Distribution microcanonique

Paris 7
PH 402
–
Physique Statistique
EXERCICES
Feuille 3 : Distribution microcanonique
1
Défauts de Frenkel
Les N atomes qui constituent un cristal parfait sont régulièrement disposés sur les N “sites” du réseau
cristallin. Lorsqu’un atome se place dans un interstice de ce réseau, en laissant un site vacant, on dit
qu’il y a un “défaut de Frenkel” dans le cristal. L’énergie nécessaire pour créer un défaut de Frenkel
est ε > 0, et on appelle N 0 le nombre de positions interstitielles dans le réseau (N et N 0 sont du même
ordre de grandeur).
Considérons un cristal présentant n défauts de Frenkel (avec n ¿ N ). Calculez le nombre d’états
accessibles du système et en déduire
sa température microcanonique T ∗ . Montrez que la relation
√
entre T ∗ et n peut s’écrire n ≈ N N 0 exp(−ε/2kT ∗ ).
2
Oscillateurs harmoniques
Rappelons-nous : les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension sont de la forme
εn = (n + 1/2)h̄ω, avec n entier positif ou nul, et ils ne sont pas dégénérés.
Considérons un système de N oscillateurs harmoniques à une dimension, discernables, faiblement
couplés, de pulsation ω. Le système est isolé et son énergie vaut E. Un état du système est entièrement
déterminé lorsqu’on connaı̂t l’ensemble des valeurs des nombres quantiques ni caractérisant l’état de
df PN
chacun des oscillateurs. On pose Q = i=1 ni .
Calculez le nombre d’états accessibles Ω(E, N ) pour le système étudié.
En vous plaçant dans le cas où N À 1 et Q À 1, calculez l’entropie S ∗ et la température T ∗ en
fonction de E.
Calculez la probabilité Pn pour qu’un oscillateur donné soit dans l’état d’énergie εn (n ¿ Q). En
utilisant la relation entre Q/(N + Q) et exp(−h̄ω/kT ∗ ), exprimez Pn en fonction de T ∗ .
Quelle est l’énergie moyenne ε d’un oscillateur donné ?
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Électrons piégés sur des sites
Un solide contient N sites (discernables, forcément) et N électrons piégés sur ces sites. Chaque site
est susceptible de piéger :
— soit un électron dont le spin est dans l’état ↑, d’énergie ε↑ = ε0 ,
— soit un électron dans l’état ↓, énergie ε↓ = ε0 ,
— soit une paire d’électrons d’états de spins opposés, d’énergie ε↑↓ = 2ε0 + g,
où ε0 est une constante négative et g une constante positive représentant l’interaction entre deux
électrons situés sur le même site. On néglige les interactions entre électrons situés sur des sites différents et on considère que le système est isolé.
Montrez que lorsque l’énergie E du système est fixée, les nombres de site occupés par 0, 1 ou 2
électrons (respectivement n0 , n1 et n2 ) sont déterminés. Entre quelles limites peut-on choisir la valeur
de l’énergie imposée E ?
Calculez le nombre d’états accessibles du système quand son énergie est E. (Contrairement aux sites,
les électrons sont indiscernables.)
Calculez la température microcanonique T ∗ du système (pour n1 et n2 pas trop petits). Représentez
les allures des courbes Ω(E), S ∗ (E), β ∗ (E) et enfin T ∗ (E). Discutez et interprétez les variations de T ∗
avec E.
Calculez n0 , n1 et n2 en fonction de T ∗ . Représentez les allures des courbes n1 (T ∗ ) et n2 (T ∗ ).
Cristal paramagnétique. Températures de spin négatives
On considère un système de N porteurs de spin 1/2 fixés aux nœuds d’un réseau cristallin placé
dans un champ magnétique uniforme et constant B. Supposant les porteurs immobiles et négligeant
les interactions entre moments magnétiques, on ne prend en compte que l’énergie des moments
magnétiques avec le champ. Les valeurs propres d’une composante du moment magnétique d’un
porteur sont notées ±µ. L’ensemble est supposé isolé.
1. Calculez l’entropie S ∗ et la température T ∗ du système en fonction de son énergie E.
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Paris 7, Phy. Stat. 3 : description microcanonique.
2. Étudiez le signe de T ∗ et tracez la courbe représentant T ∗ en fonction de E.
3. Calculez, en fonction de T ∗ , les nombres n+ et n− de moments magnétiques dans les états “parallèle”
et “antiparallèle” au champ. En déduire l’aimantation du système et sa susceptibilité magnétique.
4. Calculez la probabilité p+ qu’un porteur donné ait son moment magnétique parallèle au champ.
Exprimer p+ en fonction de µ, B, T ∗ . Quelle est l’énergie moyenne d’un porteur ?
5. Calculez la chaleur spécifique C = dE/dT ∗ du système et donner l’allure de la courbe C(T ∗ ). (Cette
courbe présente un maximum caractéristique d’un système à nombre de niveaux fini, que l’on appelle
anomalie de Schottky de la chaleur spécifique.)
5
Contact thermique entre deux systèmes de spins
On considère un système composé des deux sous-systèmes placés dans un champ magnétique B :
– le sous-système (a), constitué de 3 particules de spin 1/2, moment magnétique µ, piégées sur 3 sites ;
– le sous-système (b), constitué de 2 particules de spin 1/2, moment magnétique 2µ, piégées sur 2 sites.
Ces sous-systèmes n’échangent éventuellement d’énergie qu’entre eux.
1. Les deux sous-systèmes étant isolés l’un de l’autre, on mesure leurs moments magnétiques. On trouve
ma = −3µ et mb = 4µ respectivement. Calculez les entropies microcanoniques de chacun des soussystèmes et du système.
2. Les deux sous-systèmes sont en contact thermique. Calculez l’entropie microcanonique du système.
Calculez la probabilité P(ma ) pour qu’à l’équilibre le moment magnétique de (a) prenne la valeur ma .
Calculez les valeurs moyennes des moments magnétiques de (a) et de (b).
6
Gaz parfait “classique”
1. Calculez l’entropie, la température, la pression et le potentiel chimique d’un gaz “parfait” de N atomes
discernables (!) dans une caisse de volume V, dans le cas où N et V sont macroscopiques.
2. Calculez, dans l’approximation classique de Maxwell-Boltzmann, l’entropie, la température, la pression
et le potentiel chimique du même gaz parfait composé d’atomes indiscernables.
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Contact thermique entre deux gaz parfaits et entropie de mélange
1. Deux gaz “parfaits” (1) et (2) sont situés dans deux parties d’un récipient séparées par un piston
“diatherme”, coulissant “parfaitement”. Ils sont constitués de N1 (resp. N2 ) molécules “libres”,
ingénument supposées discernables, de masse m1 (resp. m2 ). Le récipient, de volume V, est “isolé” de
sorte que l’énergie totale E est fixée.
i ) Déterminer les valeurs les plus probables des variables internes E1, V1 , E2 et V2 en fonction des
paramètres extérieurs fixés.
ii ) Calculer l’entropie microcanonique partielle maximale du système. En déduire, dans l’approximation où les variables internes fluctuantes sont quasi certaines, l’entropie microcanonique du système
en fonction des paramètres extérieurs fixés.
iii ) En déduire la température et la pression microcanoniques du système en fonction des etc.
2. On considère maintenant un mélange des deux gaz décrits précédemment : les molécules sont réparties
dans le récipient de volume V.
i ) Déterminer à l’équilibre les valeurs les plus probables E1m et E2m des énergies E1 et E2 des gaz
(1) et (2) en fonction des paramètres extérieurs E, V, N1 et N2 .
ii ) Calculer, comme précédemment, l’entropie microcanonique du système en fonction des etc.
iii ) Calculer la température et la pression microcanoniques du système en fonction des etc.
3. On veut étudier le processus de mélange des gaz parfaits. Les deux gaz sont initialement séparés par
une cloison, comme dans la première partie, et le système est à l’équilibre. On retire la cloison et on
attend le nouvel état d’équilibre qui est celui étudié dans la deuxième partie.
i ) Calculer la variation de l’entropie microcanonique du système entre l’état initial et l’état final.
Expliquer son signe.
ii ) Calculer la variation de température entre l’état initial et l’état final, puis celle de la pression.
4. Qu’en est-il si les molécules des types (1) et (2) sont identiques ?