0,1)
1
9
1−
10
10
10
lim S n =
donc S = .
n →+∞
9
9
(
)
6. Cas particulier des limites de suites arithmétiques
Soit une suite arithmétique de terme général un = u0 + nr .
-
Si r > 0 , lim un = +∞ .
-
Si r < 0 , lim un = −∞ .
n →+∞
n →+∞
Exemple :
Soit la suite de terme général un = u0 − 0, 001× n avec u0 = −12 .
On a lim un = −∞ .
n →+∞
III. Problème d’application de calcul de limite
1. Premier problème
Soit la suite de terme général un définie par :
1
u0 = 5 et un +1 = un + 1
2
1 – Calculer les 5 premiers termes de la suite.
2 – Montrer que la suite de terme général vn = un − 2 est une suite géométrique.
3 – En déduire une expression de vn , puis de un en fonction de n.
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Limites de suites
4 – Montrer que la suite ( un ) est décroissante et minorée.
5 – Déterminer lim un .
n →+∞
6 – Exprimer, en fonction de n, la somme S n = u0 + u1 + u2 + ... + un .
7 – La suite ( Sn ) est-elle convergente ?
Solutions :
1 – Calculer les 5 premiers termes de la suite.
u0 = 5
1
1
7
u1 = u0 + 1 = × 5 + 1 =
2
2
2
1
1 7
11
u2 = u1 + 1 = × + 1 =
2
2 2
4
1
1 11
19
u3 = u2 + 1 = × + 1 =
2
2 4
8
1
1 19
35
u4 = u3 + 1 = × + 1 =
2
2 8
16
2 – Montrer que la suite de terme général vn = un − 2 est une suite géométrique.
vn = un − 2
donc vn +1 = un +1 − 2 =
1
1
1
un + 1 − 2 = un − 1 = (un − 2)
2
2
2
1
(u − 2)
vn +1 2 n
1
=
=
vn
un − 2
2
La suite (vn ) est donc géométrique de raison
1
.
2
3 – En déduire une expression de vn , puis de un en fonction de n.
(vn ) est donc de la forme v0 q n .
1
v0 = u0 − 2 = 5 − 2 = 3 et q = (raison) donc :
2
1
vn = 3  
2
3
vn = n
2
n
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Limites de suites
Or vn = un − 2 donc un = vn + 2 =
4 – Montrer que la suite
un =
3
+2
2n
( un ) est décroissante et minorée.
3
+2
2n
Pour tout n ∈ ℕ , on a
3
3
> 0 donc n + 2 > 2 donc un > 2 . La suite est minorée par 2.
n
2
2
Cherchons le sens de variation de (un ) . Pour cela, cherchons le signe de un +1 − un .
3 1 
 − 1
2n  2 
3
3
3
3× 2
3
− n = n +1 − n +1 = − n +1
n +1
2
2
2
2
2
3
Pour tout n, on a 2n+1 > 0 , donc − n+1 < 0 . Donc pour tout n, on a un +1 − un < 0 .
2
3
−2=
2
2n
3
3
un +1 − un = n +1 + 2 − n − 2 =
2
2
un +1 − un =
3
n +1
+2−
La suite (un ) est décroissante.
5 – Déterminer
lim un .
n →+∞
n
3
1
un = n + 2 = 3   + 2
2
2
n
1
1
Or lim   = 0 car 0 < < 1 , donc lim un = 2 .
n →+∞
n→+∞ 2
2
 
6 – Exprimer, en fonction de n, la somme
S n = u0 + u1 + u2 + ... + un .
3 
3 
3
3 


S n =  2 + 0  +  2 + 1  +  2 + 2  + ... +  2 + n 
2  
2  
2 
2 


1 
1 
 1 1 1
 1 1
S n = 2(n + 1) + 3  0 + 1 + 2 + ... + n  = 2(n + 1) + 3 1 + + 2 + ... + n 
2 
2 
2 2 2
 2 2
1
1−  
1 1
1
2
Or 1 + + 2 + ... + n =  
1
2 2
2
1−
2
n +1
  1  n +1 
= 2 1 −   
 2 


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Limites de suites
  1 n +1 
Donc S n = 2(n + 1) + 6 1 −   
 2 


7 – La suite
1
lim  
n →+∞ 2
 
( Sn ) est-elle convergente ?
n +1
1
1
= 0 car 0 < < 1 , donc lim 1 −  
n →+∞
2
2
n +1
= 1.
lim 2(n + 1) = +∞
n →+∞
Donc lim S n = +∞
n →+∞
2. Deuxième problème
Soit la suite de terme général un définie par :
u + 20
u0 = 0 et un +1 = n
5
1 – Calculer les 5 premiers termes de la suite.
2 – Montrer que la suite de terme général vn = un − 5 est une suite géométrique.
3 – En déduire une expression de vn , puis de un en fonction de n.
4 – Montrer que la suite ( un ) est croissante et majorée.
5 – Montrer que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite.
6 – Exprimer, en fonction de n, la somme S n = u0 + u1 + u2 + ... + un .
7 – La suite ( Sn ) est-elle convergente ?
Solutions :
1 – Calculer les 5 premiers termes de la suite.
u0 = 0
0 + 20
u1 =
=4
5
4 + 20 24
u2 =
=
5
5
24
+ 20
124
u3 = 5
=
5
25
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Limites de suites
124
+ 20
624
u4 = 25
=
5
125
2 – Montrer que la suite de terme général
vn = un − 5 est une suite géométrique.
vn = un − 5
donc vn +1 = un +1 − 5 =
vn +1 =
vn + 5 − 5 vn
=
5
5
un + 20
u −5
−5 = n
5
5
La suite (vn ) est donc géométrique de raison
3 – En déduire une expression de
1
, son premier terme est v0 = u0 − 5 = −5
5
vn , puis de un en fonction de n.
1
(vn ) est donc de la forme v0 q : vn = −5  
5
−1
Ou encore : vn = n −1
5
n
n
vn = un − 5 donc un = vn + 5 = vn = 5 −
4 – Montrer que la suite
1
5n −1
( un ) est croissante et majorée.
Calculons un +1 − un :
1 
1 
1
1
−1 + 5 4
−  5 − n −1  = − n + n −1 =
= n
n
5 
5 
5 5
5n
5
4
Pour tout n ∈ ℕ , n > 0 donc un +1 − un > 0
5
La suite ( un ) est donc croissante.
un +1 − un = 5 −
1
1
avec n−1 > 0 pour tout n ∈ ℕ , donc un < 5 pour tout n ∈ ℕ .
n −1
5
5
est majorée par 5.
De plus, un = 5 −
La suite ( un )
5 – Montrer que la suite
( un ) est convergente et déterminer sa limite.
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Limites de suites
1
un = 5 −  
5
n −1
n −1
1
1
Or lim un =   = 0 car 0 < < 1 , donc lim un = 5 .
n →+∞
n →+∞
5
5
La suite ( un ) converge vers 5.
6 – Exprimer, en fonction de n, la somme
S n = u0 + u1 + u2 + ... + un .
1 
1
1 


S n = 0 +  5 − 0  +  5 − 1  + ... +  5 − n−1 
5  
5 
5 


1 
1 
1 1
 1
S n = 5n −  0 + 1 + ... + n −1  = 5n − 1 + + ... + n −1 
5 
5 
5 5
 5
n
1
1−  
5
S n = 5n −  
1
1−
5
n
5 1 
S n = 5n −  1 −   
4   5  
7 – La suite
( Sn ) est-elle convergente ?
n
n
1
1
1
lim   = 0 car 0 < < 1 , donc lim 1 −   = 1 .
n→+∞ 5
n→+∞
5
 
5
lim 5n = +∞
n →+∞
Donc lim S n = +∞
n →+∞
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