Formulaire - Jocelyn De Brito : Mathématiques et musique
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FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG ÉQUATION D'UNE DROITE ET SIGNE D'UNE EXPRESSION AFFINE Soient A( x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points tels que x A ≠ x B . La droite ( AB) a pour équation y =a x+ b avec a= y B− y A . x B− x A Pour déterminer b , on résout l'équation y A =a x A +b ou l'équation y B =a x B + b . Si a≠0 , on a : x – –∞ a x+b Signe de −a b a 0 +∞ Signe de a TAUX D'ÉVOLUTION • Calcul d'un taux : Une quantité évolue d'une valeur initiale y 1 à une valeur finale y 2 . Le taux d'évolution t de y 1 à y 2 est t= y 2− y 1 . y1 • Appliquer un taux : Faire subir une évolution de taux t , c'est multiplier une quantité par le coefficient multiplicateur 1+ t . • Calcul du taux réciproque : Si une quantité subit une évolution de taux t ≠−1 , 1 −1 . l'évolution réciproque de taux t ' vérifie t '= 1+ t • Calcul d'un indice : y 1 et y 2 sont deux valeurs d'une même grandeur. Définir l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à y 1 , c'est associer à y 1 la y2 valeur I 1=100 . Par proportionnalité, on a donc I 2 =100× . y1 • Calcul du taux global : Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t 1 , t 2 , …, t n , alors le taux global T vérifie T =(1+ t 1)(1+ t 2)…( 1+ t n )−1 . FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 1/6 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ 2 P ( x )=a x + b x+ c (avec a≠0 ) • Discriminant : Δ=b 2−4 a c • Forme canonique : P( x)= a x+ • Coordonnées du sommet : S − ( ( b 2 Δ − 2a 4a ) b ;− Δ 2a 4a 0 Solutions de l'équation a x 2b xc=0 −b− √ Δ et 2a −b+ √ Δ x 2= 2a x 1= =0 0 b 2a (racine double) Pas de solution x 0=− a ( x− x 1)( x− x 2) Factorisation de a x 2b xc ) 2 Pas de factorisation a ( x− x 0) Représentation graphique quand a0 Représentation graphique quand a0 x Signe de 2 a x + b x+ c – ∞ x1 x2 + ∞ sig sig P (x ) ne 0 ne 0 de de a −a sig ne de a x –∞ x0 +∞ P (x ) signe 0 signe de a de a x –∞ P (x) (en notant x 1 la plus petite racine) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 2/6 +∞ signe de a STATISTIQUES Valeur du caractère x1 x2 ... xp Effectif n1 n2 ... np • Effectif total : N =n1 +n 2+ ...+ n p • Fréquence de la valeur x i : f i= • ni N n 1 x 1 +n 2 x 2+ ...+ n p x p Moyenne : ̄x = ou ̄x = f 1 x 1+ f 2 x 2+ ...+ f p x p N Pour la médiane et les quartiles : On suppose que les valeurs de la série d'effectif N sont rangées par ordre croissant (chacune d'elles étant répétée autant de fois que son effectif) : x 1≤ x 2≤...≤ x N . • Médiane : Si N est impair, Me=x N + 1 (c'est le terme de rang N + 1 ) 2 2 xN+ xN +1 N N 2 • Si N est pair, Me= 2 (c'est la moyenne des termes de rang et +1) 2 2 2 Premier quartile : Le premier quartile Q1 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le N plus petit entier supérieur ou égal à . 4 Troisième quartile : Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le 3N plus petit entier supérieur ou égal à . 4 Écart interquartile : E i=Q 3−Q1 . • • • • PROBABILITÉS • P( Ω)=1 et P( ∅)=0 • Pour tout évènement A , 0⩽P ( A)⩽1 • Dans une situation d'équiprobabilité, P( A)= • P( A)=1−P ( A) • P( A∪ B)= P ( A)+ P (B)−P ( A∩ B) • A∪B= A∩ B et A∩B= A∪ B nombre d'issues de A nombre total d'issues de Ω P ( A∩B) P ( A) • Si P( A)≠0 , P A ( B)= • Si P( A)≠0 , P( A∩ B)= P ( A)×P A (B) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 3/6 SUITES NUMÉRIQUES Suites arithmétiques Suites géométriques un+ 1 en fonction de un un+ 1=u n+ r un+ 1=u n×q Terme général à partir de u0 un =u 0+ n r un =u 0×qn Terme général à partir de u1 un =u1 +( n−1) r un =u1×q Terme général à partir de u p un =u p+( n− p)r un =u p×qn− p n−1 Utilisation de la calculatrice pour les sommes : calcul de u1 +u2 + …+u100 avec un =2 n+ 3 . Texas Instruments Casio « catalog » (« 2nde », puis « 0 »), appuyer sur « ln » : somme(suite(2X+3,X,1,100)) «CALC » (« OPTN », « CALC » (F4), « ► » (F6)), « Σ( » (F3) : Σ(2X+3,X,1,100) « CATALOG » (« SHIFT », puis « 4 », appuyer sur « x » (multiplier)) : 100 ∑ ( 2 X+ 3) X =1 DÉRIVÉES • Dérivées usuelles Df f x = Df ' f ' x= ℝ k (constante) ℝ 0 ℝ x ℝ 1 ℝ x ℝ 2x ]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1 x ]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ ℝ x n (avec n∈ℕ * ) ℝ • 2 − 1 x2 n x n−1 Opérations sur les dérivées f ( x)= f '(x)= k u( x ) (avec k constante) k u '( x ) u(x )+ v ( x ) u ' (x )+v '(x ) u ( x) v ( x) u ' (x) v ( x )−v ' (x) u( x ) [ v ( x)]2 FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 4/6 LOI BINOMIALE X suit la loi binomiale de paramètres n (un entier naturel non nul) et p∈[ 0 ;1 ] . • E(X )=n p • V ( X )=n p(1− p) • σ ( X )= √ n p (1− p) Utilisation de la calculatrice : exemple avec n=20 et p=0,6 . Texas Instruments Casio Calcul de P( X =7) « distrib » (« 2nde », puis « var »), « binomFdp » : binomFdp(20,0.6,7) « DIST » (« OPTN », « STAT », « DIST »), « BINM » : binomialPD(7,20,0.6) Calcul de P( X ⩽7) « distrib » (« 2nde », puis « var »), « binomFrép » : binomFrép(20,0.6,7) « DIST » (« OPTN », « STAT », « DIST »), « BINM » : binomialCD(7,20,0.6) LOI NORMALE X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ . • L'aire sous la courbe d'une loi normale a pour aire 1. • P( X ⩾μ )=0,5 et P( X ⩽μ )=0,5 • P( X ⩾a)=1−P ( X<a ) et P( a⩽ X⩽b)= P( X ⩽b)−P ( X< a) • P( μ−2 σ⩽ X⩽μ−2 σ)≈ 0,95 Utilisation de la calculatrice : exemple avec μ =21 et σ=7 . Texas Instruments Casio Calcul de P(10⩽X⩽30) « distrib » (« 2nde », puis « var »), « normalFrép » : normalFrép(10,30,21,7) « DIST » (« OPTN », « STAT », « DIST ») : normCD(10,30,7,21) Calcul de P(X ⩽40) « distrib » (« 2nde », puis « var »), « normalFrép » : normalFrép(-10^99,40,21,7) « DIST » (« OPTN », « STAT », « DIST ») : normCD(-10^99,40,7,21) Calcul de P( X ⩾25) « distrib » (« 2nde », puis « var »), « normalFrép » : normalFrép(25,10^99,21,7) « DIST » (« OPTN », « STAT », « DIST ») : normCD(25,10^99,7,21) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 5/6 ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION Échantillonnage On connait p , fréquence théorique d'un caractère sur une population. On a un échantillon de taille n . [ ] 1 1 ; p+ est appelé √n √n intervalle de fluctuation au seuil 95 % de la fréquence de ce caractère aléatoire de taille n issu de la population. L'intervalle p− Estimation On connait f , fréquence observée d'un caractère sur un échantillon de taille n d'une population. [ ] 1 1 ;f + est appelé √n √n intervalle de confiance au seuil 95 % de la proportion p de ce caractère aléatoire de la population. L'intervalle f − Conditions de validité : n⩾30 , n p⩾5 et n(1−p)⩾5 . FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 6/6