ELS quasi-permanents
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ELS quasi-permanents
Béton armé et précontraint I VERIFICATIONS E.L.S. Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 1 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 2 3. ETATS LIMITES DE SERVICE : Définition -E.L.S. ou état limite de service pour lequel on vérifie le « bon fonctionnement » de la structure sous les charges réellement appliquées. Les vérifications, qui dépendent de trois état dits caractéristique, fréquent et quasi-permanent, concernent les états de contrainte, les ouvertures de fissure et le calcul des déplacements (ou flèches). Les matériaux suivent une loi de comportement élastique. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 3 Etat limite de service Les États Limites de Service (E.L.S.) correspondent à des conditions au-delà desquelles les exigences d'aptitude au service spécifiées pour une structure ou un élément structural ne sont plus satisfaites. Ces exigences concernent le fonctionnement de la structure ou des éléments structuraux en utilisation normale, le confort des personnes, l'aspect de la construction. Les critères d’utilisation courants sont la durabilité de la structure et le contrôle des déformations. Leur dépassement peut entraîner des dommages à la structure mais pas sa ruine. Les États Limites de Service courants, tels que définis par la norme NF EN 19921-1, concernent : la limitation des contraintes, la maîtrise de la fissuration, la limitation des flèches. D’autres états-limites peuvent avoir de l’importance pour des structures particulières tels que vibration ou accélérations mais ne sont pas couverts par cette norme. Combinaisons d ’actions Trois types de combinaisons d’actions sont à considérer : les combinaisons caractéristiques, les combinaisons fréquentes et les combinaisons quasipermanentes. Loi de comportement des matériaux Les vérifications consistent à s’assurer que la valeur de calcul de l’effet des actions est inférieure à la valeur limite de calcul du critère d’aptitude au service considéré. Les matériaux suivent un loi de comportement élastique. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 4 7. COMBINAISONS D’ACTION : Combinaison E.L.S. COMBINAISONS E.L.S. combinaison caractéristique Σ Gsup + Σ Ginf + QK1 + Σ Ψ0i QKi combinaison fréquente Σ Gsup + Σ Ginf + Ψ11 QK1 + Σ Ψ2i QKi combinaison quasi-permanente Σ Gsup + Σ Ginf + Σ Ψ2i QKi Exemples : G + Q en ELS caractéristique G + 0.3Q en ELS quasi-permanent ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 5 Combinaisons d’actions E.L.S. Dans les combinaisons d’actions pour les états limites de service les coefficients partiels sont égaux à l’unité. Les coefficients de combinaison Ψ distinguent les trois types de combinaisons. La combinaison caractéristique est à considérer normalement pour les états limites à court terme, liés à une seule atteinte d’une certaine valeur. L’action variable dominante, dite de base, est prise avec sa valeur caractéristique, les autres actions variables concomitantes sont prises en compte avec leur valeur de combinaison Ψ0QKi. La combinaison fréquente est à considérer pour des états limites à moyen terme, liés à l’atteinte d’une certaine valeur pendant une petite partie de la durée de la durée d’utilisation du projet. L’action variable de base est prise avec sa valeur fréquente ψ1Q k, les autres actions variables concomitantes sont prises en compte avec leur valeur quasi-permanente Ψ2QKi. La combinaison quasi-permanente est à considérer pour des états limites à long terme, liés à l’atteinte d’une certaine valeur pendant une longue durée. Toutes les actions variables sont prises avec leur valeur quasi-permanente Ψ2QKi. L’Eurocode 2 donne un rôle important à la combinaison quasi-permanente pour laquelle il conviendra en particulier de vérifier les ouvertures de fissure. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 6 7. COMBINAISONS D’ACTION : Coefficients de combinaison Coefficients ψ EN 1990 Section 6 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 7 Coefficients de combinaison Les coefficients de combinaison pour les bâtiments sont précisés dans l’annexe A1 de la norme NF EN 1990. A titre d’application, dans le cas particulier d’une structure de bureaux en dalle pleine béton armé de 26 cm d’épaisseur, de poids propre g= 6,5KN/m², supportant une densité de charges d’équipement g’=1,7KN/m² et une densité de charge d’exploitation q=2,5KN/m² les densité de charge à considérer pour les états limites de service sont les suivantes: - ELS caractéristique : pELS cara= g+g’+q = 10,7KN/m² - ELS fréquent : pELS freq= g+g’+ 0,5 q = 9,45KN/m² - ELS quasi-permanent : pELS qp= g+g’+ 0,3 q = 8,95KN/m² ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 8 9.2 FLEXION SIMPLE E.L.S. • HYPOTHESES DE CALCUL : - les sections planes restent planes - adhérence parfaite des armatures et du béton adjacent - résistance à la traction du béton négligée - diagrammes contrainte-déformation des matériaux élastiques, utilisation du coefficient d’équivalence ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 9 Hypothèses du calcul pour les état-limites de service Les hypothèses du calcul des sections droites de béton armé soumises à une flexion simple ou à une flexion composée sont les suivantes: les sections planes restent planes, on en déduit que le diagramme de déformation est plan sur la hauteur de la section, celui-ci est caractérisé par la déformation en fibre supérieure et par la déformation en fibre inférieure, les armatures adhérentes (armatures de béton armé), qu’elles soient tendues ou comprimées, subissent les mêmes déformations que le béton adjacent, on en déduit qu’au niveau d’une fibre donnée εc = εs et que le diagramme de déformation commun peut être caractérisé par le raccourcissement du béton εc en fibre comprimée et l’allongement de l’acier εst en fibre tendue, la résistance à la traction du béton est négligée : le béton situé sous l’axe neutre en zone tendue n’est pas pris en compte dans le calcul, les contraintes dans le béton comprimé et dans les armatures tendues ou comprimées se déduisent des déformations élémentaires en considérant que les matériaux sont dans le domaine élastique, c’est-à-dire en appliquant la loi de Hooke σ = ε E. Ces quatre hypothèses déterminent le principe du calcul de section aux E.L.S. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 10 4. MATERIAUX : Coefficient d’équivalence en E.L.S. • Coefficient d’équivalence n = Es/Ec – COEFFICIENT DE FLUAGE AU TEMPS INFINI φ∞ - CONTRIBUTION DES CHARGES PERMANENTES (MG+ψ2Q)ELS/(MG+Q)ELS - COEFFICIENT DE FLUAGE EFFICACE ∅EFF=∅ ∅∞x (MG +ψ2Q)ELS/(MG+Q)ELS - COEFFICIENT D’EQUIVALENCE n= Es / (Ec / (1+ ∅ EFF) ) souvent pris égal à 15 pour simplifier Section 7 EC2 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 11 Coefficient d’équivalence n En E.L.S. les deux matériaux, béton et acier, restent dans le domaine élastique. En rapprochant deux des hypothèses du calcul E.L.S. : les contraintes sont proportionnelles aux déformations et l’adhérence est parfaite entre l’acier et le béton adjacent, on fait apparaître la notion de coefficient d’équivalence n égal au rapport entre le module de l’acier et celui du béton: σ ε = et ε c = ε s E σs σc E = ⇒ σ s = σ c s ⇒ σ s = nσ c E s Ec Ec E n= s Ec Le module de déformation longitudinal de l’acier passif est constant et égal à Es = 200 000 MPa, celui du béton varie dans le temps du fait fluage du béton: une éprouvette de béton soumise à une contrainte de compression constante σ subit un raccourcissement élémentaire instantané égal à εi = σ /Ecm, au temps infini ce raccourcissement sera plus élevé et aura pour valeur εv = σ /(Ecm/(1+φef,ELS)). Le coefficient de fluage φef,ELS est lié à la combinaison de charge considérée avec φef,ELS = φ∞ MEqp/ MEcar. MEqp représentant le moment à l’ELS sous la combinaison quasi-permanente et MEcar représentant celui sous la combinaison caractéristique. Dans les cas courants on peut adopter n=15 pour les bétons courants et n=9 pour les bétons à hautes performances. A noter que la norme NF EN 1992-1-1 en reste à la définition de base de n. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 12 11.5 POUTRE CONTINUE – Critères de vérification ELS • Critères de vérification – CONTRAINTE DE COMPRESSION DU BETON (§7.2) E.L.S. caractéristiques : E.L.S. quasi-permanents : - CONTRAINTE DE TRACTION DES ACIERS (§7.2) E.L.S. caractéristiques - : σst < k3 fyk = 0,80 fyk OUVERTURE DES FISSURES (§7.3) E.L.S. quasi-permanents : - σc < k1 fck = 0,60 fck σc < k1 fck = 0,45 fck wcmax = 0,30 mm ou vérif. Forfaitaire LIMITATION DE FLECHE ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 13 Critères de vérification en ELS Les critères de vérification en ELS concernent : la limitation des contraintes de compression du béton, La limitation des contraintes de compression a pour objectifs de limiter la fissuration longitudinale et les effets du fluage afin d’assurer un fonctionnement correct de la structure ou/et de l’élément considéré. La contrainte de compression du béton doit rester inférieure à 0,6fck en ELS caractéristiques et à 0,45fck en ELS quasi permanent. la limitation des contraintes de traction dans les aciers passifs La limitation de la contrainte de traction a pour objectifs d’éviter les déformation plastiques des armatures et les fissurations ou déformations inacceptables. La contrainte de traction doit rester inférieure à 0,8fyk en ELS caractéristiques. la limitation des ouvertures de fissures La limitation des ouvertures de fissures vise à assurer un bon fonctionnement de la structure, sa durabilité et à garantir son aspect. Le calcul de l’ouverture des fissures est fait en ELS quasi permanent. La valeur limite dépend de la classe d’exposition, pour les classes XC la limite est égale à wmax = 0,3mm. la limitation de la flèche Cette limitation a pour objet de garantir le bon fonctionnement de la structure ainsi que son aspect. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 14 9.2 FLEXION SIMPLE ELS : Vérification des contraintes • Section homogénéisée en béton : (adhérence parfaite acier-béton) section A acier section n A béton équivalent • Position de l’axe neutre : c’ Ac x (moment statique nul) σb σsc/n d At b σst/n bx²/2 + nAc (x-c’) - nAt (d-x) = 0 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 15 Vérification des contraintes en ELS En E.L.S. les deux matériaux acier et béton restent en phase élastique et sont supposés parfaitement adhérents, par ailleurs la contribution du béton tendu n’est pas prise en compte. Le principe de détermination des contraintes en E.L.S. consiste à homogénéiser la section par rapport au béton: la section d’acier est remplacée par une section de béton équivalente c’est-à-dire capable d’équilibrer le même effort: une section A d’acier travaillant à un niveau de contrainte σs est équivalente à une section de béton nA travaillant à un niveau de contrainte σc . Fst=A σs=A nσc= nA σc La section ainsi homogénéisée par rapport au béton fait l’objet d’un calcul de contrainte de type RdM, ce qui est justifié par l’hypothèse d’un comportement élastique en ELS. En exprimant que le moment statique de la section par rapport à l’axe neutre est nul on détermine la position de l’axe neutre dont on déduit une inertie homogénéisée Ih. Une fois obtenue les caractéristiques de la section homogénéisée par rapport au béton le calcul des contraintes se fait de manière classique à partir des expressions RdM. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 16 9.2 FLEXION SIMPLE ELS : Vérification des contraintes c’ • Inertie homogénéisée : Ac Ih = bx3/3 + nAc (x-c’)² + nAt (d-x)² d • Contraintes : At b fibre sup béton : σb(y) = M y / Ih x σb = M x / Ih aciers comprimés : σsc aciers tendus : = n M (x-c’) / Ih σst = - n M (d-x) / Ih ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 17 Calcul des contraintes dans le béton et les aciersen ELS En supposant que la section soit soumise à un moment de flexion simple MELS positif qui tend la fibre inférieure de la poutre et comprime sa fibre supérieure et que le calcul des caractéristiques de la section homogénéisée ait donné la position de l’axe neutre x, distance entre la fibre supérieure et cet axe ainsi que l’inertie de la section homogénéisée Ih , le calcul de la contrainte que subit le béton situé sur une fibre d’ordonnée y comptée à partir de l’axe neutre s’écrit : σc = MELS y / Ih . La contrainte que subit un acier situé au droit de la même fibre a pour valeur σs = n σc. L’expression de la contrainte maximale dans le béton, sur la fibre d’ordonnée y=x et celles des contraintes dans les nappes d’acier hautes (y= x-c’) et basses (y=(d-x)) se déduisent alors directement et sont données dans la planches cidessus. Il faut noter que la contrainte de traction σst ainsi trouvée dans les aciers tendus est celle supportée par ces aciers au droit de la fissure. En effet une hypothèse de base du calcul est que le béton tendu est négligé (section entièrement fissurée). ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 18 2. PRINCIPES GENERAUX : Fissures La résistance à la traction du béton est très faible comparée à sa résistance à la compression (≈1/10éme) et est du type fragile. Le béton est susceptible de fissurer dès qu’il est tendu. La direction de la fissure est celle du plan sur lequel s’exerce la contrainte principale de traction. FISSURES D’EFFORT TRANCHANT FISSURES DE FLEXION ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 19 Méthodes de calcul des ouvertures de fissure L’objectif est de calculer l’ouverture des fissures de flexion. La norme NF EN 1992-1-1 propose deux approches pour le calcul de l’ouverture de ces fissures : une approche dite sans calcul direct qui apparaît simple en première analyse et une approche avec un calcul direct. La méthode forfaitaire est basée sur l’utilisation de tableaux qui sont établis avec des hypothèses très restrictives qui rendent l’utilisation pratique longue et incertaine. La méthode basée sur un calcul direct est la plus simple d’application. Le calcul d’ouverture de fissures est fait à l’ELS quasi permanent ce qui contribue fortement à rendre ce calcul non déterminant dans les cas courants. Le principe consiste alors à calculer les sections d’acier à l’ELU et à vérifier ensuite les ouvertures de fissure en ELS. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 20 9.2 FLEXION SIMPLE E.L.S. : OUVERTURE DE FISSURE • Valeur limite de l’ouverture des fissures wmax (mm) calcul en ELS quasi-permanent Section 7 : Tab. 7.1N ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 21 Limite d’ouverture des fissures Le tableau 7.1N fixe la valeur limite d’ouverture des fissures en fonction de la classe d’exposition. A noter que l’annexe nationale NF EN 1992-1-1/NA précise les valeurs limites: ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 22 9.2 ELS – CALCUL DE L’OUVERTURE DES FISSURES • Allongement relatif de l’acier Impossible d’afficher l’image. σ s − kt ε sm − ε cm = σs αe ρ p ,eff Ac ,eff kt § 7.3.4 EC2 f ct , eff ρ p , eff (1 + α e ρ p , eff ) ≥ 0 .6 Es σs Es Contrainte dans les armatures Rapport Es/Ecm As = Ac ,eff Aire de la section effective de béton autour des armatures tendues = 0.6 chargement de courte durée = 0.4 chargement de longue durée ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 23 Calcul direct de l’ouverture d’une fissure En zone tendue et entre deux fissures successives l’allongement de l’acier passif et celui du béton adjacent sont égaux. Le béton est un matériau fragile qui casse dès que la contrainte de traction à laquelle il est soumis dépasse sa résistance à la traction fct,eff. L’ouverture de la fissure est égale à l’allongement relatif de l’acier par rapport à celui du béton tendu en dessous de sa résistance à la traction fct,eff. Le principe du calcul de l’ouverture de fissure wk de la norme NF EN 1992-1-1 consiste à déterminer la déformation relative moyenne de l’acier, εsm, par rapport à celle du béton, εcm, entre deux fissures successives et à la multiplier par la distance entre deux fissures sr,max. Ce calcul fait appel aux valeurs suivantes: σs contrainte de traction dans l’acier passif au droit de la fissure, calculée en homogénéisant la section par rapport au béton, αE rapport entre le module de l’acier Es = 200 000 MPa et celui du béton à court terme Ecm donné par la Table 3.1, As aire d’acier tendu, Ac,eff aire de la section effective de béton tendu entourant les armatures. La déformation relative ainsi obtenue ne peut être inférieure à 60% de la déformation relative de l’acier au droit de la fissure. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 24 9.2 ELS – CALCUL DE L’OUVERTURE DES FISSURES • Allongement relatif de l’acier Impossible d’afficher l’image. hauteur de la section effective de béton hc,eff=min( 2.5(h-d) ; (h-x)/3 , h/2) § 7.3.4 (2) EC2 σs sr,max ft ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 25 Allongement relatif de l’acier entre deux fissures Au droit d’une fissure l’effort de traction est entièrement équilibré par les aciers passifs qui sont soumis à une contrainte σs. En s’écartant de cette fissure une partie de cet effort de traction va progressivement être transférée vers le béton adjacent du fait de l’adhérence acier béton. La contrainte de traction dans le béton adjacent va progressivement croître alors même que celle des aciers passifs va diminuer. La contrainte de traction du béton σc est plafonnée à la valeur de la résistance à la traction fct,eff de celui-ci, en effet une nouvelle fissure est susceptible de se former quand σc atteint fct,eff . Du fait de l’adhérence acier béton la déformation relative moyenne de l’acier εsm sera inférieure à sa valeur εs au droit de la fissure et le béton subira une déformation relative moyenne εcm . La hauteur conventionnelle de béton tendu entourant les armatures est notée hc,eff . ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 26 9.2 ELS – CALCUL DE L’OUVERTURE DES FISSURES • Déformation moyenne de l’armature : εsm Impossible d’afficher l’image. ε sm = σs Es − k t f ct ,eff σ s k t Ac ,eff f ct ,eff = − E s ρ p ,eff Es E s As ou k t Ac ,eff f ct ,eff représente l' effort moyen qui est transmis par adhérence au béton entre deux fissures • Déformation moyenne du béton : εcm kt ε cm = f ct ,eff ρ p ,eff α e ρ p ,eff Es kt f ct ,eff = Ecm ou kt f ct ,eff représente la contrainte moyenne du béton entre deux fissures § 7.3.4 EC2 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 27 Déformations relatives moyennes de l’acier et du béton Les expressions des déformations relatives moyennes εsm de l’acier et εcm du béton entre deux fissures successives peuvent s’établir en considérant que l’effort ∆Nst transféré par adhérence de l’acier vers le béton est plafonné à une valeur égale à Ac,eff fct,eff. Au delà de cette valeur une nouvelle fissure serait susceptible de se former. L’effort moyen ∆Nst retenu par la norme NF EN 1992-1-1 a pour valeur kt Ac,eff fct,eff ou kt vaut 0,6 pour les chargement de courte durée et 0.4 pour les chargement de longue durée. L’expression de εsm se déduit directement de ∆Nst : à cet effort correspond une variation ∆εs = ∆Nst /(As Es) d’où la valeur de εsm = εs- ∆εs. De la même manière la déformation relative du béton tendu entre deux fissures a pour valeur ∆εc = εsm = ∆Nst / (Ac,eff Ecm) = kt fct,eff / Ecm. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 28 9.2 ELS – CALCUL DE L’OUVERTURE DES FISSURES • Espacement final maximal des fissures sr ,max = 3.4c + 0.425k1k 2 Φ / ρ p ,eff Φ diamètre des barres c enrobage des armatures (premier lit) k1 coefficient d’adhérence : 0.8 barres HA 1.6 ronds lisses k2 coefficient de déformation : 0.5 en flexion 1.0 en traction pure • Ouverture des fissures wk wk = sr ,max (ε sm − ε cm ) § 7.3.4 EC2 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 29 Espacement maximal des fissures L’expression de la distance conventionnelle entre deux fissures sr,max est constituée de deux termes: un terme constant qui est lié à la dégradation du béton au droit de la fissure et un second terme lié à l’adhérence acier béton. Dans le premier terme c représente l’enrobage du premier lit d’armatures longitudinales. Dans le second terme φ représente le diamètre des barres longitudinales. Dans le cas ou ce diamètre est variable par lit d’acier (cas courant) φ est le diamètre moyen calculé selon l’expression φ = (Σ ni φi²)/ (Σ ni φi). L’ouverture de fissure wk est obtenue en effectuant le produit wk = (εsm - εcm ) sr,max. Cette ouverture de fissure est conventionnelle et n’a pas pour objet d’être comparée à une valeur effectivement mesurée en réalité. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 30 11.9 POUTRE CONTINUE – Vérification de la flèche • Critères de vérification - LIMITATION DU RAPPORT PORTEE/HAUTEUR Tableau 7.4N l/d = 8.10 / 0.60 = 13.5 et r voisin de 0.8% - LIMITATION DE LA VALEUR CALCULEE E.L.S. quasi-permanents : f<l/250 § 7.4 EC2 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 31 Vérification des flèches La norme NF EN 1992-1-1 fixe des limitations à la déformation d’un élément de structure de manière à ce que cette déformation ne soit pas préjudiciable au bon fonctionnement de cet élément ou à son aspect. Dans le cas d’une poutre franchissant une portée l, la flèche calculée de cette poutre sous charges quasi-permanentes est limitée à l/250 selon la norme NF EN 1992-1-1 qui renvoie à l’ISO 4356. La flèche de la poutre est le déplacement vertical maximal à mi-travée compté positivement vers le bas. Un autre critère de vérification de l’état-limite de déformation est la limitation du rapport portée / hauteur. Le tableau 7.4N figurant ci-dessus donne les valeurs de bas du rapport portée/hauteur pour une poutre ou une dalle sur appuis simples portant dans une seule direction. On dit que l’élancement (rapport hauteur/portée) est limité par exemple à /20ème dans le cas d’éléments faiblement sollicités. Il faut noter que les Recommandations professionnelles pour l'application de la norme NF EN 1992-1-1 peuvent être plus restrictives pour retrouver les anciens critères de flèche nuisible. ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 32 11.9 POUTRE CONTINUE – Vérification de la flèche • Flèche de calcul α = ξα II + (1 − ξ )α I α I = flèche dans l' état non fissuré α II = flèche dans l' état fissuré ξ = 1 − β (Mcr / M ) b = 0.5 ⋅ chargementprolongé Mcr : moment de fissuration § 7.4 EC2 ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 33 Calcul de la flèche La norme NF EN 1992-1-1 demande de calculer la flèche d’un élément de structure en interpolant entre deux valeurs: la flèche calculée dans l’état non fissuré notée αI et la flèche calculée dans l’état entièrement fissuré notée αII. La flèche dans l’état non fissuré est déterminée à partir de l’inertie brute de l’élément, la flèche dans l’état entièrement fissuré est calculée à partir de l’inertie homogénéisée par rapport au béton telle que décrite dans la planches ci-dessus. Le coefficient de distribution ζ est fonction de la contrainte dans les armatures tendues σs sous l’effet du chargement considéré et de la contrainte σsr dans ces mêmes armatures en supposant la section soumise à un chargement qui provoque la première fissure. On détermine le moment Mcr correspondant à ce chargement en exprimant que la contrainte du béton en fibre inférieure est égale à fct,eff. Par exemple dans le cas d’une section rectangulaire soumise à une flexion simple Mcr = bh²/6 fct,eff . ENPC – Module BAEP1 – Séance 3 34