2015

Lycée Alphonse Daudet MPSI
Année 2014-2015 Devoir
Concours Durée
blanc
n◦1
: 4h00
15/01/2015 Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème. Chaque exercice et chaque partie du problème est indépendant
du reste du devoir. Le sujet comporte 3 pages. Les calculatrices sont interdites. Un candidat vu avec un téléphone
portable, éteint ou non, sera expulsé et se verra attribuer la note 0.
On tiendra fondamentalement compte de la qualité de la rédaction et de la présentation.
Si le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice 1.
Quelques équations.
1. Résoudre dans C l'équation z 4 + 4z 2 + 16 = 0.
2. Résoudre dans R l'équation cos(2x) + cos(12x) =
√
3 cos(5x).
3. Déterminer toutes les fonctions f : R → R telles que : ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x)f (y) = f (xy) + x + y .
4. Résoudre dans D2 (R, R) l'équation y 00 − 4y 0 + 4y =
Exercice 2.
e3t − 1
.
et − 1
Quelques limites de suites
1. Montrer que la suite
1 n
n
1−
converge.
n∈N
n 1
P
converge.
k=0 k! n∈N
n
P (−1)k
3. Montrer que la suite
converge.
k!
k=0
n∈N
2. Montrer que la suite
4. Soit x 6≡ 0 [2π].
a. Montrer que la suite
cos
1
2
n+ x
diverge.
n∈N
Indication : on pourra montrer que, si elle converge, alors la suite
sin
n+
1
2
x
converge aussi.
n∈N
b. Simplier
n
P
sin(kx).
n
P
sin(kx)
c. Montrer que la suite
k=1
k=0
Problème 3.
diverge.
n∈N
Modélisations d'une poursuite mutuelle.
Dans ce problème, on s'intéresse à diverses modélisations du cas d'école suivant : trois pinguins A, B et C se poursuivent mutuellement. Le pinguin A poursuit le pinguin B , tandis que le pinguin B poursuit le pinguin C qui lui-même
poursuit le pinguin A. On identiera les pinguins A, B et C à des points mobiles du plan évoluant au cours du temps,
et on notera zA , zB et zC leurs axes respectives.
Pour simplier le problème, on suppose que les pinguins sont initialement équidistants les uns des autres. Quitte à
2iπ
changer d'unité, puis de repère, on peut donc supposer qu'on a zA (0) = 1, zB (0) = j et zC (0) = j 2 , où j = e 3 et où
zM (0) désigne l'axe de M à l'instant initial. Le problème est donc totalement symétrique en A, B et C , si bien qu'on
a zB = jzA et zC = j 2 zA .
Lycée Alphonse Daudet MPSI
Année 2014-2015 Devoir
I. Première modélisation : modélisation continue avec essouement.
Dans cette partie, on modélise l'ensemble des instants t possibles par R+ . On considère donc ici que zA , zB et zC
sont des applications dérivables de R+ dans C. On traduit l'énoncé en considérant qu'à tout instant t, le vecteur
−−→
−−→
−→
vitesse de A est AB , le vecteur vitesse de B est BC et le vecteur vitesse de C est CA. On remarquera que, dans
cette modélisation, la vitesse de chaque pinguin est d'autant plus faible que le pinguin est proche de sa cible, ce
qui se justie si l'on considère que les pinguins s'essouent au cours de la poursuite.
1.
0
0
0
a. Exprimer zA
en fonction de zA et zB . Donner des expressions analogues pour zB
et zC
.
b. En déduire que zA , zB et zC sont C ∞ (R+ , R).
2.
a. Rappeler sans démontration l'énoncé du théorème sur le signe de la dérivée pour une application à
valeurs réelles.
b. Soit z = Re(z) + iIm(z) ∈ D(R+ , C) telle que z 0 = 0 sur R+ . Montrer que z est constante sur R+ .
Dans les questions I. à I., on note G le centre de gravité du triangle ABC , c'est-à-dire le point d'axe
zA + zB + zC
.
zG =
3
3. Justier que G reste immobile.
4. Justier que zA , zB et zC sont des solutions complexes sur R+ de l'équation diérentielle (E) suivante :
y 00 + 3y 0 + 3y = 3zG
5.
(E)
a. Résoudre l'équation homogène associée à (E).
b. Résoudre (E).
c. En déduire les expressions de zA , zB , zC .
d. Qu'en déduire sur le comportement asymptotique (c'est-à-dire lorsque t tend vers +∞) des pinguins ?
II. Deuxième modélisation : modélisation continue sans essouement.
Dans cette partie, on propose une légère variante à la modélisation précédente.
−−→
AB
On traduit l'énoncé en considérant qu'à tout instant t : • le vecteur vitesse de A est −−→ ,
kABk
−−→
−→
BC
CA
• le vecteur vitesse de B est −−→ ,
• le vecteur vitesse de C est −→ .
kBCk
kCAk
La diérence est donc que, dans cette modélisation, la vitesse de chaque pinguin reste constante, ce qui se
justie si l'on considère que les pinguins ne s'essouent pas au cours de la poursuite.
Pour tout t ∈ R+ , on notera zA (t) = ρ(t)eiθ(t) avec ρ(t) = |zA (t)| > 0, et on admettra que ρ et θ sont dérivables.
6.
√
0
a. Montrer qu'on a ∀t ∈ R+ , zA
(t) = − 23 + 2i eiθ(t) .
√
ρ0 (t) = − 23
b. En déduire qu'on a ∀t ∈ R+ ,
.
θ0 (t)ρ(t) = 21
c. En déduire les expressions de ρ(t) et θ(t) en fonction de t.
On montrera notamment que t 7→ θ(t) est seulement dénie sur un intervalle de la forme [0, α[. On
expliquera pourquoi et on déterminera α.
7. Interpréter le fait que t 7→ θ(t) est seulement déni sur [0, α[.
Lycée Alphonse Daudet MPSI
Année 2014-2015 Devoir
III. Troisième modélisation : modélisation discrète avec essouement.
Dans cette partie, on modélise l'ensemble des instants n possibles par N. On considère donc ici que zA , zB et zC
sont des suites à valeurs dans C. On traduit l'énoncé en considérant qu'entre deux instants n et n + 1 pinguin A
parcourt la moitié de la distance qui le séparait du pinguin B à l'instant n, et de même pour les pinguins B et
C . À nouveau, la vitesse de chaque pinguin est d'autant plus faible que le pinguin est proche de sa cible, ce qui
se justie si l'on considère que les pinguins
au cours de la poursuite.
 s'essouent

zAn
Pour tout entier n, on notera Xn =  zB n  ∈ C3 .
z
C n

0 1 0
On notera J ∈ Mn (C) la matrice J =  0 0 1 .
1 0 0
n−1
E
E ( n−2
E( n
)
(
3
3 )
3 )
X
X
X
n
n
n
, bn =
et cn =
où E(x) désigne la partie
On notera an =
3k
3k + 1
3k + 2
k=0
entière plancher de x.
8.
k=0
k=0
a. Donner les formes exponentielles de (1 + 1)n , (1 + j)n et (1 + j 2 )n .
b. Exprimer de (1 + 1)n , (1 + j)n et (1 + j 2 )n en fonction de an , bn et cn .
c. En déduire les expressions de an , bn et cn .
9.
a. Montrer qu'on a J 2 = t J et calculer J 3 .
En déduire l'expression de J n pour n ∈ N.
b. Exprimer zAn+1 en fonction de zAn et zB n . Donner des expressions analogues pour zB n+1 et zC n+1 .
c. Le point zGn reste-t-il immobile ?
1
(J + I3 ) × Xn .
2
e. En déduire une expression de Xn en fonction de X0 , J , I3 et n.
d. Justier que, pour tout entier n, on a Xn+1 =
10. Écrire un programme Python qui prend en argument un entier n et donne comme résultat la liste [zAn , zB n , zC n ].
11.
a. Montrer soigneusement qu'on a, pour tout entier n, (J + I3 )n = an I3 + bn J + cn t J .
1
1
b. Montrer soigneusement 1 qu'on a lim n (J + I3 )n = (I + J + t J).
n→+∞ 2
3
c. Qu'en déduire sur le comportement asymptotique (c'est-à-dire lorsque n tend vers +∞) des pinguins ?
Fin de l'épreuve.
1. Étant entendu que la limite est prise coecient par coecient.