Correction exercice 8 feuille 9

Correction exercice 8 feuille 9 - Lemme de Schwarz
Soit f holomorphe sur le disque unité ouvert D, telle que |f (z)| ≤ 1
pour tout z ∈ D et f (0) = 0.
1) On pose g(z) = f (z)/z. C’est une fonction méromorphe sur D
avec un unique pole simple possible en z = 0. Cependant comme
f (0) = 0, on voit que g est holomorphe car elle est bornée près de 0.
On veut montrer que |g(z)| ≤ 1 sur D. Soit R < 1, alors on applique
le principe du maximum à g sur D(0, R): on a
(1)
max |g(z)| = max |g(z)| = R−1 max |f (z)| ≤ 1/R.
|z|≤R
|z|=R
|z|=R
S’il existe z0 dans D tel que |g(z0 )| > 1, on choisit R tel que |z0 | < R
et 1/R < |g(z0 )|. On obtient une contradiction avec (1).
2) Supposons que |f 0 (0)| = 1. Alors on a g(0) = limz→0 f (z)/z =
f (0) donc |g(0)| = 1. On dénduit que |g(z)| a un maximum local en
z = 0, et donc par le principe du maximum g(z) est constante, c’est-àdire g(z) = g(0) = f 0 (0). Ceci implique f (z) = f 0 (0)z sur D.
0
3) Si f est bijective holomorphe, on a h : D → D holomorphe telle
que f ◦ h(z) = z sur D, et comme f (0) = 0, on a h(0) = 0. Donc h a les
mêmes propriétés que f : on a donc |f 0 (0)| = |g(0)| ≤ 1 et |h0 (0)| ≤ 1.
Par ailleurs on a f 0 (0)h0 (0) = 1, donc |f 0 (0)| = 1, et on conclut par la
question 2) que f (z) = αz pour α = f 0 (0).
4) Si f n’est pas bijective et non identiquement nulle, on a |f (z)| < |z|
sur D: en effet, si il existe z0 ∈ D tel que |f (z0 )| = |z0 |, alors |g(z0 )| = 1
et par le principe du maximum, on déduit que g est constante. Ceci
donne f (z) = αz pour un α. Donc f est bijective ou nulle, ce qui donne
une contradiction.