Courbes paramétrées par l`angle polaire
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Courbes paramétrées par l`angle polaire
Courbes paramétrées par l'angle polaire Christian CYRILLE "Il ne s'agit ni de rire, ni de pleurer mais de comprendre" Spinoza 1 Dénition Soit le plan P muni du repère orthonormé (O;~i, ~j). Soit la fonction vectorielle suivante F : I ⊂ R 7→ P~ −−−→ → θ 7→ OM = ρ(θ)− u θ où − → u θ θ cos(θ) sin(θ) dans la base (~i, ~j). L'arc paramétré (I, F~ )s'appelle une courbe paramétrée par l'angle polaire θ. On peut résumer la donnée de F~ par celle de la fonction ρ : θ 7→ ρ(θ). O s'appelle le pôle et (Ox) l'axe polaire. 2 Propriétés 2.1 Propriété −−→ →, on a : En notant M (ρ, θ) le point M tel que OM = ρ(θ)− u θ M (ρ, θ) = M (−ρ, θ + π) 1 M 0 (−ρ, π − θ) = M 0 (ρ, −θ) est symétrique de M (ρ, θ) par rapport à (Ox) M ”(−ρ, θ) = M ”(ρ, θ + π) est symétrique de M (ρ, θ) par rapport à 0 M ”0 (−ρ, −θ) = M ”0 (ρ, π − θ) est symétrique de M (ρ, θ) par rapport à (0y) 2.2 Propriété → est de classe C ∞ avec 1. L'application θ 7→ − u θ cos(θ) − → uθ sin(θ) →) − sin(θ) d(− u θ → − vθ = cos(θ) dθ et → d(− vθ ) − cos(θ) − → = −uθ − sin(θ) dθ →, − → 2. Le repère mobile (Mθ ; − u θ vθ ) est un repère orthonormal direct appelé le repère polaire. −−→ −−−−−−− π→ (n) 3. on démontre par récurrence que ∀n ∈ N on a uθ = u(θ + n ) 2 2.3 Propriété Si θ 7→ ρ(θ) est susamment dérivable alors → est susamment dérivable . la fonction vectorielle F~ : θ 7→ ρ(θ)− u θ − → −−0−→ − → →+ρ(θ) d(uθ ) qu'on abrège en F~ 0 = ρ0 ~u + ρ~v . On a donc : F (θ) = (ρ(θ)uθ )0 = ρ0 (θ)− u θ dθ −−−→ d~v 0 0 De même, F ”(θ) = ρ”~u + ρ ~v + ρ ~v + ρ d'où F~” = (ρ” − ρ)~u + 2ρ0~v dθ 2.4 Point stationnaire Une courbe paramétrée par un angle polaire a un seul point stationnaire ou singulier : le point O car F 0~(θ) = ~0 ⇐⇒ ρ0 ~u + ρ~v = ~0 ⇐⇒ ρ(θ) = 0 et ρ0 (θ) = 0 2 Donc étudier les points statiionnaires équivaut ici à étudier les éventuels passages en 0. les valeurs de θ telles que ρ(θ) = 0 et ρ0 (θ) = 0 s'appellent des valeurs singulières. 3 Passage en M 6= O On a alors −−0−→ F (θ) ρ0 6= ~0 ρ −−−→ donc la courbe admet en Mθ une tangente dirigée par F 0 (θ) = ρ0 ~u + ρ~v . Si l'on note V = (~u\ , F 0 (θ)) on a 1. si ρ0 6= 0 alors tan(V ) = 2. si ρ0 = 0 alors V = ρ ρ0 π 2 3 4 Passage en O le seul point stationnaire Supposons que M (θ0 ) = O . On suppose ∃k ∈ N∗ tel que ρ(k) 6= 0. −−−→ On prend alors p = Inf {k ∈ N∗ /ρ(k) 6= 0} donc F (p) (θ0 ) = ρ(p) (θ0 )u(θ0 ) est le premier vecteur dérivé non nul et va donc diriger la tangente en O. −−−→ −−−→ (p) −−−→ −−−→ du(θ0 ) (p+1) (p+1) Alors F (θ0 ) = ρ (θ0 )u(θ0 )+ρ (θ0 ) = ρ(p+1) (θ0 )u(θ0 )+ρ(p) (θ0 )v(θ0 ) dθ donc (p) ρ ρ(p+1) = (ρ(p) )2 6= 0 det(F (p) , F (p+1) ) = 0 ρ(p) donc la famille est libre donc 2 cas :p pair et q = p + 1 impair ou p impair et q = p + 1 pair. en fait ou bien ρ s'annule et ne change pas de signe. ou bien ρ s'annule et change de signe. 4 5 4 cas de Branches innies 1. ou bien lim ρ = 0 alors la courbe admet O comme point-asymptote. θ7→∞ 2. ou bien lim ρ = +∞ alors la courbe admet une branche en spirale. θ7→∞ 3. ou bien lim ρ = ρ0 alors la courbe admet comme asymptote le cercle de θ7→∞ centre O et de rayon ρ0 4. ou bien lim ρ = ∞ alors l'arc admet toujours une direction asymptotique θ7→θ0 −−−→ dirigée par u(θ0 ) (a) ou bien lim ρ sin(θ − θ0 ) = ∞ alors on a une branche parabolique. θ7→θ0 (b) ou bien lim ρ sin(θ − θ0 ) = h alors on a une asymptote D : Y = h θ7→θ0 dans le repère (OX, OY ). Pour connaître la position de la courbe par rapport à cette asymptote, on étudie le signe de ρ sin(θ − θ0 ) − h. 5