1S DEVOIR MAISON no 6 correction Exercice 1

DEVOIR MAISON no 6
1S
correction
Exercice 1
−
1. Cet algorithme donne une équation cartésienne d’une droite passant par un point A et de vecteur directeur →
u.
2. Algorithme modifié :
Variables : xA , yA , xB , yB , xu , yu , a, b, c : réels
début
lire xA , yA
lire xB , yB
xu prend la valeur xB − xA
yu prend la valeur yB − yA
a prend la valeur yu
b prend la valeur −xu
c prend la valeur −a × xA − b × yA
Afficher « l’équation est ax + by + c = 0 avec a = », a, « b =, b, « c =, c
fin
Exercice 2
Soit m un nombre réel. On nomme dm la droite d’équation : (2m − 1)x − my + 3m + 1 = 0.
Figure :
→
−
d1
O
d2
1.
d−1
→
−ı
d0
a. La droite d0 a pour équation : −x + 1 = 0 soit x = 1
b. d1 a pour équation : x − y + 4 = 0 soit y = x + 4. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 4) et (1 ; 5)
d2 a pour équation : 3x − 2y + 7 = 0 soit y = 1, 5x + 3, 5. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 3,5) et (1 ; 5)
d3 a pour équation : −3x + y − 2 = 0 soit y = 3x + 2. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 2) et (1 ; 5)
2. D’après le graphique, les droites semblent toutes passer par le point I(1 ; 5). Montrons le :
(2m − 1)xI − myI + 3m + 1 = 2m − 1 − 5m + 3m + 1 = 0 donc toutes les droites dm passent par un même point I(1 ; 5).
3.
a. Remplaçons par les coordonnées de A :
(2m − 1) × (−1) − 4m + 3m + 1 = 0
−2m − 1 − m + 1 = 0
−3m = 0
m=0
m existe et vaut 0.
−
−
−
b. Un vecteur directeur de dm est →
v (m ; 2m − 1). Cherchons m tel que →
u et →
v soit colinéaires.
xy ′ − x′ y = 0
m × (−1) − 2 × (2m − 1) = 0
−m − 4m + 2 = 0
m = 2/5
m existe et vaut 2/5.
Exercice 3
ABCD est un carré.
M est un point de la diagonale [AC] distinct de A et C.
La parallèle à (AD) passant par M coupe [DC] en E et [AB] en F.
La parallèle à (AB) passant par M coupe [AD] en G et [BC] en H.
1.
a. Voir Géogébra
b. Les droites (DF), (GB) et (AC) semblent être concourantes.
2.
a. Comme M(a ; a) alors F(a ; 0) et G(0 ; a)
b. Pour la droite (DF),
−−→
DF (a ; -1) est un vecteur directeur de cette droite.
−−−→
Soit N(x ; y) un point de cette droite. DN (x ; y − 1).
−−−→ −−→
DN et DF sont colinéaires donc a(y − 1) − (−1)x = 0 soit x + ay − a = 0
Une équation cartésienne de (DF) est : x + ay − a = 0
Pour la droite (GB),
−−→
GB (1 ; −a ) est un vecteur directeur de cette droite.
−−−→
Soit N(x ; y) un point de cette droite. BN (x − 1 ; y).
−−−→ −−→
BN et GB sont colinéaires donc y − (−a)(x − 1) = 0 soit y + ax − a = 0
Une équation cartésienne de (GB) est : ax + y − a = 0
−−→
−−→
c. DF (a ; -1) et GB (1 ; −a ). Vérifions que ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires :
xy ′ − x′ y = a × (−a) − (−1) = 1 − a2 or a , −1 et a , 1 donc 1 − a2 , 0.
Les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites (DF) et (GB) sont sécantes.
Les
( coordonnées de leur point d’intersection vérifie le système :
x + ay − a = 0
ax + y − a = 0
(
x
= −ay + a
a(−ay + a) + y − a = 0
(
x
= −ay + a
−a2 y + a2 + y − a = 0
(
x
= −ay + a
y(−a2 + 1) = −a2 + a


x = −ay + a



a − a2



(a , 1et − 1)
 y =
1 − a2





























x
=
y
=
x
=
y
=
x
=
y





 x




 y





 x




 y
=
=
=
=
=
−ay + a
a(1 − a)
(1 − a)(1 + a)
−ay + a
a
1+a
a
−a
+a
1+a
a
1+a
− a2 + a(1 + a)
1+a
a
1+a
a
1+a
a
1+a
Le point d’intersection a pour coordonnées (
a
a
;
)
1+a 1+a
d. Ce point d’intersection a une ordonnée égale à son abscisse donc il appartient à la droite d’équation : y = x. M
est aussi un point de cette droite, donc les 3 droites (DF), (GB) et (AC) sont bien concourantes.