totale Aire jetons des Aire =

Du Problème de Kleper aux structures cristallines
1) Le problème posé :
Vers 1611, à la demande de Sir Walter Rayleigh, amiral de la flotte anglaise, l’astronome Johannes Kepler s’intéresse
à la manière d’empiler des boulets de canons sur le pont d’un bateau de la façon la plus économique possible,
autrement dit dans le moindre volume. Pourriez-vous répondre à ce problème ?
Les élèves sont par groupe de 3, disposent de balles de tennis (environ une vingtaine)
Propositions :
-
Rangement type tas d’oranges
-
Suggestion que le rangement permet d’être plus efficace que du vrac.
-
Proposition de mettre dans des cartons et de compter le nombre de balles de tennis dans le même volume,
en vrac ou avec différents types de rangement : l’expérience est réalisée avec comparaison de vrac et de tas
d’oranges mais le résultat obtenu ne fait pas apparaitre de différence réellement significative.
-
Un élève suggère de commencer par raisonner avec une seule couche
2) Avec une seule couche :
Des jetons circulaires sont fournis et permettent de représenter des balles dans le plan.
Question : Quel est le rangement le plus efficace ? Comment mesurer ?
Réponses des élèves :
-
cela dépend des dimensions de l’espace occupé par les jetons. Il est difficile pour les élèves d’accepter l’idée
que l’on se place dans un plan infini.
-
Les élèves proposent différents rangements ; on (je) décide de se limiter à l’étude de deux rangements :
Rangement 1
Rangement 2
On observe que, dans le rangement 1, un cercle est tangent à 6 cercles eux-mêmes tangents entre eux, et on essaie
de justifier cette propriété.
Les élèves voient que dans le rangement 1 il y a moins de « blanc » que dans le rangement 2. On décide de définir un
critère qui va nous permettre de mesurer cette « quantité de blanc ».
On définit le Coefficient de compacité
=
Aire des jetons
Aire totale
.
Le rangement implique la répétition d’un figure : on essaie de réduire le rangement à une figure de base que l’on va
appeler la maille, l’ensemble du rangement étant obtenu par transformations (translation, symétries...)
Les élèves font apparaitre 3 types de maille pour le rangement 1(losange, hexagone, triangle) et une maille carrée
pour le rangement 2.
Les élèves calculent le coefficient de compacité pour les deux rangements ; dans
le cas du rangement 1, les élèves ont choisi de travailler préférentiellement avec
la maille Triangulaire. Les jetons ont un diamètre d’environ 2,5 cm. Certains
groupes choisissent de travailler avec 2,5cm, d’autres choisissent de travailler
avec un rayon r. Ceux qui ont utilisé 2,5 cm travaillent en général avec des valeurs
approchées, ce que j’ai laissé faire. Les autres travaillent avec des valeurs exactes.
Avec le rangement 1 : compacité =
Avec le rangement 2 : compacité
=
π
2 3
π
4
≈ 0,91
≈ 0,79 .
Le calcul confirme donc l’intuition.
Le calcul a été effectué avec des jetons qui n’ont pas le même rayon que nos balles de tennis ; le résultat serait-il
également valable avec des jetons ayant le rayon des balles ?
Réponse : Non pour la plupart des élèves.
En fait, Oui car la compacité est indépendante du rayon
3) Avec deux couches :
On revient aux balles de tennis.
a) Avec le rangement 1 à maille triangulaire : naturellement, les élèves mettent les balles
de la 2ème couche dans les trous de la 1ère.
b) Avec le rangement 2 à maille carrée : naturellement les élèves mettent les balles de la
2ème couche dans les trous de la 1ère
Je leur suggère de décrire également le rangement peu pratique et efficace pour des sphères où l’on empile
les sphères l’une sur l’autre.
En dehors de l’empilement cubique où la maille est claire, dans les deux autres cas, cela est moins clair.
A la question, comment pourrait-on comparer les rangements, les élèves proposent de calculer les hauteurs.
Les calculs sont faits avec des sphères de rayons r. Je propose aux élèves à qui cela pose problème de
réaliser des maquettes, chaque sphère étant réduite à son centre. Les élèves calculent donc la hauteur d’une
pyramide à base triangulaire régulière et d’une pyramide à base carrée.
La hauteur est calculée entre les plans contenant les centres des deux couches
Rangement 1 avec la pyramide à base triangulaire : hauteur =
Rangement 2 avec la pyramide à base carrée : hauteur =
Rangement 2 avec le cube : hauteur =
2 2×r
≈ 1,63r
3
2r ≈ 1,41r
2r
Le résultat pertubent un peu les élèves, car le rangement 1 est plus efficace sur une couche mais pour la 2ème
couche la hauteur est plus importante, ils ne savent plus trop ce qu’ils doivent en penser. Le résultat n’est
peut-être pas si évident qu’il en a l’air.
Je leur suggère alors de considérer la 3ème couche.
4) Avec trois couches :
Dans le rangement 1 à maille triangulaire, on fait observer aux élèves qu’il existe pour la troisième couche, deux
types de position des balles : (cf tableau ci-dessous)
-
Soit la balle de la 3ème couche est située au-dessus d’une balle de la 1ère couche ce qui donne le type ABA
-
Soit la balle de la 3ème couche est située sur un espace non encore remplie, ce qui donne le type ABC
On fait construire un modèle avec pate à modeler et cure dent ( 1 à 2 modèles par groupe, le modèle cubique ne
pose pas de problème de visualisation ) puis on essaie de leur faire apparaitre la maille de chaque modèle à
partir de modèles du laboratoire de physique.
Les deux mailles cubiques et la maille hexagonale ne pose pas de problème, c’est plus difficile pour la maille
cubique face centrée.
On fait ensuite calculer le coefficient de compacité pour les trois mailles cubiques (le résultat est donné pour la
maille hexagonale)
Les élèves comptent assez facilement ( et cela leur plait) le nombre de sphères complètes et de portions de
sphères dans chaque cube et on calcule le coté du cube en fonction du rayon de la sphère puis la compacité de
chaque rangement.
ère
1
couche
ème
2
couche
Rangement 1 maille triangulaire
Rangement 2 maille carrée
Maille hexagonale
Maille cubique simple
ème
3
couche
Maille
compacité
Compacité=
π
3 2
Maille cubique face centrée
≈ 0,74
4
r
3
4 sphères
π
=
≈ 0,74
2 sphères
3π
cube
=
≈
Compacité=
3 2
cube
8
Coté carré =
Compacité=
2 2r
Coté cube =
Maille cubiqu
Coté cube = 2
Compacité=
2 sphères
cube
5) Conclusion au problème posé :
En considérant les rangements choisis, l’intuition qu’ont eue les élèves lorsque le problème leur a été posé, ainsi
que celle de Képler, s’est révélé confirmée. Mais cette preuve ne considére que ces 4 types de rangement. Nous
n’avons pas démontré que d’autres types de rangement ne sont pas meilleurs.
Petit point historique :
1611: Conjecture de Képler : le meilleur rangement est celui du tas d’oranges
1850: Gauss démontre que le rangement hexagonal est le meilleur rangement régulier dans le plan
1900: Hilbert en fait l’un de ses problèmes
1998: Thomas Hales et un étudiant écrivent une série d’articles de 282 pages indiquant que la théorie rejoint la
pratique mais la publication indique que cela est vrai à 99%
2003: lancement d’un programme informatique d’une durée de 20 ans appelé projet Flyspeck (Formal Proof of
Kepler’s Conjecture) pour tester informatiquement l’ensemble des preuves de Hales
Prolongement : le professeur de physique s’est ensuite intéressé à la structure cristalline du chlorure de sodium et a
fait fabriquer un cristal aux élèves. Le professeur de SVT s’est lui penché sur graphite et diamant et sur les liens entre
arrangement à l’échelle atomique et les propriétés des cristaux à l’échelle macroscopique