Corrigé du contrôle n°5

DT5 seconde 8 /9
corrigé année 2015/2016
Exercice 1
Question 1
ABCE est un parallélogramme donc
=
donc
+
=
+
=
Or d’après la relation de Chasles :
Donc
+
+
+
=
+
= (
+
=
+
+
=
et
+
+
)+
+
=
Conclusion
+
+
b)
-
=
+
=
l’affirmation 1 est vraie
+
+
Or ABDC est un parallélogramme donc
+
+
=
+
d’après la relation de Chasles :
donc
+
=
-
+
=
donc
+
=
+
+
+
=
(d’après la relation de Chasles )
Or ABCE et FACE sont des parallélogrammes donc
=
et
=
=
+
donc par transitivité de l’égalité
=
+
=2
= -2
donc
= -2
1
=
=
Conclusion : l’affirmation 2 est fausse
Question 2 : x est un nombre réel ,
x [-3 ; 5 ]
or -3
-3
x
x
5
x
5
Donc -3
x
5
x-5
0
Conclusion l’affirmation 3 est vraie
Question 3
L’affirmation 4 est fausse, il suffit de donner un contre –exemple :
Soit f la fonction telle que f(0) = -1 f(1) = 3 et f(0,5) = -3
0 < 0,5 or f(0 )> f(0,5) or une fonction est croissante sur R si et seulement pour tout réel si les
images sont rangés dans le même ordre que les antécédents
donc f n’est pas croissante sur R.
Conclusion l’affirmation 4 est fausse .
EXERCICE 2
1 On lit sur l’axe des abscisses l’ensemble de définition de f est l’intervalle [-4 ;6
2 Tableau de variation
3a) Les solutions de l’équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe
représentant f et de l’axe des abscisses donc on lit graphiquement
Les solutions de l’équation f(x) = 0 sont : x= -3 ; x= -1 ; x= 3 et x= 5
b) Tableau de signes de f
2
4 La représentation graphique de g est l’ensemble des points de coordonnées (x ; g(x) ) or
g(-2) = 2 (après calculs ) donc le point A de coordonnées (-2 ;2) appartient à la représentation
graphique de g .
de même g(3) = 0 donc le point B de coordonnées (3 ;0 ) appartient à la représentation graphique de
g.
Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la courbe représentant f situés
au-dessus de celle de g donc on lit graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) >
g(x) est ] 3 ;6] .
Exercice 3
a) En développant l’expression (x-3)²-25 on obtient x²-6x-16
Or f(x) = (x-3)²-25
Donc f(x) = x²-6x-16
b) En développant le produit (x-8 ) (x+2) on obtient x²-6x-16
or d’après la question a) , f(x) = x²-6x-16 donc
f(x) =(x-8) (x+2)
2)a) f(x) = (x-3)²-25 donc f (3 +
Donc f (3 +
) = (3 +
-3)² - 25 =
²-25 = -23
) = -23
b) f(x) =(x-8) (x+2) donc
f(x) = 0 (x-8 ) (x+2)= 0
or un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul donc
f(x) = 0 si et seulement si x= 8 ou x= -2
x est un antécédent par f de -16 si et seulement si f(x) = -16
or f(x) = x²-6x-16
donc f(x) = -16 si et seulement si x²-6x-16 = -16
or x²-6x-16 = -16 si et seulement si x²-6x = 0
or x²-6x = x(x-16)
donc f (x) = -16 si et seulement si x(x-16)= 0
or un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul donc
f(x) = -16 si et seulement si x= 0 ou x= 16
c) Les point de la courbe représentant f ont pour coordonnées (x ; f(x) ) donc les abscisses des
points de la courbe qui ont pour ordonnées -25 sont solutions de l’équation f(x) = -25
Or f(x) = (x-3)²-25 donc
3
f(x) = -25 équivaut à (x-3)²-25= -25
or (x-3)²-25= -25 équivaut à (x-3)² = 0
(x-3)² = 0 si et seulement si x= 3
Conclusion
il n’existe qu’un point de la courbe qui a pour ordonnée -25 le point d’abscisse 3
e)
f(x) = (x-8 ) (x+2) donc f(x) 0 si et seulement si (x-8 ) (x+2) 0
on dresse le tableau de signes du produit (x-8 ) (x+2) on obtient le tableau ci-dessous :
D’après le tableau de signes, l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)
f)
f(x) = (x-8 )(x+2) donc
f(x) = x+2 si et seulement si (x-8 )(x+2)= x+2
(x-8 )(x+2)= x-2
(x-8 )( x+2)- ( x+2) = 0
Or (x-8 ) (x+2)- ( x+2)= ( x+2)( x-8 -1 ) = ( x+2)( x- 9 )
Donc f(x) = x+2 si et seulement si ( x +2)( x- 9 )= 0
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul donc
( x +2)( x- 9 )= 0 si et seulement si x= -2 ou x= 9
Conclusion : les solutions de l’équation f(x) = x+2 sont x= -2 ou x= 9
Exercice 4
4
0 est [-2 ;8]
1a) on obtient après calculs AB =
; AC=
BC =
donc AB²+BC²= AC² donc d’après la
réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.
1b)
(C)=D
=
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées
or
a pour coordonnées (-4 ; 2)
a pour coordonnées (x-3 ;y+5)
en pose : D a pour coordonnées (x ;y) donc
a pour coordonnées (x-3 ; y+5)
=
si et seulement si x-3 = -4 et y+5=2 donc x= -1 et y = -3
Conclusion D a pour coordonnées (-1 ;3)
=
donc ABCD est un parallélogramme de plus d’après al question 1a) ABC est
rectangle en B donc le parallélogramme ABCD a un au moins un angle droit donc c’est un
rectangle .
2 a) a) (voir figure)
2)b) Après calculs,
(-4 ;2)
Donc
a pour coordonnées (- 3; -6) et
+2
Or
=
a pour coordonnées
a pour coordonnées (-11 ; -2)
+2
donc
a pour coordonnées (-11 ; -2)
Si on pose K a pour coordonnées ( x ; y )
a pour coordonnées ( x-6 ; y – 1 )
Donc x-6 =-11 et y-1= -2
Donc x= -5 et y= -1
5
Conclusion K a pour coordonnées (-5 ;-1)
2c ) Le milieu de [KC] a pour coordonnées ( (
+
)/2 ; (
(-1 ,-3) donc les coordonnées de D donc
D est le milieu de [KC] .
6
+
)/2 ) on obtient après calculs