Développements limités Formule de Taylor
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Développements limités Formule de Taylor
Développements limités Formule de Taylor Exercice 1 d'après ESSEC 1998 Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de la somme , 1 pour 0 2 On pose pour tout nombre entier naturel et tout nombre réel : ! 1 a. Exprimer sous forme de somme en utilisant la formule du binôme de Newton. b. Montrer que " # $0, 2%, 0 , . c. Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de ' ! 1 en 0 et en déduire l'expression en fonction de n des trois nombres réels ( , ) , * tels que : ( ) +, * +- +- . où . tend vers 0 lorsque tend vers 0. d. A l'aide de la formule de Taylor écrite à l'ordre 2 en 0, donner alors la valeur des nombres , pour 0 2. Exercice 2 (EML 1998) 1. Soit # /1; 1/ . a. Montrer, pour tout de ℕ et tout 2 de /1; 1/3 1 2ⁿ+, 2 12 12 b. En déduire, pour tout de ℕ et tout 2 de /1; 5 3 |2|ⁿ+, 1 6 2 6 12 1 c. Etablir, pour tout de ℕ : +, 1 6 6ln1 1 21 !ⁿ d. En déduire que la série ∑;, converge et a pour somme – ln1 . En particulier, montrer : += 1 >2 . 2ⁿ , Exercice 3 ( d’après Ecricome 1997) On pose ? "2 # @A+ , B2 2 1 C D B0 1 a. Montrer que ϕ est une fonction de classe F , sur [0,+∞[ b. On définit de plus la fonction ψ sur [0,+∞[ par : "2 # @A+ , G2 1 1 2 C Utiliser cette fonction pour en déduire que B réalise une bijection de [0,+∞[ vers [1,+∞[ Exercice 4 Démontrer par récurrence que " # ℕ, 1 1+, ! ! I 2 ! ! C J2