LE KHI-DEUX : 2

Le Khi-deux : ✪
2
293
LE KHI-DEUX : ✪2
13
« Le sage est celui qui
s’étonne de tout. »
André GIDE
MARCHE D’APPROCHE
1. LA LOI DU KHI-DEUX
Nous rappelons les résultats vus au chapitre 8, en y ajoutant la lecture de tables.
1. 1. Théorème fondamental
Si X1, X2,..., Xn sont des variables aléatoires normales indépendantes, la variable
2
aléatoire S = X 12 + X 22 + ...+ X n2 suit une loi du ✪ à n degrés de liberté.
1. 2. Valeurs caractéristiques
2
Si la variable S suit une loi du ✪ à n degrés de liberté, alors E(S) = n et V(S) = 2 n.
1. 3. Lecture de tables
2
Il existe des tables concernant la loi du ✪ . Ces tables font intervenir deux paramètres :
♦ le nombre de degrés de liberté (noté le plus souvent ν).
♦ le seuil de risque α .
α
ν
4
5
6
7
8
9
19
20
0,100
0,050
0,025
0,010
0,005
...
7,77944
9,23636
10,64464
12,01704
13,36157
14,68366
...
27,20357
28,41198
...
9,48773
11,07050
12,59159
14,06714
15,50731
16,91898
...
30,14353
31,41043
...
11,14329
12,83250
14,44938
16,01276
17,53455
19,02277
...
32,85233
34,16961
...
13,27670
15,08627
16,81189
18,47531
20,09024
21,66599
...
36,19087
37,56623
...
14,86026
16,74960
18,54758
20,27774
21,95495
23,58935
...
38,58226
39,99685
Elles donnent, en
ν
χ 2lu
2
(Extrait de la table du ✪ , une table complète en fin d'ouvrage)
fonction de ν et de α, la valeur, notée, ✪ 2lu telle que p(S
,
α = 0,05
5
8
11,070
15,507
20
31,410
≥ ✪ 2lu ) = α .
ν=8
α
0,01
0,05
0,10
χ 2lu
20,090
15,507
13,362
χ 2lu est une fonction croissante de ν et une fonction décroissante de α .
Le Khi-deux : ✪
2
295
etc....
1. 4. Etude d’un exemple
En lançant successivement 60 fois un dé, un joueur obtient les résultats suivants :
« face »
Effectifs
1
15
2
7
3
7
4
11
5
6
6
14
Doit-on considérer, au seuil de risque 5%, que le dé est truqué ?
1
pour chaque face du dé donc à
La loi théorique conduit évidemment à la probabilité
6
un effectif théorique 10 pour chaque face.
Le tableau suivant résume les calculs à effectuer :
xi
Résultats Oi
Probabilités
théoriques
1
2
3
4
5
6
15
7
7
11
6
14
60
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
Σ
Effectifs
théoriques
Ti
10
10
10
10
10
10
60
2
(Oi – Ti)
(Oi – Ti)
5
25
9
9
1
16
16
–3
–3
1
–4
4
0
bOi − Ti g2
Ti
2,5
0,9
0,9
0,1
1,6
1,6
7,6
♦ Nous avons 6 classes et seule la relation ΣOi est utilisée pour définir les effectifs
2
théoriques. Nous sommes donc en présence d’une loi du ✪ à (6 – 1) = 5 degrés de
liberté.
♦ L’hypothèse « nulle » notée (H0) est : « le dé est normal » et l’hypothèse alternative,
notée (H1), est « le dé est truqué ».
2
♦ Le test du ✪ est un test unilatéral droit.
2
Au seuil de risque 5%, la table donne ✪ 2lu =11,07 alors que le ✪ observé est égal à 7,6 .
Au seuil de risque 5%, nous acceptons l'hypothèse (H0) et nous concluons que le dé est
normal.