Point le plus visité par un mouvement brownien avec dérive.

Point le plus visité par
un mouvement brownien avec dérive.
Jean Bertoin et Laurence Marsalle
Laboratoire de Probabilités, Université Pierre et Marie Curie,
4 Place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France
Résumé. Nous étudions le comportement asymptotique du point le plus visité sur l’intervalle
d’espace [0, y] par un mouvement brownien avec dérive, V (y). En utilisant la théorie des excursions d’Itô, on ramène ce problème à l’étude du dernier temps de record d’un processus de
Poisson ponctuel. On obtient alors pour V (y) un résultat de convergence en loi et un résultat
presque sûr, sous forme de test intégral.
Summary. We study the asymptotic behaviour of the favorite site V (y) of a Brownian motion
with positive drift. Itô ’s theory of excursions reduces the problem to the study of the last
record time of a Poisson point process. We derive the asymptotic behaviour of V (y), both in
law and pathwise.
1
Introduction et principaux résultats
Soit (Bt , t ≥ 0) un mouvement brownien réel, et (`xt , t ≥ 0, x ∈ R) la famille bicontinue de ses
temps locaux. Le processus (V t , t ≥ 0) défini pour tout t ≥ 0 par
V t := inf{x ≥ 0 : `xt ∨ `−x
= sup{`yt : y ∈ R}}
t
représente, en valeur absolue, le point le plus visité par B sur l’intervalle de temps [0, t]. Bass
et Griffin [1] ont montré qu’il était transient, et ont également obtenu une loi du logarithme
itéré
Vt
= 1 p.s.
lim sup
1/2
t→+∞ (2t log log t)
Voir également Eisenbaum [3] et Leuridan [4] pour des travaux proches.
Nous nous intéressons ici au point le plus visité par un mouvement brownien réel avec coefficient de dérive µ > 0, (Xt = Bt + µt, t ≥ 0). Considérons le processus continu des densités
d’occupation (`x , x ∈ R), où
1 Z +∞
x
` := lim+
1I{x≤Xt ≤x+ε} dt,
ε→0 ε 0
1
puis définissons le point le plus visité par X sur l’intervalle d’espace [0, y]
V (y) := inf{x ≥ 0 : `x = my } ,
avec my = max{`x : 0 ≤ x ≤ y}.
Notons encore que, comme (`x , x ≤ 0) est borné et sup{`x : x ≥ 0} = +∞, V (y) est également
le point de (−∞, y] le plus visité par X, pourvu que y soit assez grand.
L’objet principal de ce travail est d’établir les deux résultats asymptotiques suivants.
Proposition 1.1
V (y)/y converge en distribution vers la loi uniforme sur [0, 1] quand y tend vers +∞.
Théorème 1.2
Soit f : (0, +∞) → (0, +∞) une fonction croissante. Alors
lim inf
y→+∞
selon que l’intégrale
Z
1
+∞
V (y)f (y)
= 0 ou + ∞ p.s.
y
dt
diverge ou converge.
tf (t)
Remarque : Il est facile de voir que V (y) ≤ y pour tous les y ≥ 0, et que V (y) = y pour
certains y arbitrairement grands. En effet, si Hn désigne le temps d’atteinte par (`x , x ≥ 0) du
niveau n, alors pour tout n ≥ 1, V (Hn ) = Hn . C’est la raison pour laquelle on ne regarde que
le comportement de la limite inférieure.
Ce papier est organisé de la façon suivante. La deuxième partie est consacrée à l’étude de (`x , x ≥
0), qui, d’après un théorème de Ray-Knight, est une diffusion récurrente positive. La théorie
des excursions d’Itô ramène alors l’étude de V (y) à celle des temps de record d’un processus de
Poisson ponctuel. Dans la troisième partie, nous précisons le comportement asymptotique du
point où un processus de Poisson ponctuel réalise son maximum, ce qui nous permet dans la
quatrième partie de prouver les résultats énoncés ci-dessus. Enfin, la cinquième partie contient
quelques résultats supplémentaires sur le comportement asymptotique du point le moins visité
par X, ainsi que sur le point le plus visité par X sur l’intervalle de temps [0, t], qui est défini
de façon analogue à celle de Bass et Griffin pour le mouvement brownien.
2
2.1
Préliminaires
Processus des densités d’occupation
Nous commençons par rappeler que, d’après un théorème de type Ray-Knight, (`x , x ≥ 0) a
la loi du carré d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck plan de paramètre µ (voir par exemple
Borodin et Salminen [2], page 78). Le processus (`x , x ≥ 0) est en particulier une diffusion
ergodique, le point 1 est régulier et récurrent. Le processus markovien (`x , x ≥ 0) admet donc
un temps local en 1.
2
Nous savons d’autre part que le carré d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck plan de paramètre
µ admet pour probabilité invariante la loi exponentielle de paramètre µ, qu’on note m. Nous
notons L le temps local en 1 normalisé par Em [L1 ] = 1, où Em désigne la loi du carré d’un
processus d’Ornstein-Uhlenbeck plan sous la loi initiale m. Cette normalisation entraı̂ne que la
mesure associée à la fonctionnelle additive L est la masse de Dirac en 1 (cf. Revuz et Yor [7],
chapitre X, section 2), et le théorème ergodique pour les fonctionnelles additives (cf. Revuz et
Yor [7], chapitre X, section 3) donne lim Lt /t = 1 p.s.
t→+∞
Au temps local L on associe son inverse continu à droite
λu := inf{t > 0 : Lt > u} ,
u ≥ 0.
On a immédiatement
lim λt /t = 1 p.s.
(1)
t→+∞
Pour simplifier, nous travaillerons conditionnellement à `0 = 1, et étudierons les excursions
du processus des temps locaux en dehors de 1. Ceci se généralise mutis mutandi à `0 = y,
pour y > 0, en considérant les excursions en dehors de y. Rappelons d’abord la définition
du processus des excursions de (`x , x ≥ 0) en dehors de 1. On désigne par U l’ensemble des
fonctions continues u : [0, +∞) → R telles que
0 < H(u) < +∞ et u(t) = 1 pour tout t ≥ H(u),
où H(u) := inf{t > 0 : u(t) = 1}. Par abus, on note 1 la fonction identiquement égale à 1. Pour
tout t ≥ 0, on pose
(
et =
1
(`λt− +s , 0 ≤ s < λt − λt− )
si λt− = λt
si λt > λt− .
D’après la théorie des excursions d’Itô (voir par exemple Rogers et Williams [8], chapitre VI,
section 8), nous savons que le processus (et , t ≥ 0) est un processus de Poisson ponctuel à
valeurs dans U. Notons n sa mesure caractéristique (mesure d’Itô).
Soit maintenant x > 1, nous considérons
U x := {u ∈ U : sup u(t) > x},
t≥0
l’ensemble des excursions de hauteur supérieure à x. On sait alors qu’il existe une constante
c > 0 telle que
c
,
n(U x ) =
s(x)
où s désigne une fonction d’échelle du processus (`x , x ≥ 0) satisfaisant s(1) = 0 (cf. Pitman et
Yor [5], section 3). La fonction d’échelle étant continue, et comme s(+∞) = +∞, il existe une
hauteur h > 1 telle que n(U h ) = 1.
3
Pour tout t ≥ 0, on définit alors γt de la façon suivante :
• Si λt− = λt , alors γt = 0.
• Si λt > λt− , alors
(
γt =
0
sup{et (s) : 0 ≤ s < λt − λt− }
si et 6∈ U h
sinon.
On déduit immédiatement le lemme suivant.
Lemme 2.1
Le processus (γt , t ≥ 0) est un processus de Poisson ponctuel discret à valeurs dans [0, +∞),
dont la mesure caractéristique est diffuse et a une masse totale égale à 1.
2.2
Temps de record d’un processus de Poisson ponctuel
Soit (Y, P) un processus de Poisson ponctuel discret à valeurs dans [0, +∞), de mesure caractéristique une loi de probabilité ν qu’on suppose diffuse. Le point 0 est pris comme point
isolé. On note (Ft , t ≥ 0) la filtration naturelle du processus Y et on définit l’opérateur de
translation θ de la façon usuelle : pour tout t ≥ 0, pour tout s ≥ 0,
(θt Y )s := Yt+s .
On introduit également la loi du processus issu de x, Px , définie comme la loi de Y x sous P, où
(
x
Y :=
x si t = 0
Yt si t > 0.
Ceci nous permet d’énoncer la propriété forte de Markov sous la forme suivante. Soit T un
(Ft )-temps d’arrêt, H une fonctionnelle du processus Y , alors
E(H ◦ θT | FT ) = EYT (H).
Notre but est d’obtenir des renseignements sur le comportement asymptotique de l’instant en
lequel Y réalise son maximum sur l’intervalle [0, t]
Gt = inf{s ≥ 0 : Ms = Mt } ,
avec Mt = max{Ys : 0 ≤ s ≤ t}.
(2)
Afin d’obtenir des résultats trajectoriels, nous introduisons la notion de temps de record du
processus Y . On dit que le processus Y présente un record à l’instant t si Yt dépasse toutes
les valeurs précédentes du processus, i.e. Yt > Mt− . Nous notons T = (Tn , n ≥ 0) la suite des
temps de record de Y , définie par T0 = 0 et pour n ≥ 1 par
Tn = inf{t > Tn−1 : Yt > MTn−1 }.
L’intérêt de cette notion pour l’étude de Gt repose sur le fait que Gt = Tn pour tout t ∈
[Tn , Tn+1 ).
4
Il est bien connu que la loi de la suite des temps de record ne dépend pas de la loi caractéristique
du processus Y . Plus précisément, si Y 0 est un second processus de Poisson ponctuel dont la
mesure caractéristique est également une loi de probabilité diffuse sur [0, +∞), alors la suite
des temps de record de Y 0 a même loi que celle de Y .
Pour étudier les temps de record du processus Y , nous pouvons donc nous ramener au cas où
ν(dx) = e−x 1I{x≥0} dx.
Le choix de la loi exponentielle est motivée par la propriété d’absence de mémoire de cette loi,
ce qui va nous permettre de préciser la structure des records (voir les propositions 4.1 et 4.8
dans Resnick [6] pour des résultats très proches). Plus précisément, introduisons
Rn := YTn ,
n≥0
la suite des records de Y , ainsi que celle des inter-records
∆n = Tn+1 − Tn ,
n ≥ 0.
Notons que Tn = ∆0 + · · · + ∆n−1 .
Proposition 2.2
(i) La suite (Rn , n ≥ 0) est une marche aléatoire sur R+ , de pas la loi exponentielle de paramètre
1.
(ii) Conditionnellement à R0 , R1 , . . . , Rn , les variables aléatoires ∆0 , ∆1 , . . . , ∆n sont indépendantes et suivent des lois exponentielles de paramètres respectifs 1, e−R1 , . . . , e−Rn .
Preuve : Elle repose essentiellement sur la propriété forte de Markov que nous allons appliquer
au (Ft )-temps d’arrêt Tn . Ecrivons d’abord
Tn+1 = Tn + T1 ◦ θTn ,
où nous rappelons que T1 = inf{t > 0 : Yt > Y0 }. Ceci entraı̂ne les deux identités suivantes
Rn+1 − Rn = (YT1 − Y0 ) ◦ θTn
,
∆n = T1 ◦ θTn .
On déduit de la propriété de Markov des processus de Poisson ponctuels que, si on pose YTn = y,
alors
P(Rn+1 − Rn ∈ dx, ∆n ∈ dt | FTn ) = Py (R1 − y ∈ dx, T1 ∈ dt) = Py (R1 − y ∈ dx)Py (T1 ∈ dt)
(en utilisant pour la dernière égalité le fait que l’instant du premier saut d’un processus de
Poisson ponctuel est indépendant de la valeur de ce saut).
Or nous savons (voir par exemple Revuz et Yor [7], chapitre XII, section 1) d’une part que
Py (R1 − y ∈ dx) = e−x 1I{x>0} dx,
5
et d’autre part que
Py (T1 ∈ dt) = e−y exp{−e−y t}1I{t≥0} dt,
2
et on peut alors compléter la preuve par récurrence.
Corollaire 2.3
La suite des inter-records (∆n , n ≥ 0) admet la représentation
∆n = eRn Zn ,
n ≥ 0,
où (Zn , n ≥ 0) est une suite de variables i.i.d., de loi exponentielle de paramètre 1, et indépendante
de la suite (Rn , n ≥ 0).
Preuve : Posons Zn = e−Rn ∆n pour tout n ≥ 0. D’après la proposition 2.2 (ii), nous savons
que conditionnellement à R1 , . . . , Rn , les variables Z1 , . . . , Zn sont indépendantes, et de plus
nous pouvons calculer leur loi conditionnelle : soit h borélienne, i compris entre 1 et n fixé,
E[h(Zi ) | R1 , . . . , Rn ] = E[h(e−Ri ∆i ) | R1 , . . . , Rn ]
=
Z
+∞
h(e−Ri x)e−Ri exp{−xe−Ri }dx
0
=
Z
+∞
h(u)e−u du.
0
2
Le corollaire est établi.
3
Comportement asymptotique du dernier temps de record
Rappelons que Gt , le dernier temps de record sur l’intervalle de temps [0, t], a été défini par
l’équation (2). On connaı̂t explicitement la loi de Gt . Si Mt = 0 (évènement de probabilité e−t ),
alors Gt = 0, et conditionnellement à Mt > 0, Gt suit une loi uniforme sur [0, t]. On a donc
P(Gt /t ≤ u) = (1 − e−t )u + e−t ,
0 ≤ u ≤ 1,
(3)
ce qui entraı̂ne immédiatement le lemme suivant.
Lemme 3.1
Gt /t converge en distribution vers la loi uniforme sur [0, 1] quand t tend vers +∞.
Les résultats sur les temps de record nous permettent d’étudier le comportement trajectoriel
de Gt ; nous commençons par établir un lemme technique.
Lemme 3.2
Pour tout β > 2, on a P(Tn+1 ≤ βeRn ) ≥ (1 − 2/β).
6
Preuve : Elle repose sur l’inégalité de Markov. Nous avons, grâce à la proposition 2.2 et au
corollaire 2.3,
E[Tn+1 e
−Rn
]=
n
X
E[∆k e
−Rn
]=
n
X
E[e
Rk −Rn
Zk ] =
n
X
0
0
n−k
E[exp(−R1 )]
0
=
n
X
2−k .
0
Il suffit alors d’écrire que
P(Tn+1 e−Rn ≥ β) ≤ (1/β)E[Tn+1 e−Rn ] ≤ 2/β,
2
et le lemme est prouvé.
Dans le but d’obtenir un test intégral pour Gt , nous allons considérer la suite des évènements
Rn
, ∆n+1 ≥ βf (e2n )eRn } ,
Λ(β)
n = {Tn+1 ≤ βe
n≥0
où f : (0, +∞) → (0, +∞) est une fonction croissante et β > 2.
Lemme 3.3 Z
Si l’intégrale
1
+∞
dt
diverge, alors pour tout β > 2,
tf (t)
2
P(lim sup Λ(β)
n ) ≥ (1 − 2/β) .
n→+∞
Preuve : Nous allons utiliser une version généralisée du lemme de Borel-Cantelli (cf. Spitzer
[9] page 317); nous commençons donc par évaluer P(Λ(β)
n ). Nous utilisons le corollaire 2.3 pour
écrire
Rn
P(Λ(β)
, eRn+1 Zn+1 ≥ βf (e2n )eRn )
n ) = P(Tn+1 ≤ βe
= P(Tn+1 ≤ βeRn , eRn+1 −Rn Zn+1 ≥ βf (e2n ))
= P(Tn+1 ≤ βeRn )P(eR1 Z1 ≥ βf (e2n )).
Le lemme 3.2 nous permet de minorer le premier terme du produit, regardons le second. On a
P(eR1 Z1 ≥ βf (e2n )) = P(R1 ≥ log β + log(f (e2n )) − log(Z1 ))
=
Z
+∞
exp{log x − log β − log(f (e2n ))}e−x dx
0
Z +∞
1
xe−x dx
=
2n
βf (e ) 0
1
=
.
βf (e2n )
On a donc obtenu la minoration
P(Λ(β)
n ) ≥
(1 − 2/β)
.
βf (e2n )
7
(4)
On vérifie ensuite que la série de terme général 1/f (e2n ) et l’intégrale +∞ dt/tf (t) sont de
même nature. Ceci découle simplement du fait que la fonction f est croissante, donc
R
Z ek+1
dt
(1 − 1/e)
(e − 1)
≤
≤
,
2(k+1)
2
k
f (e
)
tf (t )
f (e2k )
e
et du fait que les intégrales +∞ dt/tf (t) et
P
P(Λ(β)
la série +∞
n ) diverge.
0
R
R +∞
dt/tf (t2 ) sont de même nature. En conclusion,
Pour pouvoir utiliser la version généralisée du lemme de Borel-Cantelli, nous allons montrer
que pour |n − m| ≥ 2,
(β)
2
(β)
(β)
P(Λ(β)
n ∩ Λm ) ≤ (β/(β − 2)) P(Λn )P(Λm ).
Pour cela, on écrit d’abord
(β)
Rn
P(Λ(β)
, Tm+1 ≤ βeRm , ∆n+1 ≥ βf (e2n )eRn , ∆m+1 ≥ βf (e2m )eRm
n ∩ Λm ) = P Tn+1 ≤ βe
≤ P ∆n+1 ≥ βf (e2n )eRn , ∆m+1 ≥ βf (e2m )eRm
≤ P e(Rn+1 −Rn ) Zn+1 ≥ βf (e2n ) P e(Rm+1 −Rm ) Zm+1 ≥ βf (e2m ) ,
car la condition d’écartement sur n et m nous assure l’indépendance des deux évènements
considérés. Leurs probabilités ont déjà été calculées ci-dessus, ce qui entraı̂ne
(β)
P(Λ(β)
n ∩ Λm ) ≤
1
1
×
,
2n
βf (e ) βf (e2m )
et pour conclure on utilise le fait que, d’après (4), pour tout n ≥ 0
1
≤ (β/(β − 2))P(Λ(β)
n ),
2n
βf (e )
ce qui donne la majoration voulue. Le lemme de Borel-Cantelli généralisé complète la preuve.
2
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer et de prouver un test intégral sur le comportement asymptotique de Gt .
Théorème 3.4
Soit f : (0, +∞) → (0, +∞) une fonction croissante. Alors
lim inf
t→+∞
selon que l’intégrale
Z
1
+∞
Gt f (t)
= 0 ou + ∞ p.s.
t
dt
diverge ou converge.
tf (t)
8
Preuve : Nous commençons par supposer que l’intégrale
Z
+∞
dt/tf (t) converge. Notre but
1
est d’appliquer le lemme de Borel-Cantelli. Par commodité, nous introduisons g : (0, +∞) →
(0, +∞), définie par g(t) = tf (t). La fonction g étant strictement croissante, nous lui associons
sa fonction réciproque, ϕ. Grâce à (3), nous avons
P (G2n f (G2n ) ≤ 2n+1 ) = P (G2n ≤ ϕ(2n+1 ))
n
n
≤ 2−n (1 − e−2 )ϕ(2n+1 ) + e−2
n
≤ 2−n ϕ(2n+1 ) + e−2 .
On note ensuite que
+∞
X
0
Z +∞
+∞
+∞
X ϕ(2n+1 )
X Z 2n+2 ϕ(t)
ϕ(2n+1 )
ϕ(t)
=
8
≤
8
dt
=
8
dt.
2n
2n+3
t2
t2
2n+1
2
0
0
Etudions la convergence de l’intégrale de droite :
Z
+∞
Z
ϕ(t)
dt =
t2
+∞
+∞
Z
u
dg(u) =
g(u)2
Z
du
+
uf (u)
+∞
df (u)
.
f (u)2
Le premier terme de la somme
Z +∞ est fini par hypothèse. Le second l’est également, car, f étant
croissante et l’intégrale
du/uf (u) convergente, on a nécessairement lim f = +∞. On en
+∞
1
déduit la convergence de la série
+∞
X
−2n
(2−n ϕ(2n+1 ) + e
), le lemme de Borel-Cantelli entraı̂ne
0
qu’avec probabilité 1 il existe n0 tel que G2n f (G2n ) > 2n+1 pour tout n ≥ n0 .
Un argument standard de monotonie entraı̂ne alors lim inf Gt f (t)/t ≥ 1. Comme le résultat du
t→+∞
test intégral est inchangé quand on remplace f par εf , où ε est un réel positif arbitraire, on
conclut que
Gt f (t)
lim inf
= +∞.
t→+∞
t
Z
On suppose maintenant que l’intégrale
fonction f˜ est croissante et l’intégrale
Z
+∞
1
+∞
dt/tf (t) diverge. On introduit f˜(x) = f (x2 ). La
dt/tf˜(t) diverge. Posons
1
n
o
Rn
˜
Λ(β)
, ∆n+1 ≥ β f˜(e2n )eRn ;
n (f ) = Tn+1 ≤ βe
nous allons montrer que pour tout β > 2 fixé,
)
(
˜
lim sup Λ(β)
n (f )
n→+∞
Gt f (t)
⊂ lim inf
≤1 .
t→+∞
t
(5)
˜
Nous travaillons avec ω fixé appartenant à lim sup+∞ Λ(β)
n (f ). Il existe donc une suite (nk , k ≥ 0)
d’entiers tendant vers +∞ telle que pour tout k ≥ 0 :
Tnk +1 ≤ βeRnk , ∆nk +1 ≥ β f˜(e2nk )eRnk .
9
D’après la loi forte des grands nombres et la proposition 2.2 (i), Rn /n → 1 p.s. et nous pouvons
supposer que βeRnk ≤ e2nk pour tout k ≥ 0.
Nous en déduisons la série d’inégalités suivantes
Tnk +2 > ∆nk +1 ≥ β f˜(e2nk )eRnk ≥ β f˜(βeRnk )eRnk ≥ f˜(Tnk +1 )Tnk +1 .
Ensuite, on remarque que pour tout t ∈ [Tnk +1 , Tnk +2 [, Gt = Tnk +1 , et a fortiori
Gt f˜(Gt ) = cste < Tnk +2 .
Il existe donc tk ∈ [Tnk +1 , Tnk +2 [ tel que
Gtk f˜(Gtk ) ≤ tk
pour tout k ≥ 0.
√
Mais d’après la première partie de la preuve, nous savons que lim Gt / t = +∞ p.s. Il existe
t→+∞
donc k0 tel que pour tout k ≥ k0 ,
√
√
Gtk ≥ tk et en conséquence f˜(Gtk ) ≥ f˜( tk ) = f (tk ).
Ainsi Gtk f (tk ) ≤ tk pour tout k ≥ k0 , ce qui établit (5).
En combinant (5), le lemme 3.3 et le fait que β peut être choisi arbitrairement grand, on obtient
que lim inf Gt f (t)/t ≤ 1 p.s. Le résultat du test intégral n’étant pas modifié lorsqu’on remplace
t→+∞
la fonction f par f /ε, où ε > 0 est un réel arbitraire, on en déduit que lim inf Gt f (t)/t = 0 p.s.
t→+∞
Le théorème est prouvé.
2
4
Preuve des résultats
Nous allons appliquer les résultats obtenus dans la partie 3 au processus de Poisson ponctuel
Y = γ introduit dans la section 2.1. Nous rappelons que, pour simplifier, on travaille conditionnellement à `0 = 1, et que λ désigne l’inverse de L, le temps local au niveau 1 de (`x , x ≥ 0).
Lemme 4.1
Sur {Gy 6= 0}, nous avons l’encadrement
λGy − ≤ V (λy ) ≤ λGy .
Preuve : Regardons l’information que donne Gy .
• Si Gy = 0, alors le processus (`x , x ≥ 0) est resté sous le niveau h sur l’intervalle [0, λy ].
• Si Gy = x > 0, alors le supremum de {`v : 0 ≤ v ≤ λy } est réalisé sur l’intervalle de temps
[λx− , λx ], ce qui revient exactement à dire que
λGy − ≤ V (λy ) ≤ λGy ,
10
2
le lemme est donc prouvé.
Par la suite, nous utiliserons implicitement le fait que limy→+∞ Gy = +∞ p.s., de sorte que
l’hypothèse du lemme 4.1 est vérifiée dès que y est suffisamment grand.
Nous allons maintenant nous servir du fait que λt ∼ t quand t → +∞, et de l’encadrement du
lemme 4.1 pour montrer la proposition 1.1.
Preuve de la proposition 1.1 : Lorsque t → +∞, Gt → +∞ et λt /t → 1 (d’après (1)), ce
qui entraı̂ne la convergence en probabilité de λGt /Gt et λGt − /Gt vers 1. Pour tout ε > 0, il
existe t0 tel que pour tout t ≥ t0
P(|λt /t − 1| > ε) ≤ ε, P(|λGt /Gt − 1| > ε) ≤ ε et P(|λGt − /Gt − 1| > ε) ≤ ε.
Par ailleurs, nous savons que P(Gt = 0) = e−t , nous pouvons donc supposer que pour tout
t ≥ t0 , P(Gt = 0) ≤ ε. Ceci nous permet alors d’écrire l’inégalité suivante : pour tout β ∈ [0, 1],
pour tout t ≥ t0 ,
P(V (t)/t ≤ β) ≤ P({V (t)/t ≤ β} ∩ {|λt /t − 1| ≤ ε} ∩ {|λGt − /Gt − 1| ≤ ε} ∩ {Gt 6= 0}) + 3ε.
Fixons ω ∈ {|λt /t − 1| ≤ ε} ∩ {|λGt − /Gt − 1| ≤ ε} ∩ {Gt 6= 0}. Alors
V ((1 + ε)t) ≥ V (λt ) ≥ λGt − ≥ (1 − ε)Gt ,
ce qui donne, si on ne garde plus que les deux extrémités des inégalités
(1 − ε) Gt
V ((1 + ε)t)
≥
.
(1 + ε)t
(1 + ε) t
On pose alors u = (1 + ε)t, donc pour tout u ≥ (1 + ε)t0
Gu/(1+ε)
V (u)
≥ (1 − ε)
.
u
u
Ainsi, pour tout β ∈ [0, 1]
!
Gu/(1+ε)
(1 + ε)
≤β
+ 3ε,
P(V (u)/u ≤ β) ≤ P
u/(1 + ε)
(1 − ε)
ce qui entraı̂ne d’après le lemme 3.1 que pour tout β ∈ [0, 1], pour tout ε > 0,
lim sup P(V (u)/u ≤ β) ≤ β
u→+∞
(1 + ε)
+ 3ε,
(1 − ε)
et finalement lim supu→+∞ P(V (u)/u ≤ β) ≤ β.
Pour obtenir la minoration de la limite inférieure, il suffit de procéder de manière analogue en
considérant cette fois-ci P(V (u)/u > β). Ceci termine la preuve de la proposition.
2
11
Preuve du théorème 1.2 : Nous commençons par supposer que l’intégrale
diverge, ce qui équivaut à la divergence de
Z
Z
+∞
dt/tf (t)
1
+∞
dt/tf (t/2). Le théorème 3.4 donne
1
!
Gt f (t/2)
P lim inf
= 0 = 1.
t→+∞
t
On fixe alors ω dans {limt→+∞ λt /t = 1} ∩ {lim inf t→+∞ Gt f (t/2)/t = 0}, évènement de probabilité 1. Pour tout η > 0, on peut choisir t arbitrairement grand tel que
Gt f (t/2)
≤η
t
|
,
λt
− 1| ≤ 1/2
t
et
|
λGt
− 1| ≤ 1.
Gt
Grâce au lemme 4.1, ceci entraı̂ne
V (t/2) ≤ V (λt ) ≤ λGt ≤ 2Gt ,
et donc
Gt f (t/2)
V (t/2)f (t/2)
≤4
≤ 4η.
t/2
t
Nous avons ainsi établi que lim inf V (t)f (t)/t = 0 avec probabilité 1.
t→+∞
On suppose ensuite que l’intégrale
Z
Z
+∞
dt/tf (t) converge. La convergence de
1
+∞
dt/tf (2t) en découle, et ainsi, d’après le théorème 3.4,
1
!
Gt f (2t)
P lim
= +∞ = 1.
t→+∞
t
Comme précédemment, on fixe ω ∈ {limt→+∞ Gt f (2t)/t = +∞}. Alors pour tout A > 0 et tout
t suffisamment grand
λt
λG −
Gt f (2t)
≥ A, | − 1| ≤ 1 et | t − 1| ≤ 1/2.
t
t
Gtk
En conséquence V (2t) ≥ V (λt ) ≥ λGt − ≥ (1/2)Gt , et donc V (2t)f (2t)/t ≥ A/2; la preuve du
théorème est complète.
2
5
5.1
Quelques compléments
Point le moins visité
Si on définit le point le moins visité par X sur [0, y],
v(y) := inf{x ≥ 0 : `x = min `u },
0≤u≤y
12
nous pouvons adapter la méthode utilisée pour l’étude de V (y) à celle de v(y). On considère
les excursions de (`x , x ≥ 0) en-dessous de 1, il existe une hauteur h0 ∈ (0, 1) telle que
n(u ∈ U : inf u(t) < h0 ) = 1.
t≥0
On définit un nouveau processus de Poisson ponctuel, γ 0 , de façon analogue à γ. Nous pouvons
alors appliquer les résultats de la partie 3 à γ 0 , puis passer à v(y).
D’autre part, les processus des excursions au-dessus et en-dessous de 1 étant indépendants, γ
et γ 0 sont indépendants. Ceci nous permet de renforcer la proposition 1.1 et le théorème 1.2 de
la façon suivante.
Proposition 5.1
Le couple (V (y)/y, v(y)/y) converge en distribution vers le produit de deux lois uniformes sur
[0, 1] quand y tend vers +∞.
Pour énoncer la seconde proposition, nous adoptons les notations suivantes :
Si f : (0, +∞) → (0, +∞) et g : (0, +∞) → (0, +∞) sont deux fonctions croissantes,
+∞
Z
C=
dt/tf (t) converge
,
D=
c=
dt/tf (t) diverge ,
1
Z
+∞
Z
1
+∞
dt/tg(t) converge
Z
,
+∞
d=
1
dt/tg(t) diverge .
1
Proposition 5.2
On a p.s.
•Cc =⇒ lim
y→+∞
V (y)f (y)
= +∞ et
y
lim
y→+∞
v(y)g(y)
= +∞.
y
V (y)f (y)
v(y)g(y)
= +∞ et lim inf
= 0.
y→+∞
y→+∞
y
y
•Cd =⇒ lim
•Dc =⇒ lim inf
y→+∞
V (y)f (y)
= 0 et
y
•Dd =⇒ lim inf
y→+∞
5.2
lim
y→+∞
v(y)g(y)
= +∞.
y
V (y)f (y)
v(y)g(y)
= 0 et lim inf
= 0.
y→+∞
y
y
Point le plus visité sur l’intervalle de temps [0, t]
Les résultats asymptotiques obtenus pour V (y), point de l’intervalle d’espace [0, y] le plus visité
par X, permettent facilement de déduire le comportement asymptotique du point le plus visité
par X pendant l’intervalle de temps [0, t].
On considère (`xt : x ∈ R, t ≥ 0) la famille bicontinue des temps locaux de X, et on introduit
Mt = max{`xt : x ≥ 0}
V t = inf{x ≥ 0 : `xt = Mt }.
et
13
Corollaire 5.3
V t /µt converge en distribution vers la loi uniforme sur [0, 1] quand t tend vers +∞.
Corollaire 5.4
Soit f : (0, +∞) → (0, +∞) une fonction croissante. Alors
lim inf
t→+∞
selon que l’intégrale
Z
1
+∞
V t f (t)
= 0 ou + ∞ p.s.
t
dt
diverge ou converge.
tf (t)
La démonstration des corollaires repose sur le fait que Xt /t → µ, ce qui permet de ramener
l’étude de V t à celle de V (µt) au moyen du lemme suivant.
Lemme 5.5
Pour tout ε ∈ (0, 1),
P V (µs(1 − ε)) ≤ V s ≤
1+ε
V (µs(1 + ε)) pour tout s ≥ t
1−ε
tend vers 1 lorsque t tend vers +∞.
Preuve : On introduit St = sup{Xs : 0 ≤ s ≤ t} et Jt = inf{Xs : s ≥ t}, respectivement le
supremum passé et l’infimum futur de X. Fixons ε > 0 et η > 0. Comme Xt /t → µ, on peut
choisir t suffisamment grand pour que la probabilité de l’évènement
{µs(1 − ε) ≤ Js et Ss ≤ µs(1 + ε) pour tout s ≥ t}
vaille au moins 1 − η. On travaille désormais sur cet évènement.
Fixons s ≥ t. Le fait que Js ≥ µs(1 − ε) entraı̂ne
`x = `xs
pour tout x < µs(1 − ε).
(6)
L’inégalité V (µs(1 − ε)) ≤ V s en découle aisément.
Vérifions ensuite que (1 − ε)V s ≤ (1 + ε)V (µs(1 + ε)); pour cela, distinguons deux cas. Dans
un premier temps, supposons que V s < µs(1 − ε). L’identité (6) entraı̂ne alors que V s =
V (µs(1 − ε)), et a fortiori (1 − ε)V s ≤ (1 + ε)V (µs(1 + ε)).
Supposons ensuite que V s ≥ µs(1 − ε). Pour tout y ∈ [0, µs(1 − ε)), on a clairement
`y = `ys < `Vs s ≤ `V s ,
et donc V (µs(1 + ε)) ≥ µs(1 − ε). Pour conclure, il ne reste qu’à observer que, comme
Ss ≤ µs(1 + ε), on a nécessairement V s ≤ µs(1 + ε), i.e. µs ≥ V s /(1 + ε).
2
14
Le corollaire 5.3 découle maintenant immédiatement de la proposition 1.1 et du lemme 5.5.
Quant au corollaire 5.4, il se déduit de façon analogue du théorème 1.2, du lemme 5.5 et du
fait que le résultat du test intégral est inchangé lorqu’on remplace f (t) par af (bt).
Remarque : Pour ce qui est du comportement de la limite supérieure de V , on peut montrer
que
Vt
= 1.
lim sup
t→+∞ µt
Comme précédemment, l’argument repose sur le lemme 5.5; nous omettons les détails.
Remerciements : Nous remercions Jean-François Le Gall et Zhan Shi pour les remarques
constructives qu’ils nous ont faites sur ce travail.
References
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walk. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 70, 417-436. (1985)
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[5] J. Pitman et M. Yor : A decomposition of Bessel bridges. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
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[7] D. Revuz et M. Yor : Continuous martingales and Brownian motion, 2nd edn. Springer,
Berlin. (1994)
[8] L.C.G. Rogers et D. Williams : Diffusions, Markov Processes, and Martingales vol. 2 : Itô
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[9] F. Spitzer : Principles of random walk. Van Nostrand, Princeton. (1964)
15