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TP balayage
On considère la fonction f définie sur ℝ par fx = x 3 − 3x − 3
Montrer que l’équation fx = 0 admet une unique solution α sur ℝ.
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur ℝ
∀x ∈ ℝ
f ′ x = 3x 2 − 3
On en déduit le tableau suivant :
−∞
x
signe de 3x 2 − 3
−1
+
+∞
1
−
0
+
0
+∞ signe de a = 3 à l’extérieur des racines
−1
↗
variations de f
↘
−∞
−5
lim x 3 − 3x − 3 = lim x 3 = −∞
x→−∞
↗
(limite à l’infini de fonction polynôme)
x→−∞
lim x 3 − 3x − 3 = lim x 3 = +∞
x→+∞
x→+∞
La fonction f est continue.
On observe que fx = 0 n’est possible que sur un seul intervalle : sur 1; +∞
Algorithme : Encadrement de α par balayage
On considère l’algorithme ci-dessous.
Variables
a, x, h nombres réels ; f fonction
Entrée
Saisir h
Initialisation a prend la valeur 1
x prend la valeur a
Traitement
Tant que fa × fx > 0 faire
x prend la valeur x + h
Fin tant que
Sortie
Afficher x − h ≤ α ≤ x
a) Justifier la pertinence du choix a = 2.
Comme f2 = −1 on s’arrêtera dès que le résultat deviendra positif donc quand on aura
juste dépassé 0.
b) On choisit h = 0, 1
Compléter le tableau d’étapes ci-dessous :
fa (arrondie à 10 −2 près) fx (arrondie à 10 −2 près) Test fa
Etape
a
x
Initialisation
2
2
−1
−1
o
Etape 1
2
2. 1
−1
−0. 039
o
Etape 2
2
2. 2
−1
1. 048
n
..............
f2 = − 1
f2. 1 = − 0. 039
f2. 2 = 1. 048
1
Quel est le résultat affiché ?
2. 1 ≤ α ≤ 2. 2
c) Que teste la ligne "Tant que fa × fx > 0" de l’algorithme ?
Elle permet de savoir quand fx est devenu positif.
d) Que permet d’obtenir cet algorithme ?
Cet algorithme permet de trouver un encadrement à la valeur α telle que fα = 0
e) Ecrire le programme balayage sous algobox puis l’exécuter pour h = 0, 01. Quel
est le résultat affiché ?
2. 1 ≤ α ≤ 2. 11
f) Modifier le programme précédent pour compter le nombre de fois n que la boucle
"tant que" est exécutée. Quelle est la valeur affichée pour n lorsqu’on choisit h = 0, 01 ?
2