Modèles en log - Paris School of Economics

Marianne TENAND - ENS
TD d’économétrie – Introduction à STATA®
Point sur les spécifications en LOG
Dans certains cas, il peut être plus approprié de prendre sa variable dépendante et/ou certaines de ses
variables explicatives en logarithme plutôt qu’en niveau.
La spécification en log se justifie en particulier si vous cherchez à estimer une élasticité, mais également
si la distribution de votre variable dépendante (conditionnellement à vos régresseurs) est très
asymétrique ou hétéroscédastique. Bien-sûr, les spécifications en log ne sont pas toujours optimales ;
elles sont même parfois impossibles (pour les variables prenant des valeurs négatives ou nulles).
Une fois que vous avez décidé de la forme de votre modèle, il faut pouvoir interpréter les coefficients
d’intérêts et l’effet marginal de chaque variable explicative.
Plaçons-nous dans un cas simple, avec une seule variable explicative, x. Quatre spécifications sont
envisageables :
(1) La spécification Niveau-Niveau
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 + 𝑢
C’est celle que vous connaissez le mieux. Dans ce cas, le modèle nous dit qu’une augmentation
d’une unité de 𝑥 augmente 𝑦 de 𝛽1 unités.
(2) La spécification Niveau-Log
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 log(𝑥) + 𝑢
Ce modèle nous dit qu’une augmentation de 1 % de 𝑥 augmente 𝑦 de (𝛽1 /100) unités.
(3) La spécification Log-Niveau
log(𝑦) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 + 𝑢
Ce modèle nous dit qu’une augmentation d’une unité de 𝑥 augmente 𝑦 de (𝛽1 ∗ 100) %.
On dit que 𝛽1 mesure la semi-élasticité de 𝑦 par rapport à 𝑥.
(4) La spécification Log-Log
log(𝑦) = 𝛽0 + 𝛽1 log(𝑥) + 𝑢
Ce modèle nous dit qu’une augmentation de % de 𝑥 augmente 𝑦 de 𝛽1 %.
C’est cette dernière spécification qui vous permet d’interpréter 𝛽1 comme un paramètre
d’élasticité.
Type de modèle
Variable dépendante
Variable explicative
Interprétation du
coefficient 𝜷𝟏
∆𝑦 = 𝛽1 ∆𝑥
Niveau-Niveau
y
X
Niveau-Log
y
Log(x)
Log-Niveau
Log(y)
x
𝛽1
) % ∆𝑥
100
% ∆𝑦 = (100𝛽1 )∆𝑥
Log-Log
Log(y)
Log(x)
% ∆𝑦 = 𝛽1 % ∆𝑥
∆𝑦 = (
Source : J. Wooldridge (2009), Introductory Econometrics. A Modern Approach, South Western, 4ème édition
Remarque : attention à ne pas confondre pourcentages et points de pourcentages !
Vous pouvez très bien avoir un modèle avec une variable explicative et/ou une variable dépendante
exprimée(s) en points de pourcentage. Dans ce cas, l’unité de la variable est le point de pourcentage,
et une variation en pourcent s’exprime non pas en points de pourcentage, mais en pourcentage de
point de pourcentage…
Pour en savoir plus sur les spécifications en log
Je vous renvoie au manuel d’introduction à l’économétrie de J. Wooldridge (2009) : Introductory
Econometrics. A Modern Approach, South Western, 4ème édition, notamment la section 2.4 (« Units of
measurement and functional form ») et la section 6.2 (« More on functional form”).
De manière générale, je vous conseille la lecture de ce manuel, en particulier des premiers chapitres
qui permettent de clarifier les concepts et hypothèses de base de l’analyse économétrique.